一种改进Boltzmann-Matano公式的扩散系数的计算方法与流程

本发明属于扩散系数计算技术领域，尤其涉及一种改进Boltzmann-Matano公式的扩散系数的计算方法。

背景技术：

受傅里叶热传导定律的启发，通常用菲克第一定律和菲克第二定律来描述扩散过程。如果扩散系数与物质浓度无关，那么菲克第二定律在一维情况下可以表示为下式：

式中：D表示扩散系数，C表示物质浓度,t表示时间，x表示x轴上扩散的位置。

对于具有初始浓度C1和C2的半无限扩散偶，通常用误差函数来求解等式(1)，解后如式(2)所示：

由式(2)可知，某一位置的浓度可以用该位置坐标与时间平方根的比来表示，由此，可将式(2)转换为式(3)：

在实际应用中发现扩散系数是随着物质浓度的变化而变化的，那么由上述内容可知，扩散系数也可以用位置与时间平方跟的比来描述，如式(4)所示：

为了简化计算过程，可以将式(4)中的组合变量，即位置与时间平方根的比转换为单个变量λ，结合式(1)和式(4)可以推出式(5)：

假设扩散的初始条件为式(6)，结合式(6)对式(5)进行积分得到式(7)：

当C＝C2时，可将式(7)转化为式(8)和式(9)：

如图1所示，Cm表示位置m对应的浓度，C1和Cm所包围的区域面积等于C2和Cm所包围的区域面积，即Aabm＝Adem，平面(x＝xm)被称为Matano面。

上述理论被称为计算扩散系数的Boltzmann-Matano方法，在某一浓度C'上的扩散系数可以用式(10)中给出的Aabgf与斜率k的比来描述。

在实际应用中，通过Boltzmann-Matano方法来计算扩散系数的前提是，浓度分布曲线必须足够平滑，才能够以浓度为积分变量，计算出式(10)中的Aabgf。即使对于纯物质，电子探针等技术手段得到的浓度分布曲线依然不能直接应用于式(10)来计算扩散系数。研究者们只能将扫描曲线进行拟合，例如得到Z型曲线。这种方法虽然能够计算出扩散系数，但是往往与实际相差较大。同时，对于化合物和混合物，扫描曲线波动性非常大，根本无法通过拟合得到Z型曲线。

技术实现要素：

(一)要解决的技术问题

针对现有存在的技术问题，本发明提供一种改进Boltzmann-Matano公式的扩散系数的计算方法，无需对数据进行Z型拟合而直接运用电子探针原始数据图形进行扩散系数的计算。

(二)技术方案

本发明提供一种改进Boltzmann-Matano公式的扩散系数的计算方法，包括如下步骤：

S1、基于计算机程序，获取待计算的浓度分布曲线，通过变换积分变量，获取某一浓度下的浓度分布曲线与两个初始浓度曲线构成的包围面积：Aafh和Aefj；

S2、根据Aafh和Aafh，将Aafh与Aafh相等时对应的浓度在x轴的位置确定为Matano面，并在原浓度分布曲线的坐标系里建立新坐标,新坐标中扩散方向为X轴；

S3、获取某一浓度在新坐标下的浓度分布曲线及其与一个初始浓度曲线构成的包围面积Aabgf:

式中，Ca和Ce分别为两个初始浓度；C'为某一点f处对应的浓度；ΔX为X的增量，XC'为浓度为C'对应的X轴上的坐标；

S4、获取所述某一浓度下的浓度分布曲线斜率k；

S5、结合得到的Aabgf和斜率k，根据预先输入计算机的计算程序计算，得到所述浓度分布曲线的扩散系数D：

式中，D为扩散系数，t为时间。

进一步地，在所述步骤S1中，通过电子探针获取待计算的浓度分布曲线。

进一步地，所述变换积分变量包括：将现有Boltzmann-Matano公式中的浓度的积分变量dC变换为位置的积分变量dx。

进一步地，根据积分的原始定义获取Aafh和Aefj。

进一步地，当浓度分布平稳时，采用两点式法得到斜率；

当浓度分布波动时，借鉴于现有的Z型曲线的计算方法计算斜率，以保持斜率的同号性。

(三)有益效果

本发明提供的改进Boltzmann-Matano公式的扩散系数的计算方法，对Boltzmann-Matano公式进行变换积分变量，直接运用积分的原始定义和已知数据进行计算，避免了计算复杂未知函数的积分。

本发明提供的方法可以不必对数据进行Z型拟合而直接运用电子探针原始数据图线进行扩散系数的计算，减少了数据处理步骤，降低了数据失真给计算结果带来的影响，有助于计算结果准确性的提高。

附图说明

图1为本发明背景技术中现有的Boltzmann-Matano方法计算扩散系数的示意图；

图2为本发明提出的适用于平滑曲线的改进的Boltzmann-Matano方法示意图；

图3为本发明中确定Matano面的方法的示意图；

图4为本发明中计算Boltzmann-Matano方法中某一点处所需要的面积的示意图；

图5为本发明中计算Boltzmann-Matano方法中某一点处所需要的斜率的示意图；

图6为本发明实施例1中Ca的浓度分布曲线；

图7为本发明实施例1中Aafh和Aefj的差值示意图；

图8为本发明实施例1中Ca的扩散系数随浓度变化曲线图；

图9为本发明实施例2中V的浓度分布曲线；

图10为本发明实施例2中Aafh和Aefj的差值示意图；

图11为本发明实施例2中V的扩散系数随浓度变化曲线图。

具体实施方式

为了更好的解释本发明，以便于理解，下面结合附图，通过具体实施方式，对本发明作详细描述。

本发明提供的改进Boltzmann-Matano公式的扩散系数的计算方法，包括以下步骤：

S1、通过电子探针扫描获取待计算的浓度分布曲线，通过变换积分变量，获取某一浓度下的浓度分布曲线与两个初始浓度曲线构成的包围面积：Aafh和Aefj。

将现有Boltzmann-Matano公式(9)中的dC转换为dx，得到式(11)：

式中，xa和xe分别为初始浓度的在x轴上的坐标；xm为Matano面在x轴上的坐标；C为浓度；x为x轴上的坐标。

如图2所示，根据积分的原始定义(即小区间内的矩形面积的和)，运用电子探针扫描曲线求解Aafh和Aefj。如果这些小区间(Δx)足够小，则可认为在Δx内浓度是恒定的。

S2、根据Aafh和Aafh，将Aafh与Aafh相等时对应的浓度在x轴的位置确定为Matano面，并在原浓度分布曲线的坐标系里建立新坐标，扩散方向定义为X轴，Matano面处为X轴原点(x＝xm,X＝0)。

S3、获取某一浓度在新坐标下的浓度分布曲线及其与一个初始浓度曲线构成的包围面积Aabgf。其中，可将Aabgf拆分为Aafh和Abgfh，可以通过式(12)、式(13)得到Aafh和Abgfh：

式中：Aafh为点a，点f和点h所包围面积；ΔX为X的增量；Ca为初始浓度；Ci为求和公式中某一处的浓度；X为X轴上坐标。

式中：Aabgf为点a，点b，点g和点f所包围面积；ΔX为X的增量；Ca和Ce为初始浓度；Ci为求和公式中某一处的浓度；X为X轴上坐标；XC'为浓度为C'对应的X轴上的坐标。

S4、获得浓度C'时的浓度分布曲线斜率k。当浓度分布平稳时，采用两点式法得到斜率k；当遇到浓度分布波动时，借鉴于Z型曲线的计算方法：采用扩大ΔX来计算斜率以保持斜率的同号性。如图5所示，在区间ΔX6和ΔX7内，其浓度不符合总体浓度分布走势，大于前一计算区间ΔX5内的浓度。那么就要扩大计算区间，当浓度值在ΔX8内时，能够保持斜率的同号性。为此，在ΔX5，ΔX6和ΔX7区间内的斜率通过图5中的方法进行计算。

S5、结合Aabgf和斜率k得到扩散系数。

实施例1

将上述方法，应用到氧化钙/钒渣扩散偶中得到扩散系数，如下：

将氧化钙与钒渣制造成扩散偶后，在810℃下焙烧75min，随后对扩散面进行电子探针扫描分析，得到Ca的元素分布曲线如图6所示。由图6可知，Ca元素在x轴分布基本上满足随着坐标位置的增加而质量分数增大的规律。但是这样的曲线显然无法拟合成光滑曲线，更无法在某一段区间内用函数表示。那么也就无法求得Boltzmann-Matano方法中的面积和斜率，无法求得Ca的扩散系数。

通过扫描曲线计算Aafh和Aefj，将二者做差如图7所示。在x轴上825μm处，二者的面积差最接近于零，因此，将x＝825μm处定义为Matano面，并将此位置定义为新坐标X轴的原点。采用新坐标后，通过式(13)可以计算出Aabgf，结合斜率k，得到Ca的扩散系数，如图8所示。图8中横坐标为Ca摩尔质量分数，纵坐标为扩散系数乘以10的十次方后再取对数。由图8可知，Ca摩尔质量分数在0.1到0.9的区间内，其扩散系数基本分布在10的-7次方到-8次方内。这一计算结果与很多参考文献较吻合，证明本发明提供的计算方法具有较好的可靠性。

实施例2

将氧化钙与钒渣制造成扩散偶后，在810℃下焙烧60min，随后对扩散面进行电子探针扫描分析，得到V的元素分布曲线如图9所示。由图9可知，V元素在x轴分布基本上满足随着坐标位置的增加而质量分数减小的规律。但是这样的曲线显然无法拟合成光滑曲线，更无法在某一段区间内用函数表示。那么也就无法求得Boltzmann-Matano方法中的面积和斜率，无法求得V的扩散系数。

通过扫描曲线计算Aafh和Aefj，将二者做差如图10所示。在x轴上756.2μm处，二者的面积差最接近于零，因此，将x＝756.2μm处定义为Matano面，并将此位置定义为新坐标X轴的原点。采用新坐标后，通过式(13)可以计算出Aabgf，结合斜率k，得到V的扩散系数，如图11所示。图11中横坐标为V摩尔质量分数，纵坐标为扩散系数乘以10的九次方后再取对数。由图11可知，V摩尔质量分数在0.2到0.6的区间内，其扩散系数基本分布在10的-7次方到-8次方内。这一计算结果与很多参考文献较吻合，证明本发明提供的计算方法具有较好的可靠性。另外，优于多数参考文献的计算方法，本发明提供的方法能够计算出浓度趋近于零时的扩散系数。如图11所示，当V的摩尔百分比逐渐趋近于零时，扩散系数数十倍的增加，与式(10)相符合，即浓度曲线相对平稳的区间，其斜率接近于零，所以扩散系数较大。

以上结合具体实施例描述了本发明的技术原理，这些描述只是为了解释本发明的原理，不能以任何方式解释为对本发明保护范围的限制。基于此处解释，本领域的技术人员不需要付出创造性的劳动即可联想到本发明的其它具体实施方式，这些方式都将落入本发明的保护范围之内。