一种解决Pogo模型奇异性问题的方法与流程

本发明属于液体运载火箭pogo建模技术领域，具体说是一种解决pogo模型奇异性问题的方法。

背景技术：

pogo振动是大型液体运载火箭在发射过程中结构系统纵向振动与推进系统液路脉动相互作用而产生的一种不稳定的闭环自激振动，也称为跷振或纵向耦合振动。pogo振动不但会使火箭低频振动环境恶化，箭上仪器设备不能可靠工作，甚至导致飞行失败；而且会使航天员生理系统失调，如视力模糊等。随着人们对火箭运载能力需求的提高，运载火箭尺寸更大、频率更低，与推进系统频率的耦合问题也更为严重，美国宇航局(nasa)早已将抑制pogo振动作为液体火箭设计一个重要指标，pogo振动已成为设计者必须重视和解决的问题，而大型液体运载火箭的pogo模型则是进行pogo机理分析和抑制设计研究的关键。

目前代表性的pogo模型是美国学者rubin提出的有限元建模方法，该方法给出了统一的建模框架，采用状态空间方法描述，适用于复杂三维管路的建模。然而，该方法得到的pogo状态空间模型是奇异的，主要用于频域分析，在时域仿真时需手动约化掉这些代数方程以解决模型奇异性问题，不适用pogo振动抑制的快速分析与设计的要求。谭述君和王庆伟针对pogo模型奇异性问题，对推进系统部件的动力学方程进行了改进，导出非奇异的pogo状态空间模型。然而该方法依赖于对推进系统部件的描述，只适用于纯液路推进系统。对于液氧煤油补燃循环发动机系统，由于采用了气路-液路交叉耦合输送的推进系统，受气路复杂性影响，难以找到合适的描述方式来建立pogo非奇异模型。考虑到学者们建立的大部分pogo模型都是奇异的，如何在这些工作基础上，提出解决模型奇异性问题方法，对于后续的时域仿真和控制系统设计是非常重要的。

技术实现要素：

针对上述问题，本发明提供了一种解决pogo模型奇异性问题的方法，本方法导出的非奇异pogo模型可以直接应用于时域仿真，适用性广，避免了重复建模工作。

为实现上述目的，本申请的技术方案为：一种解决pogo模型奇异性问题的方法，具体包括如下步骤：

步骤1：生成pogo状态空间模型的系统矩阵e和a；

步骤2：对pogo状态空间模型的系统矩阵(e,a)进行特征值分析，求解特征值λ和特征向量φ；

步骤3：将特征值λ按模从小到大排列，将特征向量φ与特征值相对应地排列；设矩阵e的维数为n，矩阵e的秩为m；

步骤4：保留前n-m个特征值及其对应的特征向量，生成新的特征值矩阵和特征向量矩阵

步骤5：求解系统矩阵(e^t,a^t)的特征值λt和特征向量φt；

步骤6：将特征值λt按模从小到大排列，将特征向量φt与特征值相对应地排列；

步骤7：保留前面n-m个特征值及其对应的特征向量，生成特征值矩阵和特征向量矩阵

步骤8：利用特征向量对原状态x进行变换，变换到状态η空间。

进一步的，步骤1中建立pogo状态空间模型：

其中状态变量x由推进系统变量p和结构系统变量q组成，即x＝[p^t,q^t]^t，e和a是系统矩阵，f是外部干扰或控制力；为状态变量x的一阶导数；

步骤2中求解特征值λ和特征向量φ具体为：

eφλ＝aφ(2)

步骤3中将特征值λ从小到大排列，将特征向量φ也相应地排列，具体为：

进一步的，步骤4中生成新的特征值矩阵和特征向量矩阵具体为：

则式(2)成为，

进一步的，步骤5中系统矩阵(e^t,a^t)的特征值λt和特征向量φt，具体为：

e^tφtλt＝a^tφt(8)。

进一步的，步骤6中将特征值λt按模从小到大排列，将特征向量φt也相应地排列，具体为：

根据矩阵特征值理论，λt＝λ。

更进一步的，步骤7中生成特征值矩阵和特征向量矩阵具体为：

则式(8)成为：

更进一步的，步骤8具体实现步骤为：

可得

可得

将式(16)两边同时左乘得到：

由于的逆阵存在，所以状态η描述的pogo模型是非奇异的，因此，式(17)两边同时左乘得到：

用状态η描述的非奇异pogo模型，解决了原pogo模型的奇异性问题，为状态η的一阶导数；

更进一步的，η初值η(t0)确定，基于微分方程(18)求解η(t)时，需要确定初值η(t0)，因为原状态初值x(t0)已知，故根据变换(14)的反变换式得到，

作为更进一步的，系统矩阵e和a是非对称实矩阵，因此特征值λ和特征向量矩阵φ可能是复数，如果是复数则必然是成对出现的，与结构系统或推进系统的二阶振动方程相对应；因此矩阵的特征值和特征向量描述为

φ＝[φr+iφi,φr-iφi](21)

其中，λr和λi分别是特征值λ的实部和虚部，φr和φi分别是特征向量矩阵φ的实部和虚部，i为虚数单位；

进行整理得到：

因此，特征值和特征向量可以用实数描述，即

作为更进一步的，采用上述方法对pogo模型的进行降阶处理：如果在公式(5)、(6)和公式(11)、(12)中只保留感兴趣的特征值，那么导出pogo模型(18)就是降阶模型。

本发明由于采用以上技术方案，能够取得如下的技术效果：

1.本方法可以对一般的pogo奇异模型进行处理，得到非奇异的pogo模型，适用性广，避免了重复建模工作。

2.本方法导出的非奇异pogo模型，可以直接应用于时域仿真。

3.本方法导出的非奇异pogo模型，可以用于pogo主动抑制设计。

4.本方法可以用于pogo模型的降阶。

5.本方法可以采用复数运算，也可以全部基于实数运算完成。

附图说明

图1为某型号火箭推进系统；

图2为外力扰动图；

图3为pogo系统的结构阻尼比图；

图4为pogo系统的结构响应图；

图5为pogo系统的结构阻尼比图；

图6为pogo系统的结构响应图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施中的技术方案进行清楚、完整的描述，可以理解的是，所描述的实例仅仅是本发明的一部分实例，而不是全部的实施例。基于本发明的实施例，本领域的技术人员在没有做出创造性劳动的前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明的保护范围。

实施例1

本实施例提供一种解决pogo模型奇异性问题的方法，具体包括如下步骤：

(1)生成pogo状态空间模型的系统矩阵e和a。采用rubin的方法或其它方法建立pogo状态空间模型，

其中状态变量x由推进系统变量p和结构系统变量q组成，即x＝[p^t,q^t]^t，e和a是系统矩阵，f是外部干扰或控制力。

由于矩阵e是奇异的，因此该方程一般仅用于频域分析，很难直接用于时域仿真和控制系统设计中。

(2)对pogo状态空间方程的系统矩阵(e,a)进行特征值分析，根据下面特征值方程，求解特征值λ和特征向量φ，

eφλ＝aφ\*mergeformat(1.2)

(3)将特征值λ按模从小到大排列，特征向量φ也做对应的排列。由于矩阵e是奇异的，导致系统矩阵(e,a)存在无穷大广义特征值。设矩阵e的维数为n，矩阵e的秩为m，则系统矩阵(e,a)有m个无穷大广义特征值，对描述的特征值按从小到大排列，特征向量也做对应的调整，如下

(4)保留前面n-m个特征值及其对应的特征向量，生成新的特征值矩阵和特征向量矩阵因为最后m个特征值为无穷大，对应的特征向量没有意义，因此只保留前面n-m个特征值及其对应的特征向量，即

则成为，

(5)利用下式求解系统矩阵(e^t,a^t)的特征值λt和特征向量φt，

e^tφtλt＝a^tφt\*mergeformat(1.8)

(6)将特征值λt从小到大排列，特征向量φt也做对应的排列。同样，由于矩阵e^t是奇异的，导致系统矩阵(e^t,a^t)存在无穷大广义特征值。因为，矩阵e^t的秩为m，则系统矩阵(e^t,a^t)有m个无穷大广义特征值，对描述的特征值按从小到大排列，特征向量也做对应的调整，如下

根据矩阵特征值理论，λt＝λ。

(7)保留前面n-m个特征值及其对应的特征向量，生成和同样，因为最后m个特征值为无穷大，对应的特征向量没有意义，因此只保留前面n-m个特征值及其对应的特征向量，即

则式成为

(8)利用特征向量对原状态x进行变换，变换到状态η空间，

将式代入，得到

将式代入，得到

将式两边同时左乘得到

因为的逆阵存在，所以状态η描述的pogo模型是非奇异的。因此，式两边同时左乘得到，

这就是用状态η描述的非奇异pogo模型，解决了原pogo模型的奇异性问题。求解得到η之后，利用变换式可以求得原状态x的解。基于变换后的非奇异模型可以开展时域仿真、控制系统设计等。

η初值η(t0)确定。基于微分方程求解η(t)时，需要确定初值η(t0)。因为原状态初值x(t0)已知，因此可以根据变换的反变换式得到，

运算过程的实数化：由于e和a是非对称实矩阵，因此特征值λ和特征向量矩阵φ可能是复数，而如果是复数则必然是成对出现的，与结构系统或推进系统的二阶振动方程相对应。因此矩阵的特征值和特征向量可以描述为

φ＝[φr+iφi,φr-iφi]\*mergeformat(1.21)

其中，λr和λi分别是特征值λ的实部和虚部，φr和φi分别是特征向量矩阵φ的实部和虚部。

进行整理得到

因此，前述步骤中的特征值和特征向量可以用实数描述，即

上述方法可以用于pogo模型的降阶：如果在公式(1.5)、(1.6)和公式(1.11)、(1.12)中只保留感兴趣的特征值，那导出pogo模型(1.18)就是降阶模型。

实施例2

对某型号火箭的pogo系统进行分析，推进系统如图1所示，是气-液路耦合推进系统。采用传统方法进行建模，得到式中原状态x的系统矩阵e是60*60维的，其中e矩阵的秩是56，不满秩，因而是奇异的。采用本专利方法，变换到状态η空间进行仿真。对两种工况进行了仿真。

(1)工况1

工况1采用系统参数的标称值，此时对原状态空间x的系统矩阵(e,a)进行特征值分析结果如图3所示，得到结构模态阻尼比均大于零，因此，系统是稳定的。按本专利方法可以变换到状态η空间进行仿真，并将仿真结果再反变换回原状态空间x，外力扰动如图2所示，仿真结果如图4所示，可以看出在随机干扰下，pogo系统的结构响应没有发散，与频域分析结果一致，证明了利用本方法得到非奇异pogo模型的正确性。

(2)工况2

工况2在系统参数的标称值的基础上，在30秒附近的结构模态质量参数叠加上较大的偏差，此时对原状态空间x的系统矩阵(e,a)进行特征值分析结果如图5所示，得到结构第1阶模态阻尼比在30秒附近小于零，此时系统是不稳定的。按本方法可以变换到状态η空间进行仿真，并将仿真结果再反变换回原状态空间x，取跟工况1相同的外力扰动如图2所示，仿真结果如图6所示，可以看出在相同的随机干扰下，pogo系统的结构响应在30秒附近振动发散(振幅发散了两个数量级)，与频域分析结果一致，证明了利用本方法得到非奇异pogo模型的正确性。

以上仅为本发明的优选实施例，并非因此限制本发明的专利范围，凡是利用本发明说明书及附图内容所做的等效结构或等效流程变换，或直接或间接运用在其他相关的技术领域，均同理包括在本发明的专利保护范围。