基于引力加速度的小天体引力场球谐系数确定方法与流程

本发明涉及一种针对不规则小天体的形状描述和引力场建模方法，特别涉及存在多面体形状模型的小天体的引力场球谐系数确定方法，适用于探测器对小天体的探测轨道初步设计，属于航空航天领域。

背景技术：

对小天体的环绕和着陆探测是小天体探测的关键环节。在探测任务的设计中，需要考虑小天体的引力场对轨道设计的影响。由于小天体的尺寸和质量较小，形状各异，对小天体的引力场建模带了的巨大的困难。而探测器在小天体附近的运动受小天体的扰动显著，需对小天体有较精确的描述。

对于环绕轨道，采用球谐系数的引力场表示方法具很好的效果。但小天体与大行星不同，形状不规则程度高，大行星通常为球型或类球型，采用较低阶次的球谐系数即能够较好进行描述，但小天体要求较高阶次的球谐系数，通过天文观测无法直接获取。在已发展的关于小天体引力场建模中，在先技术[1](参见millerjk,konoplivas,antreasianpg,etal.determinationofshape,gravity,androtationalstateofasteroid433eros[j].icarus,2002,155(1):3-17)，给出了利用在轨测量的位置速度信息进行小天体高阶球谐系数的结算方法，但该方法要求探测器已经对小天体开展环绕探测，对于未探测的目标无法进行准确估计。

在先技术[2](参见张振江,崔祜涛,任高峰.不规则形状小行星引力环境建模及球谐系数求取方法[j].航天器环境工程,2010(3).)，提出采用多面体模型的引力势能求解球谐系数的方法，该方法通过建立引力势能的等式关系，联立方程求解球谐系数。但该方法所需的引力势能点较多计算量大，且引力势能为标量，存在多值性，因此求解的球谐系数可能存在歧义。

技术实现要素：

针对现有技术中存在的下述技术问题：对不规则小天体的球谐系数引力场进行描述，要求得到较高阶数的引力场模型。采用多面体引力势能的求解方法，计算量大且精度有限，不适合对小天体高阶球谐系数进行估算。本发明公开的一种基于引力加速度的小天体引力场球谐系数确定方法要解决的技术问题是：提出一种将引力加速度作为不变量，利用多面体模型解算球谐引力场模型系数的方法，无需得到较高阶数的引力场模型，能够降低计算量，并能够提高精度，进而适合对小天体高阶球谐系数进行估算。本发明具有计算效率高，精度高等优点，能够适用于构建用于小天体观测的环绕轨道，节省小天体观测的环绕轨道任务资源消耗。

本发明的目的是通过下述技术方案实现的。

本发明为公开的一种基于引力加速度的小天体引力场球谐系数确定方法，通过小天体的多面体形状模型，在小天体附近选定采样点，对采样点采用多面体法计算采样点的引力加速度，同时根据球谐引力场的计算方法建立引力加速度表达式，联立方程求解得到对应的球谐系数，将得到的球谐系数应用于构建小天体观测的环绕轨道，实现小天体观测的环绕轨道的初步轨道设计，提高小天体观测的环绕轨道设计精度和效率。本发明具有计算效率高，精度高的优点，适用于对小天体附近运动的初步分析，实现任务轨道的设计，节省任务轨道的资源消耗。

本发明为公开的一种基于引力加速度的小天体引力场球谐系数确定方法，包括如下步骤：

步骤一：根据选定目标的多面体形状模型，建立小天体固连坐标系，将小天体附近的空间划分成若干区域，在每个区域内选择采样点，用于引力加速度的计算。

根据选定目标的多面体形状模型，建立小天体固连坐标系，其中x轴为小天体的最小惯性主轴，z轴为小天体的最大惯性主轴，y轴构成完整的右手坐标系。确定小天体最大半径，球谐引力场模型在距坐标系原点大于最大半径的收敛域内收敛。在小天体附近的收敛域内，按照经纬度将空间划分成多个区域，在区域内随机选择样本点，用于求解引力加速度。

步骤二：对步骤一中确定的样本点采用多面体法求解引力加速度。

多面体模型是小天体引力场建模方法，能够较精确的描述匀质不规则小天体的引力场。该多面体模型将小天体表面模拟成一系列的小三角形，通过积分变换的方法求解多面体模型的引力势能和具体的引力加速度。记样本点p在小天体固连系下的位置为p(x,y,z)。该点到表面小三角形abc顶点的三个坐标分别为rpa、rpb和rpc，定义连接两顶点ab的棱为：

eab为棱ab长度。对三角面abc，定义：

则样本点对应的引力加速度为

其中，g为引力系数，σ为小天体的密度，re为引力场中任一点到棱上任一点的矢量，rf为引力场中任一点到三角面abc上任一点的矢量，定义面abc的法向矢量为nf，对每条棱，定义棱的法向向量ne，其位置垂直于nf，指向平面外，则

对所有样本点依次计算引力加速度并记录结果。

步骤三，建立球谐引力场模型求解引力加速度对应的表达式。

采用球谐函数表示小天体的引力场形式，利用勒让德多项式来逼近天体的引力势能。根据球谐公式，采样点p处相应的引力加速度为：

其中：

vlm,wlm仅与样本点p的位置有关，通过递推公式求解。其中是的缔合勒让德多项式

re表示小天体的参考半径，取小天体的最大半径，r表示采样点至小天体质心的距离，m为小天体质量。

步骤四，建立引力加速度的等式关系，求解方程，确定小天体球谐引力场的系数。

根据步骤二和三，对同一采样点采用不同的方式得到的引力加速度相同，因此建立引力加速度的等式关系。构建方程组求得球谐函数中的球谐系数。

对任一样本点，以clm和slm为变量，构建3×1的线性方程：

其中为方程的三轴分量。

考虑到球谐系数的几何意义，若坐标系建立在小天体的质心上，则上式中未知量的个数为n(n+2)，方程的个数为3，因此只需选取n(n+2)/3个检验点构造n(n+2)维的线性方程组，写成ax＝b的形式。解此方程组即求出球谐系数clm和slm。

按式(11)构造一个n(n+2)维的线性方程组能够唯一的解出球谐系数clm和slm，但为了防止由于检验点的取值导致方程线性相关，增加检验点的个数，使方程组变成超定方程组，通过求解超定方程组的最小二乘解作为引力场球谐系数clm和slm的最优估计值。求解超定方程组求得广义逆矩阵a⁺，进而由x＝a⁺b求得方程的解，即为小天体球谐引力场的球谐系数。作为优选，步骤四中求解超定方程组优选采用奇异值分解理论求解。

还包括步骤五：将步骤四得到的球谐系数应用于构建小天体观测的环绕轨道，实现小天体观测的环绕轨道的初步轨道设计，提高小天体观测的环绕轨道设计精度和效率。

有益效果：

1、本发明公开的一种基于引力加速度的小天体引力场球谐系数确定方法，仅需通过小天体的多面体形状模型近似得到高阶求解系数，操作简单，无需实际测定轨数据。

2、本发明公开的一种基于引力加速度的小天体引力场球谐系数确定方法，以引力加速度为不变量进行计算，同一样本点建立三组方程，求解系数所需的样本点少，计算效率高。

3、本发明公开的一种基于引力加速度的小天体引力场球谐系数确定方法，直接对引力加速度进行拟合，无需在轨道设计中对球谐系数再次进行微分，计算精度高。

4、本发明公开的一种基于引力加速度的小天体引力场球谐系数确定方法，将得到的球谐系数应用于构建小天体观测的环绕轨道，实现小天体观测的环绕轨道的初步轨道设计，提高小天体环绕轨道设计精度和效率。

附图说明

图1本发明公开的一种基于引力加速度的小天体引力场球谐系数确定方法流程示意图。

图2本发明实例中小行星6489多面体模型图。

图3本发明实例中采用引力加速度和引力势能确定的球谐系数模型在检验的x方向加速度误差图。

图4本发明实例中采用引力加速度和引力势能确定的球谐系数模型在检验的y方向加速度误差图。

图5本发明实例中采用引力加速度和引力势能确定的球谐系数模型在检验的z方向加速度误差图。

图6本发明实例中采用确定的球谐系数设计得到小行星6489冻结轨道。

具体实施方式

为了更好地说明本发明的目的和优点，下面通过对小行星6478的球谐引力场系数进行求解，对本发明做出详细解释。

实施例1：

如图1所示，以小天体6489为例，对其引力场球谐系数，本实施例公开的一种基于引力加速度的小天体引力场球谐系数确定方法，具体实现步骤如下：

步骤一：根据选定目标的多面体形状模型，建立小天体固连坐标系，将小天体附近空间划分成若干区域，在每个区域内选择采样点，用于引力加速度的计算。

采用4092个面的多面体形状模型，模型图如图2所示。小天体的密度为2.7g/cm³，质量2.1×10¹¹kg，建立小天体固连坐标系。小天体的最大半径175m，在小天体附近区域的经度以30度为间隔，纬度以10度为间隔，将小天体附近区域划分成216个网格，每个网格内随机选取经纬度，距离在175m至525m间随机选取样点，用于求解引力加速度。

步骤二：对步骤一中确定的样本点采用多面体法求解引力加速度。

对小天体6489的多面体模型进行计算，根据公式

得到所有样本点的引力加速度矢量，并记录结果。

步骤三，建立采用球谐引力场模型求解引力加速度对应的表达式。

采用球谐函数表示小天体的引力场形式，利用勒让德多项式来逼近天体的引力势能。根据球谐公式，采样点p处相应的引力加速度为：

其中：

选择参考半径为175m，根据每个样本点的位置求解vlm,wlm，并建立球谐函数形式对引力表达式。

步骤四，建立引力加速度的等式关系，求解方程，确定小天体球谐引力场的系数。

根据步骤三和四，对同一采样点采用不同的方式得到的引力加速度应该相同，因此能够建立引力加速度的等式关系。构建方程组求得球谐函数中的球谐系数。

选择球谐系数的阶数为8，共有80个系数，建立超定方程组，采用奇异值分解理论求得广义逆矩阵a⁺，进而由x＝a⁺b求得方程的解，即为小天体球谐引力场的球谐系数。得到的结果如表1所示。

表1小行星6489球谐系数(8*8阶)

在小行星附近半径0.2-0.6km内的区域内随机选择1000个检验点，用采用引力加速度和引力势能两种方式求解的球谐系数模型进行计算，并与精确值进行比较，三个方向的加速度误差如图3-5所示。两种模型的最大偏差和平均值情况如表2所示。

表2两种模型误差比较

结合图3-5和表2知，采用引力加速度的引力场模型的拟合效果要优于采用引力势能拟合的引力场模型，且仅采用引力势能对引力场模型存在多个检验点误差异常增大的情况。结果表明采用引力加速度求解得到的模型精度更高。

步骤五：将步骤四得到的球谐系数应用于构建小天体观测的环绕轨道，实现小天体观测的环绕轨道的初步轨道设计，提高小天体观测的环绕轨道设计精度和效率。

采用求得的球谐系数设计得到小天体6489附近的任务轨道轨道，实现对小天体的环绕观测。以冻结轨道为例，选择轨道的半长轴为380m，倾角45度，近心点幅角90度，根据球谐系数计算得冻结轨道偏心率为0.0439，冻结轨道如图6所示。采用确定的球谐系数，可以在探测器到达小行星前设计任务轨道，用于对小行星的初始观测和在轨精确轨道确定，提高小天体观测的环绕轨道设计精度和效率。

以上所述的具体描述，对发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施例而已，并不用于限定本发明的保护范围，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。