基于甲板变换条件从亚纯微分生成曲面结构化网格的方法

1.本发明涉及多学科交叉的领域，其中包括计算数学、计算流体力学、计算机辅助设计，以及计算机辅助工程领域，具体涉及基于甲板变换条件从亚纯微分生成曲面结构化网格的方法。


背景技术：

2.结构化三角形网格具有良好的可伸缩性和紧凑性，在几何压缩、渐进传输方向得以重用；结构化四边形网格具有张量积结构，在流体力学、空气动力学和大形变力学等领域具有计算精度高、收敛速度快等优势，在等几何分析领域可以参与样条曲面的生成；结构化六边形网格具有结构稳定性好、机械强度高、密度低等优良性能，在建筑学、材料学、生物科学、机械科学等领域的结构设计中具有广泛应用。一个有限轨迹的亚纯微分与结构化网格是等价的，如何从给定的亚纯微分生成结构化网格是研究难点与重心。


技术实现要素：

3.针对现有技术的不足，本发明旨在提供一种基于甲板变换条件从亚纯微分生成曲面结构化网格的方法。
4.需要指出是的，本发明的曲面结构化网格与甲板变换条件之间的关系如下：
5.结构化n边形网格到甲板变换条件：给定曲面σ上一个封闭的n边形网格其奇异点集合为s＝{s0,s1,
…
,s
l
}，将上的每一个面片视作平面上的单位正n边形，则诱导了一个带有锥奇异点的平坦黎曼度量上的锥奇异点对应于s。带洞曲面σ\s的万有覆盖空间具有拉回度量对于σ\s上的任意一条闭合路径，在上存在一个甲板变换与之对应，并且具有表达式
[0006][0007]
接着，选取曲面σ上的一个基本域满足边界不经过任意奇异点，在的作用下等距地浸入于平面得到映射进一步，设置s0为基点，并为带洞曲面σ\s的基本群π1(σ\s,s0)选取生成元
[0008]
π1(σ\s,s0)＝《a1,b1,a2,b2,
…
,ag,bg,γ1,γ2,
…
,γ
l
》,
ꢀꢀꢀ
(2)
[0009]
其中ai和bi分别为对应于第i个环柄的内、外闭合曲线，γj是从s0出发到sj后绕一圈回到s0的闭合路径。若使得s0的参数坐标位于原点，即则任意奇异点si∈s在浸入映射的作用下均坐落于复合上仿射变换的整数格子内
[0010]
[0011]
其中和万有覆盖空间的甲板变换群与基本群π1(σ\s,s0)同构，即的生成元τi为对应于π1(σ\s,s0)中生成元γi的甲板变换。由结构化n边形网格所诱导的甲板变换群的生成元τi具有表达式
[0012][0013]
其中为旋转部分，为平移部分；旋转角度ri由奇异点的拓扑度k(si)给出
[0014][0015]
平移部分与奇异点的参数坐标和旋转角度ri满足关系
[0016][0017]
需要指出的是，本发明的甲板变换条件到结构化n边形网格如下所示：
[0018]
给定封闭曲面σ上带有锥奇异点s＝{s0,s1,
…
,s
l
}的平坦度量g，带洞曲面σ\s的万有覆盖空间具有拉回度量π
*
g，对于σ\s上的任意一条闭合路径，在上存在一个甲板变换与之对应，要求其满足约束(公式1)。接着，选取曲面σ上的一个基本域满足边界不经过任意奇异点，在g的作用下等距地浸入于平面得到映射进一步，设置s0为基点，并为带洞曲面σ\s的基本群π1(σ\s,s0)选取生成元，如公式2所示。其次，要求任意奇异点的参数坐标位于复合上仿射变换的整数格子上(公式3)，同时要求万有覆盖空间甲板变换群的生成元τi满足约束(公式4、公式5、公式6)，则在曲面σ上能够构造出一个结构化n边形网格，其奇异点对应于s，其诱导的度量
[0019]
为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：
[0020]
基于甲板变换条件从亚纯微分生成曲面结构化网格的方法，所述方法包括：
[0021]
s1输入以三角形网格剖分为离散化的曲面σ，以及具有除子的亚纯m次微分
[0022]
s2追踪亚纯m次微分的奇异轨道，对于阶数为ni的除子pi，将以pi为起始点追踪(m+ni)条奇异轨道其中为的弧长参数，奇异轨道在参数化平面的像穿过并对齐于方向，若奇异轨道γi(si)与γj(sj)相交于q点，且在q点处si《sj，则γj在q点处停止前进，γi持续追踪；基于这样的构造方式，给出了曲
面σ上的t-网格剖分
[0023]
s3计算t-网格上从p0出发绕着pi一圈后回到p0的最短闭合路径每一条γi均由t-网格边e∈e组成；给定t-网格上计算得到的一组下同调群基底{a1,b1,
…
,ag,bg}，基底中的每一条γi均由t-网格边e∈e组成；沿着所有闭合路径分别将毗邻的t-网格面片f∈f一个紧接一个地平坦于平面，直至再次遍历到第一个面片，此时第一个面片在平面上得到的两个像之间相差的平面刚体运动给出了对应于γi的甲板变换τi，其中τi的平移部分可以基于t-网格边的长度表示；
[0024]
s4代入基于甲板变换条件构建线性方程组：
[0025]
s5求解线性方程组，得到t-网格边e∈e的长度变化量并调整t-网格边的长度；
[0026]
s6基于t-网格边的长度更新曲面σ上的全局度量；
[0027]
s7最终获得基于曲面σ上新的全局度量生成结构化网格；
[0028]
需要说明的是，所述步骤s4中，为计算得到的闭合路径所对应的甲板变换τi的平移部分添加约束，使为复合上仿射变换的有理数；为t-网格面片f∈f的边长度添加约束，使得面片上所有角点的角度保持不变。
[0029]
本发明的有益效果在于，
[0030]
1、基于甲板变换条件调整全局度量使其兼容于曲面结构化网格生成的方法具有较少的约束项个数，提高了求解线性系统的计算效率；
[0031]
2、通过控制线性系统求解时的有理数格子疏密程度，从而达到生成网格的单元共形程度和单元密度之间的平衡；
[0032]
3、具有普适性，适用于任意拓扑、几何曲面上亚纯微分到结构化网格的转化。
附图说明
[0033]
图1为本发明的算法流程示意图；
[0034]
图2为针对于亏格为2的amphora模型基于本发明所提出方法计算得到结构化四边形网格。
具体实施方式
[0035]
以下将对本发明作进一步的描述，需要说明的是，以下实施例以本技术方案为前提，给出了详细的实施方式和具体的操作过程，但本发明的保护范围并不限于本实施例。
[0036]
本发明为基于甲板变换条件从亚纯微分生成曲面结构化网格的方法，所述方法包括：
[0037]
s1输入以三角形网格剖分为离散化的曲面σ，以及具有除子的亚纯m次微分
[0038]
s2追踪亚纯m次微分的奇异轨道，对于阶数为ni的除子pi，将以pi为起始点追踪(m+
ni)条奇异轨道其中为的弧长参数，奇异轨道在参数化平面的像穿过并对齐于方向，若奇异轨道γi(si)与γj(sj)相交于q点，且在q点处si《sj，则γj在q点处停止前进，γi持续追踪；基于这样的构造方式，给出了曲面σ上的t-网格剖分
[0039]
s3计算t-网格上从p0出发绕着pi一圈后回到p0的最短闭合路径每一条γi均由t-网格边e∈e组成；给定t-网格上计算得到的一组下同调群基底{a1,b1,
…
,ag,bg}，基底中的每一条γi均由t-网格边e∈e组成；沿着所有闭合路径分别将毗邻的t-网格面片f∈f一个紧接一个地平坦于平面，直至再次遍历到第一个面片，此时第一个面片在平面上得到的两个像之间相差的平面刚体运动给出了对应于γi的甲板变换τi，其中τi的平移部分可以基于t-网格边的长度表示；
[0040]
s4代入基于甲板变换条件构建线性方程组：
[0041]
s5求解线性方程组，得到t-网格边e∈e的长度变化量并调整t-网格边的长度；
[0042]
s6基于t-网格边的长度更新曲面σ上的全局度量；
[0043]
s7最终获得基于曲面σ上新的全局度量生成结构化网格；
[0044]
进一步的，在本发明所述步骤s4中，为计算得到的闭合路径所对应的甲板变换τi的平移部分添加约束，使为复合上仿射变换的有理数；为t-网格面片f∈f的边长度添加约束，使得面片上所有角点的角度保持不变。
[0045]
实施例
[0046]
本实施例以亏格为2的amphora模型为例，对本发明作进一步的详细介绍，具体步骤如下：
[0047]
步骤1，输入以三角形网格剖分为离散化的amphora模型，以及具有除子的亚纯四次微分
[0048]
步骤2，追踪亚纯四次微分的奇异轨道，对于阶数为ni的除子pi，将以pi为起始点追踪(4+ni)条奇异轨道其中为的弧长参数，奇异轨道在参数化平面的像穿过并对齐于方向，若奇异轨道γi(si)与γj(sj)相交于q点，且在q点处si《sj，则γj在q点处停止前进，γi持续追踪；基于这样的构造方式，给出了曲面σ上的t-网格剖分其中，每一个面片f∈f均为平面矩形。
[0049]
步骤3，计算t-网格上从p0出发绕着pi一圈后回到p0的最短闭合路径每一条γi均由t-网格边e∈e组成；给定t-网格上计算得到的一组下同调群基底{a1,b1,a2,
b2}，基底中的每一条γi均由t-网格边e∈e组成；沿着所有闭合路径分别将毗邻的t-网格面片f∈f一个紧接一个地平坦于平面，直至再次遍历到第一个面片，此时第一个面片在平面上得到的两个像之间相差的平面刚体运动给出了对应于γi的甲板变换τi，其中τi的平移部分可以基于t-网格边的长度表示。
[0050]
步骤4，基于甲板变换条件构建线性方程组，其中，
[0051]
为计算得到的闭合路径所对应的甲板变换τi的平移部分添加约束，使为复合上仿射变换的有理数；
[0052]
为t-网格面片f∈f的边长度添加约束，要求面片的对边相等。
[0053]
步骤5，求解线性方程组，得到t-网格边e∈e的长度变化量并基于变化量调整t-网格边的长度。
[0054]
步骤6，基于t-网格上矩形面片f∈f的新边长通过调和的方式更新面片内部的度量，从而得到曲面σ上满足甲板变换条件的全局度量。
[0055]
步骤7，基于新的全局度量将t-网格面片f∈f一个紧接着一个平坦于平面，并在平面区域将网格细分为若干四边形单元，再拉回至原始曲面得到结构化四边形网格，即如图2所示。
[0056]
对于本领域的技术人员来说，可以根据以上的技术方案和构思，给出各种相应的改变和变形，而所有的这些改变和变形，都应该包括在本发明权利要求的保护范围之内。