一种图像自适应网格生成变分方法
【技术领域】
[0001]本发明涉及图像逼近和分片多项式逼近，尤其是涉及基于三角网格的、利用分片多项式逼近产生图像自适应剖分的一种图像自适应网格生成变分方法。
【背景技术】
[0002]利用三角网格逼近一幅图像主要是在该三角网格的每个三角面上构造出一个逼近函数，使得该三角网格能够获得的逼近质量尽量高[1，2]。
[0003]三角网格是与图像数据息息相关的，许多方法采用将三角网格简化的策略来生成最终的网格结果，即初始的三角网格包含了图像的所有像素点，根据逼近误差极小化确定相应的连接关系，依次从当前网格中删除逼近误差最小的顶点，直到逼近误差达到设定值或网格顶点个数减小到设定值[3，4]。
[0004]但受到删除顶点和翻转三角边的准则的不同，这种方法产生的结果之间差异较大，顶点的位置相对固定，无法获得更好的逼近结果。另一类方法是向初始的粗糙网格内不断在误差较大的面上依据加点准则插入顶点，并结合翻边准则更新连接关系，直到顶点个数达到指定值[5]。这种方法只是不断地细分网格，仍然存在较大的优化空间。第三类方法则同时加入了顶点的优化过程，在一定程度上顶点位置更加灵活[6]。本发明所述的方法属于最后一类。
[0005]参考文献
[0006][I] Dyn N.and Levin D., Rippa S.Data dependent triangulat1nsfor piecewise linear interpoI at1n[J].1MA Journal of NumericalAnalysis.1990, 10(1):137-154。
[0007][2]Lehner B., Umlauf G., Hamann B.Survey of Techniques for Data-dependentTriangulat1ns Approximating Color Images[J].GI Lecture Notes inInformatics.2008, S_7:178-187。
[0008][3]Su D., Willis P.1mage interpolat1n by pixel-level data-dependenttriangulat1n[J].Computer Graphics Forum.2004, 23(2):189-201o
[0009][4]N.Dyn, M.S.Floater, A.1ske.Adaptive thinning for bivariate scattereddata[J].Journal of Computat1nal and Applied Mathematics.2002，145:505-517。
[0010][5]Li P., Adams Michael D.A tuned mesh-generat1n strategy for imagerepresentat1n based on data-dependent triangulat1n[J].1EEE Transact1ns onImage Processing.2013, 22(5):2004-2018。
[0011][6]Kreylos 0., Hamann B.0n simulated annealing and the construct1nof linear spline approximat1ns for scattered data[J].1EEE Transact1ns onVisualizat1n and Computer Graphics.2001，7(I):17-31。
【发明内容】
[0012]本发明的目的在于提供在初始三角网格剖分上可以自动地根据图像的特征线产生最优的剖分结果，即该三角剖分能够沿着图像的特征线分布，使得该三角网格逼近该图像时所产生的逼近误差最小的一种图像自适应网格生成变分方法。
[0013]本发明包括以下步骤:
[0014]S1、输入图像，设定相关参数；
[0015]S2、产生初始的三角网格剖分；
[0016]S3、根据能量函数及相应的梯度和Hessian矩阵信息计算三角网格顶点的新位置，并将各顶点移动到新位置上；
[0017]S4、更新顶点移动后的三角网格的连接关系；
[0018]S5、循环执行步骤S3至S4若干次，直到迭代次数达到J，即在图像区域内产生一个剖分结构非常接近原图像的三角网格；输出最优的三角网格和相应的逼近多项式集合。
[0019]在步骤SI中，所述图像包括但不限于灰度或彩色；所述相关参数包括但不限于逼近多项式的阶次、三角网格顶点个数N和牛顿迭代的优化次数J。
[0020]在步骤S2中，所述产生初始的三角网格剖分的具体方法可为:
[0021]S21、在图像区域的四个角点各生成一个顶点，并将它们连接形成一个三角网格，这四个顶点是固定的边界点，在后续优化过程中不参与任何操作；
[0022]S22、在当前三角网格上找到一个逼近误差最大的三角面，在该三角形区域上产生一个随机顶点，并插入到当前三角网格；
[0023]S23、重复执行S22，直到顶点个数达到设定值。
[0024]在步骤S3中，所述根据能量函数及相应的梯度和Hessian矩阵信息计算三角网格顶点的新位置，并将各顶点移动到新位置上的具体方法可为:
[0025]S31、对于当前三角网格上的除四个角点外的每个顶点，根据提出的能量函数，及关于顶点的梯度和Hessian矩阵公式，计算除四个角点外的每个顶点相应的梯度分量和Hessian 矩阵；
[0026]S32、将梯度和Hessian矩阵信息代入牛顿迭代法的公式中，计算除四个角点外的每个顶点的新位置；
[0027]S33、步骤S32中的步长值根据下述方法求解得到，即初值为1，不断减小该值，直到某个步长值使得逼近误差减小；为了避免三角网格产生退化，还需考虑顶点移动当前步长值是否会越过它的一邻域范围，若是，则继续减小步长值；
[0028]S34、将三角网格上的每个顶点移动到计算得到的相应新位置上。
[0029]在步骤S4中，所述更新顶点移动后的三角网格的连接关系的具体方法可为:
[0030]S41、对于当前三角网格上的一条内部边，计算与它相邻的两个三角面相应的逼近误差E1、E2 ；
[0031]S42、假设将该边翻转，与之相邻的两个三角面的顶点组合产生变化，计算相应的新的逼近误差E3、E4;
[0032]S43、如果 E1+E2>E3+E4，则翻转该边；
[0033]S44、对当前三角网格的所有内部边执行步骤S41?S43过程，已翻转或者无需翻转或者几何上不能翻转的边称为该边的最优状态；
[0034]需要注意的是，翻转一条边可能会导致与该边相邻的四条边不是最优状态，需要对它们重新计算并决定是否需要翻转。
[0035]本发明能够在一幅图像上产生一个分布结构非常接近该图像特征线的三角网格。
[0036]三角网格的顶点更新不可避免地会出现内部顶点向边界移动，这些顶点的最终归宿是在边界边上，相对来说，它们已经是边界点，所以当一个内部顶点移动到离边界很近的一定范围的位置时，应当将其直接移动到边界上，并设置为边界点，具体操作是，将该点移动到与其相邻的边界面的那条边界边上，然后删除该边界面。这种边界点的后续优化只在边界上移动。
[0037]为了使得最终结果尽量好，对整个优化过程进行改进，采用一种逐步优化的策略。具体来说，有:
[0038]Al、设定一个参数值n，表示η次加点后三角网格顶点个数达到指定数量N ；
[0039]Α2、初始时，根据贪婪策略产生顶点个数为Ν/η的三角网格；
[0040]A3、对当前网格进行若干次的牛顿迭代优化；
[0041]Α4、若当前网格顶点个数达到N，则优化过程结束；否则，在当前三角网格上找到逼近误差最大的前Ν/η个三角面，在这些面上各插入一个顶点，可以随机插入或取三角形的重心插入，此时三角网格增加了 Ν/η个顶点；
[0042]Α5、重复执行η?I次A3?Α4过程；
[0043]Α6、输出最优的三角网格和相应的逼近多项式集合。
[0044]一般来说，为了使得最后的结果较好，一般设置最后一次加完点后优化的次数为前几次加完点后优化次数的2倍。
[0045]由此可见，本发明实质上是一个分片多项式逼近方法。主要理论阐述如下:
[0046]1、本发明采用分片多项式的方法来逼近一个给定的函数，该函数的定义域被分割成若干个不相交的子区域，在每个子区域上我们构造出一个多项式，用该多项式在该子区域上逼近给定的原函数，多项式阶次可任意指定。
[0047]2、关于如何划分给定函数的定义域成若干个子区域，本发明采用简单的几何结构，即三角网格；需要注意的是，为了使得三角网格能够完全覆盖原函数的定义域，我们需要在定义域的特征点上设置三角网格的固定顶点，在后续优化过程中不能移动。例如，当函数定义域为长方形时，在该长方形的四个角点上需要分别设置一个顶点。
[0048]3、本发明根据上两条理论，提出一个能量函数。由于我们用三角网格划分原函数的定义域，并在每个小三角形中构建相应的逼近多项式，自然地，在每个小三角形中，多项式与原函数之间一定存在误差，称为逼近误差；一个小三角形中的逼近误差可以用积分计算得出，本发明采用多项式与原函数的差值的平方来表示积分中的被积函数，积分区域即该三角形区域；据此，三角网格对应的总误差为每个小三角形上的误差累加和，我们将其称为能量函数。
[0049]4、由于三角网格主要由顶点的位置和顶点之间的连接关系决定，在Τ3中，能量函数是以三角网格为变量，为了简化计算，将连接关系从能量函数分离出来，令能量函数只与顶点的位置相关，因此利用三角网格逼近原函数的问题包含两步:即优化能量函数(顶点位置的更新)和优化连接关系；由于我们的目标是使得三角网格对应的逼近误差最小，因此，减小逼近误差是连接关系更新的主要原则。
[0050]5、本发明采用了牛顿迭代法来优化三角网格的顶点位置。根据能量函数的特点推导出了能量函数关于各个顶点的梯度和Hessian矩阵公式，它们用于牛顿迭代法中顶点新位置的计算；牛顿迭代法中的步长设置如下，初值为1，不断减小它直到顶点的移动能够减小逼近误差且不会造成三角网格产生退化。
[0051]6、本发明主要通过翻转边来更新三角网格的连接关系，除了以使逼近误差减小为原则，还需考虑翻转边是否造成三角网格退化。
[0052]7、本发明整体的优化过程包括顶点的更新和连接关系的更新，两者不断交替执行，直到达到指定次数。
[0053]8、图像可看做是离散的函数，上述理论可直接应用在灰度图像的逼近问题上，同时可以推广到多重函数的逼近问题，如逼近彩色图像；只需适当修改能量函数，详细表述如下:将彩色图像的各个颜色通道看做单独的函数，对每个通道函数分别构造一个逼近多项式，在三角网格的各个小三角形区域上，逼近误差由各个通道的逼近误差累加起来。实际上，只有能量函数的积分部分的被积函数发生改变，它对梯度和Hessian矩阵公式的推导几乎没有影响，因此上述理论同样适用于彩