散斑图像之间的成对的欧氏距离的示例性 图，包括：图12 (a)_半透明PVC塑料卡；图12(b)-不透明的PVC塑料卡；图12 (C)-毛纺材 料；图12 (d)-尼龙材料；图12 (e)-聚酯材料的FHD ;图12 (f)-粗斜纹布材料；图12 (g)-棉 布材料；图12(h)-毛巾布材料；图12 (i)_第一类型玻璃。
[0119] 根据本公开内容的另一个示例性实施方案，在示例性分析中可以考虑某些示例性 种类的纸，包括：例如，（a)A4大小的打印纸；(b)薄的笔记本样式的纸；（c)厚的打印海报 样式的纸；（d)褐色的装订纸。例如，对于每种类型的纸，可以生成25个散斑。在每种类型 中，可以从25种不同纸中的同一区域取出散斑。可以对100个散斑图像应用Gabor变换， 并且可以提取它们的位序列。FHD的均值μ可以为0.4869,而标准偏差〇可以为0.0055。 对于"相似"散斑或来自同一区域的散斑的100个Gabor位序列的FHD可以具有平均值= 0. 158,标准偏差=0.0534。相同散斑与不同散斑之间可以存在明确的划分，并且可以示出： 不同散斑的FHD的分布可以位于0. 5附近而相同散斑的分布可以位于0附近。
[0120] 对于相同散斑，FHD分布应当优选地为零，因为这些散斑图案是相同的。但是，由于 散斑的提取可能比较敏感，FHD不一定为零。利用相同的取向和照明条件提取的散斑图案 可能永远不会产生相同的Gabor位序列，这是由于散斑对物理环境的微小变化的灵敏度。
[0121] 在塑料条件下，根据某些示例性实施方案，例如，可以从20个半透明PVC塑料卡提 取例如约20个散斑（从每个卡提取一个），并且对它们应用Gabor变换以获得Gabor位。 可以在第二次试验中从PVC塑料卡提取相同或相似数量的散斑。使用FHD，可以比较从同一 区域提取的散斑（例如，相同的散斑），并且可以比较从不同区域提取的散斑对（例如，不同 的散斑）。对于相同散斑的平均值μ和标准偏差σ可以分别为0.1004和0.0541，这可以 表明同一区域的散斑匹配，对于不同散斑的μ和σ可以分别为0.4755和0.0142,这表明 不同散斑的FHD不匹配。同样地，评估不透明的PVC塑料卡，结果表明经Gabor变换的散斑 的FHD在统计学上是独特的。该示例性结果示出在图11(a)和图11(b)中。
[0122] 可以评估不同类型的织物例如羊毛、尼龙、聚酯纤维、粗斜纹布、棉布、丙烯酸类、 尼龙和金属的混合物、以及其它。可以进行试验，并且在每次试验中，可以从30种不同的织 物中的每种织物中提取20个散斑（例如，每种材料提取20个散斑，其中每个散斑可以来自 相同织物的不同情况）。可以从这些材料中的每种材料中的同一区域提取散斑图案。可以 应用Gabor变换，并且获得Gabor位。在第二次试验中（例如，具有两次试验），可以从每种 材料的同一区域提取散斑图案。使用FHD，可以将相同的散斑（例如，从一种材料中的同一 区域提取的散斑）与不同的散斑（例如，从不同材料中的同一区域提取的散斑）进行比较。 羊毛、尼龙、聚酯纤维、粗斜纹布和棉布的示例性结果分别示出在图11(c)至11(h)的示例 性图中。
[0123] 在示例性评估中，通过示例性实施方案评估至少两种类型的消费等级玻璃材料。 两者均可以是在玻璃中蚀刻有制造商的标志的玻璃杯。这些标志可以用作参比点，以从特 定区域提取散斑图案。对于第一种类型的玻璃，可以进行两次试验，在每次试验中，从20种 不同的玻璃材料提取20个散斑（每种材料提取一个散斑）。该示例性结果示出在图11 (i) 中的图表中。
[0124] 使用本公开内容的某些示例性实施方案，可以评估胶合板（例如，橡木磨光）桌。 可以进行两次试验，并且在每次试验中，可以从木桌中的20个区域提取20个散斑。FHD的 μ和σ值示出了关于该材料的散斑可以是独特的。
[0125] 另一个示例性评估可以包括从人体皮肤上的20个不同的区域提取20个散斑。至 少两次试验表示来自人体皮肤的散斑的FHD的μ和 〇值，并且从图来看明显的是，从人体 皮肤中提取的散斑在统计学上是独特的。
[0126] 使用本公开内容的某些示例性实施方案，可以评估指纹的统计特性，并且显示关 于22种材料的相同和不同散斑对之间的欧氏距离的直方图。例如，可以在理想的和非理想 的设置中评估所有的材料。匹配准则可以包括：如果一对指纹之间的欧氏距离小于某一阈 值，则散斑可以被视为类似的，否则它们可以被视为不同的。
[0127] 从图11(a)至图11(1)的示例性图来看明显的是，在相同指纹与不同指纹之间可 以存在明确的划分。这表明该指纹对于物理的表面是独特的，并且可以使用本公开内容的 示例性实施方案来鉴别它们。优选地，阈值可以设定为约2. 5 ;如果任何一对指纹的欧氏距 离小于或等于2. 5,则其可以为匹配，否则其可以被视为不匹配。但是，在非理想条件下，相 同指纹的欧氏距离可以移动2. 5以上。因此，保守的阈值可以被设置为4以识别相同指纹。 该阈值针对材料在理想和非理想条件下均可以保持良好。
[0128] 示例性非理想条件
[0129] 使用本公开内容的某些示例性实施方案，示例性程序也可以被应用于非理想设置 中来校验散斑指纹的稳健性。对于纸，散斑附近的区域可以被涂污，这可以改变约10%的散 斑图案。可以在塑料卡处于示例性的真实世界的条件下例如通过多次接触散斑区域来处理 塑料卡。散斑图案的变化可以为约5%至8%。对于织物，可以通过拉伸散斑被提取的区域 来模拟处理，试图将其折叠等。这可以将原始散斑改变约10%至12%。对于玻璃表面，可 以将水浇注在其上，可以清洗该区域，并且可以从制造商的标志提取散斑图案。散斑图案被 改变约5%。对于木制表面，散斑附近的区域可以被涂污。散斑图案的变化可以为约10%。 对于皮肤，可以用水洗手（例如，指关节），然后干燥，提取散斑。散斑的变化可以为约5% 至10%。对于金属和合金，可以在真实世界设置中处理该材料（如硬币），然后可以提取散 斑。则散斑的变化可以为约5 %至10 %。
[0130] 示例性物理表面重构问题
[0131] 给定散斑图案和光源，可以提供有对手（adversary)重构-产生相同或类似的散 斑图案以创建伪造的物理表面。为了理解和限定重构给定散斑的物理表面中所涉及的硬 度，可以开发多重光散射的组合模型，然后基于一定的假定证明重构给定散斑图案的物理 表面的问题是#P_hard来近似。
[0132] 散斑图案可以是例如入射在粗糙的物理结构上的相干光源或部分相干光源的多 重散射效应的二维表示（如图6中所示）。图6示出了可以表示任何表面的三维截面的示 例性立方体，其中源可以指的是部分相干光源、右侧的散斑图案、以及在示例性立方体内部 的深色（例如黑色）边，所述边表示可以入射在任意形状的粒子/对象上的边。当物理结构 尺寸远大于物理结构内部的散射波的平均路径长度时，物理结构可以被定义为是密集的。 出于实用目的，可以基于结构内的散射粒子的数量来使密度可视化。
[0133] 因此，例如令D为由多重光散射（相干或部分相干）通过密集的物理结构的效应 而导致产生的散斑图案。给定散斑图案D和输入光源的特性，可以有效地重构（准确地或 近似地）物理结构以及多重散射的物理现象，以产生相同的散斑图案的D' =D或者近似的 散斑图案D~D'（| |D-D' I |2=0(ε)，其中ε>0是小的任意常数）。
[0134] 该问题限定基本上概括了如下威胁模型（threat model):在威胁模型中，对手被 给定散斑图案D和输入光源，并且需要重构与散斑图案D近似地匹配的物理表面。在该问 题限定中可以作出两个基本假定：
[0135] ?对手不具有关于物理对象的微观结构的任何信息。对手不能访问对手试图重构 的物理表面。
[0136] ?对手可以执行任何其它物理表面的多个读数以获得表面的散斑。但是，这样做将 不会为他提供关于重构原始物理表面的任何信息。
[0137] 基于假定，对手可以优选地模拟多重散射效应来重构对象，以产生相同的散斑图 案。对手可以构造随机表面，并且希望其产生相同的散斑，但是这显然不是最优策略。接下 来，可以对散射设置一些背景，并且基于这样的背景，可以描述根据本公开内容的另一个示 例性实施方案的多重散射的示例性组合模型。
[0138] 示例性散射理论
[0139] Foldy-Lax方程可以用于提供每个粒子上的光的散射效应的离散特征。在本节中， 提供了 Foldy-Lax方程的基础，并且接下来描述了基于利用Foldy-Lax方程的模型的图以 表征多重散射效应，
[0140] Foldy-Lax方程：在一个点处的总电场由下式给出：
[0142] 可以通过数值上求解Foldy-Lax方程来计算散射波的局部和。如果示例性介质 包含非均质的任意位置的对象，则随着集群部件和它们的结构的数量逐渐增加，解决方案 可能逐渐变得病态。因此，可以作出某些近似来提供更易处理的可以求解的分析方程。 Foldy-Lax方程的远场版本可以被改写为（其中N为介质中的粒子的总数量）：
[0146] 由此看来，可以确定散射扩展的量级。
[0147] 方程的第一项可以是入射场，第二项可以是所有单散射贡献的和，第三项可以是 所有双散射贡献的和。因此，在观察点r处的总场可以包括入射场以及单散射和多重散射 贡献，总场可以分为两组。第一组可以包括对应于自回避散射路径的所有贡献；而第二组 可以包括对应于多于一次通过对象/粒子的路径的所有贡献。从这些方程，可以创建被已 知的梯形图以进一步近似散射表达式，并且最终获得可以用于各种模型的辐射传输方程 (RTE)，以预测从星际尘埃到医学成像中的人体组织性能的物理现象。
[0148] 根据本公开内容的示例性实施方案，建立在散射理论的分析构思上的多重光散射 的组合模型可以如下。对于每个粒子的构造，例如可以存在散射图G(V，E)，使得其代表对 象内的入射光的散射。令G(V，E)为图，其中边权重W代表两个顶点（u，v) e V之间的部分 散射电场的辐照度（或强度）。辐照度I可以被限定为
[0150] 其中E为电磁场向量，ε。为真空介电常数，r为介质的折射率，c为光在真空中的 速度。因此，每个边权重
[0152] 其中E_为两个粒子（或顶点）之间的散射电场。它可以直观地认为是两个顶点 或粒子之间的强度值。顶点是不具有特定结构（形状、大小、形态）的非均匀粒子，其中每 个u e V与每个V e V是独立的。所述边对部分散射光强度进行建模，并且由于光碰撞顶点 或粒子，可能发生进一步散射（例如，多重散射）。该散射可以发生直到一束或更多束光束 或光行进到介质外部为止。可以在3维空间中表示该介质，并且所产生的介质以外的辐照 度模式可以是实值数值的二维矩阵
.可以代表在该点的总辐照度。遵 循Foldy-Lax远场方程，使得可以对各个部分散射求和，在某点Du处的总电场可以是边权 重
的和，其中m为跨越顶点V' e V的边的数量。接下来，将在形式上限定该示例性 模型。
[0153] 示例性限定1 :对于每个粒子的构造，可以存在散射图G(V，E)。令G(V，E)为具有 以下特性的图：（i)边权重W为实值的正数，使得：
其中E_为顶点u，V e V 之间的部分散射场；ii)顶点V为具有任意形状的不均匀粒子；iii)D为散斑图案，散射效 应之后的结果数据的二维矩阵，其中每一项E(或D1,)表示在该点处的总辐照度E e D:
其中m为跨越V1顶点的边的数量。
[0154] 可以对该示例性模型作出若干假定以帮助对计算杂性问题进行分析。这些假定可 以被描述为如下：a)正如图G(V，E)影响散斑图案D，可以假定在某点处的辐照度D uS與 在G中受子图影响。可以存在子图（G中的多个子图）的不相交集合，该不相交集合影响某 点处的辐照度在该示例性模型中，这可以被排除考虑。b)被表示为两个顶点之间的辐 照度的边权重W可以被表示为实值数值。这可能会被保持作为二元运算符或作为振幅散射 矩阵S，当将此表示为数值可以更易于分析计算复杂度问题。将W改变成二元值将不会改变 示例性结果，仍然遵循Foldy-Lax方程以计算单个点处的辐照度
[0155] 示例性模型可以引入Bounded Oracle，其中在多项式时间中确定被边的某些部分 遍历的顶点的数量。该Oracle在如下意义上变得实际：给定某点处的辐照度5E:和其他物 理参数，对手在理论上可以对影响该特定驾:的粒子的数量放置边界。
[0156] 示例性限定2 (Bounded oracle):如果η为粒子的数量，_@为D中的某个点f处 的福射度，贝lJ在多项式时间中的Bounded oracle对被m条边遍历的顶点k的数量给出了边 界，使得
其中q是一个正整数。
[0157] 示例性定理1 :令η为任意分布在（均匀或非均质）介质中的粒子/对象的总数 量，并且
令D为在多重散射之后的结果二维散斑图案（或辐射矩阵），并且$为在D 中的点（i，j)处的辐照度。可以提供示例性图G(V，Ε)，该示例性图G(V，Ε)是由于通过η 个粒子的多重散射的效应的存在的图。令^为边权重，其被限定为两个粒子（或顶点）之 间的部分散射电场的辐照度，并且由
给出（其中Ε_为散射电场，ε。为真空介 电常数，r为介质的折射率，c为光在真空中的速度）。
[0158] 计算（或求出）影响或生成并且满足
（其中m为跨越V1顶点的边的 数量）的导出子图
并且几乎不可能近似，除非NP = RP0
[0159] 这可以表示，给定散斑图案，在物理结构内重构多个光散射路径，或者表面近似为 #P-hard，（在标准的复杂性理论假定下），因为将会需要解决#Dks问题，#Dks问题降低到 被近似为#P-hard的#CLIQUE问题。
[0160] 示例性模型是一般性的，并且还可以涉及各种用于计算散射效应的计算模型。在 示例性定理1中，假定了没有特定的粒子结构（例如，形状、容积等）。然而，在示例性的T 矩阵方法中，作为计算非球形粒子的散射效应的通用方法之一，转移矩阵可以是独立的入 射场和散射场，并且仅依赖于散射粒子的尺寸、方向和折射率。因此，可以一次计算出粒子 的T矩阵，然后其可以被用于计算该粒子的所有可能方向的散射效应。
[0161] 选择Foldy-Lax方程来模拟散斑图案，而不是其它光散射模型（例如，双向表面散 射反射分布函数、福射传输、逆光传输、T矩阵），因为不能作出近似，比如忽略Foldy-Lax方 程中的一些项或者限制散射体的数量来模拟处于微观水平的散斑图案；较小的表面变化可 以显著地改变处于显微粒度的散斑图案。该分析仅代表特定的攻击案例，其中分析仅给出 散斑图案的重构物理表面的能力。
[0162] 物理指纹识别的特征在于如下事实：任何物理表面可以以完全离线的方式进行鉴 另IJ，因为表面的紧致码可以被压印在同一平面上，以使其可自行检验。具有散斑的银行支票 可以以离线的方式进行鉴别，而不需要任何数据连接。银行还可以使用其私钥标记指纹。 用户可以使用便携式手机显微镜组合件来读取散斑，计算指纹并校验该指纹是否与支票上 的指纹匹配。如果该指纹与支票上的指纹相匹配，则该校验不复制或复印。如果该文件包 含对应于紧致码的额外特征，用户还可以利用银行的公开秘钥来校验银行是否确实标记指 纹。该机制可以适用于任何类型的纸文件，例如纸币。为了将本公开内容的示例性实施方 案应用于服装，制造