采用序列幂函数插值方法实现结构多材料拓扑优化的方法
【技术领域】
[0001]本发明涉及工程结构优化设计领域，特别涉及一种采用序列幂函数插值方法实现 结构多材料拓扑优化的方法，是一种求解受质量和材料费用约束的结构多材料拓扑优化问 题的序列幂函数插值方法。
【背景技术】
[0002] 为了在概念设计阶段得到满足性能要求的最优结构，人们对结构多材料拓扑优化 进行了深入研究，其中均匀化方法得到了广泛的应用。但已有的多材料拓扑优化方法计算 量都很大，设计变量过多以至于无法满足工程应用；同时这些方法也没有考虑材料费用的 约束。
【发明内容】
[0003] 本发明的目的在于提供一种采用序列幂函数插值方法实现结构多材料拓扑优化 的方法，解决了现有技术存在的上述问题，提出了序列幂函数插值方法处理多材料离散变 量结构拓扑优化问题，不引入多余设计变量。用序列幂函数插值方法解决多材料拓扑优化 问题，可以实现结构的高刚度、低费用和轻量化，并且与已有的算法相比，计算量更小因而 有望应用于工程实际。
[0004] 本发明的上述目的通过以下技术方案实现：
[0005] 采用序列幂函数插值方法实现结构多材料拓扑优化的方法，包括步骤如下：
[0006] 步骤一、建立连续体结构的参数化有限元模型；
[0007] 步骤二、基于有限元模型建立多材料拓扑优化数学模型；
[0008] 步骤三、构造以密度为自变量的单元弹性模量和材料费用的序列幂函数插值模 型；
[0009] 步骤四、求出目标函数、弹性模量、质量函数、费用函数和单元材料费用等响应的 灵敏度信息；
[0010] 步骤五、根据Kuhn-Tucker条件导出优化准则。
[0011] 步骤一所述的建立连续体结构的参数化有限元模型是:结构优化设计每一次迭代 都需对结构进行有限元分析，因此，首先对优化对象进行有限元建模;将连续体结构划分有 限元网格，在单元内以节点位移Ue为未知量构造出位移插值函数，根据最小势能原理导出 单元刚度矩阵L，然后将单元刚度矩阵集成为总体刚度矩阵K，最后建立线性静态有限元 方程Ku = P，其中P为结构节点力向量;多材料拓扑优化就是要确定每个单元的材料匹配问 题，属于离散变量组合优化问题，该问题计算量为(m+l) n，其中m为材料的种类，该问题计算 量巨大，以至于无法求解大型工程问题;为了解决该问题，采用带惩罚的单元密度变量来参 数化表达材料的选择，从而将离散变量优化问题转化为连续变量优化问题，降低组合优化 原问题的计算量。
[0012] 步骤二所述的基于有限元模型建立多材料拓扑优化数学模型是:在结构质量与材
[0013] 料费用的约束下，实现结构的高刚度目标，其优化数学模型如下：
[0014]
[0015] 该优化数学模型以结构应变能c为目标函数，而结构应变能c是评价刚度的标量， 应变能越小，刚度越大;K，u和P分别是相应结构的有限元总体刚度矩阵，位移向量和节点力 向量;k〇和Ue分别是不含弹性模量因子的单兀刚度矩阵及位移向量;Pe代表第e个单兀的材 料密度，即拓扑优化设计变量;匕和G是第e个单元的弹性模量和材料费用，由通过相应的 插值公式得到;I是第e个单元的体积，二维问题中代表面积，Μ和C是当前所设计的结构的 质量和费用，Ν为设计变量的个数，同时也是单元个数，Mo和Co是设计域内充满材料时的质 量和费用；~和^是给定的质量和费用系数，p min是给定的最小非零密度值来避免结构刚度 矩阵的奇异性;优化数学模型增加了材料的费用约束，除了考虑多种材料弹性模量对结构 拓扑形状的影响之外，同时也考虑了材料费用对结构拓扑形状的影响。
[0016] 步骤三所述的构造以密度为自变量的单元弹性模量和材料费用的序列幂函数插 值模型是:首先将所有候选材料的密度变量归一化[0，1 ]区间上
[0017]
(2)
[0018] 其中pmax是可选材料中密度的最大值，m是材料种类数；已建立的优化数学模型要 求结构刚度大、质量轻，因此对于弹性模量我们构造出一种下凸的幂函数
[0019] Et,{p^ = Λ,^ρ'+Β,-. , p>\ 〇)
[0020] p为惩罚因子，是一个人为给定的常数;对于0#[01，01+1]丄和&由下式给出
[0021] (4)
[0022] (5)
[0023] Ei和Ei+1分别是排序后的第i和i+Ι种材料的弹性模量;对于临时的中间密度，如果 迭代过程中密度稍微增大，弹性模量就会显著增大；如果密度减小，弹性模量不会显著减 小，总体效果使得结构的刚度更大而质量更小；相应地对于材料费用我们构造出一种上凸 的幂函数
[0024] Ce(pe)=Acpe(1/p)+Bc，p ee[pmin，l]，p>l (6)
[0025] 其中对于pee [pi，pi+1]，未知系数Ac和Be由下式确定
[0026] (7)
[0027] (8)
[0028] Ci和Ci+1分别是排序后的第i和i+Ι种材料的费用;对于临时的中间密度，如果迭代 过程中密度稍微增大，材料费用不会显著增加;如果密度减小，材料费用会显著减小，总体 效果使得结构的刚度更大而材料费用更小;这样可以将临时的中间密度惩罚掉，使材料变 量趋于插值点处离散的候选材料;该插值方法简单高效，与已有的多材料拓扑优化方法相 比，不引入新的设计变量，所以计算量更小。另外概念简单，可应用于工程实际问题。
[0029] 步骤四所述的求出目标函数、弹性模量、质量函数、费用函数和单元材料费用等响 应的灵敏度息是：
[0030] 结构的应变能C、单元弹性模量Ee、结构质量Μ、结构材料费用C及单元材料费用Ce都 是关于设计变量^的函数，它们统称为结构的响应，而响应对设计变量的导数称为响应灵 敏度;其中是由设计变量"= 1二…组成的向量，N为单元总数；
[0031] 应变能函数c的灵敏度为
[0032]
(9)
[0033]上式中弹性模量Ee(Pe)的灵敏度为
[0034]
(10)[0035] 结构质量Μ的灵敏度为
[0039]上式中单元材料费用Ce(pe)的灵敏度为[0040]
(13)
[0036] (Π)
[0037]
[0038] (J2)
[0041 ]至此，得到了所有的灵敏度信息。
[0042] 步骤五所述的根据Kuhn-Tucker条件导出优化准则是:优化数学模型的极值点对 应以下函数的驻点
[0043]
[0044] 其中AU，AM，，λ/和分别是对应平衡方程约束、质量约束、费用约束和变量边界 约束的拉格朗日乘子;最终，构造以下的迭代格式
[0045]
Π 5；
[0046] 其中η为当前迭代次数;Π 为阻尼系数；if和是当前迭代步中设计变量的 上下界
[0047]
(16)
[0048] 该准则将柯科贾用约來C S ecCo也添加到（15)式的迭代格式中，并成功采用二分法 求解含有质量与费用两个约束的非线性方程组。目前传统方法只能采用二分法求解含有单 个质量约束的非线性方程组。
[0049]本发明的有益效果在于：相比于已有的多材料拓扑优化方法，本发明中用到的设 计变量更少，因此计算量也会减少许多。这就可以将该拓扑优化方法运用到大型结构的设 计中。另外，本发明除了考虑质量约束以外，还考虑了材料费用约束，因此最终得到的结构， 不仅刚度大、质量轻，而且材料费用不会增加。实用性强。
【附图说明】
[0050] 此处所说明的附图用来提供对本发明的进一步理解，构成本申请的一部分，本发 明的示意性实例及其说明用于解释本发明，并不构成对本发明的不当限定。
[0051] 图1为弹性模量的线性插值与幂函数插值；
[0052] 图2为弹性模量的序列幂函数插值；
[0053]图3为材料费用的线性插值与幂函数插值；
[0054] 图4为材料费用的序列幂函数插值；
[0055] 图5为两种材料弹性模量和费用插值曲线的四种不同情况；
[0056] 图6为桥梁结构拓扑优化问题；
[0057] 图7为桥梁结构有限元模型；
[0058] 图8为表格1中材料属性插值曲线；
[0059] 图9为迭代过程；
[0060] 图10为目标函数值的比较；
[0061] 图11为质量分数的比较；
[0062]图12为材料费用的比较。
【具体实施方式】
[0063]下面结合附图进一步说明本发明的详