一种基于奇异值分解的托普利兹结构测量矩阵构造方法
【专利摘要】本发明公开了一种基于奇异值分解的托普利兹结构测量矩阵构造方法，包括以下步骤：步骤一、首先生成一个元素由0,1组成并且服从随机分布的行向量；步骤二、然后由此向量构造托普利兹结构测量矩阵Φ；步骤三、对该测量矩阵进行奇异值分解；步骤四、对奇异值进行优化处理，即将矩阵Φ的奇异值中的最大值作为新构造矩阵的非零奇异值；步骤五、构造新的测量矩阵Φ′；步骤六、对新构造的测量矩阵Φ′进行近似处理，即负元素置0，非负元素置1，得到最终的由0,1元素组成的托普利兹结构测量矩阵Φ″。该矩阵具有计算复杂度低、存储空间少，结构简单，易于硬件实现的特点，并且重构效果良好。
【专利说明】一种基于奇异值分解的托普利兹结构测量矩阵构造方法
【技术领域】
[0001] 本发明涉及图像压缩传感【技术领域】，特别涉及压缩感知领域中托普利兹结构测量 矩阵的一种优化构造方法。
【背景技术】
[0002] 在传统的信号处理过程中，为了避免信号失真，采样速率要满足奈奎斯特采样定 律。然而对图像、视频等宽带信号的获取，依照奈奎斯特采样定律进行采样会导致采样率太 高，硬件电路难以实现，并且由于采样数据量太大，因此极大地增加了存储和传输的代价； 同时由于其数据获取模式采用先采样再压缩的模式，既浪费传感元，又浪费时间和存储空 间。
[0003] 由 Candes、Donoho 和 Tao 等人提出的压缩感知理论（Compressive Sensing, CS) 突破了传统奈奎斯特采样定律的限制，为图像采集和压缩提供了新的理论支持，压缩感知 理论指出：如果信号本身是稀疏的或在某个字典上可进行稀疏表示，那么就可以通过设计 一种测量矩阵将原始的高维信号投影到一个低维空间上，然后通过对投影到低维空间上得 到的少量的测量值求解一个非线性优化问题，就可以高概率或者精确的重构原始信号。压 缩感知最为突出的优点是可以减小采样数据，节省存储空间，将传统的数据采样和数据压 缩合二为一，大大降低了数据的获取时间和存取空间。
[0004] 测量矩阵是CS理论中的一个至关重要的环节，它对信号采样和重构算法有着重 要的影响。为了保证随机投影后信号的大部分能量能够被保持，测量矩阵必须满足有限等 距性质（Restricted Isometry Property,RIP)。然而，在实际中该条件很难用来指导设计 测量矩阵，同时，RIP原则是充分条件，而不是必要条件，为降低矩阵设计的复杂度，Donoho 提出了测量矩阵的相关性判别理论作为RIP的等价条件。从矩阵元素的随机性和确定性两 方面可以将测量矩阵分为随机测量矩阵和确定性测量矩阵。确定性矩阵是通过已知部分信 息而构造成整个测量矩阵，如托普利兹结构矩阵和循环矩阵等，这类测量矩阵是采用特定 的结构化生成方式来生成，因此矩阵可以通过快速计算，降低复杂度，并且构造速度快。然 而，这些测量矩阵都相比较高斯随机矩阵在重建效果上存在差距，要求的测量数较多；随机 测量矩阵的每个元素都服从独立同分布，因此可以尽可能的保证测量矩阵列之间的非相关 性，这样就能使用较少的采样值来获得精确的重建，如高斯随机矩阵、稀疏投影矩阵、亚高 斯随机矩阵和贝努利矩阵等。但是，随机测量矩阵有一些固有的的缺点，如占用较大存储空 间、花费较大的计算量和时间复杂度，这些都不利于硬件实现。
[0005] 目前，虽然随机测量矩阵整体上比确定性测量矩阵重建精度高，但是其本身固有 的不确定性决定了其硬件实现中的局限性。所以确定性测量矩阵是未来测量矩阵的主要研 究方向，然而，确定性测量矩阵还存在重建精度不高的缺点。由于托普利兹结构测量矩阵是 利用行向量通过循环移位生成整个矩阵，在实际应用中，这种循环移位易于硬件实现，并且 托普利兹结构测量矩阵是一种高度结构化的矩阵，矩阵的结构化使得可以通过快速计算， 降低计算复杂度。因此，本发明围绕托普利兹矩阵进行研究，通过对托普利兹矩阵进行奇异 值分解，并对该矩阵的奇异值进行优化处理，进而提高测量矩阵的列非相关性或列独立性， 从而提高其重构性能。目前，由于高斯随机矩阵、伯努利随机矩阵等随机矩阵与大多数的正 交基或者正交字典不相关，而且精确重构所需的测量数比较少，因此，此类随机矩阵非常适 合作为压缩感知理论中的测量矩阵。但是，这类随机矩阵存在以下瓶颈：（1)随机数的产生 对硬件要求很高；（2)压缩投影和信号重构过程需要进行存储和传输测量矩阵，这对系统 的要求很高；（3)随机矩阵只在统计意义下以很高的概率满足RIP和弱相干性，即不能保证 每个随机产生的矩阵都满足特定RIP或相干性条件，因而不能保证每次都精确的恢复原始 信号。由于上述随机测量矩阵在实际应用中存在以上缺点，因此确定性测量矩阵的研究对 于压缩感知理论的推广与应用尤其重要。然而，确定性测量矩阵相比高斯矩阵等随机测量 矩阵，在重建效果上存在差距，要求的测量数较多，同时对信号的稀疏度也有较高要求；实 际应用中的测量矩阵要求构造简单有效，压缩和重建效率都较高，因此设计易于硬件实现 的测量矩阵非常有意义，托普利兹测量矩阵的构造过程是用向量去生成整个矩阵，这个向 量生成整个矩阵的过程是通过循环移位来实现的，这种循环移位易于硬件实现，这也是托 普利兹矩阵被广泛研究的主要原因，同其他大多数确定性测量矩阵一样，托普利兹测量矩 阵还存在着在保证高重建精度的情况下，需要测量值的数目较多的缺点，而在很多实际应 用中测量值的获得非常昂贵的。因此，针对随机测量矩阵不易硬件实现和易于硬件实现的 托普利兹矩阵重构效果不理想的问题，本发明提出一种基于奇异值分解的托普利兹结构测 量矩阵设计方法。
【发明内容】
[0006] 针对以上现有技术中的不足，本发明的目的在于提供一种更好地提高感知效率和 降低计算复杂度，减少存储空间，并且矩阵元素由〇和1随机组成，结构简单稀疏，易于硬件 实现，重构性能好的托普利兹结构测量矩阵构造方法，本发明的技术方案如下：
[0007] -种基于奇异值分解的托普利兹结构测量矩阵构造方法，其包括以下步骤：
[0008] 101、测量得到的原始图像信号A，生成一个元素服从随机分布并且由0, 1组成的 行向量U = (Up u2,…，uN, uN+1,…，％+MH), N表示所要构造矩阵的列数，Μ表示矩阵的行数；
[0009] 102、然后由步骤101中的行向量构造托普利兹结构测量矩阵Φ ;
[0010] 103、接下来对该托普利兹结构测量矩阵Φ进行奇异值分解，并对奇异值进行优 化处理，得到新的测量矩阵Φ'，
[0011] 104、/对新构造的测量矩阵Φ'作负元素置0,非负元素置1的处理，得到最终的 由〇, 1元素组成的托普利兹结构测量矩阵Φ "，完成托普利兹结构测量矩阵Φ "的构造， 将步骤101测量得到的原始图像信号Α利用托普利兹结构测量矩阵Φ "投影到低维空间， 然后通过对投影到低维空间上得到的测量值，求解一个非线性优化方程，然后就重构原始 信号。
[0012] 进一步的，步骤102中托普利兹结构测量矩阵Φ e Rmxn(M〈N)，即
[0013]
【权利要求】
1. 一种基于奇异值分解的托普利兹结构测量矩阵构造方法，其特征在于，包括以下步 骤： 101、 测量得到的原始图像信号A，生成一个元素服从随机分布并且由0, 1组成的行向 量
，N表示所要构造测量矩阵的列数，M表示矩阵的行数； 102、 然后由步骤101中的行向量构造托普利兹结构测量矩阵〇 ; 103、 接下来对该托普利兹结构测量矩阵〇进行奇异值分解，并对奇异值进行优化处 理，得到新的测量矩阵; 104、 对新构造的测量矩阵〇 '作负元素置0,非负元素置1的处理，得到最终的由0, 1 元素组成的托普利兹结构测量矩阵〇 "，完成托普利兹结构测量矩阵〇 "的构造，将步骤 101测量得到的原始图像信号A利用托普利兹结构测量矩阵O"投影到低维空间，然后通 过对投影到低维空间上得到的测量值，求解一个非线性优化方程，然后就重构原始信号。
2. 根据权利要求1所述的基于奇异值分解的托普利兹结构测量矩阵构造方法，其特征 在于，步骤102中托普利兹结构测量矩阵OGRmxn (M〈N)，即
3. 根据权利要求2所述的一种基于奇异值分解的托普利兹结构测量矩阵构造方法，其 特征在于：
，OO是常数，K是稀疏度。
4. 根据权利要求1所述的一种基于奇异值分解的托普利兹结构测量矩阵构造方法，其 特征在于，步骤103中对矩阵OGRmxn (M〈N)进行奇异值分解，得到
其中，矩阵U、V分别为MXM，NXN的酉矩阵，满足
为矩阵O的奇异值；设
，〇)>的特征值为
），贝Ij
O
5. 根据权利要求4所述的一种基于奇异值分解的托普利兹结构测量矩阵构造 方法，其特征在于，步骤103中对奇异值进行分解的步骤为： _
..
,故得
，令
,diag表示由矩阵①的 非零奇异值构成的对角矩阵，S'表示对矩阵O的非零奇异值进行优化处理后，得到的由新 的非零奇异值构成的对角矩阵，并根据公式构造新的测量矩阵
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【文档编号】H03M7/30GK104242948SQ201410425392
【公开日】2014年12月24日 申请日期:2014年8月26日 优先权日:2014年8月26日
【发明者】王汝言, 金胜杰, 赵辉, 刘静, 王晓冰, 张鸿 申请人:重庆邮电大学