一种采用正交幅度调制的差分调制与解调方法与流程

本发明涉及一种采用正交幅度调制(QAM)的差分调制与解调方法,属于无线通信领域。

背景技术：

为了适应未来无线通信系统对传输速率和传输质量的双重需求，高维调制技术和多天线技术必定是未来无线通信系统所考虑的重点问题，可以预见，将来的无线通信系统所采用的调制技术将逐渐从传统的低维调制(如BPSK，QPSK等)向高维调制(如16QAM和64QAM等)扩展，系统所采用发射天线或接收天线数目也会越来越多，大规模天线技术将逐步成为未来无线通信的主要技术之一。但是，随着天线数目的增多，无线通信系统在信道估计方面将面临严重挑战，一方面基于导频序列的信道估计算法会面临一个导频数量不够的问题，另一方面信道估计带来的额外开销以及信道估计算法的复杂度将会随着天线数目的增加而变得难以忍受。因此在未来的无线通信系统中，差分调制技术因为不需要实时的信道估计信息而变得特别实用。

目前，差分调制技术主要针对PSK调制进行设计，因为PSK调制星座的等幅和等相位间隔特性很好地满足了符号相乘运算的封闭性。但是对于QAM调制技术，符号相乘会带来信号幅度和相位的变化，很难像PSK调制那样进行差分设计；在差分QAM调制领域，通常是基于对调制符号相乘结果的分析，设计符号相乘结果到差分调制符号的一种映射规则。如文献[1]“R.G.Egri and F.A.Homgan,“A Finite Group of Complex Integers and Its Application to Differentially Coherent Detection of QAM Signals,”IEEE Transactions on Information Theory,vol.40,no.1,pp.216-219,Jan.1994”基于16QAM调制符号的相乘结果设计了一种映射规则，将相乘之后的符号重新映射回16QAM调制星座，有效解决了符号相乘运算的非封闭性问题。文献[2]“D.Kong,X-G.Xia,and T.Jiang,“A Differential QAM Detection in Uplink Massive MIMO Systems,”IEEE Transactions on Wireless Communications,vol.15,no.9,pp.6371-6383,Sept.2016”进一步扩展了文献[1]的研究成果，将差分QAM调制从16QAM扩展到了64QAM，同时基于信道的统计特性信息，将所提差分QAM调制应用到了大规模接收天线领域。但是，文献[2]的差分QAM需要接收天线的数目足够多(通常是上百乃至上千，甚至上万)方能确保较好的解调性能；而且对于高维QAM调制，如64QAM，即使天线数目很多，其解调性能仍存在错误平台问题，这些特性极大地限制了差分QAM调制在多接收天线领域中的应用。发明人为薛伟、杨小牛、张朝阳、申请号为2010101719343、发明名称为“一种用于QAM信号差分编解码的实现方法”的专利提出了另一种基于映射的差分QAM调制方法，其通过将发送比特进行区分，一部分比特用于表达相位增量信息，由此确定信号所处象限，另一部分比特则用于表达特定象限内的具体信号星座点，该发明所提差分QAM映射方法有效克服了差分QAM调制的相位模糊问题，但仍存在难以向多天线接收领域扩展的问题。

技术实现要素：

鉴于目前差分QAM调制技术方面的局限性，本发明从多天线接收信号的合并角度出发，提出了一种采用正交幅度调制的差分调制与解调方法，基于两个QAM调制符号相除运算的差分QAM调制映射规则，有效克服了传统差分QAM调制应用于多接收天线时的局限性，特别适合在未来的无线通信系统中使用。

本发明的技术方案是按以下方式实现的：

一种采用正交幅度调制的差分调制与解调方法，由以下无线通信系统来实现，该系统包括发射机和接收机，发射机与接收机之间通过无线信道进行连接，发射机配备一根发射天线，接收机配备N根接收天线，发射机的调制器采用差分QAM调制方式，接收机的解调器采用差分QAM解调方式，发射机的调制器输出到接收机的解调器输入之间为等效基带传输信道，包括发射机侧的中频射频发射链路、无线信道以及接收机侧的中频射频接收链路，用表示系统所采用的m＝log₂(M)进制QAM调制星座，M表示QAM调制星座包含的符号个数，表示QAM调制星座包含的调制符号，则每个发射时隙可发送m比特信息，假定和分别表示发射机的调制器在t及在t+1时隙发送的QAM调制符号，h_it和h_it+1分别表示在t及在t+1时隙发射天线到第i根接收天线的信道增益，i＝1,2,...,N，并假定h_it＝h_it+1；令h_t＝[h_1t,h_2t,...,h_Nt]，可得在t和在t+1时隙进入接收机解调器的基带接收信号分别为：

y_t＝s_th_t+n_t (1)

y_t+1＝s_t+1h_t+n_t+1 (2)

其中y_t＝[y_1t,y_2t,...,y_Nt],y_t+1＝[y_1t+1,y_2t+1,...,y_Nt+1],n_t＝[n_1t,n_2t,...,n_Nt],n_t+1＝[n_1t+1,n_2t+1,...,n_Nt+1]，y_it与y_it+1分别表示第i根接收天线在t时隙和t+1时隙的基带接收信号，i＝1,2,...,N；n_it与n_it+1分别表示第i根接收天线在t时隙和t+1时隙接收到的加性高斯白噪声，噪声的均值为0，方差为σ²；

发射机的调制器包括依次相连的分组器、比特到符号映射器、差分QAM符号映射器和延迟器，延迟器的输出端接到差分QAM符号映射器的另一输入端，差分QAM符号映射器的输出端通过中频射频发射链路接到发射天线，其中分组器接收发射机发送的比特信息流，输出比特分组，送入比特到符号映射器，由其依据比特到符号的映射规则映射为一个QAM调制符号，送入差分QAM符号映射器，差分QAM符号映射器的另一个输入来自于延迟器的输出，延迟器的输入为差分QAM符号映射器的输出，即差分QAM符号映射器依据当前比特分组产生的QAM调制符号和上一时隙发送的QAM调制符号，产生当前时隙需要发送的QAM调制符号；

发射机的调制器产生差分QAM调制符号的方法，步骤如下：

一、令初始发射QAM调制符号为该符号为发射机和接收机所预知；

二、输入比特流以m＝log₂(M)比特为长度单位、由分组器进行分组，每组比特由比特到符号映射器依据比特到符号的映射规则映射为一个QAM调制符号，令代表在第t时隙由输入比特分组映射得到的QAM调制符号；

三、调制器在t时隙发出的QAM调制符号为t≥0，则在t+1时隙调制器要发送的QAM调制符号由差分QAM符号映射器通过查发射映射表T_t获得，s_t+1在表T_t中所处的行和列分别由x_t和s_t决定，用s_t+1＝T_t(x_t,s_t)表示；其中上一时隙发送的QAM调制符号s_t通过延迟器得以存储；

接收机的解调器包括依次相连的延迟器、差分QAM符号解映射器、符号到比特映射器和组合器，差分QAM符号解映射器的输入端连接中频射频接收链路，进而和接收天线相连，差分QAM符号解映射器接收来自接收天线的连续两个时隙的基带接收信号，通过解调方法获得发送的调制符号x_t的解调符号其中上一时隙的接收信号通过延迟器得以存储，解调符号送入符号到比特映射器完成QAM符号到比特序列的映射，映射获得的比特序列送入组合器进行组合，获得针对发射机所发送比特流的估计比特流；

接收机的差分QAM符号解映射器解调基带接收信号的方法，步骤如下：

一、接收机的差分QAM符号解映射器连续考察t和t+1时隙的基带接收信号y_t＝s_th_t+n_t和y_t+1＝s_t+1h_t+n_t+1，由公式(3)或(4)进行运算，获得连续两个时隙的发送调制符号s_t与s_t+1相除结果的估计值

上述H是转置符号，表示矢量或矩阵的共轭转置；

二、由下式(5)获得关于发送调制符号s_t和s_t+1的估计符号和

其中︱ ︱表示求绝对值运算符，符号及分别表示针对发送调制符号s_t与s_t+1的解调符号，min(f(x))表示求f(x)的最小值，表示求使得f(x)取最小值的x值，即表示遍历所有的调制符号s_t与s_t+1，求使得取最小值的调制符号，其结果用表示，{ }表示元素组合；

三、通过查接收映射表T_r获得发送调制符号的解调符号其中所处的行和列分别由和所决定；

上述发射映射表T_t和接收映射表T_r均为一个M×M维的矩阵，均与系统所采用的m＝log₂(M)进制QAM调制星座有关，其中接收映射表T_r中第u,u＝1,2,...,M行和第v,v＝1,2,...,M列的元素T_r(u,v)＝w,w＝1,2,...,M与发射映射表T_t中第w,w＝1,2,...,M行和第v,v＝1,2,...,M列的元素T_t(w,v)＝u,u＝1,2,...,M相对应，均表示QAM调制符号对{g_u,g_v}的相除结果将映射为一个新的QAM调制符号g_w；亦表示当前发送的QAM调制符号为g_v，输入比特所对应的QAM调制符号为g_w，则下一个时隙需要发送的QAM调制符号为g_u，根据T_t与T_r的对应关系，一旦获得了其中一个，即可获得另外一个；

上述接收映射表T_r的具体产生过程，步骤如下：

一、接收映射表T_r初始化为一个M×M维的全零矩阵；定义：任意两个QAM调制符号{g_u,g_v}的相除结果构成集合注意：如果存在两个不同的符号对{g_u,g_v}和{g_u′,g_v′}满足则他们在中为同一个元素；对应定义一个计数集合其元素表示相除结果等于的所有QAM调制符号对的个数；定义计数矢量c＝[c₁,c₂,...,c_n]，其第w＝1,2,...,M个元素c_w表示在表T_r中所有满足T_r(u,v)＝w的表元素个数，初始化为0；定义集合初始化为空集；

二、在接收映射表T_r中逐个查验T_r(u,v)＝0所对应的符号对{g_u,g_v}，如果即相除结果等于其中的一个QAM调制符号，则令T_r(u,v)＝w，c_w＝c_w+1，Ω_w＝Ω_w∪{g_w}，符号∪表示集合并算子；

三、在接收映射表T_r中逐个查验T_r(u,v)＝0所对应的符号对{g_u,g_v},通过如下方式确定一个符号对{g_u',g_v'}，以及与其对应的映射集合Ω_w'；

1)依据接收映射表T_r，将集合分割为两个集合和其中表示其元素已经在T_r表中完成了对应的映射，对应的T_r表元素为非零值，而表示其元素尚未在T_r表中完成对应的映射，对应的T_r表元素为零值；对应的计数集合亦分割为两个集合和其中表示集合中的每个相除结果所对应的QAM调制符号对的个数，而表示集合中的每个相除结果所对应的QAM调制符号对的个数；即

2)逐个考察中的元素：通过公式(6)确定离最近的集合Ω_w，由公式(7)确定与集合Ω_w之间的最小间距；

其中min(f(x))表示求f(x)的最小值，表示求使得f(x)取最小值的x值，表示接收映射表T_r中所有满足T_r(u,v)＝p的相除结果所构成的集合，其含义表示相除结果将映射为一个QAM调制符号a_y∈Ω_p表示a_y为集合Ω_p中的一个元素，c_p表示计数矢量c＝[c₁,c₂,...,c_n]的第p个元素，其含义为在当前接收映射表T_r中所有满足T_r(u,v)＝p的表元素个数；Ω_w表示与考察元素距离最近的非空集合Ω_p，符号表示考察元素与所有非空集合Ω_p的元素a_y∈Ω_p之间的最小距离；

3)由公式(8)确定一个相除结果及与其对应的映射集合Ω_w'；

符号{ }表示元素组合；

4)判断与Ω_w'的合法性：令c′＝[c₁′,c₂′,...,c_n′]＝c＝[c₁,c₂,...,c_n]，符号c′_w,w＝1,2,...,M表示在当前接收映射表T_r中所有满足T_r(u,v)＝w的表元素个数；更新元素c′_w'＝c_w'+n(g_u′/g_v′)，表示一旦与Ω_w'是合法的，则在完成本次映射后，计数符号c′_w'将在原来数值c_w'基础上增加n(g_u′/g_v′)；令表示从中刨除n(g_u′/g_v′)形成符号表示集合中的每个相除结果所对应的QAM调制符号对的个数，假定的总元素个数为L_N，则对所有的L_N个元素应该能从c′＝[c₁′,c₂′,...,c_n′]中选择出L_N个元素满足：如果能够满足，表明与Ω_w'是合法的；否则认定与Ω_w'为不合法；如果与Ω_w'不合法，则令重新执行步骤2)-4)，直到找到合法的与Ω_w'；

四、对于确定的与Ω_w'，在当前的接收映射表T_r中，逐个查验T_r(u,v)＝0所对应的符号对{g_u,g_v},如果则令T_r(u,v)＝w'，c_w'＝c_w'+1，符号∪表示集合并算子；查验完毕，返回步骤三重新执行，直到接收映射表T_r中不再包含0元素为止；

上述接收映射表T_r的产生过程可以通过参考QAM调制星座的对称性而获得简化，令表示映射T_r(u,v)＝w，根据QAM调制星座的对称性，有如下公式(9)成立：

其中因此，在接收映射表T_r的具体产生过程中只需要关注位于1/4个平面区域的相除结果就可以完成对所有相除结果的映射过程。

上述的PSK是英文Phase-Shift Keying的缩写，其汉语意思为相移键控。

所述的QAM是英文Quadrature Amplitude Modulation的缩写，其汉语意思为正交幅度调制。

所述的APSK是英文Amplitude and Phase-Shift Keying的缩写，其汉语意思为幅度相移键控。

本发明公开了一种新型的差分QAM调制与解调实现方法，在发射端，其差分QAM符号依据当前比特分组产生的QAM符号和上一时隙发送的QAM符号，通过查询发射映射表获得，在接收端，差分QAM符号的解调仅依据连续两个时隙的基带接收信号，通过查询接收映射表获得，而无需任何的实时信道估计信息；接收映射表和发送映射表存在一一对应关系，它们的产生规则是通过将两个QAM调制符号的相除结果尽可能地映射为一个离它最近的QAM调制符号。相对于已有的技术方案，本发明实现简单，性能稳定，完全消除了信道估计开销，而且不存在传统差分QAM所存在的错误平台问题，特别适用于采用维数较高的QAM调制以及大规模接收天线的无线通信系统。

附图说明

图1是本发明的差分QAM无线通信系统框图；

图2是本发明方法所采用的16QAM调制星座(用“o”表示)及两个16QAM调制符号的相除结果(用“x”表示)；图2中16QAM调制星座为

依据上述接收映射表T_r的具体产生过程，映射过程只需要关注两条直线y＝±x,x≥0所交叉的1/4个平面内的相除结果即可完成所有相除结果的映射，此时所关注交叉区域内的相除结果共有17种可能，因此实施的复杂度很低。

图3是本发明所采用的16QAM调制星座的接收映射表T_r-16QAM；

图4是本发明所采用的16QAM调制星座的发射映射表T_t-16QAM；

图3和4中A＝10，B＝11，C＝12，D＝13，E＝14，F＝15，G＝16；T_r-16QAM和T_t-16QAM存在如下对应关系：接收映射表T_r中第u,u＝1,2,...,M行和第v,v＝1,2,...,M列的元素T_r(u,v)＝w,w＝1,2,...,M与发射映射表T_t中第w,w＝1,2,...,M行和第v,v＝1,2,...,M列的元素T_t(w,v)＝u,u＝1,2,...,M相对应。

图5是本发明所采用的针对64QAM调制星座的接收映射表T_r-64QAM；其中64QAM调制星座为注意图5只给出了针对1/4个64QAM调制星座的映射关系表，而其他相除结果的映射关系可以通过参考公式(9)轻易获得，如在此不做赘述。

图6是本发明的差分16QAM调制系统与现有差分调制系统的性能对比图；无线信道为独立Rayleigh衰落信道，横坐标为接收比特信噪比，单位为分贝(dB)，纵坐标为接收的比特错误率(BER)。在图6中，N表示接收天线数目，“New 16DQAM”为本发明所提差分16QAM方案，“Old 16DQAM”为文献[2]“D.Kong,X-G.Xia,and T.Jiang,“A Differential QAM Detection in Uplink Massive MIMO Systems,”IEEE Transactions on Wireless Communications,vol.15,no.9,pp.6371-6383,Sept.2016”所提差分16QAM方案，16DAPSK为文献“F.Adachi and M.Sawahashi,“Decision Feedback Differential Detection of Differentially Encoded 16APSK Signals,”IEEE Transactions on Communications,vol.44,no.4,pp.416-418,Apr.1996.”所提差分16APSK方案。从仿真结果图6来看，在接收天线数目小于500时，本发明方案相对于传统的DQAM和DAPSK方案均具有明显性能优势。

图7是本发明的差分64QAM调制系统与现有差分64QAM调制系统的性能对比图。无线信道为独立Rayleigh衰落信道。考虑到，对于较高的调制星座维数，DAPSK不仅设计困难，而且性能会比较差，因此仿真结果中并未提及。在图7中，N表示接收天线数目，“New 64DQAM”为本发明所提差分64QAM方案，“Old 64DQAM”为文献[2]“D.Kong,X-G.Xia,and T.Jiang,“A Differential QAM Detection in Uplink Massive MIMO Systems,”IEEE Transactions on Wireless Communications,vol.15,no.9,pp.6371-6383,Sept.2016”所提差分64QAM方案，从仿真结果图7来看，本发明方案完全克服了现有差分QAM方案在调制星座维数较高时所存在的错误平台问题；而且新方案在发送端不需要做任何的算法运算，只需要简单的查表即可获得发送符号；在接收端只需要考虑两个连续接收时隙的接收信号就可以完成解调过程，无需任何的信道估计过程，因此颇具实用性，尤其是对于未来无线通信为追求高传输速率而采用大规模天线的情况下。

具体实施方式

下面结合实施例对本发明作进一步说明，但不限于此。

实施例：

一种采用正交幅度调制的差分调制与解调方法，由以下无线通信系统来实现，如图1所示，该系统包括发射机和接收机，发射机与接收机之间通过无线信道进行连接，发射机配备一根发射天线，接收机配备N根接收天线，发射机的调制器采用差分QAM调制方式，接收机的解调器采用差分QAM解调方式，发射机的调制器输出到接收机的解调器输入之间为等效基带传输信道，包括发射机侧的中频射频发射链路、无线信道以及接收机侧的中频射频接收链路，用表示系统所采用的m＝log₂(M)进制QAM调制星座，M表示QAM调制星座包含的符号个数，表示QAM调制星座包含的调制符号，则每个发射时隙可发送m比特信息，假定和分别表示发射机的调制器在t及在t+1时隙发送的QAM调制符号，h_it和h_it+1分别表示在t及在t+1时隙发射天线到第i根接收天线的信道增益，i＝1,2,...,N，并假定h_it＝h_it+1；令h_t＝[h_1t,h_2t,...,h_Nt]，可得在t和在t+1时隙进入接收机解调器的基带接收信号分别为：

y_t＝s_th_t+n_t (1)

y_t+1＝s_t+1h_t+n_t+1 (2)

其中y_t＝[y_1t,y_2t,...,y_Nt],y_t+1＝[y_1t+1,y_2t+1,...,y_Nt+1],n_t＝[n_1t,n_2t,...,n_Nt],n_t+1＝[n_1t+1,n_2t+1,...,n_Nt+1]，y_it与y_it+1分别表示第i根接收天线在t时隙和t+1时隙的基带接收信号，i＝1,2,...,N；n_it与n_it+1分别表示第i根接收天线在t时隙和t+1时隙接收到的加性高斯白噪声，噪声的均值为0，方差为σ²；

发射机的调制器包括依次相连的分组器、比特到符号映射器、差分QAM符号映射器和延迟器，延迟器的输出端接到差分QAM符号映射器的另一输入端，差分QAM符号映射器的输出端通过中频射频发射链路接到发射天线，其中分组器接收发射机发送的比特信息流，输出比特分组，送入比特到符号映射器，由其依据比特到符号的映射规则映射为一个QAM调制符号，送入差分QAM符号映射器，差分QAM符号映射器的另一个输入来自于延迟器的输出，延迟器的输入为差分QAM符号映射器的输出，即差分QAM符号映射器依据当前比特分组产生的QAM调制符号和上一时隙发送的QAM调制符号，产生当前时隙需要发送的QAM调制符号；

发射机的调制器产生差分QAM调制符号的方法，步骤如下：

一、令初始发射QAM调制符号为该符号为发射机和接收机所预知；

二、输入比特流以m＝log₂(M)比特为长度单位、由分组器进行分组，每组比特由比特到符号映射器依据比特到符号的映射规则映射为一个QAM调制符号，令代表在第t时隙由输入比特分组映射得到的QAM调制符号；

三、设调制器在t时隙发出的QAM调制符号为t≥0，则在t+1时隙调制器要发送的QAM调制符号由差分QAM符号映射器通过查发射映射表T_t获得，s_t+1在表T_t中所处的行和列分别由x_t和s_t决定，用s_t+1＝T_t(x_t,s_t)表示；其中上一时隙发送的QAM调制符号s_t通过延迟器得以存储；

接收机的解调器包括依次相连的延迟器、差分QAM符号解映射器、符号到比特映射器和组合器，差分QAM符号解映射器的输入端连接中频射频接收链路，进而和接收天线相连，差分QAM符号解映射器接收来自接收天线的连续两个时隙的基带接收信号，通过解调方法获得发送的调制符号x_t的解调符号其中上一时隙的接收信号通过延迟器得以存储，解调符号送入符号到比特映射器完成QAM符号到比特序列的映射，映射获得的比特序列送入组合器进行组合，获得针对发射机所发送比特流的估计比特流；

接收机的差分QAM符号解映射器解调基带接收信号的方法，步骤如下：

一、接收机的差分QAM符号解映射器连续考察t和t+1时隙的基带接收信号y_t＝s_th_t+n_t和y_t+1＝s_t+1h_t+n_t+1，由公式(3)或(4)进行运算，获得连续两个时隙的发送调制符号s_t与s_t+1相除结果的估计值

二、由下式(5)获得关于发送调制符号s_t和s_t+1的估计符号和

其中︱ ︱表示求绝对值运算符，符号及分别表示针对发送调制符号s_t与s_t+1的解调符号，min(f(x))表示求f(x)的最小值，表示求使得f(x)取最小值的x值，即表示遍历所有的调制符号s_t与s_t+1，求使得取最小值的调制符号，其结果用表示，{ }表示元素组合；

三、通过查接收映射表T_r获得发送调制符号的解调符号其中所处的行和列分别由和所决定；

上述发射映射表T_t和接收映射表T_r均为一个M×M维的矩阵，均与系统所采用的m＝log₂(M)进制QAM调制星座有关，其中接收映射表T_r中第u,u＝1,2,...,M行和第v,v＝1,2,...,M列的元素T_r(u,v)＝w,w＝1,2,...,M与发射映射表T_t中第w,w＝1,2,...,M行和第v,v＝1,2,...,M列的元素T_t(w,v)＝u,u＝1,2,...,M相对应，均表示QAM调制符号对{g_u,g_v}的相除结果将映射为一个新的QAM调制符号g_w；亦表示当前发送的QAM调制符号为g_v，输入比特所对应的QAM调制符号为g_w，则下一个时隙需要发送的QAM调制符号为g_u，根据T_t与T_r的对应关系，一旦获得了其中一个，即可获得另外一个；

上述接收映射表T_r的具体产生过程，步骤如下：

一、接收映射表T_r初始化为一个M×M维的全零矩阵；定义：任意两个QAM调制符号{g_u,g_v}的相除结果构成集合注意：如果存在两个不同的符号对{g_u,g_v}和{g_u′,g_v′}满足则他们在中为同一个元素；对应定义一个计数集合其元素表示相除结果等于的所有QAM调制符号对的个数；定义计数矢量c＝[c₁,c₂,...,c_n]，其第w＝1,2,...,M个元素c_w表示在表T_r中所有满足T_r(u,v)＝w的表元素个数，初始化为0；定义集合初始化为空集；

二、在接收映射表T_r中逐个查验T_r(u,v)＝0所对应的符号对{g_u,g_v}，如果即相除结果等于其中的一个QAM调制符号，则令T_r(u,v)＝w，c_w＝c_w+1，Ω_w＝Ω_w∪{g_w}，符号∪表示集合并算子；

三、在接收映射表T_r中逐个查验T_r(u,v)＝0所对应的符号对{g_u,g_v},通过如下方式确定一个符号对{g_u',g_v'}，以及与其对应的映射集合Ω_w'；

1)依据接收映射表T_r，将集合分割为两个集合和其中表示其元素已经在T_r表中完成了对应的映射，对应的T_r表元素为非零值，而表示其元素尚未在T_r表中完成对应的映射，对应的T_r表元素为零值；对应的计数集合亦分割为两个集合和其中表示集合中的每个相除结果所对应的QAM调制符号对的个数，而表示集合中的每个相除结果所对应的QAM调制符号对的个数；即

2)逐个考察中的元素：通过公式(6)确定离最近的集合Ω_w，由公式(7)确定与集合Ω_w之间的最小间距；

其中min(f(x))表示求f(x)的最小值，表示求使得f(x)取最小值的x值，表示接收映射表T_r中所有满足T_r(u,v)＝p的相除结果所构成的集合，其含义表示相除结果将映射为一个QAM调制符号a_y∈Ω_p表示a_y为集合Ω_p中的一个元素，c_p表示计数矢量c＝[c₁,c₂,...,c_n]的第p个元素，其含义为在当前接收映射表T_r中所有满足T_r(u,v)＝p的表元素个数；Ω_w表示与考察元素距离最近的非空集合Ω_p，符号表示考察元素与所有非空集合Ω_p的元素a_y∈Ω_p之间的最小距离；

3)由公式(8)确定一个相除结果及与其对应的映射集合Ω_w'；

符号{ }表示元素组合；

4)判断与Ω_w'的合法性：令c′＝[c₁′,c₂′,...,c_n′]＝c＝[c₁,c₂,...,c_n]，符号c′_w,w＝1,2,...,M表示在当前接收映射表T_r中所有满足T_r(u,v)＝w的表元素个数；更新元素c′_w'＝c_w'+n(g_u′/g_v′)，表示一旦与Ω_w'是合法的，则在完成本次映射后，计数符号c′_w'将在原来数值c_w'基础上增加n(g_u′/g_v′)；令表示从中刨除n(g_u′/g_v′)形成符号表示集合中的每个相除结果所对应的QAM调制符号对的个数，假定的总元素个数为L_N，则对所有的L_N个元素应该能从c′＝[c₁′,c₂′,...,c_n′]中选择出L_N个元素满足：如果能够满足，表明与Ω_w'是合法的；否则认定与Ω_w'为不合法；如果与Ω_w'不合法，则令重新执行步骤2)-4)，直到找到合法的与Ω_w'；

四、对于确定的与Ω_w'，在当前的接收映射表T_r中，逐个查验T_r(u,v)＝0所对应的符号对{g_u,g_v},如果则令T_r(u,v)＝w'，c_w'＝c_w'+1，符号∪表示集合并算子；查验完毕，返回步骤三重新执行，直到接收映射表T_r中不再包含0元素为止；

上述接收映射表T_r的产生过程可以通过参考QAM调制星座的对称性而获得简化，令表示映射T_r(u,v)＝w，根据QAM调制星座的对称性，有如下公式(9)成立：

其中因此，在接收映射表T_r的具体产生过程中只需要关注位于1/4个平面区域的相除结果就可以完成对所有相除结果的映射过程。