一种在有限状态机上构造混沌的系统的制作方法

本发明属于信息安全领域，更具体地，涉及一种在有限状态机上构造混沌的系统。

背景技术：

混沌密码是一种新型密码技术，有简单、高效、安全等特点。混沌密码技术是混沌理论及其技术的一个重要的应用领域。

但是，连续混沌在数字世界会发生坍塌，即当连续混沌在计算机或其他有限精度的器件上实现时，诸如非周期性、初值敏感性这些原本属于连续相空间的动力学行为都会消失。这种条件下生成的混沌序列将出现短周期、低线性复杂度、强相关、非遍历性等特性退化现象。特征退化导致基于有限状态机上“混沌”系统的研究和应用“失真”，因而限制了混沌密码技术的应用，亟需研究有限状态空间上混沌的构造理论及其实现技术。

现有的改善数字混沌系统动力学退化现象的技术，在应用层面上，大致有以下三种类别：

1)提高计算精度

2)多个数字“混沌”系统的级联

3)扰动系统的参数或者状态

这些方案虽然在一定程度上能改善数字系统的混沌特性，但是缺乏严格的数学证明，所得到的都不是严格数学意义的混沌。在理论方面，考虑到混沌是定义在点集拓扑空间上的一类连续映射，其状态空间是无穷的，相关研究大致可以分为两类：一是利用元胞自动机(无穷状态机)来描述混沌所拥有的无穷状态空间，虽然不会导致状态空间坍塌，但是无穷长的序列难以在有限状态机上实现；二是通过引入真随机序列使确定性的迭代系统变成随机迭代系统，随机系统的输出序列固然具有部分混沌动力学特性，但这种做法却违背了混沌的本质，此外，随机序列持续影响迭代映射，为了产生与发送方相同的密钥流序列，接收方必须产生与发送方完全同步的真随机序列，这显然是无法实现的。上述两类研究严格证明了构造映射的混沌性，但这些方案在有限状态机上是无法实现的。

现有应用方面的研究大都只关注如何去改善系统的短周期、强自相关等动力学性能，以减弱动力学退化的影响，但不能构造出严格数学意义下的混沌。这将导致在密码设计的实际应用中必然会存在安全隐患。理论方面的研究虽然都构造出了符合严格数学定义的混沌，但在实现中仍然存在一些问题。

因此，研究有限状态空间上严格数学意义下混沌的构造理论及其合理有效的实现技术，实现在有限状态机上构造混沌，是亟待解决的问题。

技术实现要素：

针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种在有限状态机上构造混沌的系统，由此解决现有的数字混沌系统因有限字长效应导致的特性退化、同时无法构造出严格数学意义下在有限状态机上实现混沌的技术问题。

为实现上述目的，本发明提供了一种在有限状态机上构造混沌的系统，包括：数字模块、混沌模块和控制耦合模块，

所述数字模块，用于在有限状态机上生成数字序列；

所述混沌模块，用于生成混沌序列；

所述控制耦合模块，用于利用混沌序列对数字模块进行外反馈混沌反控制，构造有限状态机上的数字混沌。

所述连续混沌子模块，用于利用连续混沌系统的数学模型生成混沌序列；

所述离散混沌子模块，用于利用离散混沌系统的数学模型生成混沌序列；

所述混杂混沌子模块，用于利用混杂混沌系统的数学模型生成混沌序列。

进一步地，所述连续混沌系统的数学模型为：

其中，为对y(t)的微分，f(y(t))为关于y(t)的非线性函数，a为常数矩阵，y(t)为连续混沌系统的状态变量，为连续混沌系统的非线性部分，y(0)和y0为初始条件；

所述离散混沌系统的数学模型为：yi+1＝f(u，yi)，

其中，yi+1为第i+1次迭代的状态值，yi为第i次迭代的状态值，u为离散混沌系统的参数，f(u，yi)为迭代映射；

将连续混沌系统的数学模型和离散混沌系统的数学模型相互作用得到混杂混沌系统的数学模型；

多个连续混沌系统的状态变量或者多次迭代的状态值组成混沌序列。

进一步地，数字模块的数学模型为：

xi+1＝fp(xi)

其中，xi是第i次迭代的状态变量，xi+1是第i+1次迭代的状态变量，fp＝gp(f)表示迭代映射f在给定精度下进行，gp表示量化函数，量化函数包括：floorp(·)，roundp(·)，ceilingp(·)，多次迭代的状态变量组成数字序列。

进一步地，数字混沌由多次迭代的数字混沌的状态值组成，所述数字混沌的数学模型为：

xi+1＝(fp(xi)+gp(b·y(ti)))modα

其中，xi+1为第i+1次迭代的数字混沌的状态值，xi为第i次迭代的数字混沌的状态值，fp(xi)为迭代映射f在给定精度下进行，gp(b·y(ti))为对b·y(ti)的量化，b为耦合系数矩阵，α为预设参数，y(ti)为混沌序列中的状态变量或者状态值。

进一步地，数字混沌用于构造混沌信号。

进一步地，混沌信号用于设计混沌密码、构造伪随机数和保密通信。

总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，能够取得下列有益效果：

(1)本发明利用混沌序列对数字模块进行外反馈混沌反控制，设计了一种在理论上可严格证明，在有限状态机上可实现的混沌系统。同时克服了数字混沌系统因有限字长效应易导致特性退化的问题。

(2)本发明得到的数字混沌用于构造混沌信号。混沌信号用于设计混沌密码、构造伪随机数和保密通信。说明本发明系统可以用来设计新型混沌密码系统，同时也可作为一种伪随机数产生器。

附图说明

图1为一种在有限状态机上构造混沌的系统的结构示意图；

图2(a)为原始logistic混沌映射状态序列图；

图2(b)为受控前数字logistic混沌映射状态序列图；

图2(c)为受控后数字logistic混沌映射状态序列图；

图3(a)为原始logistic混沌映射的相图；

图3(b)为受控前数字logistic混沌映射的相图；

图3(c)为受控后数字logistic混沌映射的相图；

图4(a)为原始logistic混沌映射状态序列的自相关函数图；

图4(b)为受控前数字logistic混沌映射状态序列的自相关函数图；

图4(c)为受控后数字logistic混沌映射状态序列的自相关函数图；

图5(a)为原始logistic混沌映射输出序列的频率分布图；

图5(b)为受控前数字logistic混沌映射输出序列的频率分布图；

图5(c)为受控后数字logistic混沌映射输出序列的频率分布图；

图6是受控后数字logistic混沌映射在不同控制增益下的相图；

图7是受控后数字logistic混沌映射在不同控制增益下的近似熵以及原始logistic混沌映射的近似熵；

图8(a)为受控前数字正弦映射状态序列图；

图8(b)为受控后数字正弦映射状态序列图；

图9(a)为受控前数字正弦映射的相图；

图9(b)为受控后数字正弦映射的相图；

图10(a)为受控前数字正弦映射的自相关函数图；

图10(b)为受控后数字正弦映射的自相关函数图；

图11(a)为受控前数字正弦映射输出序列的频率分布图；

图11(b)为受控后数字正弦映射输出序列的频率分布图；

图12为受控后数字正弦映射在不同控制增益下的近似熵；

图13为受控后数字线性映射的状态序列图；

图14为受控后数字线性映射的相图；

图15为受控后数字线性映射状态序列的自相关函数图；

图16为受控后数字线性映射输出序列的频率分布图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。

如图1所示，一种在有限状态机上构造混沌的系统，包括：数字模块、混沌模块和控制耦合模块，

所述数字模块，用于在有限状态机上生成数字序列；

所述混沌模块，用于生成混沌序列；

所述控制耦合模块，用于利用混沌序列对数字模块进行外反馈混沌反控制，构造有限状态机上的数字混沌。

数字混沌用于构造混沌信号，混沌信号用于设计混沌密码、构造伪随机数和保密通信。

数字模块为数字周期子模块、数字线性子模块、数字非线性子模块或者数字混沌子模块，

所述数字周期子模块，用于利用周期函数在有限状态机上生成数字序列；

所述数字线性子模块，用于利用线性函数在有限状态机上生成数字序列；

所述数字非线性子模块，用于利用非线性函数在有限状态机上生成数字序列；

所述数字混沌子模块，用于利用混沌系统在有限状态机上生成数字序列。

混沌系统包括连续混沌系统、离散混沌系统和混杂混沌系统。

进一步地，混沌模块为连续混沌子模块、离散混沌子模块或者混杂混沌子模块，

所述连续混沌子模块，用于利用连续混沌系统的数学模型生成混沌序列；

所述离散混沌子模块，用于利用离散混沌系统的数学模型生成混沌序列；

所述混杂混沌子模块，用于利用混杂混沌系统的数学模型生成混沌序列。

所述连续混沌系统的数学模型为：

其中，为对yq)的微分，f(y(t))为关于y(t)的非线性函数，a为常数矩阵，y(t)为连续混沌系统的状态变量，为连续混沌系统的非线性部分，y(0)和y0为初始条件；

所述离散混沌系统的数学模型为：yi+1＝f(u，yi)，

其中，yi+1为第i+1次迭代的状态值，yi为第i次迭代的状态值，u为离散混沌系统的参数，f(u，yi)为迭代映射；

将连续混沌系统的数学模型和离散混沌系统的数学模型相互作用得到混杂混沌系统的数学模型；

多个连续混沌系统的状态变量或者多次迭代的状态值组成混沌序列。

数字模块的数学模型为：

xi+1＝fp(xi)

其中，xi是第i次迭代的状态变量，xi+1是第i+1次迭代的状态变量，fp＝gp(f)表示迭代映射f在给定精度下进行，gp表示量化函数，量化函数包括：floorp(·)，roundp(·)，ceilingp(·)，多次迭代的状态变量组成数字序列。

进一步地，数字混沌由多次迭代的数字混沌的状态值组成，所述数字混沌的数学模型为：

xi+1＝(fp(xi)+gp(b·y(ti)))modα

其中，xi+1为第i+1次迭代的数字混沌的状态值，xi为第i次迭代的数字混沌的状态值，fp(xi)为迭代映射f在给定精度下进行，gp(b·y(ti))为对b·y(ti)的量化，b为耦合系数矩阵，α为预设参数，y(ti)为混沌序列中的状态变量或者状态值。

下面通过三个实施例对具体实施的方法进行进一步的详细说明。在此需要说明的是，对于这些实施方式的说明用于帮助理解本发明，但并不构成对本发明的限定。此外，下面所描述的本发明实施方式中所选用的连续混沌模块和数字模块并不是指本发明仅能对这些特征适用，而是其他合适的混沌模块和数字模块也可以通过本发明所提出的方法进行相应的应用。

连续混沌系统选取chua混沌系统，chua混沌系统的数学模型如下：

f(x(t))＝cx(t)+0.5(d-c)×(|x(t)+1|-|x(t)-1|)

当选取参数a＝10，b＝14.87，c＝-1.27，d＝-0.65时，连续混沌系统呈现为一个双涡漩的混沌吸引子。数字模块分别选取有限状态机上的混沌映射、周期映射和线性映射进行实验，b设置为diag(γ，0，0)，计算精度设置为p＝8，即最大计算精度为2^-8。

实施例1：混沌映射，以logistic映射为例，受控数字模块的数学模型如下：

xi+1＝(gp(rxi(1-xi))+gp(γx(t)))modα

常数设置为r＝4，α＝1，γ＝20，初始值gp(x0＝0.1)＝25/2^-8，y0＝(0.5，0，0)。实验将比较原始logistic混沌映射、数字logistic映射和受控数字logistic映射的动力学行为，图2(a)是原始logistic混沌映射状态序列图，图2(b)为受控前数字logistic混沌映射状态序列图，图2(c)为受控后数字logistic混沌映射状态序列图，图2(a)-2(c)说明数字系统受chua混沌模块的反控制之后，短周期现象消失，数字模块的轨道重新变为混沌；图3(a)为原始logistic混沌映射的相图，图3(b)为受控前数字logistic混沌映射的相图，图3(c)为受控后数字logistic混沌映射的相图，图3(a)-3(c)说明数字系统受chua混沌系统的反控制之后，其轨道重新遍历整个区间，且有更复杂的相图结构，可以更好地掩盖系统参数等信息；图4(a)为原始logistic混沌映射状态序列的自相关函数图，图4(b)为受控前数字logistic混沌映射状态序列的自相关函数图，图4(c)为受控后数字logistic混沌映射状态序列的自相关函数图，图4(a)-4(c)说明数字模块受chua混沌系统的反控制之后，去除了强相关性，自相关函数重新变得和冲激函数类似；图5(a)为原始logistic混沌映射输出序列的频率分布图，图5(b)为受控前数字logistic混沌映射输出序列的频率分布图，图5(c)为受控后数字logistic混沌映射输出序列的频率分布图，图5(a)-5(c)说明数字模块受chua混沌系统的反控制之后，输出序列的频率分布被平滑化，更接近均匀分布，更利于保密通信等应用；图6是受控后的数字logistic混沌映射在不同控制增益γ下的相图，说明随着增益系数的增加，空间中的抛物线结构逐渐被破坏，最后整个相空间中已无明显结构性的特征；图7是受控后的数字logistic混沌映射在不同控制增益γ下的近似熵以及原始logistic混沌映射的近似熵，说明受控后的数字logistic混沌映射的近似熵在短暂的波动后会显著增大，外反馈的反控制方法不仅可以让受控数字映射的复杂度可控，而且可以得到比原始混沌映射更复杂的动力学特性。

实施例2：周期映射，以正弦映射为例，受控数字模块的数学模型如下：

xi+1＝(gp(ksin(xi)+l)+gp(γx(t)))modα

常数设置为k＝2，l＝1，α＝2，γ＝20，初始值gp(x0＝0.1)＝25/2^-8，y0＝(0.5，0，0)。实验将比受控前后数字映射动力学行为，图8(a)为受控前数字正弦映射状态序列图，图8(b)为受控后的数字正弦映射状态序列图，说明受控数字正弦映射没有明显周期现象，呈现出混沌现象；图9(a)为受控前数字正弦映射的相图，图9(b)为受控后的数字正弦映射的相图，说明受控后的数字正弦映射没有明显的相空间结构，具有遍历性和良好的混淆性；图10(a)为受控前数字正弦映射的自相关函数图，图10(b)为受控后的数字正弦映射的自相关函数图，说明受控后的数字正弦映射相邻轨道间的强相关性会消失，具有类似冲激函数的自相关函数；图11(a)为受控前数字正弦映射输出序列的频率分布图，图11(b)为受控后的数字正弦映射输出序列的频率分布图，说明受控后的数字正弦映射具有更加均匀的频率分布；图12为受控后的数字正弦映射在不同控制增益γ下的近似熵，说明受控数字正弦映射的近似熵在短暂的波动后会显著增大，即系统的复杂性可控。

实施例3：线性映射，受控数字模块的数学模型如下：

xi+1＝(gp(kxi+l)+gp(γx(t)))modα

常数设置为k＝2，l＝1，α＝2，γ＝20，初始值gp(x0＝0.1)＝25/2^-8，y0＝(0.5，0，0)。实验将比受控前后数字映射动力学行为，图13为受控后的数字线性映射的状态序列图，说明受控数字线性映射没有明显周期现象，呈现出混沌现象；图14为受控后的数字线性映射的相图，说明说明受控后的数字线性映射没有明显的相空间结构，具有遍历性和良好的混淆性；图15为受控后的数字线性映射状态序列的自相关函数图，说明受控后的数字线性映射相邻轨道间的强相关性会消失，具有类似冲激函数的自相关函数；图16为受控后的数字线性映射输出序列的频率分布图，说明受控后的数字线性映射具有更加均匀的频率分布。

上述实验结果表明所提出的外反馈混沌反控制方法对于混沌特性退化现象有很大程度的改善，提高了受控数字混沌系统的复杂性，甚至超越原始混沌系统；对于一般的数字系统(线性或周期系统等)，受到连续混沌系统的外反馈控制作用后变为混沌系统，该方法成功构造出有限状态空间上的混沌。

本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。