用于加解密的受控Rucklidge系统与Genesio-Tesi系统广义同步方法与流程

本发明属于可应用于保密通信的混沌同步技术领域，尤其涉及一种实现以genesio-tesi混沌系统为驱动系统，以单输入的受控rucklidge系统为响应系统的混沌同步方法。

背景技术：

混沌运动是非线性学科领域的分支，但其涉及的范围已大大超出传统的非线性学科领域界限，发展成为综合性的、交叉性的、跨领域的学科分支，很大的拓宽了人们认识非线性科学的视域，对非线性科学的认识更加深刻。

混沌也被应用于激光保密通信。一个典型的应用是混沌调制。混沌调制是1992年halle、hasler等提出的解决秘密通信中复杂的问题的一种办法，基本思想是将原始信号与一个混沌信号调制在一起进行发送；而接收器进行解调，根据混沌信号分离出原始信号；对第三方由于其不知晓该混沌信号的动态特性，因此无法解密。混沌激光保密通信的优点有：1)它是硬件加密。用收、发激光器的结构参数作为密钥，避免了算法加密的安全隐患；2)加解密的速度很快，因为它靠的是激光器的响应速度；3)由于靠激光器输出的混沌波形来隐藏信息，而不再是单光子，传输距离长；4)与现行的光纤通信系统兼容，可便利地移植现有光纤通信技术中放大、波分复用等所有技术。2005年，欧盟在第五届科技框架计划occult项目的资助下，德、法、英等七国研究者在雅典城120km的城域网中在的速率下实现了通信速率1gb/s的混沌激光保密通信。2010年，欧盟第六届科技框架计划picasso项目完成了外腔反馈混沌半导体激光器的光子集成，并在法国贝桑松100km的城域网中完成了10gb/s的混沌保密通信实验。

如此产生一个问题，对于发射机和接收机，必须有几乎一致的混沌信号，这需要有混沌同步技术来实现。混沌同步是指两个混沌系统的不同运行轨迹，随着时间的变化，同时收敛到相同的值，这两个系统的运行轨迹始终保持一致.混沌同步研究工作可以分为以下几种同步类型(参见顾葆华.混沌系统的几种同步控制方法及其应用研究,南京理工大学博士学位论文.2009.)：

1)完全同步(completesynchronization)是驱动系统和响应系统的运行轨迹完全一致，是混沌同步研究的基础。

2)广义同步(generalizedsynchronization)是驱动系统和响应系统输出的运行轨迹保持函数关系，广义同步是完全同步和投影同步的推广。

3)相位同步(phasesynchronization)是两个耦合的混沌系统能进入一个中间区域，能够保持系统运行轨迹相位的同步。

4)滞后同步(lagsynchronization)是两混沌系统的轨迹存在一个时间延迟的同步，比相位同步要求严格，比完全同步要求宽松。

5)投影同步(projectivesynchronization)是两个混沌系统保持比例关系，即频率相同，幅值保持比例关系，投影同步是完全同步的延伸。

6)组合同步(combinationsynchronization)是两个驱动系统的加权组合与响应系统同步，组合同步是完全同步和投影同步的推广。

7)复合同步(compoundsynchronization)是三个驱动系统的复合系统与响应系统同步。

除此之外，还有反同步，是指两个混沌系统的状态变量其运行轨迹频率相同、振幅相同、方向相反，即两个混沌系统的状态变量和为0的同步情况；类似地还有反相同步、部分同步等同步现象。这些同步方法均是在激光保密通信中有实用价值的技术。

技术实现要素：

为了克服已有混沌同步方法的控制品质较低的不足，本发明提供一种应用于保密通信的受控rucklidge系统与genesio-tesi系统的广义混沌同步方法，以genesio-tesi混沌系统为驱动系统，以单输入的受控rucklidge系统为响应系统，利用状态空间转换的方法设计一种混沌同步算法，实现广义同步，控制品质较高。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：

一种用于加解密的受控rucklidge系统与genesio-tesi系统广义同步方法，包括以下步骤：

1)广义混沌同步问题描述

驱动系统为genesio-tesi系统，形式如下：

其中ξ＝(ξ1,ξ2,ξ3)^t是状态变量，α、β和γ为已知实数参数；系统(1)要求存在l使得α-l＞0，同时l为如下方程的一个实数解

l³-2αl²+(α²+β)l+γ-αβ＝0(2)

以受控rucklidge系统为响应系统，形式如下：

其中x＝(x1,x2,x3)^t是状态变量，u是标量输入，a，b和c为实数参数，c＞0以及c＝α-l；

广义混沌同步要实现的目标是：响应系统(3)在与驱动系统(1)初值分别为x(t0)和ξ(t0)，响应系统轨迹经过状态反馈

u＝u(x,ξ,t)(4)

其中t表示时间，和相空间之间的状态变换

ξ＝t(x)(5)

后趋向于驱动系统的轨迹,即

这里‖·‖代表空间中向量的2-范数；

2)驱动系统的状态变换

对驱动系统(1)作如下状态变换η＝s(ξ)其中η＝(η1,η2,η3)^t

这里k和l为待定参数，ms为3阶方阵，此线性变换的逆变换为

以η为状态，系统表示为

上述系统中如果满足

则系统(9)简化为

由式(10)的第二个等式得出k＝β-l(α-l)并代入第一个等式得式(2)；

3)响应系统的状态变换

对响应系统(3)作如下状态变换y＝r(x)其中y＝(y1,y2,y3)^t

所以，这是一个线性变换，mr为3阶方阵，此线性变换的逆变换为

以y为状态，系统表示为

上述系统的前2个方程在形式于驱动系统的等价形式(11)已实现一致；

4)广义同步

现在考虑系统(14)与系统(9)的同步问题，令二者状态差为e＝η-y＝(e1,e2,e3)^t，则

设计反馈

系统表示为

对于上述系统的子系统

可以根据线性系统的经典方法设计如下控制器：

该控制器下系统(18)将在的有限时间控制内，即t1时刻实现e2(t1)＝e3(t1)＝0，设计一种控制器从t0时刻开始，经有限时间实现e2(t1)＝e3(t1)＝0，并保证此过程中控制量有连续的一阶导数并过渡到0；首先，设计预想的e2(t)为

其中p(t)为一元多项式，由于要求t1时刻到达系统(18)的原点以及u1在t＞t0范围内有连续的一阶导数，这意味着e2(t)在t1时有连续的三阶导数，实际上e2(t)和其一、二、三阶导数再t1时刻为保证连续均只能为0，即

e2(t1)＝0＝p(t1)

再考虑系统(18)的t0时刻应满足

e2(t0)＝p(t0)

由于式(21)和式(22)共给出6个条件，所以p(t0)应为5次多项式，再利用式(21)得

t0≤t≤t1

其中c0和c1为待定系数，利用式(22)的第1个式子得到

t0≤t≤t1

再由式(22)的第2个式子

t0≤t≤t1

整理得到

该e2(t)满足式(21)和式(22)的各项要求，那么

以及

明显e2(t1)＝e3(t1)＝u1(t1)＝0；

在时间t1之后，系统(17)的第一个方程成为此方程明显是大范围渐进稳定的，从而系统(17)大范围渐进稳定，说明系统(9)与系统(14)在此控制律下实现同步。

进一步，所述步骤4)中，回到系统(1)与系统(3)的广义同步问题，验证广义同步是否可以实现，过程为：

其中为矩阵的2-范数，显然在式(16)和式(28)所决定的控制律u下于是

由于范数的非负性

上式说明广义同步的要求式(6)满足，式(6)中选取

再进一步，所述方法还包括以下步骤：

5)根据广义同步的要求，当响应系统的输入设定为

u＝ξ3-(-ax1+bx2-x2x3)-u1,

其中参数t1可用于调节广义同步实现的快慢，相空间之间的状态变换设定为

其中k和l为满足以下式子

k(α-l)＝γ

l(α-l)＝β-k(34)

α-l＞0

的实数，在上述设定下，驱动系统(1)与响应系统(3)实现广义同步。

本发明的有益效果主要表现在：第一，利用基于状态空间转换的控制方法，从深层次揭示了genesio-tesi混沌系统与rucklidge混沌系统的内在关联性和统一性；第二，提出一种直接设计渐进稳定轨迹的技术，其中也包含了一种提高有限时间控制器光滑度的方法，相对于普遍采用的设计lyapunov函数的控制方法(见洪亦光,陈代展.非线性系统分析与控制.北京,科学出版社,2005.)，有利于提高控制品质；第三，采用单输入的同步，控制器简单易于电路实现；第四，通过改变参数t1-t0，可调节广义同步实现的快慢。

附图说明

图1是genesio-tesi混沌系统即驱动系统的3维相图，其参数α＝0.44、β＝1.1、γ＝1，所以k＝1.3328114068120458以及l＝-0.31029369863505435，初值为ξ1(t0)＝0.2,ξ2(t0)＝0.1,ξ3(t0)＝-0.2；

图2是响应系统的3维相图，其参数a＝2，b＝7.7并且c＝α-l＝0.75029369863505435，初值为x1(t0)＝1,x2(t0)＝1,x3(t0)＝1；

图3是误差系统的渐进稳定，其初值为e1(t0)＝-0.96447,e2(t0)＝-0.8,e3(t0)＝-0.9；

图4是控制量u1，其中参数设置如下：t1-t0＝1，即有限时间控制的时长为1秒。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步描述。

参照图1～图4，一种用于加解密的受控rucklidge系统与genesio-tesi系统广义同步方法，包括以下步骤：

1)广义混沌同步问题描述

广义混沌同步技术涉及的驱动系统为genesio-tesi系统，该系统最初于1992年被提出(genesior,tesia.harmonicbalancemethodsfortheanalysisofchaoticdynamicsinnonlinearsystems.automatica1992,28:531–548.)，人们发现其具有混沌现象，此系统也被验证可以电路实现，其具体形式如下：

其中ξ＝(ξ1,ξ2,ξ3)^t是状态变量，α、β和γ为已知实数参数，选取合适的参数，比如α＝0.44、β＝1.1、γ＝1情况下，系统呈现混沌特性。系统(1)也要求存在l使得α-l＞0，同时l为如下方程的一个实数解

l³-2αl²+(α²+β)l+γ-αβ＝0(2)

系统(1)中选取合适的参数，比如α＝0.44、β＝1.1、γ＝1情况下系统呈现混沌特性；

rucklidge系统于1992年被提出，该系统最初用来研究溶质的二维对流问题，人们发现其具有混沌现象，此系统也被验证可以电路实现。以受控rucklidge系统为响应系统，其具体形式如下：

其中x＝(x1,x2,x3)^t是状态变量，u是标量输入，a，b和c为实数参数，经典的rucklidge系统中c＝1，这里限制c＞0以及c＝α-l；

广义混沌同步要实现的目标是：响应系统(3)在与驱动系统(1)初值分别为x(t0)和ξ(t0)，响应系统轨迹经过状态反馈

u＝u(x,ξ,t)(4)

其中t表示时间，和相空间之间的状态变换

ξ＝t(x)(5)

后趋向于驱动系统的轨迹,即

这里||·||代表空间中向量的2-范数；

2)驱动系统的状态变换

对驱动系统(1)作如下状态变换η＝s(ξ)其中η＝(η1,η2,η3)^t

这里k和l为待定参数，ms为3阶方阵。此线性变换的逆变换为

以η为状态，系统表示为

上述系统中如果满足

则系统(9)简化为

由式(10)的第二个等式得出k＝β-l(α-l)并代入第一个等式得式(2)；这就是式(2)的来由。由方程组(10)也可直接解出k和l；对于α＝0.44、β＝1.1、γ＝1的情况，方程组(10)有唯一一组实数解k＝1.3328114068120458以及l＝-0.31029369863505435，此时应有b＝α-l＝0.75029369863505435＞0；

3)响应系统的状态变换

对响应系统(3)作如下状态变换y＝r(x)其中y＝(y1,y2,y3)^t

所以，这是一个线性变换，mr为3阶方阵，此线性变换的逆变换为

以y为状态，系统表示为

上述系统的前2个方程在形式于驱动系统的等价形式(11)已实现一致；

4)广义同步

现在考虑系统(14)与系统(9)的同步问题，令二者状态差为e＝η-y＝(e1,e2,e3)^t，则

设计反馈

系统表示为

对于上述系统的子系统

可以根据线性系统的经典方法设计如下控制器(见旺纳姆.线性多变量控制:一种几何方法.北京,科学出版社,1984.)

该控制器下系统(18)将在的有限时间控制内，即t1时刻实现e2(t1)＝e3(t1)＝0，但是该控制器的控制量在t1时刻仍然不为0，很容易控制过量，有一定缺陷，为此，设计一种控制器从t0时刻开始，经有限时间实现e2(t1)＝e3(t1)＝0，并保证此过程中控制量有连续的一阶导数并过渡到0；首先，设计预想的e2(t)为

其中p(t)为一元多项式，由于要求t1时刻到达系统(18)的原点以及u1在t＞t0范围内有连续的一阶导数，这意味着e2(t)在t1时有连续的三阶导数，实际上e2(t)和其一、二、三阶导数再t1时刻为保证连续均只能为0，即

e2(t1)＝0＝p(t1)

再考虑系统(18)的t0时刻应满足

e2(t0)＝p(t0)

由于式(21)和式(22)共给出6个条件，所以p(t0)应为5次多项式，再利用式(21)得

t0≤t≤t1

其中c0和c1为待定系数，利用式(22)的第1个式子得到

t0≤t≤t1

再由式(22)的第2个式子

t0≤t≤t1

整理得到

该e2(t)满足式(21)和式(22)的各项要求，那么

以及

明显e2(t1)＝e3(t1)＝u1(t1)＝0；

在时间t1之后，系统(17)的第一个方程成为此方程明显是大范围渐进稳定的，从而系统(17)大范围渐进稳定，说明系统(9)与系统(14)在此控制律下实现同步。

回到系统(1)与系统(3)的广义同步问题，验证广义同步是否可以实现，过程为：

其中为矩阵的2-范数，显然在式(16)和式(28)所决定的控制律u下于是

由于范数的非负性

上式说明广义同步的要求式(6)满足，式(6)中选取

5)根据广义同步的要求，当响应系统的输入设定为

u＝ξ3-(-ax1+bx2-x2x3)-u1,

其中参数t1可用于调节广义同步实现的快慢，相空间之间的状态变换设定为

其中k和l为满足以下式子

k(α-l)＝γ

l(α-l)＝β-k(34)

α-l＞0

的实数，在上述设定下，驱动系统(1)与响应系统(3)实现广义同步。

为验证本广义同步技术，利用matlab软件仿真了genesio-tesi混沌系(3)的3维相图，其中控制器u的设定遵循了式(32)(见图2)；仿真了误差系统(17)及其控制量，其中控制器u1也遵循式(32)(见图3和图4)。

图1～图3中的初值是有关联的。图1中ξ状态下驱动系统的初值经过状态变换(7)后成为η状态下的初值，图2中x状态下响应系统的初值经过状态变换(12)后成为y状态下的初值，η状态下的初值减y状态下的初值得到误差系统e状态下的初值。

图1与图2相图形态上有一定程度相似，但不完全一致，这是由于二者为广义同步，只有经过状态变换才能成为渐进的轨迹。

图3误差系统能渐进稳定到原点，但轨迹有一处具有较光滑过渡的转折，这是由于采用了有限时间控制，至转折处也就是t1时刻附近e2和e3已经到达0。转折处之后，误差系统的控制量归0，而e1依靠误差系统本身的动态特性趋向0，所以存在转折是合理的。控制量u1在t1处有连续一阶导数(见图4)，但无二阶导数；如果设计控制量u1在t1处仅连续但无一阶导数，t1处光滑度将下降，好处是此时不必要求相应地e2(t)多项式的阶次降低，控制器能较简单。