基于非线性热传导模型最大化基础设施网络可靠性的方法

1.本发明属于物联网技术领域，具体涉及一种最大化基础设施网络可靠性的方法。


背景技术：

2.大型基础设施网络的可靠性作为复杂网络领域中的一个重要且富有挑战性的研究问题，近年来受到越来越多的研究学者关注。但是现实中的网络，尤其是大型基础设施网络，网络级联失效对于提升网络可靠性有着举足轻重的作用。一旦网络中的某些节点或边受到恶意攻击，整个网络会面临瘫痪的风险。例如在电网网络、机场网络和道路网络中，网络级联失效对于整个网络的打击是致命的。因此，研究如何在网络级联失效之后尽可能恢复网络原始功能的研究是是非必要的。
3.通过对以往相关研究的总结发现目前提升网络可靠性的相关研究主要是基于动态或静态网络拓扑研究，从评估、预测和恢复三个层次进行研究。大部分都只关注网络拓扑结构的变化，或者查找边交换(edge swap，es)或边相加(edge addition，ea)的最佳数据集合来最大化网络可靠性。es策略通过将网络拓扑结构改变为特定的洋葱状结构来提高网络的可靠性。但对于大型网络来说计算开销很大，并且对原有的网络功能有很大的影响。ea策略通过添加适当的边恢复网络，但往往会带来计算开销的问题，如最近提出的后向添加算法pa(posteriorly addition)然而，es和ea都不能对网络可靠性进行全局优化。此外，它们也不能保持原有的网络拓扑特征。
4.目前在这一领域已有大量开创性的研究工作，但现有的大多数研究集中在对关键节点提供保护措施或利用线性模型评估网络可靠性，且这些方法都在不同程度上改变了原有的网络结构。但对提高网络可靠性的非线性模型的研究相对较少，主要是因为非线性建模的方法会大幅提升算法计算复杂度且对原始网络拓扑结构的破坏程度较大。
5.所以如何在网络崩溃后通过es/ea此类方法修改尽可能少的边最大限度的恢复网络原始功能，并保证在网络恢复过程中考虑最大化网络恢复力增量，是目前大型基础设施网络可靠性提升面临的难题。


技术实现要素：

6.为了克服现有技术的不足，本发明提供了一种基于非线性热传导模型最大化基础设施网络可靠性的方法，首先将热传导模型映射到基础设施网络模型上；然后在映射后的模型上输入原始网络拓扑；利用社团划分算法将原始网络划分为若干个社团，查找并排序每个社团内中介中心性最低的节点，并连接这些节点中构成最小连通图的节点得到第一次要添加的理想最优边缘；用恶意攻击模型共计网络；再用算法迭代模型迭代，查找并排序攻击后的网络最大连通组件中边的序列，计算和排序每个社团内中介中心性最低节点的网络恢复力增量，得到实际要添加的最优边序列，经过循环迭代，最终输出最优边序列。本发明能够通过修改尽可能少的网络拓扑最大化网络恢复力。
7.本发明解决其技术问题所采用的技术方案包括如下步骤：
8.步骤1：将热传导模型映射到基础设施网络模型上；
9.步骤1-1：热传导模型fpu-β模型定义：
[0010][0011]
其中，是节点i以及所有链接到此节点的动能，是节点i以及所有链接到此节点的势能；hi表示节点i的哈密顿量，pi表示节点i的动量；
[0012]
步骤1-2：令节点和链路的原子具有相同的哈密顿量：
[0013][0014]
以及相同的势能：
[0015][0016]
其中，xi、xj分别是第i个节点和第j个节点偏移平衡位置的位移，ki是连接到第i个节点的连接数量，是链路上的平均权重且∈[0，1]，β是非线性常数，每条链路都被视为二维fpu-β链，此时式(3)被重新定义为：
[0017][0018]
其中，q对应相互依赖网络中恶意攻击后移除节点的百分比，g(q)是网络受到恶意攻击后仍有效的节点百分比，则失效节点百分比为1-g(q)；
[0019]
步骤1-3：对于两个连接到初始故障源的节点i0和j0，使用固定边界的方法，用langevin模型对故障源进行模拟，不相关强度由langevin模型动力学摩擦系数γ决定，且γ∈[1，100)；
[0020]
则其他节点的运动遵循正则方程：
[0021][0022]
其中，qi表示节点i的关键阈值；
[0023]
让langevin源节点作用于节点i0和j0，分别计算他们在qr、q
l
和q
t
临界值处的边的添加数目k：
[0024][0025]
其中，p
l
、p
t
和pr分别表示关键阈值q
l
、q
t
和qr处的节点动量；x
l
、x
t
和xr分别表示关键阈值q
l
、q
t
和qr处的节点偏离平衡位置的位移；γ
l
、γ
t
和γr分别表示关键阈值q
l
、q
t
和qr处的高斯白噪声，且满足：
[0026]
[0027]
其中，kb是boltzmann常数，k
qt
是临界值q
t
处的网络中添加边的数量；δ(.)是误差补偿函数；γ
l，r，t
(q
t
)表示q
t
处的高斯白噪声；
[0028]
步骤1-4：当网络将达到平衡状态即网络弹性最大时，此时每个节点的局部边增定义为：
[0029][0030]
局部能量密度定义为：
[0031][0032]
其中，x
i-1
表示节点i后向节点偏离平衡位置的位移；
[0033]
沿链路的热流定义为：
[0034][0035]
其中，v表示当前链路势能总和；
[0036]
量纲分析：
[0037]
其中，u＝u(t，x，y，z)为热运动的表征量(在空间取定直角坐标系(x，y，z))；k是扩散率，c是比热容，ρ是材料密度，t是扩散传播时间，是扩散传播距离x的变化率，表示单位时间下的产热量；
[0038][0039]
其中，j表示扩散时的焦耳热量；s、m、k分别表示传播面积、材料质量和华氏温度；
[0040]
则扩散传播距离与扩散时间之间的关系：
[0041]
x2∝
a2t
ꢀꢀꢀ
(13)
[0042]
弹性势能增量的计算：
[0043][0044]
其中，gi(q)表示网络受到恶意攻击移除q节点后在i状态处的有效节点百分比，g0(q)表示网络受到恶意攻击移除q节点后在初始状态处的有效节点百分比；
[0045]
在q
t
、qr、q
l
三个临界值处分别研究添加不同数量的边之后的弹性势能变化情况：
[0046][0047]
其中，x
i-δ
表示距离节点i位置差为δ的节点偏离平衡位置的位移；x
j-δ
表示距离节点j位置差为δ的节点偏离平衡位置的位移；
[0048]
将式(15)代入公式(1)，得到热量在网络不同临界值时的系统动能与势能如公式(16)所示：
[0049]
[0050][0051]
步骤2：在映射后的模型上输入基础设施网络模型的网络拓扑；
[0052]
步骤3：利用社团划分算法将基础设施网络模型的网络拓扑划分为若干个社团，查找并排序每个社团内中介中心性最低的节点，并连接这些节点中构成最小连通图的节点得到理想最优边序列；
[0053]
步骤4：用恶意攻击模型攻击基础设施网络模型，同时使用广度优先算法存储失效节点序列；
[0054]
步骤5：用算法迭代模型进行迭代，恢复网络；
[0055]
步骤5-1：查找并排序攻击后的网络最大连通组件中边的序列；
[0056]
步骤5-2：计算和排序每个社团内中介中心性最低节点的网络恢复力增量δvi，即网络的弹性势能，得到实际最优边序列；
[0057]
步骤5-3：判断实际最优边序列是否小于等于理想最优边序列，如果是就执行步骤6；如果否，就添加新的边序列更改网络拓扑结构，并最大化网络弹性系数，返回步骤5-1；
[0058]
步骤6：输出最优边序列。
[0059]
优选地，所述β＝2，γ＝1，kb＝1。
[0060]
优选地，所述恶意攻击模型为ci或had模型。
[0061]
优选地，所述算法迭代模型为ji或gs或sor模型。
[0062]
优选地，所述社团划分算法为leiden。
[0063]
优选地，所述步骤5-3中添加新的边序列时新增加的边必须是位于网络剩余最大连通片内，且按照中介中心性由低到高的序列添加。
[0064]
优选地，所述网络弹性系数r为：
[0065][0066][0067]
其中，代表社团间不相关程度，是社团问重叠节点的个数，n代表网络节点总数。
[0068]
本发明的有益效果如下：
[0069]
本发明克服以往es/ea算法在提高网络恢复力的同时对网络拓扑造成不同程度的破坏的不足。通过一次添加多条边在提高网络恢复力的同时保证了网络拓扑稳定，并最大化网络弹性。
附图说明
[0070]
图1是本发明方法流程图。
[0071]
图2是本发明实施例在不同攻击模型和不同临界阈值下的结果图。(a)ji迭代模型下ci和had攻击模型在不同临界阈值下的结果；(b)gs迭代模型下ci和had攻击模型在不同临界阈值下的结果；(c)sor迭代模型下ci和had攻击模型在不同临界阈值下的结果。
[0072]
图3是本发明实施例采用ma算法、pa算法和ea算法得到网络可靠性r与添加的边百分比q之间的关系图。(a)er网络中ci和had攻击下的实验结果；(b)us powergrid网络中ci
和had攻击下的实验结果；(c)openflights网络中ci和had攻击下的实验结果。
[0073]
图4是本发明实施例在本发明方法作用下，网络可靠性r与网络模块化q之间的关系图。(a)er网络中不同条件下的实验结果；(b)us powergrid网络中不同条件下的实验结果；(c)openf1ights网络中不同条件下的实验结果。
具体实施方式
[0074]
下面结合附图和实施例对本发明进一步说明。
[0075]
本发明的目的是提供一种基于非线性热传导模型最大化大型基础设施网络可靠性的方法，在保证网络可靠性的前提下，尽可能保证原始的网络拓扑不被破坏，并通过引入新的网络可靠性评估指标(社团不相关性)来评估所提方案的有效性。
[0076]
一种基于非线性热传导模型最大化基础设施网络可靠性的方法，包括如下步骤：
[0077]
步骤1：将热传导模型映射到基础设施网络模型上；
[0078]
步骤1-1：热传导模型fpu-β模型定义：
[0079][0080]
其中，是节点i以及所有链接到此节点的动能，是节点i以及所有链接到此节点的势能；pi表示节点i的动量；n
ij
是链路i
→
j上的节点个数，链路上的每个节点连接仅链接到其最近的两个邻居，而节点i连接到其ki个最近的邻居上。
[0081]
步骤1-2：令节点和链路的原子具有相同的哈密顿量：
[0082][0083]
以及相同的势能：
[0084][0085]
其中，xi、xj分别是第i个节点和第j个节点偏移平衡位置的位移，ki是连接到第i个节点的连接数量，是链路上的平均权重且β是非线性常数，设为2，每条链路都被视为二维fpu-β链，此时式(3)被重新定义为：
[0086][0087]
其中，q对应相互依赖网络中恶意攻击后移除节点的百分比，g(q)是网络受到恶意攻击后仍有效的节点百分比，则失效节点百分比为1-g(q)；
[0088]
步骤1-3：对于两个连接到初始故障源的节点i0和j0，使用固定边界的方法，用langevin模型对故障源进行模拟，不相关强度由langevin模型动力学摩擦系数γ决定，且γ∈[1，100)，设为1；
[0089]
则其他节点的运动遵循正则方程：
[0090][0091]
让langevin源节点作用于节点i0和j0，分别计算他们在qr、q
l
和q
t
临界值处的边的添加数目k：
[0092][0093]
满足：
[0094][0095]
其中，kb是boltzmann常数，设为1，是临界值q
t
处的网络边添加的数量；
[0096]
步骤1-4：实验运行时间步长设置为0.01，经过无量纲时间106后，当网络将达到平衡状态即网络弹性最大时，此时每个节点的局部边增定义为：
[0097][0098]
局部能量密度定义为：
[0099][0100]
沿链路的热流定义为：
[0101][0102]
量纲分析：
[0103][0104]
其中，k是扩散率，c是比热容，ρ是材料密度；
[0105][0106]
则扩散传播距离与扩散时间之间的关系：
[0107]
x2∝
a2t
ꢀꢀꢀ
(13)
[0108]
弹性势能增量的计算：
[0109][0110]
在q
t
、qr、q
l
三个临界值处分别研究添加不同数量的边之后的弹性势能变化情况：
[0111][0112]
将式(15)代入公式(1)，得到热量在网络不同临界值时的系统动能与势能如公式(16)所示：
[0113][0114][0115]
步骤2：在映射后的模型上输入基础设施网络模型的网络拓扑；
[0116]
步骤3：利用社团划分算法将基础设施网络模型的网络拓扑划分为若干个社团，查找并排序每个社团内中介中心性最低的节点，并连接这些节点中构成最小连通图的节点得到理想最优边序列；
[0117]
步骤4：用恶意攻击模型攻击基础设施网络模型，同时使用广度优先算法存储失效节点序列；
[0118]
步骤5：用算法迭代模型进行迭代，恢复网络；
[0119]
步骤5-1：查找并排序攻击后的网络最大连通组件中边的序列；
[0120]
步骤5-2：计算和排序每个社团内中介中心性最低节点的网络恢复力增量δvi，即网络的弹性势能，得到实际最优边序列；
[0121]
步骤5-3：判断实际最优边序列是否小于等于理想最优边序列，如果是就执行步骤6；如果否，就添加新的边序列更改网络拓扑结构，并最大化网络弹性系数，返回步骤5-1；
[0122]
步骤6：输出最优边序列。
[0123]
具体实施例：
[0124]
为了便于描述，下面将本发明所提算法简写为ma(multiple addition)。
[0125]
本发明设计了一种新的边添加算法ma，该算法根据共同体划分后的模块化特点，在每次迭代中增加多条边来恢复目标网络。图1展示了ma算法的整个过程。本发明采用了两个广泛应用的节点攻击模型ci(collective influence)和hda(high degree adaptive)算法，并将ji(jacabi迭代模型)、gs(gauss-seidel方法)和sor(continuous overrelax)作为迭代模型。本发明首先用社团划分算法将原网络g(v，e)划分为α个社团，并将每个社团中中间度最低的节点划分为β个社团。然后，将β中的节点连接起来，形成最小连通图。因此，最小连通图中的所有边都被视为理想的最优边理想。算法实际执行过程如算法1所示。
[0126][0127]
采用广度优先搜索(bfs)算法存储目标网络遭受攻击后失败的网络节点。最重要的是，将每个lcc的节点按间性降序排序后，可以将每个lcc的最低间性节点视为真实的。实际各节点的网络可靠性增量δvi可由式(15)计算。采用已有的迭代算法分别执行step4和
step5，直到e
real
＜e
ideal
，同时将e
real
作为最优输出。否则，返回步骤2。
[0128]
实验环境：
[0129]
本发明使用的实验数据集包括一个人工合成er网络和两个现实电网网络us powergrid和openflights。
[0130]
实验结果：
[0131]
对于网络来说，功能通常是由网络拓扑的特点决定的，在优化网络恢复能力的同时保持网络拓扑不变是至关重要的。本发明分别对er网络、us powergrid网络和openflights网络的拓扑变化进行了测试(如表1所示)，结果证明采用本发明的方案，网络被攻击后的拓扑特征变化不大。
[0132]
本实施例在使用最广泛的迭代模型ji、gs和sor下，对ma、pa和ea算法进行了1000次迭代。在ji迭代模型下，添加的边的数量占所有边的3.4％(如图2(a))，在gs迭代模型下，添加的边数量为1.4％(如图2(b))，在sor迭代模型下，添加的边数量为2.3％(如图2(c))。需要注意的是，本发明采用所提出的ma算法只添加了29条边，就获得了不同攻击方式下的最大可靠性，仅占原网络中所有边的0.5％。此外，ma算法的效率是pa算法的2.2倍，ea算法的6.8倍。最后，在不同迭代模型下，该算法增加的边缘绝对误差小于12。
[0133]
在图3中，本发明采用不同颜色的曲线来模拟受ci攻击模型攻击的ma、pa和ea算法对网络可靠性r的影响。对应的三条光曲线代表hda攻击下的效果。所提出的ma在不同的攻击方式下(如图3所示)，特别是在ci的攻击下，始终显示出最佳的可靠性。具体而言，本发明在us powergrid网络中获得了最佳的网络可靠性性能，q＝0.83,ci攻击后增加的边数为原网络中所有边数的3.4％。
[0134]
本发明分别对所提ma算法的最优、次优和最差结果进行分析，其中值分别设置为为0.2、0.4、0.6和0.8的情况(如图4所示)。注意，理想的结果是当攻击方法和被攻击的边数都已知时。中间结果是在攻击方法已知但被攻击的边数未知的情况下实现的。当攻击方法和被攻击的边数都未知时，会得到脆弱的结果。
[0135]
由图4可以看出，不同网络的网络可靠性r随着社区不相关程度的增加单调增加，当社区不相关值为0.8时，网络可靠性r达到最优。特别地，提出的ma算法在高模块化的us powergrid网络中性能最好，其次是openflights网络，er网络最差。由此可见，网络模块化程度对网络可靠性有重要影响。此外，网络模块化程度越高，网络性能差异越大。
[0136]
为了进一步证明本发明的方案在所有基准测试中具有不可忽视的优越性，本发明分析了不同恢复算法的算法时间复杂度(见表2)。可以得出结论，应用最广泛的ea算法具有最低的时间复杂度，但以最差的网络可靠性为代价。此外，pa算法的性能远高于es算法，且两者的时间复杂度基本相当。显然，本发明提出的ma算法在保持高恢复率的同时考虑了时间复杂度。
[0137]
表1使用提出模型后的网络拓扑特征的变化
[0138][0139]
为网络阈值，k为网络平均聚类系数，l为网络平均路径长度，q为网络模块化程度，s为网络中强连接分量的个数。
[0140]
表2：不同算法的性能比较。
[0141][0142]
α为算法的迭代次数，k为新增加的边数，w为需要交换的边数。