基于交错网格Lowrank分解的无条件稳定地震波场延拓方法
【专利摘要】本发明涉及一种基于交错网格Lowrank算子的无条件稳定有限差分地震波场延拓方法，包括以下步骤：利用一阶速度-应力方程的Fourier积分解构建交错网格上的Lowrank算子；利用衰减函数对交错网格Lowrank算子进行衰减约束；利用加权最小二乘方法计算有限差分系数；利用得到的有限差分系数实现无条件稳定的有限差分波场延拓。本发明基于Lowrank分解近似波数-空间域算子，通过衰减约束和加权最小二乘方法得到计算稳定且精度高的优化有限差分系数，构建的有限差分计算格式能实现无条件稳定的地震波场延拓。
【专利说明】基于交错网格Lowrank分解的无条件稳定地震波场延拓方 法
【技术领域】
[0001] 本发明属于勘探地球物理学领域，具体地，涉及一种基于交错网格Lowrank算子 的无条件稳定有限差分波地震场延拓方法。
【背景技术】
[0002] 石油和天然气是关系到国计民生的重要能源。地震勘探是寻找油气资源，解决油 气勘探、开发问题的有效方法。地震正演、地震成像和地震反演是地震勘探中的重要技术， 而这三种技术的计算效率和精度都依赖于所采用的时间域地震波场延拓方法。目前最常用 的两类时间域波场延拓方法包括有限差分方法和谱方法。有限差分利用差分代替微分，具 有计算量小且容易实现的优点，被广泛应用与地震勘探技术中。有限差分的系数可以通过 Taylor级数展开或是优化算法来求取。前者可以看作是对伪谱算子级数展开的截断，而后 者可以看作是对伪谱算子在某个或某些特定频率上的最小二乘拟合。有限差分本质上是对 伪谱算子的一种近似，这种近似使得有限差分存在计算精度低，频散严重以及计算不稳定 等问题。在实际计算过程中，为了提高有限差分的计算精度，往往采用高阶的空间差分算 子，但由于计算机存储等限制，在时间上通常还是采用二阶精度的差分，因此波场延拓在时 间方向上精度较低，这也导致了频散误差严重。另外，为了保证计算的稳定，需要采用比地 震采集数据小得多的时间步长进行波场延拓，增加了计算量。
[0003] 近年来随着计算机技术的发展，在波数-空间域进行波场延拓成为可能。在波 数-空间域构建的波场延拓算子能够补偿时间离散引起的误差，即便采用大时间步长延 拓，仍能保持极高的精度和稳定性，对于依赖于波场延拓方法的地震正演、成像和反演技术 的发展具有重要意义。但是由于实际地震数据量巨大，直接利用波数-空间域算子处理实 际数据依然受到计算速度和计算存储的限制。将空间波数域算子和有限差分方法相结合， 发挥空间波数域的波场延拓算子精度高、稳定性好的优点以及有限差分计算速度快的优 点，是解决波场延拓问题的一种新思路。交错网格Lowrank有限差分方法就是基于这种思 想提出的一种新的波场延拓方法。该方法利用Lowrank分解处理波数-空间域的算子，得 到有限差分形式的计算格式，在保证精度的前提下，大大节省了计算量，并且发挥交错网格 的特点，在不增加计算量的前提下，提高计算精度。虽然该方法精度很高，但时间步长的选 择依然受到稳定性条件的限制。一种在大时间步长延拓时，能保证计算稳定的高精度波场 延拓方法对于实际地震资料的处理具有重要价值。
【发明内容】
[0004] 为了得到适用于实际地震资料处理且计算稳定的高精度地震波场延拓方法，本发 明提出了一种基于交错网格Lowrank算子的无条件稳定有限差分地震波场延拓方法，通过 对交错网格Lowrank算子加入衰减约束提高稳定性，通过考虑了频率权重的加权最小二乘 拟合提高计算精度，最后得到对任意实际步长都计算稳定的有限差分系数，并将其用于地 震波场的延拓。
[0005] 为实现上述目的，本发明的技术方案如下：
[0006] 基于交错网格Lowrank算子的无条件稳定有限差分波场延拓方法，其特征在于， 包括以下步骤：
[0007] 步骤1 :利用一阶速度-应力方程的Fourier积分解构建交错网格上的Lowrank算 子
[0008] 步骤2 :利用衰减函数对交错网格Lowrank算子进行衰减约束
[0009] 步骤3 :利用加权最小二乘方法计算有限差分系数
[0010] 步骤4 :利用得到的有限差分系数实现无条件稳定的有限差分波场延拓。
[0011] 相对于现有技术，本发明的有益效果如下：能够实现无条件稳定的高精度的地震 波场延拓，有效压制数值频散，在达到相同计算精度的条件下，预期能提高2至3倍的计算 效率。
【专利附图】
【附图说明】
[0012] 图1是基于交错网格Lowrank算子的无条件稳定有限差分波场延拓方法的流程 图。
[0013] 图2是衰减函数曲线。
[0014] 图3是频率权重函数曲线。
[0015] 图4是常规有限差分方法得到的地震波场。
[0016] 图5是加入衰减约束后的交错网格Lowrank有限差分方法得到的地震波场。
[0017] 图6是同时加入衰减约束和频率权重后的交错网格Lowrank有限差分方法得到的 地震波场。
【具体实施方式】
[0018] 如图1所示，基于交错网格Lowrank算子的无条件稳定有限差分波场延拓方法，其 特征在于，包括以下步骤：
[0019] 步骤1 :利用一阶速度-应力方程的Fourier积分解构建交错网格上的Lowrank算 子
[0020] 根据地下介质的速度和密度模型以及波场延拓参数，利用一阶速度-应力方程的 Fourier积分解在交错网格上构建波数-空间域的波场延拓算子；对波数-空间域波场延 拓算子应用Lowrank分解，得到交错网格Lowrank算子。具体方法如下：
[0021] 地震波场在地下介质中的传播可以近似的用声波方程描述。声波方程有多种形 式，其中一阶速度-应力声波方程考虑了速度和密度变化，适用于地震波场的延拓。在速度 和密度变化的介质中，一阶速度-应力方程为
【权利要求】
1. 一种基于交错网格Lowrank算子的无条件稳定有限差分地震波场延拓方法，包括以 下步骤： 步骤1 :利用一阶速度-应力纵波方程的Fourier积分解构建交错网格上的Lowrank算 子 步骤2 :利用衰减函数对交错网格Lowrank算子进行衰减约束 步骤3 :利用加权最小二乘方法计算有限差分系数 步骤4 :利用得到的有限差分系数实现无条件稳定的有限差分波场延拓。
2. 根据权利要求1所述的基于交错网格Lowrank算子的无条件稳定有限差分波场延拓 方法，其特征在于，步骤1为根据地下介质的速度和密度模型以及波场延拓参数，利用一阶 速度-应力纵波方程的Fourier积分解在交错网格上构建波数-空间域的波场延拓算子； 对波数-空间域波场延拓算子应用Lowrank分解，得到交错网格Lowrank算子；具体方法如 下： 一阶速度-应力纵波方程可以描述地震波场在声波介质中的传播。随速度和密度变化 而变化的一阶速度-应力纵波方程为
其中矢量波i
u表示质点振动的速度，p表示压力，A为
上式中时间和空间上的偏导数对应的离散形式为
在交错网格上，一阶速度-应力纵波方程的离散形式为
其中 X1= (X+Δx/2,z)，X2= (χ，ζ+Δζ/2)， t+=t+Δt/2,t-=t_Δt/2 利用Lowrank分解，用于计算偏导数的交错网格Lowrank算子为 m~i η~ι
3.根据权利要求1所述的基于交错网格Lowrank算子的无条件稳定有限差分波场延拓 方法，其特征在于，步骤2为构造波数相关的光滑衰减函数；利用衰减函数对步骤1构建的 交错网格Lowrank算子进行衰减约束；具体方法如下： 利用衰减函数，对交错网格Lowrank算子中进行衰减约束，加入衰减约束后的偏导数 算子为
其中taper(k)为构造衰减函数，形式如下
其中中Ivα和β是三个控制参数，1?为特征波数，是使得W(x，k)达到稳定条件所限 制的临界值的波数，α控制衰减的宽度，β控制衰减的大小。
4.根据权利要求1-3所述的基于交错网格Lowrank算子的无条件稳定有限差分波场 延拓方法，其特征在于，步骤3为利用加权最小二乘拟合步骤2提出的加衰减约束交错网格 Lowrank算子，得到优化有限差分系数；具体方法如下： 以式中X方向的偏导数为例，利用Fouirer变化的相移性质，可将计算偏导 数D、>(x，/)的Fouirer积分算子转化到空间域求解，在空间域其求解格式具有如下的有限 差分形式，
其中p(x,t)为定义在空间位置X和时间t上的波场，Xk=(X+11Δχ,Ζ+12ΔZ)，Xli=(X-(I1-I)Λχ，ζ+12Λζ)，G(x，1)为有限差分的差分系数，可由下面的最小二乘问题求得
2/-1 其中 W(x，k) = sin(v(x) |k|At/2)，5(α) = .ν//Κ々ι_Λν)，G(X，1)为有限差分系数， 是依赖于空间位置的，随着不同位置模型参数的不同自适应地变化。w(k)为Gauss型的双 峰权函数，取为
其中f(i为地震子波主频，V为介质速度。该最小二乘问题的解为 V
其中人=ArA为一个NkXNk的对角矩阵，Λ^&ι)，···，1^·^]，其元素为权重函数。 通过衰减约束保证G给出的有限差分系数对于任意大的时间步长计算都是稳定的，求 取G时所用的加权最小二乘方法保证了有限差分系数的精度。
5.根据权利要求1-4所述的基于交错网格Lowrank算子的无条件稳定有限差分波场延 拓方法，其特征在于，步骤4为：将步骤3得到的优化差分系数用于波场延拓可实现无条件 稳定的地震波场延拓，具体方法如下， 采用步骤3中得到优化有限差分系数，用下式实现波场延拓过程中沿着X轴正方向空 间偏导数的计算，
其中Xk=(Χ+1 1ΔX，ζ+12ΔΖ)，xL= (Χ-(1Μ)ΔX，ζ+12ΔΖ)，G(x, 1)为步骤3中得到 优化有限差分系数，I1，I2= 1，…，L表示有限差分的结构，类似的对于沿着X轴负方向空间 偏导数，其有限差分计算格式为
其中Xk= (x+(lLi)ΔX，ζ+12ΔZ)，Xli= (X-1 1ΔX，ζ+12ΔZ)。对于沿着z轴正方向交 错的空间偏导数，其有限差分计算格式为
其中Xu=(x+1 1ΔX，ζ+12ΔZ)，xD= (x+1 1ΔX，Z-(I2-I)ΔZ)。对于沿着z轴负方向交 错的空间偏导数，其有限差分计算格式为
其中Xu=(x+1 1Ax,z+(I2-I)Δζ)，xD= (x+1 1Ax1Z-I2Azh 将上述计算偏导数的格式带入步骤1中的一阶速度-应力纵波方程的离散形式，得到 无条件稳定的有限差分波地震场延拓计算式，
其中 X1= (X+Δχ/2,ζ)，X2= (χ，ζ+Δζ/2)， t+=t+Δt/2,tt_Δt/2〇
【文档编号】G01V1/28GK104459773SQ201410389898
【公开日】2015年3月25日 申请日期:2014年8月8日 优先权日:2014年8月8日
【发明者】杜启振, 方刚 申请人:中国石油天然气集团公司, 中国石油大学(华东)