用于结构监测数据异常识别的加权主成分分析方法与流程

技术特征：

1.一种用于结构监测数据异常识别的加权主成分分析方法，其特征在于，步骤如下：

步骤一：监测数据建模

(1)建立结构正常监测数据的多变量统计分析模型：

Σ＝E{y^*y^*T}＝QΞQ^T

式中：表示结构的某一正常监测数据，包含m个测量变量；Σ表示协方差矩阵；Ξ＝diag(ξ₁,ξ₂,...,ξ_m)包含所有特征值ξ_i；Q＝[q₁,q₂,...,q_m]包含所有特征向量q_i，q_i即为第i个主方向；

步骤二：推导敏感因子

(2)对实际监测过程中采集到的某一监测数据y而言，第i个主方向q_i对应的统计量定义如下：

$H_i=y^T\left(q_i{\mathrm{\ξ}}_i^{-1}{q}_i^T\right)y$

对y中某一测量变量发生的异常而言，每个q_i的敏感性不同，即每个H_i的异常识别能力不同；

(3)若y中第j个测量变量发生异常，则其表达式为：

y＝y^*+δ_jζ_j

式中：δ_j表示第j个测量变量中发生异常的幅度；ζ_j表示m阶单位矩阵的第j列；

(4)此时，q_i对应的统计量为：

$\begin{array}{c}{H}_i={\left(y^{*}+{\mathrm{\δ}}_j{\mathrm{\ζ}}_j\right)}^T\left(q_i{\mathrm{\ξ}}_i^{-1}{q}_i^T\right)\left(y^{*}+{\mathrm{\δ}}_j{\mathrm{\ζ}}_j\right)\\ =y^{*T}\left(q_i{\mathrm{\ξ}}_i^{-1}{q}_i^T\right)y^{*}+\[{\mathrm{\ζ}}_j^T\left(q_i{\mathrm{\ξ}}_i^{-1}{q}_i^T\right){\mathrm{\ζ}}_j\]{\mathrm{\δ}}_j^2+2\[{\mathrm{\ζ}}_j^T\left(q_i{\mathrm{\ξ}}_i^{-1}{q}_i^T\right)y^{*}\]{\mathrm{\δ}}_j\\ =H_i^{*}+{\mathrm{\ΔH}}_i\end{array}$

式中：是正常监测数据定义在q_i上的统计量，它不引起H_i超限；是由于监测数据发生异常所导致的H_i的增量，它越大越可能引起H_i超限；

(5)由于且则ΔH_i简化为：

${\mathrm{\ΔH}}_i=\left(\frac{q_{ji}^2}{{\mathrm{\ξ}}_i}\right){\mathrm{\δ}}_j^2+2\left(\frac{q_{ji}}{{\mathrm{\ξ}}_i}{u}_i^{*}\right){\mathrm{\δ}}_j$

式中：q_ji表示q_i的第j个元素；表示y^*在q_i上的投影；

(6)由于y^*具有随机性，则也具有随机性；进一步，推断ΔH_i具有随机性，为了量化ΔH_i，计算其平均值：

$E\left({\mathrm{\ΔH}}_i\right)=\left(\frac{q_{ji}^2}{{\mathrm{\ξ}}_i}\right){\mathrm{\δ}}_j^2+2\left(\frac{q_{ji}}{{\mathrm{\ξ}}_i}\right)E\left(u_i^{*}\right){\mathrm{\δ}}_j$

若在预处理阶段将正常监测数据中心化，则有因此，ΔH_i的平均值为：

$E\left({\mathrm{\ΔH}}_i\right)=\left(\frac{q_{ji}^2}{{\mathrm{\ξ}}_i}\right){\mathrm{\δ}}_j^2$

(7)上式表明：在异常幅度不变的情况下，越大，ΔH_i的平均值也越大；换言之，定义在q_i上的统计量H_i对第j个测量变量中发生异常的识别能力取决于的大小；因此，定义敏感因子如下：

${\mathrm{\β}}_{j,i}=\frac{q_{ji}^2}{{\mathrm{\ξ}}_i}$

敏感因子β_j,i越大，H_i越可能识别出第j个测量变量中发生的异常；

步骤三：定义加权统计量

(8)对第j个测量变量而言，q_i对应的权系数计算如下：

$c_{j,i}=\frac{{\mathrm{\β}}_{j,i}}{{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^m{\mathrm{\β}}_{j,i}}$

(9)进一步，对第j个测量变量定义加权统计量如下：

${\tilde{H}}_j=\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{c}_{j,i}\·H_i=\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{c}_{j,i}\·y^T\left(q_i{\mathrm{\ξ}}_i^{-1}{q}_i^T\right)y$

加权统计量对第j个测量变量发生的异常更敏感；这样，监测数据中的每个测量变量均对应一组权系数和一个加权统计量，可将所有加权统计量组成一个向量

步骤四：融合加权统计量

(10)条件下判断监测数据发生异常的概率为：

$P\left(F\right|{\tilde{H}}_j)=\frac{P\left({\tilde{H}}_j\right|F)P\left(F\right)}{P\left({\tilde{H}}_j\right)}$

式中：P(·)表示某变量的概率；F表示监测数据的异常状态；

(11)的计算公式如下：

$P\left({\tilde{H}}_j\right)=P\left({\tilde{H}}_j\right|N)P\left(N\right)+P\left({\tilde{H}}_j\right|F)P\left(F\right)$

式中：N表示监测数据的正常状态；正常和异常状态下统计量出现的条件概率分别为和是的控制限；

(12)给定所有的加权统计量则监测数据中是否存在异常的判断准则为：

$P\left(F\right|\mathrm{\Γ})=\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}\{\frac{P\left({\tilde{H}}_j\right|F)}{{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^{m}P\left({\tilde{H}}_j\right|F)}\·P\left(F\right|{\tilde{H}}_j)\}\>\mathrm{\α}$

式中：α表示显著性水平，一般取0.01；满足上式可判断监测数据中存在异常。