论，可以得到双相TTI介质的运动 方程·
[0078
[0079 _ - - - \ - - .-.- y
[0080]公式4中，i、j分别表不x，y，z三个不同方向分量中的一个，Uj和Uj分别是固相和流 相的位移在j方向的分量，bij为流体相对固体骨架运动时的耗散系数，(^，」为作用在固相应 力分量在j方向上的偏导，s为作用在流体单元侧面上的应力。假设Φ为孔隙度，Pn和p 22分 别表示介质单位体积内固相和流相部分的有效质量，P12为视质量，即流相相对固相运动时 的质量耦合系数。三者与固体密度Ps和流体密度pf之间满足如下公式5，
[0081] Ριι+Ρ?2=(1-Φ )ps
[0082] Ρ?2+Ρ22= ΦΡ? 公式 5;
[0083] 其中，Φ为孔隙度，Pn和Ρ22分别表示介质单位体积内固相和流相部分的有效质 量，P12为视质量，即流相相对固相运动时的质量親合系数。
[0084] 结合双相介质的柯西方程、本构方程和运动微分方程，可以得到双相TTI介质二维 三分量一阶速度一应力方程。设固相介质速度向量为ν =( υχ，WZ)τ，流相介质速度向量为 V= (Vx，Vy，Vz)τ，令= (3，则速度和应力分量分别表示为：
[0085]
[0086] 公式6 中，A =Mi / (/? -只.1.户22)'，马=A.2'(A.2 - Αι·/^)? =/?7 (.A〗-Mi./5?-〗)vi、Vi ，. 表示速度，(^表示固相和流相之间体积变化的耦合系数，R是描述孔隙流体的弹性参数，表 示强迫一定体积流体流入双相介质体积元，而又保持总体积恒定不变时需要作用在流体上 的一种力的度量，(?表示虎克定律中弹性系数。需要说明的是，公式3是公式6的简化形式。 [0087]其次，需要说明旋转交错网格有限差分方法及差分格式。
[0088]旋转交错网格有限差分技术是在传统的交错网格基础上发展来的。传统交错网格 有限差分技术是将网格点分为整网格点和半网格点，在相邻网格的中间位置即半网格点 处，计算导数值，将速度和应力分量分别定义在两个不同的时间层上，并且相邻两个时间层 上的物理量在空间分布上恰好交错半个网格，从而达到了时间和空间上的交错的目的。如 图1所示，实线表示空间分布上的整网格，虚线表示半网格。
[0089]交错网格有限差分技术已经广泛应用于地震波正演模拟中，但当地质体中存在密 度、速度极小的异常体时，其稳定性将不再满足。而旋转交错网格方法在各向异性介质正演 模拟时，无需对弹性模量进行插值，避免了由于插值带来的误差，一定程度上降低了不稳定 性。
[0090] 旋转交错网格是在交错网格的基础上对网格进行了旋转，将同一物理量定义在同 一个网格点上。其主要思想是:首先计算沿网格对角线物理量的差分，然后将计算结果通过 坐标变换得到沿坐标轴的差分。旋转交错网格有效地避免了场量及模型参数的插值问题， 定义方式更加灵活、有效。如图4所示，i，j分别表示x，y，z不同分量中的一个。
[0091] 由双相TTI介质的速度一应力方程(公式6)，并结合旋转交错网格有限差分方法可 得双相TTI介质弹性波二维三分量旋转交错网格有限差分格式如下：
[0092]
[0093][0094] 公式7中，
[0095]
[0096]
[0097] a为空间差分系数，u为表达式W示范参数，1 <n<N，N表示空间差分阶数，ΔΧ、ΔΖ 为沿水平方向X和垂直方向Ζ的空间差分步长，i、j分别表示所对应的网格点的位置。
[0098] 最后，说明两个约束条件，第一个是稳定性条件。
[0099] 稳定性是所有数值模拟方法所必须考虑的问题。在旋转交错网格有限差分技术 中，Saenger在Neumann稳定性条件下，给出了在空间步长相等时，时间二阶、空间2哪介的旋 转交错网格有限差分的稳定性条件：
[0100]
[0101] 式中，At为时间步长，Vmax是最大相速度，Ah是空间步长，Ck是交错网格空间差分 系数。
[0102] 对于传统交错网格有限差分技术，在步长相等的情况下，其时间二阶、空间2N阶的 传统交错网格有限差分的稳定性条件：
[0103]
[0104] 公式9中，At为时间步长，Vmax是最大相速度，Ah是空间步长，(^是交错网格空间 差分系数，D是空间维数，通过对比公式8和9可知，旋转交错网格相较于传统交错网格，理论 上有更宽松的稳定性条件，这也是旋转交错网格的一个优点。
[0105] 第二个是吸收边界条件。
[0106] 为了更准确的模拟半空间介质，吸收边界条件是一个必须要面临的问题。本文将 采用CPML进行边界处理。CPML技术是在完全匹配层的基础上发展而来的，通过引入记忆变 量和时间上的卷积来达到不分裂的目的，从而避免了常规PML分裂带来的复杂性。
[0107] CPML对扩展函数sx的形式进行了如下改造：
[0108]
[0109] 其中，ax2 0，kx2 1。当ax = 0，kx=l，sx即为常规的PML标准形式(扩展函数），，ax、 kx、dx均为关于吸收边界宽度的修正参数，i为虚数单位，w为频率变量。通过对空间导数做时 间域上的卷积变换来推导CPML吸收边界公式。
[0110] 下面对均匀双相VTI介质旋转交错网格数值模拟进行说明：
[0111 ] 设定均勾VTI介质模型，模型大小为300mX300m，网格间距dx = dz = lm，采样间隔 为0. lms，震源采用固相X方向水平偏振波源激发的Ricker子波，位于中心位置，震源主频为 80Hz。物性参数见表1，介质极化角为0°，方位角为0°，取t = 40ms时的波场快照，如图5所示。
[0112] 表1均匀双相VTI介质物性参数
[0113]
[0114] 从图5中可以清晰地观察到，双相VTI介质中存在三种弹性波：快纵波qpi、慢纵波 qP2、快横波qS1;从图5b、5d中可以明显看到，慢纵波在流相中相对固相能量更强，更容易观 察，且相对于流相中其它波场，能量亦更强;在VTI介质数值模拟中，由于固相的各向异性，Y 分量没有产生波场;固相为VTI介质时，观察不到横波分裂现象，仅有快横波存在。
[0115] 为验证不分裂完全匹配层的吸收效果，选取均匀双相HTI介质进行波场模拟。设定 均匀HTI介质模型，计算模型大小为260mX 260m，其中四周吸收边界宽度均为30m，网格间距 dx = dz = lm，采样间隔为0. lms，震源同样采用固相X方向水平偏振波源激发的Ricker子波， 位于中心位置，震源主频为80Hz。物性参数同表2,取t = 60ms时的波场快照，吸收边界使用 前后波场快照如图6所示。
[0116] 表2均匀双相TTI介质物性参数
[0117]
[0118] 下面对传统的交错网格和旋转交错网格对比说明（主要涉及波场模拟的精度和稳 定性）：
[0119] 一、稳定性方面：
[0120] 设定非均勾双相各向同性介质模型，模型大小为256m X 256m，网格间距dx = dz = lm，模型包含A、B两块区域，其中B为地质异常体，是一条密度和速度极小的裂缝，如图7所 示。采样间隔为〇. lms，震源采用固相X方向水平偏振波源激发的Ricker子波，位于中心位 置，震源主频为120Hz。物性参数见表3，取t = 40ms时的波场快照，如图8、9所示。
[0121] 表3非均匀双相各向同性介质物性参数
[0122]
[0123] 从图8中可以观察到，当使用传统交错网格有限差分技术对非均匀极端介质模拟 时，由于地质异常体的存在，在B的边界经过多次插值后，导致地震波场在地质异常体B的两 端产生振幅异常现象，不符合地震波传播规律，不能正确反映地震波传播情况，故对于非均 匀的极端介质，传统交错网格有限差分技术不能适用。从图9中可以观察到，当使用旋转交 错网格有限差分技术对同样的介质模型模拟时，可以清晰的观察到:在地质异常体B的两端 产生明显的绕射波，两侧出现了反射波，得到的波场快照符合地震波传播规律。
[0124] 通过图8和图9的对比可知:对于存在地质异常体的非均匀各向同性介