专利名称：一种带有一阶补偿项的比例-微分控制方法
技术领域：
本发明涉及一种带有一阶补偿项的比例-微分(Proportional-Derivative, PD)控制方法，尤其是指针对双积分系统的一种阶跃响应无超调控制方法，属于控 制工程技术领域。背景技术：
实际中的许多控制问题，例如高速机床的进给控制，机器人轨迹的精确 跟踪，固定翼飞机起飞-着陆段姿态角和迎角的控制等不允许系统的阶跃响 应存在超调或存在较大超调(主要受擦地角大小的限制)。而双积分模型是很 多被控对象的等价模型或简化模型(也是很多高阶系统的低阶简化模型)， 大量存在于倒立摆控制系统和飞行器的姿态控制系统中(例如，飞机纵向姿 态动力学的简化模型》="。其中w表示俯仰力矩，^表示俯仰角)。从更广的 角度说，牛顿力学第二定律描述的加速度和合外力之间的数学关系就是一种 双积分模型。因此为双积分系统设计无超调控制器具有较大的意义。美国学者斯洛坦和李维平编著的《应用非线性控制》 一书中指出双积分系统的镇定需要引入输出量的速度反馈，例如对于飞行器系统，也就是需 要引入姿态角速度信号进行反馈控制。基于这种认识，针对双积分系统的镇定问题，目前工程中常用的比例-积分-微分(Proportional-Integral-Derivative， PID)控制可分为两类标准线性PID控制和非线性PID控制。 (1)标准线性PID控制(增益时不变的线性PID控制)工程中常采用标准PD控制或标准线性PID控制(增益时不变的PD控制) 镇定双积分系统，对应的闭环系统(线性的)分别是二阶系统和三阶系统。权炳文等人在"二阶系统无超调和单调非递减阶跃响应"一文中(详见 2002年的《控制、自动化和系统工程会刊》)分析了二阶线性系统阶跃响应 无超调的条件。台湾学者林士宽等人在"三阶单输入一单输出线性系统无超 调和单调非递减阶跃响应" 一文中(详见1997年的《电气和电子工程师协会 自动控制会刊》)分析了三阶线性系统阶跃响应无超调的条件。基于这两项
研究的结论，通过进一步分析可知对于双积分系统，不管采用标准PD控 制还是标准线性PID控制都不能实现闭环系统阶跃响应无超调。该结论也可 以通过三种典型控制方案(如表l)的仿真结果来说明。方案设计参数闭环系统的特点(1)《=[2 1 1]正则的三阶线性系统(2)《=[1 0.6 0j阻尼比等于0.3的欠阻尼二阶线性系统(3)〖=[1 4.2 0j阻尼比等于2.1的过阻尼二阶线性系统表1三组传统控制方案的设计参数及闭环系统的特点方案(l)代表一种常规的、控制器增益都不为零的PID控制；方案(2)和方案(3)代表两种标准PD控制，它们增益取值不同(控制器和被控对象构成 的闭环系统是两个阻尼特性完全不同的二阶系统)。表1中用向量K表示 PD/PID控制器的增益向量，它的三个元素依次表示控制器比例项增益，微 分项增益和积分项增益的取值。这三种控制方案的仿真结果如图6所示，可以看出它们都没能实现阶 跃响应无超调控制。(2)非线性PID控制非线性控制器具有线性控制器(例如各型的标准PID控制器)不具备的优 点，其中增益切换PID控制是很常用的一种，而且已经大量应用到机器人的 控制中。其主要思想是当系统输出远离期望值时(误差信号e与其导数^同 号时)采用比例项增益较大的PID或PD控制器；反之，当系统输出靠近期望 值时(误差信号e与其导数^异号时)采用比例项增益较小的PID或PD控制器。 这种控制方法从一定程度上较好兼顾了响应速度和超调量这两个方面的需 求，但是很难获取系统阶跃响应无超调的条件。因此，控制工程师没法直接 应用这种非线性控制思想进行阶跃响应无超调控制器的设计。
发明内容本发明的目的在于提供一种带有一阶补偿项的比例-微分控制方法，针对 双积分系统，克服现有控制技术的不足，以保证系统阶跃响应无超调。
本发明一种带有一阶补偿项的比例-微分控制方法，其设计思想是基于 传统的输出单位负反馈结构，在PD控制器和被控对象之间，设计一个一阶补偿 项。采用这种带有一阶补偿项的PD控制，在给定取值范围内选择PD控制器增 益和补偿项的时间常数，能够实现系统阶跃响应无超调。本发明一种带有一阶补偿项的比例-微分控制方法，其方法步骤如下 第一步设计闭环控制系统的结构闭环控制系统采用误差单位负反馈的结构，控制环节包括标准PD控制器和 一阶补偿项这两部分，它们和双积分系统(传递函数描述为l/s2)的结构布局 见附
图1所示。标准PD控制器的输入信号是误差信号(由参考信号减去输出信号求 得)； 一阶补偿项介于PD控制器和被控对象之间，PD控制器的输出信号是它 的输入信号，它的输出信号是双积分系统的输入信号。标准PD控制器实现的 输入-输出关系，用传递函数描述为<formula>formula see original document page 7</formula>时域关系描述为<formula>formula see original document page 7</formula>(2)其中s表示拉普拉斯算子；"W表示z时刻标准PD控制器的输出信号，"(》表示"G)的拉普拉斯变换；e(^表示/时刻的误差信号，e^)表示e(^的拉普拉斯变换； "/)表示/时刻跟踪误差的导数。、,&分别表示标准PD控制器的比例项和微分项增益； 式(2)中的"^可借助微分器(微分算法)求得。本技术方案的具体实例中采 用学者王新华、陈增强等在2007年的《电气和电子工程师协会自动控制会刊》 上发表的基于奇异摄动技术的有限时间收敛微分器。(Xinhua Wang， Zengqiang Chen, Geng Yang. "Finite-Time Convergent Differentiator Based on Singular Perturbation Technique". IEEE Transactions on Automatic Control, 2007, 52(9): 1731-1737.)。该微分器的输入信号是e(小其阶数选为3，数学形式如下<formula>formula see original document page 8</formula>其中x,，x,，x,表示微分器的三个状态变量； 少表示微分器的输出变量。具体计算时，用式(3)中的少代替(1)中^)，以求得对应的控制信号^)。标 准PD控制器的两个增益参数(、和&)的具体设计将在下文"第二步"中详细介 绍。标准PD控制器的输出经过一阶补偿项后作用于被控对象(双积分系统)，一阶补偿项的功能用传递函数描述为<formula>formula see original document page 8</formula>(4)这里，A(一表示补偿项输出信号的拉普拉斯变换；"^)表示补偿项输入信号"(/)拉普拉斯变换；r表示一阶补偿项的时间常数，是待设计的参数。第二步设计控制器增益参数和补偿项的时间常数为了获得无超调的阶跃响应，采用上述"第一步"介绍的控制方案，PD控 制器的增益和补偿项的时间常数应满足下述四种约束中的任何一个。 第一种约束<formula>formula see original document page 8</formula>第二种约束:<formula>formula see original document page 8</formula> 第三种约束- 、>00 < 、 < 1V化第四种约束f t >0[ L 4、 2、 、J这四个不等式组中，、、^和r的含义见上述"第一步"的介绍。 设计参数满足第一种约束时，闭环系统的传递函数有一个正零点，所以它是非最小相位系统。该系统的阶跃响应不存在超调，但存在负调。输出信号的取值先减小到某一负值再增大到i，而不是单调递增到i的。设计参数满足第二种约束时，闭环系统的传递函数没有零点，所以它是典型过阻尼或临界阻尼的二阶线性系统。该系统的阶跃响应不存在超调，而且是单调递增到l的。设计参数满足第三种或第四种约束时，闭环系统的传递函数存在一个负零 点，所以它是最小相位系统。该系统的阶跃响应不存在超调，而且是单调递增 到i的。这四个不等式组中的任何一个都具有无穷多个解，它们共同构成本发明控 制方法下闭环系统阶跃响应无超调的充分必要条件。本发明一种带有一阶补偿项的比例-微分控制方法，其优点及功效在于 与其他控制器(如常用的标准PD或PID控制器)相比，在控制双积分系统时， 能够实现闭环系统的阶跃响应无超调。
图1:本发明闭环控制系统的结构和组件连接关系示意图 图2:实施方式(一)的仿真结果 图3:实施方式(二)的仿真结果 图4:实施方式(三)的仿真结果 图5:实施方式(四)的仿真结果 图6:三种标准PID控制方案的仿真结果 图中的标号、符号和线条等说明如下图i中，、和、分别表示PD控制器的比例项和微分项增益；r表示一阶补偿项的时间常数；^表示拉普拉斯算子；J^0和^("分别表示参考信号 和实际输出信号的拉普拉斯变换。图2-6中，横坐标表示仿真时间，单位是秒；纵坐标表示无量纲的阶跃响应。图6中较细的点线代表参考信号线(单位阶跃信号)。
具体实施方式
下面对本发明的技术方案做进一步的说明。本发明一种带有一阶补偿项的比例-微分控制方法，其具体实施中，标准 PD控制器、 一阶补偿项和双积分系统都借助于Matlab6.5中的Simulink工具箱来 建模(Matlab是国际控制界公认的标准计算软件，在数值计算方面用的最为广 泛。它带有的Simulink软件包是一个交互式操作的动态系统建模、仿真、分析 集成环境，能够强有力支持控制系统的建模、仿真和性能检验。2002年推出的 6.5版，其最大特点是采用了加速器技术，使Matlab的运算速度有了很大提高)。 该软件完全胜任本发明技术方案中的系统建模、仿真和验证等工作。这里给出四个具体的实施方式，它们都采用设计步骤"第一步"中的控 制结构，而参数分别满足设计步骤"第二步"中给出的四种约束。实施方式(一)I设计闭环控制系统的结构采用输出量的单位负反馈控制结构。利用Matlab 6.5平台的Simulink软件 包，对参考信号(单位阶跃信号)，标准PD控制器、 一阶补偿项和双积分系统进行建模，它们在闭环控制回路中的连接情况如附图l所示。标准PD控制器的输入信号是误差信号(由参考信号减去输出信号求得)；一 阶补偿项介于标准PD控制器和被控对象之间，标准PD控制器的输出信号是它的输入信号，它的输出信号是双积分系统的输入信号。采用Simiilink软件实现 的标准PD控制器具有本说明书式(l)描述的输入-输出关系。其中，误差的微 分信号借助于式(3)所示的微分器(本质上是状态空间描述的三阶系统)求得， Matlab 6.5环境下可以借助于Simulink中的"S-Function"函数编程实现；控制 器增益用Simulink软件中的"Gain"模块实现； 一阶补偿项具有本说明书式(4) 描述的输入-输出关系，采用Simulink软件中的"Transfer Fcn"模块实现；双 积分系统(其传递函数描述为》)，采用Simulink软件中的"Transfer Fcn"模 块实现。工I设计控制器增益参数和补偿项的时间常数设计PD控制器增益参数和一阶补偿项的时间常数，其具体取值为 、=5，、=-0.5,r = 0.01。这组设计参数满足发明内容设计步骤"第二步"中给出 的第一种约束。该具体实施方式
的仿真结果见附图2所示。实施方式(二)工设计闭环控制系统的结构这一步和实施方式(一)中对应的步骤完全相同。 II设计控制器增益参数和补偿项的时间常数设计PD控制器增益参数和一阶补偿项的时间常数，其具体取值为 、=5,^=0,7 = 0.01。这组设计参数满足发明内容设计步骤"第二步"中给出的 第二种约束。该具体实施方式
的仿真结果见附图3所示。实施方式(三)I设计闭环控制系统的结构这一步和实施方式(一)中对应的步骤完全相同。II设计控制器增益参数和补偿项的时间常数设计PD控制器增益参数和一阶补偿项的时间常数，其具体取值为 、=40,、=0.5,7 = 0.01。这组设计参数满足发明内容设计步骤"第二步"中给出 的第三种约束。该具体实施方式
的仿真结果见附图4所示。实施方式(四)I设计闭环控制系统的结构这一步和实施方式(一)中对应的步骤完全相同。 II设计控制器增益参数和补偿项的时间常数设计PD控制器增益参数和一阶补偿项的时间常数，其具体取值为 、=10,^=3,7 = 0.2。这组设计参数满足发明内容设计步骤"第二步"中给出的 第四种约束。该具体实施方式
的仿真结果见附图5所示。从上述仿真结果(图2-5)可以看出这四种方式都实现了闭环系统阶 跃响应无超调。
权利要求
1、一种带有一阶补偿项的比例-微分控制方法，其特征在于其方法步骤如下第一步 设计闭环控制系统的结构闭环控制系统采用误差单位负反馈的结构，控制环节包括标准PD控制器和一阶补偿项；标准PD控制器的输入信号是误差信号；一阶补偿项介于PD控制器和被控对象之间，PD控制器的输出信号是它的输入信号，它的输出信号是双积分系统的输入信号；标准PD控制器实现的输入-输出关系，用传递函数描述为时域关系描述为其中s表示拉普拉斯算子；u(t)表示t时刻标准PD控制器的输出信号，u(s)表示u(t)的拉普拉斯变换；e(t)表示t时刻的误差信号，e(s)表示e(t)的拉普拉斯变换；表示t时刻跟踪误差的导数；kp，kd分别表示标准PD控制器的比例项和微分项增益；式(2)中的可借助微分器求得，该微分器的输入信号是e(t)，其阶数选为3，数学形式如下其中x1，x2，x3表示微分器的三个状态变量；y表示微分器的输出变量；具体计算时，用式(3)中的y代替(1)中(t)，以求得对应的控制信号u(t)；标准PD控制器的输出经过一阶补偿项后作用于被控对象，一阶补偿项的功能用传递函数描述为这里，ub(s)表示补偿项输出信号的拉普拉斯变换；u(s)表示补偿项输入信号u(t)拉普拉斯变换；T表示一阶补偿项的时间常数，是待设计的参数；第二步 设计控制器增益参数和补偿项的时间常数为了获得无超调的阶跃响应，采用上述“第一步”介绍的控制方案，PD控制器的增益和补偿项的时间常数应满足下述四种约束中的任何一个第一种约束第二种约束第三种约束第四种约束这四个不等式组中，kp、kd和T的含义见上述“第一步”的介绍；设计参数满足第一种约束时，闭环系统的传递函数有一个正零点，所以它是非最小相位系统；该系统的阶跃响应不存在超调，但存在负调；输出信号的取值先减小到某一负值再增大到1，而不是单调递增到1；设计参数满足第二种约束时，闭环系统的传递函数没有零点，所以它是典型过阻尼或临界阻尼的二阶线性系统；该系统的阶跃响应不存在超调，而且是单调递增到1；设计参数满足第三种或第四种约束时，闭环系统的传递函数存在一个负零点，所以它是最小相位系统；该系统的阶跃响应不存在超调，而且是单调递增到1；这四个不等式组中的任何一个都具有无穷多个解，它们共同构成本发明控制方法下闭环系统阶跃响应无超调的充分必要条件。
全文摘要
本发明一种带有一阶补偿项的比例-微分控制方法，其方法步骤如下第一步设计闭环控制系统的结构闭环控制系统采用误差单位负反馈的结构，控制环节包括标准PD控制器和一阶补偿项；标准PD控制器的输入信号是误差信号；一阶补偿项介于PD控制器和被控对象之间，PD控制器的输出信号是它的输入信号，它的输出信号是双积分系统的输入信号；第二步设计控制器增益参数和补偿项的时间常数为了获得无超调的阶跃响应，采用上述“第一步”介绍的控制方案，PD控制器的增益和补偿项的时间常数应满足四种约束中的任何一个。本发明与其他控制器相比，在控制双积分系统时，能够实现闭环系统的阶跃响应无超调。
文档编号G05B11/42GK101398671SQ20081022444
公开日2009年4月1日 申请日期2008年10月15日 优先权日2008年10月15日
发明者波 朱, 王新华, 蔡开元 申请人:北京航空航天大学