专利名称：一种设定替代曲线的新插补方法
一种设定替代曲线的新插补方法
技术领域：
本发明属于计算机数控领域，尤其是涉及一种控制物体运动轨迹的插补方法。
背景技术：
1、插补的任务数控系统广泛应用于机械运动轨迹的控制，可以控制机床、机器人、缝纫机、焊接 机等的运动轨迹。所需轨迹或说所需路径或轮廓线的“插补”是数控技术的关键。插补的任务就是在所需轨迹或说所需路径或轮廓线Q的二个已知点间插入若干 个中间点，并确定所述中间点的位置坐标值。插补所得结果将依次送给直线插补器；对应一组相邻二点的位置坐标值，直线插 补器产生一组分布均勻的脉冲序列，并通过步进马达或伺服系统控制受控对象运动，产生 一个直线段的运动轨迹。或者，插补所得结果直接以数值方式依次送给伺服系统，控制受控 对象运动；对应一组相邻二点的位置坐标值，产生一个直线段的运动轨迹。受控对象整个运 动轨迹将是一个由上述直线段构成的折线，折线的起点、终点、交点与所需路径或轮廓线Q 的对应起点、终点、中间点重合。换句话说，在所需路径或轮廓线Q的二个端点间插入若干 个中间点，将曲线Q上相邻二点以直线段连接，这些直线段构成的折线就是受控对象的预 期运动轨迹。由此可见，插补中确定中间点及其位置坐标值的目的就是确定受控对象的预期运 动轨迹，使之尽可能接近所需路径或轮廓线Q。或者说，插补的目的就是确定所述的折线，也 即受控对象的预期运动轨迹；以此拟合所需路径或轮廓线Q，且拟合误差不超过允许值。2、现状对于常见的正弦曲线、椭圆、圆弧等所需路径或轮廓线，准确确定所述中间点位置 坐标值的运算涉及三角函数等比较复杂的计算。这样的计算，靠单片计算机很难完成，而由 PC级计算机采用高级语言不难完成。然而，在运动控制装置中，如果作为整个装置控制核心 配置的PC级计算机，直接由之承担插补的实时运算将占用大量资源，从而影响整个装置工 作；如果专为插补工作配置PC级计算机，将导致装置成本提高。当前，运动控制技术已广泛应用于各领域，甚至将进入普通家庭，如家用机器人 等。基于现有插补方法的产品难以适应、满足飞速发展的、广阔的市场需求。可是，可以在 单片计算机上快速、准确实现的插补方法，至今未见在公开资料上发表或在产品中使用。
发明内容本发明的目的是针对正弦函数类所需路径或轮廓线，包括正弦曲线、椭圆曲线、圆 弧曲线，提出一种设定替代曲线的新插补方法，通过只包含加、减、乘算术运算的递推公式 就可以确定曲线中间点位置坐标值或其增量，且通过设定替代曲线提高拟合精度或减小插 补运算量。所述方法运算简单，对于同样的分段段数，完成运算所需时间少，相当于提高了 插补运算速度；或者，在同等的运算时间内，允许增加曲线分段段数，从而提高折线拟合曲线的精度。由于运算简单，这种方法可在单片计算机上实现，从而降低了插补器的成本。因 此，这种插补方法速度快，精度高，装置成本低，具有极其广阔的市场前景。本发明的目的是按如下技术方案实现的1、本发明所述的一种设定替代曲线的新插补方法，其所针对的所需路径或轮廓线 Q的位置坐标ΩΡ(Ρ = 1、2、3、……、Π1Ω)中包括有一个或若干个坐标wk(k = 1、2、3、……、 πιΨ)，对应所述一个或若干个坐标Wk(k= 1、2、3、……、πιΨ)的坐标函数分别可以表示为 以参数t为自变量、幅值分别为Hk(k= 1、2、3、……πιΨ)、初始相位分别为ak(k=l、2、 3、……、πιΨ)、周期相同为(2 π/ω)的正弦函数，其表达式为Ψ,α) = HkSin (Ot+ak),(k = 1、2、3、......、ι ψ)，(1-1)所述曲线Q对应坐标Wk(k = 1、2、3、……、πιΨ)的坐标函数指的是描述所述曲线 Q上的点的位置坐标Wk(k= 1、2、3、……、πιΨ)变化的以参数t为自变量的函数，所述参数t可以是该曲线Q位置坐标Ωρ(ρ= 1、2、3、……、πιΩ)中的一个坐标， 也可以是这些坐标之外的另一个参数，所述的所需路径或轮廓线Q指的是二个已知点间的曲线段，所述曲线Q各坐标函 数的定义域相同，定义域的二个端点分别与曲线Q 二个已知点对应着相同的t值。当ω取值为1时，所述的正弦函数Wk(t) (k = 1、2、3、……、πιΨ)的周期为2π。某一 t值所对应的所需路径或轮廓线Q上的点的位置坐标值，就是同一 t值所 对应的所述坐标函数的函数值。针对所需路径或轮廓线Q的插补也就是针对其坐标函数 Ωρα) (ρ = 1、2、3、……、πιΩ)的插补，即在其各个坐标函数Ωρα) (ρ = 1、2、3、……、πιΩ) 的定义域二个端点间插入若干个中间点并确定对应所述中间点的坐标函数值。在对坐标函 数插补中确定的中间点将所述定义域分成分段，每个分段定义域将对应一个线性函数，所 述各个分段定义域的端点所对应的线性函数值与所对应的坐标函数值相等。整个定义域将 对应一个由各个分段定义域对应的线性函数组成的分段线性函数；而坐标函数将以分段线 性函数拟合。申请人:注意到，对所需路径或轮廓线Q进行插补时，为了提高拟合精度，或减小插 补运算量，可以设定相应的替代曲线Qs。在替代曲线Qs的二个端点间插入若干个中间点， 将替代曲线Qs上相邻的二个点以直线段连接，用这些直线段构成的折线拟合二个已知点 间的所需路径或轮廓线Q。为此，需通过插补确定所述替代曲线Qs的中间点及其位置坐标值。替代曲线Qs的坐标函数Ω 5p(t) (ρ = 1、2、3、……、πιΩ)称为替代坐标函数，或称 为所述曲线Q的坐标函数Ωρα) (ρ = 1、2、3、……、πιΩ)的替代坐标函数，或称为对应所述 坐标Ωρ(ρ= 1、2、3、……、πιΩ)的替代坐标函数。确定替代曲线Qs中间点及其位置坐标 值，就是确定相应替代坐标函数Ω 5p(t) (ρ = 1、2、3、……、πιΩ)定义域的中间点及其函数 值。在插补中确定的中间点将所述替代坐标函数定义域分成分段，每个分段定义域将对应 一个线性函数。所述各个分段定义域的端点所对应的线性函数值与所对应的替代坐标函数 值相等。整个定义域将对应一个由各个分段定义域对应的线性函数组成的分段线性函数； 而所需路径或轮廓线Q的坐标函数将以所述分段线性函数拟合。申请人:还注意到，所述曲线Q或Qs 二个端点间的中间点的位置坐标值，可依据 与之相邻的前一个中间点或所述曲线的起点其位置坐标值与位置坐标值增量之和决定，因
10此，插补中确定了中间点的位置坐标值增量，也就确定了相应中间点的位置坐标值。或者 说，插补中确定了定义域中间点坐标函数值增量，也就确定了定义域相应中间点的坐标函 数值。针对坐标函数Wk(t) (k = 1、2、3、.(1)设定对应所述坐标Wk(k = 1、2、3、
、！Ι1Ψ)的插补步骤包括，
>mw)的替代坐标函数ψδ1 α) (k =
1、2、3、
·、Π1Ψ),(2)确定替代坐标函数 WSk(t) (k = 1、2、3、· 点，包括，①确定所述中间点所对应的参数t的值或其增量Δ t的值，②确定所述中间点的个数，(3)确定所述中间点的替代坐标函数值或其增量值，(4)存储/输出运算结果。本发明提出的插补方法，其特征在于
>mw)定义域二个端点间的中间
·>Π1Ψ)的替代坐标函数设定为与相应的坐 (1)对应所述坐标 Ψ“1 = 1、2、3、. 标函数Wk(t) (k= 1、2、3、……、πιΨ)具有相同周期(2 π/ω)、相同初始相位ak(k= 1、2、
3、
、！Ι1Ψ)、相同定义域但不同幅值的正弦函数，其表达式为Ψδ1 α) = H5ksin(ot+ak) (k = 1、2、3、式中，Hsk= Hk+Sk,(k=l、2、3、_其中5k(k = 1、2、3、.
..、ι ψ)，(1-2) ·、Π1Ψ), (1-3)
>mw)为替代坐标函数WSk(t) (k= 1、2、3、
、！ ψ)
的幅值差，或说是对应所述坐标Wk(k = 1、2、3、
函数 WSk(t) (k = 1、2、3、
>mw)幅值 HSk(k = 1、2、3、
、！ Ψ)的幅值差，其数值等于替代坐标 、πιΨ)相对相应的坐标函数
Ψ,α) (k = 1、2、3、
>mw)幅值 Hk(k = 1、2、3、
,Π1ψ
)之差，
= Hsk-Hk, (k=l、2、3、
(k = 1、2、3、
.、ι ψ)，(1-4) ...、πιψ), (1-5) (2)将对应所述坐标Ψ k (k = 1、2、3、
·、mw)的各替代坐标函数Wsk(t) (k =
、！Ι1Ψ)定义域分段，以分段的交点作为定义域的中间点，所述定义域中间点所对
1、2、3、
应的替代坐标函数值Ψ Sk(t) (k = 1、2、3、
一' 、—-‘
…、πιΨ)，基于泰勒公式按下述展开式确定， L (tu+,) = Ψ 彻(tu) + Φ丄)(Δ7； ) - ！ ΨδΑ (tu) (ATu )2-^ΦΛ( )(Δ7;)3+……+
①ΨΑ表示所述坐标Wk(k= 1、2、3、……、πιΨ)中的某个坐标，A为序号k(k= 1、2、3、· πιΨ)中的某个序号，对应坐标ΨΑ的坐标函数与替代坐标函数分别为ΨΑα) = HAsin(cot+aA)，(1-8)ΨδΑ( ) = HSAsin(cot+aA)， (1-9)
其中，δΑ= ΗΑ+δΑ，(1-10)δ Α为对应坐标ΨΑ的幅值差，②u+1为替代坐标函数Ψ s A (t)定义域二个端点间的某个中间点的序号，u就是与 之相邻的前一个中间点或定义域起点的序号，以，η表示替代坐标函数Ψ 5A(t)定义域分段的段数，以i(i = 1、2、3、……、n)作为分段的序号，以i(i = 1、2、3、……、n，n+l)作为包括定义域的二个端点及二个端点间的中间 点在内的点的序号，二个端点分别对应着序号1及n+1，二个端点间的中间点分别对应着序 号 i(i = 2、3、......、n)，u+1对应着序号i(i = 2、3、……、！ι)中的某一个序号，u对应着序号i(i = 1，2、3、……、n)中与u+1相邻的前一个中间点或定义域起 点的序号，u+2对应着序号i(i = 1，2、3、……,n,n+1)中与u+1相邻的后一个中间点或定 义域终点的序号，所述定义域起点指的是与所述替代曲线Qs起点对应的定义域的端点，所述定义域终点指的是与所述替代曲线Qs终点对应的定义域的端点，③tu+1为替代坐标函数Ψ 5A(t)定义域二个端点间序号为u+1的中间点所对应的 参数t的值，tu为与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的参数t的 值，tu+2为与序号为u+1的中间点相邻的后一个中间点或定义域终点所对应的参数t 的值，tl为替代坐标函数Ψ 5A(t)定义域起点所对应的参数t的值，tn+1为替代坐标函数Ψ 5A(t)定义域终点所对应的参数t的值，④八九为替代坐标函数WSA(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一个中 间点或定义域起点所对应的参数t的等效增量，其数值为相应的所述参数t的增量△ tu的 ω倍，Δ Tu = ω Δ tu, (1-11)Δ tu = tu+1-tu, (1-12)⑤WSA(tu+1)为替代坐标函数WSA(t)定义域中序号为u+1的中间点所对应的替 代坐标函数值，⑥WSA(tu)为替代坐标函数WSA(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一 个中间点或定义域起点所对应的替代坐标函数值，⑦0SA(tu+1)为替代坐标函数WSA(t)定义域中序号为u+1的中间点所对应的虚 拟替代坐标函数值，⑧0SA(tu)为替代坐标函数WSA(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一 个中间点或定义域起点所对应的虚拟替代坐标函数值，⑨ν' +1为正整数，是展开式(1-6)的项数，ν'≥ 0，(1-13)⑩ν" +1为正整数，是展开式(1-7)的项数，
ν" ≥ 0,(1-14)上述⑦、⑧中所述的虚拟替代坐标函数Φ 5A(t)是为简化公式表述设定的函数，或 说是一个与ΨδΑα)具有相同幅值Hsa、相同周期(2 π/ω)、相同初始相位α Α及相同定义 域的余弦函数，其表达式为
(1-15) ΦδΑ(t)或说是虚拟坐标函数ΦΑ(t)的替代坐标函数，而ΦΑ(t)是对应坐标函数 ΨΑ(t)设定的虚拟坐标函数，或说是一个与ΨΑ(t)具有相同幅值Ha、相同周期(2 π/ω)、相 同初始相位α Α及相同定义域的余弦函数，其表达式为
(1-16)其中，Hsa= Ha+δ Α。(1-17)需要说明的是(1)所述方法中替代坐标函数幅值差的取值及替代坐标函数定义域等分分段起点 所对应的参数t的等效增量的取值，可根据后述第4至7点中所述方法确定。展开式项数 的确定等见第2点的相关说明。(2)展开式(1-6)、(1-7)的依据根据泰勒公式可知， 其中，余项^^TT^^fcW)! (ΔΓ Γ+'，(1-20)
+MLdt
1 Γ Av" ^ΤΓ(Φ』))(仏广，(1 一21)式中，①τ ‘的取值范围为tu 彡 τ ‘彡 tu+1，(1-22)②τ “的取值范围为tu 彡 τ 〃彡 tu+1，(1-23)略去余项，或说将余项取值为0，即得式(1-6)、(1-7)。2、如第1点所述的插补方法，其特点为(1)将对应所述坐标Wk(k = 1、2、3、……、πιΨ)的各替代坐标函数Ψ SA(t) (k = 1、2、3、……、πιΨ)定义域等分，以等分分段的交点作为定义域的中间点，(2)所述定义域中间点所对应的替代坐标函数值增量ΔΨδΑα)(1 = 1、2、 3、……、πιΨ)，基于泰勒公式按下述展开式确定ATs4 ( υ+1) = ΨΜ (tu+2) - Ψ拟(tu+1) 二= (tU+1) + CD54(tu+1) (ATa)-1 Ψ ( Μ+1) (ArJ2-Io54(tu+1 )(ΔΓ,)3+……一一 [Ψ拟(tu) + Φ Jtu) (ΔΓ,) — I Ψ拟(tu) (ΔΓ,)2 — ^ (tu) (Δ。)3 +……]== ΔΨ拟(tu)+ ΑΦδΛ (tu) (ΔΓ,(^TaΔΦ 拟(tu) (ΔΓ」3 +……+ 同理， 式中， ΨΑ表示所述坐标Wk(k= 1、2、3、……、πιΨ)中的某个坐标，A为序号k(k =1、2、3、……、πιΨ)中的某个序号，对应坐标ΨΑ的坐标函数与替代坐标函数分别为ΨΑα) = HAsin(cot+aA)，(2-3)ΨδΑα) = ΗδΑ8 η(ω +αΑ),(2-4)其中，Hsa= Ha+δ Α，(2-5)δ Α为对应坐标ΨΑ的幅值差，②u+1为替代坐标函数Ψ s A (t)定义域二个端点间的某个中间点的序号，u就是与之相邻的前一个中间点或定义域的起点的序号，以，η表示替代坐标函数Ψ SA(t)定义域分段的段数，以i(i = 1、2、3、……、n)作为分段的序号，以i(i = 1、2、3、……、n，n+l)作为包括定义域的二个端点及二个端点间的中间 点在内的点的序号，二个端点分别对应着序号1及n+1，二个端点间的中间点分别对应着序 号 i(i = 2、3、......、n)，u+1对应着序号i(i = 2、3、……、η)中的某一个序号，u对应着序号i(i = 1，2、3、……、n)中与u+1相邻的前一个中间点或定义域起 点的序号，u+2对应着序号i(i = 1，2、3、……、！1，n+1)中与u+1相邻的后一个中间点或定 义域终点的序号，所述定义域起点指的是与所述替代曲线Qs起点对应的定义域的端点，所述定义域终点指的是与所述替代曲线Qs终点对应的定义域的端点，③tu+1为替代坐标函数Ψ 5A(t)定义域二个端点间序号为u+1的中间点所对应的 参数t的值，tu为与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的参数t的 值，tu+2为与序号为u+1的中间点相邻的后一个中间点或定义域终点所对应的参数t 的值，、为替代坐标函数Ψ5A(t)定义域起点所对应的参数t的值，tn+1为替代坐标函数Ψ 5A(t)定义域终点所对应的参数t的值，④替代坐标函数WSA(t)定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增 量，其数值为所述参数t的增量Δ τ A的ω倍，Δ Ta = ω Δ τ Α,(2—6)⑤Δ为替代坐标函数ΨδΑα)定义域中序号为u+1的中间点所对应的 替代坐标函数值增量，ΔΨδΑαυ+1) = ΨδΑ (tu+2) -Ψ sA (tu+1)，(2-7)其中，WSA(tu+2)为与序号为u+1的中间点相邻的后一个中间点或定义域终点所对 应的替代坐标函数值，Ψ 5A(tu+1)为序号为u+1的中间点所对应的替代坐标函数值， ΔΨ^α^为替代坐标函数WSA(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前 一个中间点或定义域起点所对应的替代坐标函数值增量，ΔΨ^α,) = WSA(tu+1)_WSA(tu)，(2-8)其中，WSA(tu+1)为序号为u+1的中间点所对应的替代坐标函数值，WSA(tu)为与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的替 代坐标函数值，⑦AO)SA(tu+1)为替代坐标函数ΨδΑα)定义域中序号为u+1的中间点所对应的 虚拟替代坐标函数值增量，Δ ΦδΑ (tu+1) = ΦδΑ (tu+2)-ΦδΑ (tu+1)，(2-9)
其中，Φ 5A(tu+2)为与序号为u+1的中间点相邻的后一个中间点或定义域终点所对 应的虚拟替代坐标函数值，Φ 5A(tu+1)为序号为u+1的中间点所对应的虚拟替代坐标函数值，⑧AO)SA(tu)为替代坐标函数WSA(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前 一个中间点或定义域起点所对应的虚拟替代坐标函数值增量，AWSA(tu) = (DSA(tu+1)-(DSA(tu)，(2-10)其中，Φ 5A(tu+l)为序号为u+1的中间点所对应的虚拟替代坐标函数值，0)SA(tu)为与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的虚 拟替代坐标函数值，⑨κ ‘ +1为正整数，是展开式(3-1)的项数，κ'彡0，(2-11)⑩κ 〃 +1为正整数，是展开式(3-2)的项数，κ 〃 彡 0，(2-12)上述⑦、⑧中所述的虚拟替代坐标函数Φ 5A(t)是为简化公式(3-1)、(3-2)的表 述设定的函数，或说是一个与Ψ SA(t)具有相同幅值Hsa、相同周期(2π/ω)、相同初始相 位α Α及相同定义域的余弦函数，其表达式为ΦδΑα) = H5aCOS (ω t+α Α),(2-13) ΦδΑω或说是虚拟坐标函数ΦΑα)的替代坐标函数，而ΦΑα)是对应坐标函数 ΨΑα)设定的虚拟坐标函数，或说是一个与ΨΑα)具有相同幅值Ha、相同周期(2 π/ω)、相 同初始相位α Α及相同定义域的余弦函数，其表达式为ΦΑ( ) = HAcos ( ω t+α Α) ,(2—14)其中，Hsa= Ha+δ Α。(2-15)对于上述第1或第2点所述的插补方法，需要说明的是(1)所述方法中替代坐标函数幅值差的取值及替代坐标函数定义域等分分段起点 所对应的参数t的等效增量的取值或分段段数的取值可根据后述第4至7点所述方法确定。(2)展开式项数的确定在按展开式(1-6)、(1-7)或(2-1)、(2-2)确定Ψ 5A(tu+1)或 Δ Ψ 5A(tu+1)时略去 了泰勒公式中的余项以简化计算。略去余项将导致插补结果误差。误差包括⑴略去余项将引起相应的WSA(tu+1)、cI>SA(tu+1)或 AWSA(tu+1)、A 0)SA(tu+1)插 补结果误差；(ii)某个中间点的插补结果误差还将导致后续中间点的插补结果误差，因为后续 中间点的位置坐标值或其增量是由前一个中间点的位置坐标值或其增量递推而得的。由式(1-20)、(1-21)可知，所述展开式项数愈多，相应的余项绝对值愈小。换句话 说，所述展开式项数愈多，略去余项导致的插补结果误差绝对值愈小。所述余项的数值大小 还与ψδΑα)的幅值及中间点所对应的参数t的等效增量等有关。①查表法确定展开式应有的项数例如，针对定义域是等分的替代坐标函数，将拟合误差允许值、Ψ SA(t)幅值、中间 点所对应的参数t的等效增量、函数值插补结果误差、展开式的项数之间的关系预先制成
16对应关系表。根据拟合误差允许值、ψδΑα)幅值、参数t的等效增量、函数值插补结果误差 允许值，即可查表确定展开式应有的项数。②以第2点所述的插补方法为例，替代坐标函数Ψ SA(t)表达式为ΨδΑα) = H5Asin(ot+aA),(2-16)式中，Hx= Ha+δ A，(2-17)其定义域为[-(αΑ/ω)、(2π/ω)-(αΑ/ω)]。所述的WSA(t)的定义域[-(αΑ/ω)、(2 π / ω ) - ( α Α/ω )]对应着 WSA(t)的一 个周期(2 π/ω)。将定义域分为4段，每段对应1/4周期；各段的定义域分别为[_(αΑ/
ω)，(>/2ω)-(αΑ/ω)]、[ ( ji /2 ω ) - ( α Α/ ω ) , 0/ω)-(αΑ/ω)]、
、[ (3 π/2 ω ) - ( α Α/ω )、(2 π / ω ) - ( α Α/ω ) ]。4 段定义域按相同方 法等分，等分分段的交点即为插补中设置的中间点。第ι段定义域中间点的ψδΑα)函数 值增量可按照式(2-1)、(2-2)确定。根据第2、3、4段定义域相对第1段定义域[_(αΑ/ ω), (π/2ω)-(αΑ/ω)]函数WSA(t)的对称性，第2、3、4段定义域中间点的Ψ SA (t)函 数值增量等于第1段定义域相应中间点的Ψ 5A(t)函数值增量(或者等于第1段相应中间 点函数值增量的负值)，无需再作计算。此时，第ι段定义域中间点ψδΑα)函数值插补结 果误差绝对值的最大值，就是整个定义域中间点ψδΑα)函数值插补结果误差绝对值的最 大值。因此，分析所述展开式项数的取值，只需针对1/4周期所对应的一段定义域[_(αΑ/ ω), (π/2ω)-(αΑ/ω)]进行即可。分析表明，如果(i)式(2-17)中的34按后述式(7-1)取值，即将δ A取值为拟合误差的允许值 ( )根据后述式(7-4)确定ΔΤΑ，取
则Μ = |ΔΓ」層=4Χ 庚’(2-19)(iii)展开式(2-1)、(2-2)项数取为4，或者说，取K = K' = K “ = 3 ；(2-20)那么，当ε A = 0. 125、0. 5、1 或 2，(2-21)且1000000 ^ Ha ^ 100，(2-22)定义域中间点WSA(t)插补结果误差绝对值的最大值ζ的数值将比拟合误差允 许值εΑ小一个数量级。换句话说，如果展开式(2-1)、(2_2)项数取为4，那么，略去余项引 起的误差可以忽略不计。经分析还可以知道，如果取κ = κ' =κ"= 2，(2-23)所述的ζ将大致与ε Α在同一个数量级。③所述展开式项数也可以用其他方法确定；例如，通过插补器之外的计算机预先 计算确定，然后作为已知条件提供给插补器。(3)原理上第1点所述方法或第2点所述方法都可用于确定中间点的位置坐标值。 但是
①第1点中参与递推运算的位置坐标值，要比第2点中参与递推运算的位置坐标 值增量数值上大得多，或者说，前者的字长要比后者的字长大得多；因而，前者比后者对插 补器资源的要求也就高得多。②参与运算的数的小数部分的位数有限，将导致插补结果出现误差。位置坐标值 的数值比其增量数值上大得多，因而，第1点所述方法比第2点所述方法由于小数部分位数 有限所导致的误差的绝对值也大得多。为减小误差，前一种方法比后一种方法需相应增多 小数部分的位数，从而对插补器资源提出更高的要求。因此，第1点所述方法比第2点所述方法，对插补器资源的要求要高得多。(4)参见图2。以序号为A的坐标函数ΨΑα)为例。如果所需路径或轮廓线的位 置坐标只包括了二个个坐标t和ΨΑ，且坐标轴t和ΨΑ构成了直角坐标系 ΟΨΑ;则所需路 径或轮廓线就是平面 ΟΨΑ上幅值为Ha、初始相位为αΑ、周期为(2π/ω)的的正弦曲线段 Zao其替代曲线就是平面幅值为Hsa、初始相位为αΑ、周期为(2π/ω)的替代正弦 曲线段ZSA。(5)参见图5。以序号为A的坐标函数ΨΑα)为例，虚拟坐标轴坐标轴ΨΑ 构成了虚拟直角坐标系ΦαΟΨα。坐标函数ψΑα)与虚拟坐标函数ΦΑα)在ΦαΟΨα虚拟 平面上的图形即为圆心在坐标轴原点0、半径为Ha的圆弧段CA。圆弧段Ca上对应参数t的 点与圆心0的连线其相对轴ΦΑ的夹角即为(cot+aA)。替代坐标函数ΨδΑα)与虚拟替代 坐标函数φδΑα)在ΦαΟΨα虚拟平面上的图形即为圆心在坐标轴原点ο、半径为Hsa的替 代圆弧段CSA。替代圆弧段Csa上对应参数t的点与圆心0的连线其相对轴ΦΑ的夹角即为 (αη+αΑ)。替代坐标函数ΨδΑα)定义域的端点与中间点对应着替代圆弧段Csa相应的端 点与中间点。图中CA、Csa分别是第一象限的圆弧段。(6)如果所述坐标Ψ“1 = 1、……、πιΨ)共有二个坐标Ψ“1 = 1、2)或说Ψ” Ψ2，对应的坐标函数Wi(t)、W2(t)可以表示为一组幅值分别为H1与H2、周期相同 为(2 π/ω)、初始相位相同为C^的余弦函数与正弦函数， ψ2 (t) = H2Sin (ω t+ α 2) = H2Sin (ω t+ α 0)，式中
= ,π α}-α0-τ —,
(2—24)
(2-25)
(2—26)
(2-27)Q2= α 0 ；那么，参见图7，在直角坐标系ΨΡΨ2下，所需路径或轮廓线即为ΨΡΨ2平面上 中心在坐标轴原点0的椭圆弧段ΖΕ。式中H1和H2为椭圆的半轴。椭圆弧SZe上对应参数 t的点与坐标轴原点ο的连线相对W1轴的夹角即为(οη+α(ι)。图中&是一个第一象限 的椭圆弧段。当 H1 = H2 = Rtl,(2-28)所述的椭圆弧段Ze即成为半径为Rtl的圆弧段Ζ。。3、如第1或2点所述的插补方法，其特点为(1)所述坐标Wk(k = 1、……、πιΨ)共有二个坐标Wk(k = 1、2)或说Ψ^ Ψ2，对应ψ。ψ2的坐标函数ψ^υ、ψ2α)可以表示为一组幅值相同为Rtl、周期相同为(2 π ω)、初始相位相同为的余弦函数与正弦函数，其表达式为 ψ2 (t) = H2Sin ( ω t+ α 2) = RtlSin ( ω t+ α 0)，式中，H1= H2 = R0, ,π+ — ,α 2 = α 0，(2)对应所述坐标Ψρ Ψ2的替代坐标函数为Ψ Rs。，函数Ψ S i (t)、Ψ Ε 2 (t)的表达式为
(3—1)
(3-2) (3-3)
(3-5)
(3—4)
Ψδι( ) = HsiCOS (cot+α 0) = R50COS (ω t+α 0), Ψ 52 (t) = HS2sin(cot+a 0) = R50Sin (ω t+α 0),
式中，Hsi = H52 = R
lSO'
H5I = H1+ δ ι = Hs2 = H2+ δ 2 = R0+ δ Ε,其中，S1= δ2 = δΕ,
α)、ψδ1ω具有相同的幅值
(3-6) (3-7) (3-8) (3-9)
(3-10)(3)对应所述坐标ψρ ψ2的替代坐标函数ψδ1α)、ψδ2ω定义域等分为相同 的η。个分段，或者说，替代坐标函数ψδ1α)、ψδ2α)定义域各分段起点对应相同的参数t 的增量Δ Te或等效增量ΔΤ。，^ = n2 = nc，(3-11)At1=AT2=ATc,(3-12)AT1=AT2=ATcq(3—13)由所述特点可知①在按第1或第2点所述的插补方法确定替代坐标函数值或其增量时，对应于坐 标函数ψ2α)的虚拟坐标函数Φ2α)就是坐标函数W1 α)， Φ2( ) = R。cos (cot+a。)= Ψ, (t),
(3-14) 对应于替代坐标函数ψδ2α)的虚拟替代坐标函数Φδ2α)就是替代坐标函数
ψδ1α)， Φδ2ω = ψδ1ω ；
(3-15)因此，在在插补计算过程中，无需为ψδ1α)、ψδ2α)另设虚拟替代坐标函数。②如果坐标轴W1和Ψ2构成了直角坐标系ΨΡΨ2，则所需路径或轮廓线即为 ΨΡΨ2平面上圆心在坐标轴原点0、半径为Rtl的圆弧段Ζ。。圆弧段Zc上对应参数t的点与 圆心ο的连线相对轴W1的夹角即为(οη+α(ι)。每个等分圆弧段所对应的圆心角为ATc = ω Δ τ co(3-16)替代曲线或说替代坐标函数Ψ Sl(t)、Ψδ2ω在W1OW2平面上的图形就是半径 为Rstl的与Zc同心的替代圆弧段Zsc。所述图形可参见图5，所述的Ψ^Ψ^ ν^。、aQ、t、Zc、ZSc分别对应图中的ΦΑ、 WA、HA、HSa、aA、t、CA、CSA。图中CA、Csa分别是第一象限的圆弧段。4、如上述第2点所述的插补方法，其特点为对应所述坐标其幅值差的取值、其替
19代坐标函数定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量的取值满足下述公式，0 ≤δ A| sin(co t+aA) |Μχ ≤ ε A,(4—1) 与公式(4-2)相应，其替代坐标函数定义域等分分段段数的取值满足下述公式， 式中， ΨΑ表示所述坐标wk(k= 1、2、3、……、Π1Ψ)中的某一个坐标，A是序号 k(k=l、2、3、……、πιΨ)中的某个序号，对应坐标ΨΑ的坐标函数与替代坐标函数分别为ΨΑ(1:) = HAsin(cot+a Α)，(4—4)ΨδΑ( ) = Hsa sin(cot+aA)，(4—5)②δ Α为对应坐标ΨΑ的幅值差，δΑ = Hsa-Ha,(4-6)③八1；为替代坐标函数屯 (0定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增 量，其数值为所述参数t的增量Δ τ A的ω倍，ATa = ω Δ τ Α,(4-7)④η为替代坐标函数WSA(t)定义域等分分段的段数，⑤tl为替代坐标函数Ψ 5A(t)定义域起点所对应的参数t的值，tn+1为替代坐标函数Ψ 5A(t)定义域终点所对应的参数t的值，⑥I sin (cot+a A) | Mx为在替代坐标函数Ψ SA (t)定义域范围内|Sin( t+aA) |的 最大值，⑦ε A为以分段线性函数Ψ su(t)拟合坐标函数WA(t)的误差绝对值
δ ψδ^Αω的允许值，δ WSL = A(t) = WSLA(t)_WA(t)，(4-8)对应替代坐标函数WSA(t)的第i(i = 1、2、3、……、n)个分段定义域，所述的分
段线性函数Ψ吣⑴为 式中，(a) i (i = 1、2、3、……、n)为替代坐标函数Ψ SA(t)定义域η个等分分段的 序号，等分分段的交点就是定义域的中间点，以Ui = 1、2、3、……、n、n+l)作为包括定义 域的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号，二个端点分别对应着序号1及n+1， 二个端点间的中间点分别对应着序号i(i = 2、3、……、n)，(b)ti(i = 1、2、3、……、η)为替代坐标函数Ψ SA(t)定义域序号为i(i = 1、2、 3、……、n)的点所对应的参数t的值，ti+1为与序号为i(i = 1、2、3、……、n)的点相邻的后一个点所对应的参数t的 值，(c) ΔΨδΑ(、) (i = 1、2、3、……、η)为替代坐标函数Ψ SA(t)定义域序号为i (i =1、2、3、……、n)的点所对应的替代坐标函数值的增量，
ΔΨ (、)=卑 (、+1)_卑 (、)，(i = 1、2、3、......,η),(4-10)其中，WSA(ti+1) (i = 1、2、3、……、n)为替代坐标函数Ψ SA(t)定义域中与序号 为i(i = 1、2、3、……、n)的点相邻的后一个点所对应的替代坐标函数值，Ψ ^(t,) (i = 1、2、3、……、n)为替代坐标函数Ψ SA(t)定义域序号为i (i = 1、 2、3、……、n)的点所对应的替代坐标函数值。δΑ、I Δ ΤΑ|的取值满足公式(4-1)、(4-2)，将使得所述的拟合误差| δ WSA_A(t) 不超过允许值ε Α。对第1点所述的插补方法，如果对应所述坐标Wk(k = 1、2、3、……、πιΨ)的各替 代坐标函数WSk(t)(k= 1、2、3、……、πιΨ)定义域是等分的，且以等分分段的交点作为定 义域的中间点；那么，同样只要K、I Δ ΤΑ|的取值满足公式(4-1)、(4-2)，就可以使得所述 的拟合误差ι s ψδΑ_Αα) I不超过允许值εΑ。参见图2。如果所需路径或轮廓线的位置坐标只包括了二个个坐标t和ΨΑ，且坐 标轴t和ΨΑ构成了直角坐标系 ΟΨΑ ；则所需路径或轮廓线即为平面 ΟΨΑ上幅值为Ηα、 初始相位为αΑ的正弦曲线段ΖΑ。其替代曲线段即为幅值为Hsa、初始相位为正弦曲
线段ΖδΑο参见图3，分段线形函数WSKA(t)的图形就是由替代正弦曲线段Zsa的η个等长内 接弦构成的折线zsu。以ψδωα)拟合ψΑα)，即相当于以折线zsu拟合zA。替代正弦曲 线段Zsa分段的交点即为需要设定的替代正弦曲线段Zsa的中间点，i(i = 1、2、3、……、 η,η+1)就是包括替代正弦曲线段Zsa的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号。根据公式(4-1)、(4-2)、(4-3)确定δ Α、| ΔΤΑ|、η取值的依据是(1)以替代圆弧段Csa的内接弦拟合圆弧段Ca的径向误差①坐标函数ψΑα)与对应的虚拟坐标函数ΦΑα)是一组具有相同幅值Ha、相同周 期(2 π/ω)、相同初始相位a Α及相同定义域的正弦函数与余弦函数，ΨΑ( ) = HAsin(cot+aA)，(4-11)ΦΑ(1:) = HAcos(cot+a A)。(4—12)替代坐标函数Ψ 5A(t)与对应的虚拟替代坐标函数Φ 5A(t)是一组具有相同幅值 Hsa、相同周期(2π/ω)、相同初始相位a Α及相同定义域的正弦函数与余弦函数，ΨδΑα) = H5Asin(ot+aA),(4-13)ΦδΑα) = H5aCos (ω t+a Α),(4—14)其中，Hsa= Ha+δ Α，(4-15)δ Α为替代坐标函数Ψ 5A(t)的幅值差。②参见图5。虚拟坐标轴坐标轴屯八构成了虚拟直角坐标系ΦΑ0ΨΑ。坐标 函数ψΑα)与虚拟坐标函数ΦΑα)在ΦαΟΨα虚拟平面上的图形即为圆心在坐标轴原点 0、半径为Ha的圆弧段CA。圆弧段Ca上对应参数t的点与圆心0的连线其相对轴ΦΑ的夹 角即为(αη+αΑ)。替代坐标函数Ψ α)与虚拟替代坐标函数Φ α)在ΦΑ0ΨΑ虚拟平 面上的图形即为圆心在坐标轴原点0、半径为Hsa的替代圆弧段CSA。圆弧段Csa上对应参 数t的点与圆心ο的连线其相对轴Φα的夹角即为(οη+αΑ)。替代坐标函数ψδΑα)定义 域的端点与中间点对应着圆弧段Csa的端点与中间点。图中CA、CSA分别是第一象限的圆弧段。③以Csa的内接弦拟合Csa的径向误差将替代圆弧段Csa分成序号为i(i = 1、2、3、……、η)的η个等分分段。每个分 段对应的参数t的等效增量为ΔΤα，是每个等分圆弧段对应的圆心角，ATa = ω Δ τ Α,(4—16)式中，Δ τ Α为每个分段对应的参数t的增量。以圆弧段Csa的η个等分分段的内接弦构成的折线拟合Csa，拟合产生的最大径向 误差绝对值I δ δΑ|发生在内接弦的中点处，且(4-17)式中，I δΗΑ|为以圆弧段(；的！!个等分圆弧段的内接弦构成的折线拟合圆弧段Ca 的最大径向误差的绝对值。④以Csa的内接弦拟合Ca的径向误差以圆弧段Csa的内接弦构成的折线拟合圆弧段Ca，其最大径向误差绝对值I δΗχ_Α| 发生在内接弦的中点或内接弦的二个端点处。如果以I δΗδ_Α,Μ|表示在中点处圆弧段Csa 内接弦拟合圆弧段Ca的径向误差绝对值，以I SHs_a,d|表示在端点处圆弧段Csa内接弦拟 合圆弧段Ca的径向误差绝对值，则所述I δΗδ_Α|将等于I δΗδ_Α,Μ|与I SHs_a,d|中数值较 大者。(a)在中点处圆弧段Csa内接弦拟合圆弧段Ca的径向误差绝对值| δ Ηδ_Α,Μ|(i)当Csa内接弦与圆弧段Ca相交，Csa内接弦就是Ca的割线， 此时， (ii)当Csa内接弦与圆弧段Ca相切，
(4—19)
(4—20)
(4—21) (4—22)
(iii)当内接弦不与圆弧段Ca相交，在圆弧Ca段外侧，
此时
(b)在内接弦的端点处圆弧段Csa各内接弦拟合圆弧段Ca的径向误差绝对值 恒为SA，
I SHs_a,d| = δΑ。(4-26)(2) δ Α、I Δ ΤΑ|、η 的取值δ Α、I Δ TaU η的取值应保证| δ HS_A |不超过允许值ε φ。由于I δΗδ_Α|等于I δΗδ_Α,Μ|、I δΗδ_Α,Β|中数值较大者；因而，⑴为满足I δΗδ_Α|不超过允许值ε Φ，必须有| SHs_a,m|、| δΗδ_Α,Β都不超过允 许值ε φ,(ii)反之，当I SHs_a,m|、| 5H8_a,d都不超过允许值εΦ，一定有| δΗδ_Α|不超过 允许值ε φ。因此，δΑ、I Δ TA|、η的取值应保证| δΗδ_Α,Μ|、| δΗδ_Α,Β都不超过允许值ε。。①δ Α的取值由于Csa内接弦端点处径向误差绝对值I SHsJ恒为δΑ，为使所述I SHs_a,d| 不超过允许值ε。，S八取值应满足下述公式， ②|ΔΤΑ|的取值(a)在端点处，以Csa内接弦拟合Ca的径向误差绝对值| SHs_a,d|恒为δΑ，只要 Sa取值满足式(4-27)，I δΗδ_Α,Β就不会超过允许值ε Φ ；| ΔΤα|的取值对| SHs_a,d|没 有影响。(b)在中点处，以Csa内接弦拟合Ca的径向误差绝对值I SHs_a,m|应不超过允许值 (i)当圆弧段Csa内接弦与圆弧段Ca相交，Csa内接弦就是Ca的割线， 此时，| 由式(4-18)可知，为使所述的拟合误差I SHs_a,m|不超过允许ε Φ, | ΔΤΑ|值应 满足下述公式，W 叫 II(ii)当圆弧段Csa内接弦与圆弧段Ca相切，拟合误差 超过允许值ε Φ,^^—狄H射J _ =去/^(ArJ — c^O〈 ，此时 (iii)当内接弦不与圆弧段Ca相交，在圆弧段外侧，此时I δΗδ_Α,Μ| < δΑ，(4-24) 由于
(4-27)的限定，拟合误差I SHs_a,m|肯定不超过允许值ε Φ,
(4-30)(iv)综合(i)、(ii)、(iii)所述可知，只要Δ Ta的取值满足公式(4-27)、(4-29)， 就可使所述的拟合误差I SHs_a,m I不超过允许值ε Φ,
(4—28)③综合①、②所述可知，为使以Csa内接弦拟合Ca的径向误差绝对值I SHs_a|不 超过允许值ε。，Sa的取值应满足下述公式，
的取值应满足下述公式，
(4-31) 或I Δ τΑ|的取值应满足下述公式， 相应地，由于 因此，圆弧段Csa的分段段数其取值应满足④I Δ Ta I的最大允许取值I Δ Ta | mx(a)为加大I ΔΤα|取值以减少分段数，δ Α的取值应尽量大，但根据式(4-27)，δ 不能超过ε Φ ；取δΑ = εφ。(4-36) 相应地，依据式(4-32) Δ Ta的取值应满足下述公式，或
丨爭
(4—37)
|Δγ」彡4X χ1 A{ ω ]jHa
(b) I Δ T1J或_6] I^U=4 X
或
(4—38)
1A I MAX
或 I Δ τ Imax 为
IT,
(4—39)
24 而且，I ATaIm^ I Atlm对应着I δΗδΑ|或| δ Ha |的最大允许值| SHsaImzx或δHA MAX，
(4—41)此时，Csa内接弦中点与端点所对应的径向误差绝对值相等，I δΗδ_Α,Μ| = I SHaImax-Sa = 2δΑ-δΑ= δΑ= | SHs_a,d|。(4—42)(3)以分段线形函数拟合坐标函数ψΑα)的误差δ ψ^=Αα)①以 拟合ψΑα)的误差记以δΨδ>Αα)，δ WSL = A(t) = Ψδ Αα)_ΨΑα)。(4-43)②参见图2至图6。在 ΟΨΑ平面上，将WSA(t)所对应的正弦曲线段Zsa分成序号 为i(i = l、2、3、……、n)的η个等分分段；在虚拟ΦΑ0ΨΑ平面上，将WSA(t)与Φ α) 所对应的圆弧段Csa分成相同的η个等分分段。序号相同的Zsa分段端点与Csa相应分段 端点所对应的t值相同，都是、(i = 1、2、3、……、n、n+l)。Zsa分段与Csa分段对应的参 数t的增量或等效增量相同。以Zsa的内接弦构成的折线拟合ZA，其拟合误差为δΨα = A(t)；以Csa的内接弦构成的折线拟合Ca，所述内接弦径向误差在坐标轴ΨΑ上的投影值记 以δΗδ=Α,ψα)。图6中，以tM,u表示一个分段中点处的参数t的值，I SHs_A,w(tM,u) I即 为对应tM,u的所述径向误差绝对值在坐标轴上的投影值。③以Csa的内接弦构成的折线拟合CA，其径向误差绝对值的最大值I SHs_a|发生 在Csa内接弦的中点或端点tM/D处，且I δΗδ_Α|在坐标轴屯4上的投影为I δΗδ^ψα^) = I SH^m7dI X I sin —tM/D+aA) |。(4-44)式中δ Hum7d表示在t^处以Csa的内接弦构成的折线拟合Ca的径向误差。④相应地认为，一个分段内，在中点或端点tM/D处以正弦曲线段Zsa的内接弦拟合 正弦曲线段Za的误差绝对值也是最大，为I S Wa_A(tM./D) I。在tM/D处，正弦曲线段Za的函数值等于圆弧段对应坐标ΨΑ的坐标函数值ΨΑαΜ/ D)，也就是等于圆弧Ca半径在ΨΑ轴上的投影，ΨΑ (tM/D) = HAsin ( ω t^+ a Α)。在tM/D处，替代正弦曲线段Zsa的内接弦Zsu的函数值Ψ SLA(tM/D)等于替代圆弧 段Csa内接弦对应坐标ΨΑ的坐标函数值，也就是等于替代圆弧段内接弦的相应点与圆心的 连线在ΨΑ上的投影。因此，在 0处，以替代正弦曲线段Zsa的内接弦Zsu拟合正弦曲线 SZa的误差，等于以替代圆弧段Csa内接弦拟合圆弧段Ca的径向误差5!1^ /1)在屯4轴上 的投影。或者说，在tM/D处以分段线性函数拟合坐标函数ΨΑα)的误差δΨ^ = A(tM/D)等于以替代圆弧段Csa内接弦拟合圆弧段Ca的径向误差SHs_A,M/D在屯4轴上的投 影，I δ Ψδι_ΑαΜ./Β) = I δΗδ^ψα^) = I δΗδ_Α,Μ/Β| X |sin(otM/D+aA) U (4-45)⑤在定义域范围内，I δ Ws^a^D) I的最大值I δ Ψ
δ L-A /D) I 體为I δ WSL_A(tM./D) Imax= I 6H5_AjM/d|MxX sin(ωtM/D+a a) mx,(4—46)式中，|Sin( tM/D+aA)|MX为在替代坐标函数WSA(t)定义域范围内|Sin( ωtM/D+aA)的最大值，I SHs_A,M/D|MX*在所述定义域范围内I δΗδ_Α’Μ/0Ι的最大值。由于I Δ Ta I或说I Δ τΑ|很小，可以认为
(4-47)式中，|sin(Gn-aA)|mx为在替代坐标函数WSA(t)定义域范围内 sin(cot+a Α) I 的最大值。因而，式(4-46)可以改写为
(4—48)由于所述的最大值I δ Ψ 5L_A(tMVD) Imax也就是所述的拟合误差δ Ψ s, = A(t)绝对 值的最大值I δ Ψδ _Αα) Imax，所述的最大值ι SHs_A,M/D|MX也就是ι δΗ“,ΜΙ、ι δΗδ_Α,Β中 数值较大者即I SHs_a| ；因此，式(4-48)可以改写为
(4-49)(4) δ A、I Δ TA|、η 的取值①δ Α的取值Csa内接弦端点处径向误差绝对值丨δΗδ_Α,」恒为δΑ,相应地,端点处以屯心⑴ 拟合ΨΑα)的误差绝对值的最大值I为SA|sin(t+aA) Imax，其值不能超过 允许值εΑ;因此，Sa取值应满足0 彡 δ A| sin (cot+α Α) |Μχ < ε A,(4—50)或0彡 δ a 彡 ε A/|sin(cot+aA) I丽。 (4-51)②|ΔΤΑ|的取值(a)在端点处，以拟合ΨΑα)的误差绝对值I δ Ψδ _Αα) |最大值恒为 5A|sin( t+aA) I 丽，只要取值满足式(4-50)，I δ WSL_A(t) | 最大值 | δ WSL_A(t) |丽就不 会超过允许值ε Α ； I Δ Ta I取值对之没有影响。(b)在中点处，以wSLA(t)拟合ψΑα)的误差绝对值的最大值I S Ψδ _Α(Γ) |ΜΧ应 不超过允许值ε Α，
ε Α。 (4-52) (i)
当丨 >歷，(4 -20)Csa内接弦与圆弧段Ca相交，Csa内接弦就是Ca的割线；此时，为满足式(4_52)的 要求，由式(4-18)、(4-52)可知，应有ΙΔΓ,Ι^ |S,-: ^XlSin^ +^Lx
A V Ha><\M^ + oca}max或
(4—53)
|Δ。丨彡丄X 8χ +、Χ丨S;— + 々L
ω vha α η(ω +ocaamax Csa内接弦与圆弧段Ca相切，中点处I δΗδ_Α,Μ|将为0，
因而，相应的Wsla(T)拟合ΨΑα)的误差I δ Ψδι_Αα) I为0， I δ Ψδ _Αω = I 6H5_A,M||sin( t+aA)|MAX = 0< ε CA。 (4-55) Csa内接弦不与圆弧段Ca相交，在圆弧段Ca外侧，此时总有I SHs-U I < 5a°(4-25)只要δ Α取值满足式(4-50)，I δ Ψ 8L_A(t) Imax都不会超过允许值ε Α,I δ WSL_A(t) |·χ = I δ HS_A,M| |sin(。t+aA) |Μχ < δ A | sin ( ω t+a A) |MX ^ ε A。 (4-56)(iv)综合(i)、(ii)、(iii)所述可知，在中点处，只要ΔΤΑ的取值满足公式 (4-53)，就可满足公式(4-52)的要求，使所述的拟合误差I s wSL_A(t) IMAX不超过允许值
ε Ao③综合①、②所述可知，为使所述的拟合误差I δ Ψ 5L_A(t) I不超过允许值ε A ； δ A 的取值应满足下述公式，0彡 δ J sin (ω t+α Α) |Μχ ^ ε A,(4-57)或0 彡 δ A ^ ε Α/| sin ( ω t+α Α) |Μχ,(4-58)Δ Ta的取值应满足下述公式，
或I Δ τΑ|的取值应满足下述公式 相应地，替代坐标函数定义域的等分分段段数η的取值应满足
(4—60) ④I ΔΤΑ I的最大允许取值(a)为加大I ΔΤα|取值，以减少分段数；δ Α的取值尽量大，但根据式(4_50) δ AI sin ( ω t+ α A) | Μχ 不能超过 ε Α ；取δ A| sin(cot+a Α) I組=ε A。(4-62)相应地，根据式(4-59)，Δ Ta的取值应满足下述公式， (b) I Δ TA|或I Δ τΑ|的最大允许取值△TA|MAX或| Δ τ |MAX为 或 而且，I ATaImax对应着I δΗδΑ|或| δ Ha |的最大允许值|δHδA|mzx或| δHA|MAX,
(4一67 )此时，以Csa内接弦拟合CA，内接弦中点与端点所对应的径向误差绝对值相等， I δ H
S-A, M
=I SHaImax-Sa = 2 δ4-δΛ = δΛ = I δΗ
A “ A
1S-AjD °
(4-68)5、如第4点所述的一种插补方法，其特点为所述|Sin( t+aA) Imax以1替换。相应地，所述δ Α、Δ Ta或η的取值满足下述公式，0≤ δ A ≤ε Α, 或 满足公式(5-1)、(5-2)或(5-3)的δ Α、| Δ Ta或η的取值，可以使得对任何 可能的定义域，都可做到以分段线性函数ψ拟合坐标函数ψΑα)的误差绝对值
δ ψδ _Αω不超过允许值εΑ。6、如第4点所述的插补方法，其特点为对应坐标ΨΑ其幅值差δ Α取值为δΑ = ε Α/I sin (cot+a A) Imaxc
(6-1)相应地，所述Λ Ta或η的取值满足下述公式， Δ Ta ι的最大允许取值I ΔΤα|μχ* 依据式(6-4)确定的ι ΛΤΑ|ΜΧ是对应ψ 5A(t)定义域所述拟合误差I δ Ψ 5L_A(t) 不超过允许值εΑ的I ΔΤα|的最大允许取值。 7、如第5点所述的插补方法，其特点为对应坐标ΨΑ其幅值差δΑ取值为εΑ， δΑ=εA。
相应地，所述Δ Ta或η的取值满足下述公式，,(7—2) \Ηα
Δ Ta I的最大允许取值I Δ Ta Imax为 依据式(7-4)确定的I ATaImax是对应任何可能的的定义域所述拟合误差 δ Ψ 5L_A(t) I都不超过允许值ε Α的ι Δ Ta I的最大允许取值。8、如第3点所述的插补方法，其特点为对应所述坐标Ψρ屯2其幅值差 取值、其替代坐标函数ψ“α)、ψδ2ω定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量
ATcI的取值满足下述公式，
与公式(8-2)相应，其替代坐标函数定义域等分分段段数η。的取值满足下述公
式， 式中，①、为替代坐标函数ψδ1α)或ψδ2α)定义域起点对应的参数t的值，t(nc+l)为替代坐标函数Ψδια)或Ψδ2α)定义域终点对应的参数t的值，②ε c为以圆弧段Zs。的等分圆弧分段内接弦拟合圆弧段Z。的径向误差的绝对值 的允许值，圆弧段Zs。为替代坐标函数Ψ S1 (t)、Ψ 52(t)在坐标轴W1和Ψ2构成的直角坐 标系Ψ々Ψ2的坐标平面上的图形，圆弧段&为坐标函数％(t)、W2(t)在坐标平面W1OW2 上的图形。所述圆弧段ZC、ZSC可参见图5，所述的Ψ^Ψ^ ν ^、Cic^lZpZsc分别对应 图中的 ΦΑ、ΨΑ、ΗΑ、ΗδΑ、aA、t、CA、CSA。满足公式(8-1)、(8-2)或(8-3)的δκ、| ΔΤ」或nc取值，将使得以圆弧段Zsc的 等分圆弧分段内接弦拟合圆弧段Z。的径向误差的绝对值不超过允许值ε co其依据见第4点中对于确定δΑ、I Δ ΤΑ|、η取值的依据的相关分析。9、如第8点所述的插补方法，其特点为所述δκ取值为ee， 相应地，所述I Δ Tc I或η。的取值满足下述公式， 或 I Δ Tc I的最大允许取值I Δ Tc IΜΧ为
(9—4)10、如第1、2或4至9点中任何一点所述的插补方法，其特点在于所述ω取值为 1，ω = 1。(10-1)也就是说，所述坐标对应的正弦坐标函数的周期为2 π。此时，所述坐标对应的替 代坐标函数定义域各分段起点所对应的参数t的等效增量，等于所述参数t的增量。11、如第3点所述的插补方法，其特征在于所述ω取值为1，ω = 1。(11-1)也就是说，所述坐标对应的正弦坐标函数的周期为2 π。此时，所述坐标对应的替 代坐标函数定义域各分段起点所对应的参数t的等效增量，等于所述参数t的增量。值得注意的是，如果一个坐标函数是由若干个函数之和构成，则该坐标函数的插 补结果等于构成该坐标函数的各个函数各自的插补结果之和。特别是，构成该坐标函数的 某个函数如果是常量，则该常量不会影响该函数的增量值。此外，所需路径或轮廓线其所在 的直角坐标系坐标轴平移时，也不影响其位置坐标值增量的数值。本发明的有益效果为本发明针对正弦函数类所需路径或轮廓线，包括正弦曲线、 椭圆曲线、圆弧曲线，提出一种设定替代曲线的新插补方法，通过只包含加、减、乘算术运算 的递推公式就可以确定曲线中间点位置坐标值或其增量，且通过设定替代曲线提高拟合精 度或减小插补运算量。所述方法运算简单，对于同样的分段段数，完成运算所需时间少，相 当于提高了插补运算速度；或者，在同等的运算时间内，允许增加曲线分段段数，从而提高 折线拟合曲线的精度。由于运算简单，这种方法可在单片计算机上实现，从而降低了插补器 的成本。因此，这种插补方法速度快，精度高，装置成本低，具有极其广阔的市场前景。
图1是本发明的坐标函数ΨΑα)插补的程序流程图，图2是本发明的正弦曲线示意图，图3是本发明的分段线性函数示意图，图4是本发明的正弦曲线段局部示意图，图5是本发明的圆弧曲线示意图，图6是本发明的圆弧曲线局部示意图，图7是本发明的椭圆曲线示意图。
具体实施方式一、参见图1，这是坐标函数ΨΑα)插补的程序流程图。所述的坐标函数为WA(t) = HAsin(cot+aA)，(Jl-I)程序由步骤(1)至步骤(9)组成(1)设定ΨΑα)的替代坐标函数Ψ 5A(t)，ΨδΑα) = ΗδΑ8 η(ω +αΑ),(Jl-2)ΗδΑ = ΗΑ+δΑ；(Jl-3)
确定替代坐标函数Ψ 5A(t)的幅值差δ Α的数值。(2)将替代坐标函数WSA(t)定义域等分，以等分分段的交点作为定义域的中间 点；确定替代坐标函数ψδΑα)定义域起点及中间点所对应的参数t的等效增量ΔΤα，其数 值为所述参数t的增量Δ τ A的ω倍，是常数，ΔΤΑ=ωΔτΑ=常数。(J1-4)(3)确定替代坐标函数WSA(t)定义域中间点的个数η-1 ；以i(i = 1、2、3、……、 n、n+l)表示包括定义域端点与中间点在内的点的序号，中间点的序号为i(i = 2、3、……、
η) ο(4)初始化i值，即将i设置为2，2— i。(J1-5)(5)确定序号为i的中间点所对应的替代坐标函数函数值增量Δ Ψ 5A(t)的值。(6)存储/输出运算结果。(7)判定i = η ？(J1-6)若i兴η，表明插补尚未完成，则转至步骤(8)，若i = n，则转至步骤(9)。⑶将i加1，并保存，i+Ι — i ；(J1-7)再转至步骤(5)，继续进行插补。(9)插补完成。二、参见图2，这是正弦曲线示意图。在直角坐标系 ΟΨΑ下的一个幅值为Ha、初始 相位为α Α的正弦曲线QA，其坐标函数为ΨΑ( = HAsin(cot+a A)。(J2—1)曲线Qa的替代曲线为幅值为Hsa、初始相位为a A的正弦曲线Qsa ；相应地，替代坐 标函数为ΨδΑα) = ΗδΑ8 η(ω +αΑ),(J2-2)式中，Hsa= Ha+δ A，(J2-3)δ Α是替代坐标函数Ψ 5A(t)的幅值差。对应于所需路径或轮廓线，坐标函数WA(t)、WSA(t)定义域为[、， η+1]。该定义 域对应的正弦曲线段记以ZA，对应的替代正弦曲线段记以ZSA。三、参见图3，这是等分分段线性函数示意图。在直角坐标系 ΟΨΑ下的替代正弦 曲线段Zsa，其替代坐标函数为WSA(t) = HSAsin(cot+aA)。(J3-1)η是替代坐标函数WSA(t)定义域的等分分段数。正弦曲线段Zsa的η个等分分 段的内接弦构成折线Zsla，其相应的分段线性函数Ψ su(t)为{t,) + ^^ {tti+1)，(i = 1、2、3、......、n)，(J3—2)式中，①i (i = 1、2、3、……、n)是替代坐标函数Ψ SA(t)定义域η个等分分段的序号，等分分段的交点就是定义域的中间点，以Ui = 1、2、3、……、n、n+l)作为包括定义 域的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号，二个端点分别对应着序号1及n+1， 二个端点间的中间点分别对应着序号i(i = 2、3、……、n)， t^i = 1、2、3、……、n、n+l)是替代坐标函数Ψ SA(t)定义域序号为i (i = 1、 2、3、……、n、n+l)的点所对应的参数t的值，tl是替代坐标函数Ψ 5A(t)定义域起点所对应的参数t的值，tN+1是替代坐标函数Ψ 5A(t)定义域终点所对应的参数t的值，[tl、tu+1]是替代坐标函数Ψ 5A(t)的定义域，③Δ τ A是替代坐标函数Ψ 5A(t)定义域各等分分段起点所对应的参数t的增量 值，是常数，Ari, = Ati = Im-I,-^1 "r' 二常数，(i = 1、2、3、 ……、！ι )，
η
(J3-3)④ΔΨδΑ(、)α = 1、2、3、……、η)是替代坐标函数Ψ SA(t)定义域序号为i(i =1、2、3、……、n)的点所对应的替代坐标函数值的增量，Δ Ψ ^ai)=卑 (、+1)-卑 (、)，(i = 1、2、3、……、！1)，(J3—4)其中，WSA(ti+1) (i = 1、2、3、……、n)是替代坐标函数Ψ SA(t)定义域中与序号 为i(i = 1、2、3、……、n)的点相邻的后一个点所对应的替代坐标函数值，Ψ ^(t,) (i = 1、2、3、……、n)是替代坐标函数Ψ SA(t)定义域序号为i (i = 1、 2、3、……、n)的点所对应的替代坐标函数值。图中，η= 4。(J3-5)四、参见图4，这是正弦曲线段局部示意图。示意图表示相应于定义域[t1; tn+1] 的一个分段，正弦曲线段Za、替代正弦曲线段Zsa及由替代正弦曲线段Zsa内接弦构成的折 线Zsla之间的关系。图中以u表示所示分段的序号。该分段对应的参数t的区间为[tu， tu+1] o [tu，tu+1]的中;^、以 tM，u 表不 ο ^^( μ,ιι)、华 δΑ (^M, u)、^7 SLA (tM,u)分别是对应于tM,u函 数 ψΑα)、ψδΑα)、ψδ1Αα)的值。sws_u(tM,u)是对应于点⑴拟合 ψΑα) 的误差s ψδ_ωα)，δ Ws_LA(tM,u) = WSLA(tM,u)-WA(tM,u)。(J4-1)五、参见图5，这是圆弧曲线示意图。在直角坐标系ΦΑ0ΨΑ下的一个圆心在坐标 轴原点0、半径为Ha的圆弧曲线Q。，其坐标函数为ΨΑα = HAsin(cot+aA)，(J5-1)
ΦΑ( ) = HAcos ( ω t+a Α)。(J5-2)
圆弧Qc上对应参数t的点与圆心0的连线其相对轴ΦΑ的夹角即为("t+a
替代圆弧曲线Qes为圆心在坐标轴原点0、半径为Hsa的圆弧，其坐标函数为
Ψ 5A(t) = HSAsin(cot+a A)，(J5-3)
Φ 5A(t) = HsaCOS (cot+α Α)，(J5-4)
式中 Hsa = Ha+δ A，(J5-5)
的幅值差。
圆弧Qcs上对应参数t的点与圆心0的连线其相对轴ΦΑ的夹角即为("t+
坐标函数屯4(0、公4(0、屯 (0、公 (0定义域为[、， η+1]。该定义域对应的 圆弧曲线段记以CA，对应的替代圆弧曲线段记以Csa ；替代圆弧段Csa上的一个分段所对应 的参数t的等效增量记以ΔΤα。图中CA、Csa分别是第一象限的圆弧段。六、参见图6，这是圆弧曲线局部示意图。示意图表示相应于第一象限圆弧段Ca的 一个分段，其圆弧段Ca、替代圆弧段Csa及由替代圆弧曲线段Csa内接弦之间的关系。①图中圆弧段Csa的内接弦是圆弧段Ca的割线。以圆弧段Csa内接弦构成的折线 拟合圆弧段CA，实际上就是由圆弧段Ca的割线构成的折线拟合圆弧段Ca ；从而减小拟合的 误差。②以tM,u表示一个分段中点处的参数t的值。对应tM,u，所述Csa内接弦拟合Ca的 径向误差绝对值在坐标轴上的投影值即为I SHs_AW(tM,u) I。③圆弧段Csa的等分分段对应的圆心角为Δ Ta。以λ SA表示圆弧段Csa —个分段
的内接弦的长度。对应于、有 式中，ΔΤΑ = ω Δ τ
(J6-3)七、参见图7，这是椭圆曲线示意图。在直角坐标系ΨΡΨ2下的中心在坐标轴原 点0的椭圆曲线Qe，其坐标函数为 式
中
α 2 = α 0,(J7-4)H1, H2为椭圆的半轴，椭圆曲线Qe上对应参数t的点与坐标轴原点0的连线相对 W1轴的夹角即为(ωt+α(l)。坐标函数Ψ1(t)、Ψ2(t)定义域所对应的椭圆曲线段记以ZE; 图中Ze是一个第一象限的椭圆弧段。八、实施例所需路径或轮廓线是在直角坐标平面Ψχ0Ψγ上圆心在坐标轴原点0、半径为Rtl的 第1象限圆弧段Ζ。。其坐标函数为Ψχ( ) = R0cost,Ψγ( ) = R0Sinto Rn = 50000。圆弧段Zc上对应参数t的点与圆心0的连线相对轴Ψχ的夹角即为参数t。
要求以折线拟合圆弧段Zc的最大径向误差绝对值不超过εεΓ = 0·5。
(L-4)参见图5，所述％、屯^礼、12。分别是图中的％、屯^1(；。对于本例，图中
αΑ等于0。以替代圆弧段Zsc的内接弦构成的折线拟合圆弧段Ζ。。其插补过程如下1、设定替代曲线确定幅值差(1)设定替代曲线将第1象限圆弧段Ζ。的替代曲线设定为与之同心的圆弧。，以替代圆弧段Zsc 的内接弦拟合圆弧段Ζ。。参见图5，Zs。是图中的CSA。Zs。的坐标函数为Ψδχα) = R50Cost,Ψδγα) = R50Sint,Rso = R0+δ R。(2)确定 Ψ 5x(t)、Ψ 5Y(t)的幅值差 δ根据公式(9-1)，取
δ R = ε r = 0. 5,
\1/
5 6--
Λ Λ α /. /.
8)-9)则Rso = R0+δ κ = 50000. 5。参见图5，Ψχ、WY、RSQ、t、ZSc 分别是图中的 ΦΑ、WA、HSA、t、CSA。2、确定内接弦对应的圆心角Δ Tc与圆弧段Zsc的分段(1)确定 ATc将圆弧段Zs。等分。以Δ T。表示圆弧段Zs。各等分分段起点所对应的参数t的等 效增量，ATc也就是圆弧段Zsc内接弦对应的圆心角。对于本例，ATc等于所述参数t的增 量 Δ tc， ATc = Δ τ cc
(L-IO) 本例要求Zsc内接弦拟合Zc的径向误差绝对值的最大值I SRs^mI不超过0.5，则 根据公式(4-37)， 取I ATcI = 0.012649，(L-12)(2)确定圆弧段Zsc分段段数依据式(L-12)确定的ATc值对圆弧段Zsc进行分段，其分段段数理论值！^应为
实际分段段数 只能是整数，取 nc = 125。
此时，I ΔΤ。|实际值为
K: I=
(L-14)
π
π
2 χ nc 2x125
=0.01257c
(L—15)
根据公式(4-18)，此时Zsc内接弦拟合Zc中点处径向误差为 5R
δ -0, M
=I δΚδ」-δκ = 0.487 < εΓ。 (L-16)
根据公式(4-26)，Z5c内接弦拟合Zc端点处的径向误差绝对值为|SRs_。,d|= δΕ = ε。= 0.5。(L—17)3、确定替代坐标函数定义域中间点的位置坐标值以ic(ic= 1、2、3、……、125、126)表示构成逼近圆弧Zc的折线的125个内接弦的
起点及最后一个内接弦的终点在内的各点的序号，也就是坐标函数ψδχα)、ψδΥω定义 域的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号。二个端点分别对应着序号1及126。 二个端点间的中间点分别对应着序号ic = 2、3、......、125。(L—18)(1)当ic= 1，即圆弧段Zc起点，其位置坐标值为已知Ψ S5iU1) = R50 = 50000. 5，(L—19)Ψ SyU1) = 0,(L-20)式中、=0。(L-21)(2)当ic = 2 125，以u+1表示ic(ic = 2、3、……,125)中的某个中间点的序 号，u代表与之相邻的前一个点的序号，①根据第3点可知，Ψχα)可视为Ψγα)的虚拟坐标函数，可根据展开式(2-1)、 (2-2)确定圆弧段各中间点的坐标函数值增量。根据第2点对于展开式项数的分析，将展开 式(2-1)、(2-2)的项数取为4。因此， 对应圆弧段起点的位置坐标值增量AWSx(tl)、AWSY(tl)，可由其它计算机确定 并将之作为后续插补运算的已知条件。②相应的各中间点的位置坐标值Ψ sx(tu+1)、Ψ 5Y(tu+1)由下式确定Ψ δ χ (tu+1) = Ψδχ( (tu) + ΔΨδχ (tu)，(L-24)Ψ δ γ (tu+1) = Ψδγ (tu) + ΔΨδγ (tu)。(L-25)(3)当、=125，即对应最后一个中间点，其相应的位置坐标值增量Δ Ψ sx((t125)、 ΔψδΥα125)无需计算；因为最后一个内接弦的终点即圆弧段zs。的终点，其位置坐标值是 已知的，Ψδχα 26) = 0,(L-26)Ψδγ( 126) = 50000. 5。(L-27)如果不设替代曲线，直接以圆弧段Zc的内接弦拟合圆弧段Zc ；为了保证内接弦相 对圆弧段Zc的径向误差绝对值不超过^，则应有
(L一28)若取 则式(L-29)的I Δ Tc I取值是式(L_12)的| Δ TcI取值的1/VI倍。由此可见，在保 证最大径向误差绝对值不超过相同的允许值ε e条件下，设定替代曲线将允许减小分段段 数，从而减小插补运算量。由于第一象限的1/4圆弧相对角XOY的平分线是对称的；因此，插补可以只针对圆 心角为0 (π/4)部分的圆弧进行。圆心角为(π/4) (π/2)部分的圆弧的位置坐标 值或其增量可利用所述的对称性获得，计算量可以节省约50%。
权利要求
一种设定替代曲线的新插补方法，其所针对的所需路径或轮廓线Q上的点的位置坐标ΩP(p＝1、2、3、……、mΩ)中包括有一个或若干个坐标Ψk(k＝1、2、3、……、mΨ)，对应所述一个或若干个坐标Ψk(k＝1、2、3、……、mΨ)的坐标函数分别可以表示为以参数t为自变量、幅值分别为Hk(k＝1、2、3、……mΨ)、初始相位分别为αk(k＝1、2、3、……、mΨ)、周期相同为(2π/ω)的正弦函数，其表达式为Ψk(t)＝Hksin(ωt+αk)，(k＝1、2、3、……、mΨ)，(1-1)所述曲线Q对应坐标Ψk(k＝1、2、3、……、mΨ)的坐标函数指的是描述所述曲线Q上的点的位置坐标Ψk(k＝1、2、3、……、mΨ)变化的以参数t为自变量的函数，所述参数t可以是该曲线Q上的点的位置坐标ΩP(p＝1、2、3、……、mΩ)中的一个坐标，也可以是这些坐标之外的另一个参数，所述曲线Q各坐标函数的定义域相同，定义域的二个端点分别与曲线Q二个已知点对应着相同的t值，针对所需路径或轮廓线的插补就是针对其坐标函数的插补，针对坐标函数Ψk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)的插补步骤包括，(1)设定对应所述坐标Ψk(k＝1、2、3、……、mΨ)的替代坐标函数Ψδk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)，所述的对应所述坐标Ψk(k＝1、2、3、……、mΨ)的替代坐标函数Ψδk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)是替代所需路径或轮廓线Q的替代曲线Qδ对应所述坐标Ψk(k＝1、2、3、……、mΨ)的坐标函数，或说是坐标函数Ψk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)的替代坐标函数，(2)确定替代坐标函数Ψδk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)定义域二个端点间的中间点，包括，①确定所述中间点所对应的参数t的值或其增量Δt的值，②确定所述中间点的个数，所述插补中确定的中间点将所述定义域分成分段，每个分段定义域对应一个线性函数，所述各个分段定义域的端点所对应的线性函数值与所对应的替代坐标函数值相等，整个定义域将对应一个由各个分段定义域对应的线性函数组成的分段线性函数ΨδLk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)，而坐标函数Ψk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)将以分段线性函数ΨδLk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)拟合，(3)确定所述中间点的替代坐标函数值或其增量值，(4)存储/输出运算结果，其特征在于(1)对应所述坐标Ψk(k＝1、2、3、……、mΨ)的替代坐标函数设定为与相应的坐标函数Ψk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)具有相同周期(2π/ω)、相同初始相位αk(k＝1、2、3、……、mΨ)、相同定义域但不同幅值的正弦函数，其表达式为Ψδk(t)＝Hδksin(ωt+αk) (k＝1、2、3、……、mΨ)，(1-2)式中，Hδk＝Hk+δk， (k＝1、2、3、……、mΨ)，(1-3)其中δk(k＝1、2、3、……、mΨ)为替代坐标函数Ψδk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)的幅值差，或说是对应所述坐标Ψk(k＝1、2、3、……、mΨ)的幅值差，其数值等于替代坐标函数Ψδk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)幅值Hδk(k＝1、2、3、……、mΨ)相对相应的坐标函数Ψk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)幅值Hk(k＝1、2、3、……、mΨ)之差，δk＝Hδk-Hk，(k＝1、2、3、……、mΨ)，(1-4)δk≥0，(k＝1、2、3、……、mΨ)，(1-5)(2)将对应所述坐标Ψk(k＝1、2、3、……、mΨ)的各替代坐标函数Ψδk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)定义域分段，以分段的交点作为定义域的中间点，所述定义域中间点所对应的替代坐标函数值Ψδk(t)(k＝1、2、3、……、mΨ)，基于泰勒公式按下述展开式确定， <mrow><msub> <mi>Ψ</mi> <mi>δA</mi></msub><mrow> <mo>(</mo> <msub><mi>t</mi><mrow> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn></mrow> </msub> <mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><msub> <mi>Ψ</mi> <mi>δA</mi></msub><mrow> <mo>(</mo> <msub><mi>t</mi><mi>u</mi> </msub> <mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><msub> <mi>Φ</mi> <mi>δA</mi></msub><mrow> <mo>(</mo> <msub><mi>t</mi><mi>u</mi> </msub> <mo>)</mo></mrow><mrow> <mo>(</mo> <mi>Δ</mi> <msub><mi>T</mi><mi>u</mi> </msub> <mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn></mfrac><msub> <mi>Ψ</mi> <mi>δA</mi></msub><mrow> <mo>(</mo> 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(1-10)δA为对应坐标ΨA的幅值差，②u+1为替代坐标函数ΨδA(t)定义域二个端点间的某个中间点的序号，u就是与之相邻的前一个中间点或定义域起点的序号，以，n表示替代坐标函数ΨδA(t)定义域分段的段数，以i(i＝1、2、3、……、n)作为分段的序号，以i(i＝1、2、3、……、n，n+1)作为包括定义域的二个端点及二个端点间的中间点在内的点的序号，二个端点分别对应着序号1及n+1，二个端点间的中间点分别对应着序号i(i＝2、3、……、n)，u+1对应着序号i(i＝2、3、……、n)中的某一个序号，u对应着序号i(i＝1，2、3、……、n)中与u+1相邻的前一个中间点或定义域起点的序号，u+2对应着序号i(i＝1，2、3、……、n，n+1)中与u+1相邻的后一个中间点或定义域终点的序号，所述定义域起点指的是与所述替代曲线Qδ起点对应的定义域的端点，所述定义域终点指的是与所述替代曲线Qδ终点对应的定义域的端点，③tu+1为替代坐标函数ΨδA(t)定义域二个端点间序号为u+1的中间点所对应的参数t的值，tu为与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的参数t的值，tu+2为与序号为u+1的中间点相邻的后一个中间点或定义域终点所对应的参数t的值，t1为替代坐标函数ΨδA(t)定义域起点所对应的参数t的值，tn+1为替代坐标函数ΨδA(t)定义域终点所对应的参数t的值，④ΔTu为替代坐标函数ΨδA(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的参数t的等效增量，其数值为相应的所述参数t的增量Δtu的ω倍，ΔTu＝ωΔtu，(1-11)Δtu＝tu+1-tu，(1-12)⑤ΨδA(tu+1)为替代坐标函数ΨδA(t)定义域中序号为u+1的中间点所对应的替代坐标函数值，⑥ΨδA(tu)为替代坐标函数ΨδA(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的替代坐标函数值，⑦ΦδA(tu+1)为替代坐标函数ΨδA(t)定义域中序号为u+1的中间点所对应的虚拟替代坐标函数值，⑧ΦδA(tu)为替代坐标函数ΨδA(t)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的虚拟替代坐标函数值，⑨v′+1为正整数，是展开式(1-10)的项数，v′≥0， (1-13)⑩v″+1为正整数，是展开式(1-11)的项数，v″≥0， (1-14)上述⑦、⑧中所述的虚拟替代坐标函数ΦδA(t)是一个与替代坐标函数ΨδA(t)对应的函数，或说是一个与ΨδA(t)具有相同幅值HδA、相同周期(2π/ω)、相同初始相位αA及相同定义域的余弦函数，其表达式为ΦδA(t)＝HδAcos(ωt+αA)。，， (1-15)
2.如权利要求1所述的插补方法，其特征在于(1)将对应所述坐标Wk(k= 1、2、3、……、πιΨ)的各替代坐标函数WSk(t) (k = 1、2、 3、……、πιΨ)定义域等分，以等分分段的交点作为定义域的中间点，(2)所述定义域中间点所对应的替代坐标函数值增量AWSk(t)(k=1、2、3、……、 πιΨ)，基于泰勒公式按下述展开式确定 式中，φΨΑ表示所述坐标Wk(k= 1、2、3、……、Π1Ψ)中的某个坐标，A为序号k(k = 1、2、3、……、πιΨ)中的某个序号，对应坐标ΨΑ的坐标函数与替代坐标函数分别为WA(t) = HAsin(cot+aA)，(2-3)ΨδΑα) = ΗδΑ8 η(ω +αΑ), (2-4)其中，Hsa = Ha+δ A，(2-5)Sa为对应坐标ΨΑ的幅值差，②u+1为替代坐标函数ΨsA (t)定义域二个端点间的某个中间点的序号，u就是与之相 邻的前一个中间点或定义域的起点的序号，以，η表示替代坐标函数Ψ 5A(t)定义域分段的段数， 以Ui = 1、2、3、……、n)作为分段的序号，以Ui = 1、2、3、……、n，n+l)作为包括定义域的二个端点及二个端点间的中间点在内 的点的序号，二个端点分别对应着序号1及n+1，二个端点间的中间点分别对应着序号i(i=2、3、......、η),u+1对应着序号i(i = 2、3、……、n)中的某一个序号，u对应着序号i(i = 1，2、3、……、n)中与u+1相邻的前一个中间点或定义域起点的序号，u+2对应着序号i(i = 1，2、3、……、n，n+l)中与u+1相邻的后一个中间点或定义域 终点的序号，所述定义域起点指的是与所述替代曲线Qs起点对应的定义域的端点， 所述定义域终点指的是与所述替代曲线Qs终点对应的定义域的端点，③tu+1为替代坐标函数Ψ5A(t)定义域二个端点间序号为u+1的中间点所对应的参数 t的值，tu为与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的参数t的值， tu+2为与序号为u+1的中间点相邻的后一个中间点或定义域终点所对应的参数t的值， 、为替代坐标函数Ψ 5A(t)定义域起点所对应的参数t的值， tn+1为替代坐标函数Ψ 5A(t)定义域终点所对应的参数t的值，④八1；为替代坐标函数屯 (0定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量，其 数值为所述参数t的增量Δ τ A的ω倍，ATa = ω Δ τ Α，(2-6)⑤AWSA(tu+1)为替代坐标函数ΨδΑα)定义域中序号为u+1的中间点所对应的替代 坐标函数值增量，ΔψδΑαυ+1) = ψδΑαυ+2)-ψδΑαυ+1),(2-7)其中，ΨδΑ(、+2)为与序号为u+1的中间点相邻的后一个中间点或定义域终点所对应的 替代坐标函数值，ψδΑαυ+1)为序号为u+i的中间点所对应的替代坐标函数值，⑥ΔWSA(tu)为替代坐标函数ΨδΑα)定义域中与序号为u+1的中间点相邻的前一个 中间点或定义域起点所对应的替代坐标函数值增量，ΔΨδΑα,) = WSA(tu+1)-WSA(tu)，(2-8)其中，ΨδΑ(、+1)为序号为u+1的中间点所对应的替代坐标函数值， ΨδΑ^)为与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的替代坐 标函数值，⑦AO)SA(tu+1)为替代坐标函数ΨδΑα)定义域中序号为u+1的中间点所对应的虚拟 替代坐标函数值增量， 其中，Φ 5A(tu+2)为与序号为u+1的中间点相邻的后一个中间点或定义域终点所对应的 虚拟替代坐标函数值，φδΑαυ+1)为序号为u+i的中间点所对应的虚拟替代坐标函数值， AOSA(tu)为替代坐标函数ΨδΑα)定义域中与序号为u+l的中间点相邻的前-中间点或定义域起点所对应的虚拟替代坐标函数值增量， 其中，ΦδΑ(、+1)为序号为U+1的中间点所对应的虚拟替代坐标函数值， 05A(tu)为与序号为u+1的中间点相邻的前一个中间点或定义域起点所对应的虚拟替 代坐标函数值，⑨κ‘ +1为正整数，是展开式(2-1)的项数， (2-11)⑩κ“ +1为正整数，是展开式(2-2)的项数， (2-12)上述⑦、⑧中所述的虚拟替代坐标函数Φ SA(t)是一个与替代坐标函数ψδΑα)对应 的函数，或说是一个与WSA(t)具有相同幅值Hsa、相同周期(2π/ω)、相同初始相位%及 相同定义域的余弦函数，其表达式为
3.如权利要求1或2所述的插补方法，其特征在于⑴所述坐(k= 1、Π1Ψ)共有二个坐标Wk(k = 1、2)或说Ψ^ Ψ2，对应ψ^ ψ2的坐标函数Wi(t)、Ψ2α)可以表示为一组幅值相同为R。、周期相同为(2 π/ω)、 初始相位相同为的余弦函数与正弦函数，其表达式为 式中，H1 = H2 = R0,,π 丨= + (2)对应所述坐标Ψρ Ψ2的替代坐标函数为Ψ 函数ψδ1α)、ψδ2α)的表达式为(3-2) (3-3)(3-5)(3—4)α)、ψδ2ω具有相同的幅值R60'▲ 1\ι/、 “ b 2 ν H ^^ νΨδι( ) = HSlcos(cot+a 0) = R50Cos (ω t+α 0), (3_ Ψ 52 (t) = HS2sin(cot+a 0) = R5(lsin (ω t+a 0), (3--6) -7)式中，Hsi = H52 = RlSO'H5I = H1+ δ ι = Hs2 = H2+ δ 2 = R0+ δ Ε,其中，S1= δ2 = δΕ,(3-8) (3-9) (3-10)(3)对应所述坐标ψρ ψ2的替代坐标函数ψS1 α)、ψδ2ω定义域等分为相同的nc 个分段，或者说，替代坐标函数ψδ1α)、ψδ2α)定义域各分段起点对应相同的参数t的增 量Δ τ。或等效增量ATC，6Ii1 = n2 = nc,(3-11)AT1=AT2=ATC,(3-12)AT1 = AT2 = ATC。(3-13)
4.如权利要求2所述的插补方法，其特征在于对应所述坐标其幅值差的取值、其替代 坐标函数定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量的取值满足下述公式，0 彡 δ A| sin(cot+a Α) |Μχ < ε A，(4—1) 式中，φΨΑ表示所述坐标Wk(k= 1、2、3、……、πιΨ)中的某一个坐标，A是序号k(k =1、2、3、……、πιΨ)中的某个序号，对应坐标ΨΑ的坐标函数与替代坐标函数分别为ΨΑα) = HAsin(ot+aA),(4-4)ΨδΑα) = H5Asin(ot+aA),(4-5)②Sa为对应坐标ΨΑ的幅值差，δΑ = Hsa-Ha,(4-6)③八1；为替代坐标函数屯 (0定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量，其 数值为所述参数t的增量Δ τ A的ω倍，Δ Ta = ω Δ τ Α，(4-7)④η为替代坐标函数ΨSA (t)定义域等分分段的段数，⑤、为替代坐标函数Ψ5A(t)定义域起点所对应的参数t的值，tn+1为替代坐标函数Ψ 5A(t)定义域终点所对应的参数t的值，⑥|Sin(Gn+aA)Imax为在替代坐标函数ψ SA(t)定义域范围内|Sin( t+aA) |的最 大值，⑦εΑ为以分段线性函数拟合坐标函数ψΑα)的误差绝对值ιδ Ψα_Αα) 的允许值，5w8L = A(t) = ψδΙΑα)-ψΑα),(4-8)对应替代坐标函数ψ α)的第i(i = 1、2、3、……、n)个分段定义域，所述的分段线 性函数ψ吣⑴为L(,) = (0 + ^^(H,)， “二1、2、3、……、n)， (4-9) Δ、式中，(a)i(i = 1、2、3、……、n)为替代坐标函数Ψ SA(t)定义域η个分段的序号，分 段的交点就是定义域的中间点，以Ui = 1、2、3、……、n、n+l)作为包括定义域的二个端点 及二个端点间的中间点在内的点的序号，二个端点分别对应着序号1及n+1，二个端点间的 中间点分别对应着序号Ui = 2、3、……、n)，(b)ti(i= 1、2、3、……、n)为替代坐标函数WSA(t)定义域序号为i(i = 1、2、3、……、 η)的点所对应的参数t的值，ti+1为与序号为i(i = 1、2、3、……、n)的点相邻的后一个点所对应的参数t的值，(c)ΔΨδΑα ) (i = 1、2、3、……、n)为替代坐标函数WSA(t)定义域序号为i(i = 1、 2、3、……、n)的点所对应的替代坐标函数值的增量，ΔΨδΑα ) = ΨδΑα +1)-ΨδΑ(、)，(i = 1、2、3、……、！1)，(4-10)其中，Ψ 5A(ti+1) (i = 1、2、3、……、n)为替代坐标函数Ψ 5A(t)定义域中与序号为i (i =1、2、3、……、n)的点相邻的后一个点所对应的替代坐标函数值，Ψ ^ai) (i = 1、2、3、……、n)为替代坐标函数WSA(t)定义域序号为i(i = 1、2、 3、……、n)的点所对应的替代坐标函数值。
5.如权利要求4所述的一种插补方法，其特征在于所述Isin (ω t+ a A) I mx以1替换。
6.如权利要求4所述的插补方法，其特征在于对应坐标屯4其幅值差δΑ取值为δΑ = ε A/|sin(cot+aA) |Μχ。(6—1)
7.如权利要求5所述的插补方法，其征在于对应坐标屯4其幅值差δΑ取值为εΑ， δΑ = εΑ。(7-1)
8.如权利要求4所述的插补方法，其特征在于对应所述坐标▽1、屯2其幅值差 取值、其替代坐标函数ψ“α)、ψδ2ω定义域等分分段起点所对应的参数t的等效增量ATcI的取值满足下述公式， 式中，ε。为以圆弧段Zs。的等分圆弧分段内接弦拟合圆弧段Ζ。的径向误差的绝对值的 允许值，圆弧段Zsc为替代坐标函数Ψ (t)、Ψ S2(t)在坐标轴W1和Ψ2构成的直角坐标 系Ψ々Ψ2的坐标平面上的图形，圆弧段Zc为坐标函数Wjt)、Ψ2α)在坐标平面W1OW2 上的图形。
9.如权利要求8所述的插补方法，其特征在于所述δκ取值为ee， δΕ = ec。(9-1)
10.如权利要求1、2或4至9中任何一项权利要求所述的插补方法，其特征在于所述 ω取值为1，ω = 1。(10-1)
11.如权利要求3所述的插补方法，其特征在于所述ω取值为1，
全文摘要
本发明公开一种设定替代曲线的新插补方法，所述插补方法针对正弦函数类所需路径或轮廓线，包括正弦曲线、椭圆曲线、圆弧曲线，通过只包含加、减、乘算术运算的递推公式就可以确定曲线中间点位置坐标值或其增量，且通过设定替代曲线提高拟合精度或减小插补运算量。所述方法运算简单，对于同样的分段段数，完成运算所需时间少，相当于提高了插补运算速度；或者，在同等的运算时间内，允许增加曲线分段段数，从而提高折线拟合曲线的精度。由于运算简单，这种方法可在单片计算机上实现，从而降低了插补器的成本。因此，这种插补方法速度快，精度高，装置成本低，具有极其广阔的市场前景。
文档编号G05B19/41GK101881954SQ201010173650
公开日2010年11月10日 申请日期2010年4月27日 优先权日2009年5月6日
发明者陈学恭 申请人:陈学恭