基于偏差分离的状态反馈线性控制方法与流程

本发明涉及自动化控制领域中的控制系统设计方法，具体是涉及一种基于偏差分离的状态反馈线性控制方法。

背景技术：

在工程实际中，不确定性与非线性普遍存在于被控系统中。为了解决不确定性与非线性对被控系统造成的影响，常用的控制方法主要有两大类：第一大类方法即鲁棒控制方法，采用不确定性界的信息来参与控制器设计。然而，由于不确定性界的信息在工程实际中很难准确获取，系统设计往往采用“最坏情况”进行界的估计，这导致鲁棒控制方法的保守性。另一大类方法是各种自适应控制方法，通过对不确定性的逼近或估计来及时修正控制器的参数，使得控制系统稳定和保持期望的控制性能。这类方法常常假定不确定性有界，所得到的控制结构与算法也相当复杂。

技术实现要素：

本发明通过现有技术的不足，提供一种基于偏差分离的状态反馈线性控制方法；该方法不仅能够补偿不确定性与非线性对被控系统造成的影响，而且设计出的控制结构与算法简单，操作方便。

基于偏差分离的状态反馈线性控制方法，其主要按照以下步骤进行：

首先，考虑不确定非线性系统：

其中，x(t)∈Rⁿ,u(t)∈R^m(m≤n)与w(t)∈R^p分别为该系统的状态变量、控制输入以及外部扰动；假定x＝0是系统(1)的平衡点，在实际工程设计中，系统(1)在x＝0附近可分成两部分：用线性微分方程描述的主体部分与模型偏差部分，即系统(1)重写为

其中，A∈R^n×n,B∈R^n×m为已知的常值矩阵，D(x,u,w)∈Rⁿ为模型偏差，该模型偏差包括系统的非线性与不确定性；不失一般性，假定{A,B}能控；

其次，提出线性控制结构：

u(t)＝u₀(t)+u_e(t) (3)

式中，u₀(t)＝Kx，其中K的选取使得矩阵A_k(＝A+BK)的全部特征值均具有负实部；其中Δ＞0，矩阵η₁,η₂∈R^n×m的选取使得||Bu_e+D(x,u,w)||尽量小；

再次，设计控制器，对于若存在L₁,L₂∈(0,β)，且β²＞eL₁(L₁+L₂)，并满足下列条件：

i)||D₁(x₁,u,w,t)-D₁(x₂,u,w,t)||≤L₁||x₁-x₂||

ii)||D₂(x₁,u,w,t)-D₂(x₂,u,w,t)||≤L₂||x₁-x₂||，

则控制器(3)使得系统(2)在平衡点x＝0上的指数渐近稳定，其中，Δ∈[0,-L₁β^-2+β^-1ln[β²/L₁(L₁+L₂)])，β＝max{-Re(λ_i),i＝1,2,…,n}，λ_i为A_k的特征值。

本发明通过构造观测器在线获取被控对象模型偏差的信息，进而设计简单的线性控制结构补偿不确定性与非线性带来的影响。相比于传统的控制方法，本发明不仅给出一种控制系统设计方法，能够设计出简单的控制结构与算法，还可以减少甚至抵消不确定性与非线性的影响，满足快速性、可实现性和高可靠性方面的要求，具有较好的工程意义。

附图说明

图1为基于偏差分离的状态反馈线性控制原理图；

图2为系统状态变量x的仿真结果图；

图3为系统状态变量φ₁的仿真结果图；

图4为系统状态变量φ₂的仿真结果图；

图5为系统状态变量φ₃的仿真结果图；

图6为线性控制量u的仿真结果图；

图7为变结构控制量u的仿真结果图。

具体实施方式

以下结合附图和具体实施例对本发明进行详细描述，但不作为对本发明的限定。

参照图1，本发明基于偏差分离的状态反馈线性控制方法，其主要按照以下步骤进行：

首先，考虑不确定非线性系统：

其中，x(t)∈Rⁿ,u(t)∈R^m(m≤n)与w(t)∈R^p分别为该系统的状态变量、控制输入以及外部扰动；假定x＝0是系统(1)的平衡点，在实际工程设计中，系统(1)在x＝0附近可分成两部分：用线性微分方程描述的主体部分与模型偏差部分，即系统(1)重写为

其中，A∈R^n×n,B∈R^n×m为已知的常值矩阵，D(x,u,w)∈Rⁿ为模型偏差，该模型偏差包括系统的非线性与不确定性；不失一般性，假定{A,B}能控；

其次，提出线性控制结构：

u(t)＝u₀(t)+u_e(t) (3)

式中，u₀(t)＝Kx，其中K的选取使得矩阵A_k(＝A+BK)的全部特征值均具有负实部；其中Δ＞0，矩阵η₁,η₂∈R^n×m的选取使得||Bu_e+D(x,u,w)||尽量小；

再次，设计控制器，对于若存在L₁,L₂∈(0,β)，且β²＞eL₁(L₁+L₂)，并满足下列条件：

i)||D₁(x₁,u,w,t)-D₁(x₂,u,w,t)||≤L₁||x₁-x₂||

ii)||D₂(x₁,u,w,t)-D₂(x₂,u,w,t)||≤L₂||x₁-x₂||，

则控制器(3)使得系统(2)在平衡点x＝0上的指数渐近稳定，其中Δ∈[0,-L₁β-²+β^-1ln[β²/L₁(L₁+L₂)])，β＝max{-Re(λ_i),i＝1,2,…,n}，λ_i为A_k的特征值。

参照图1～7，三级倒立摆系统的稳定控制问题：三级倒立摆系统的状态变量为

式中，x是台车的位移，φ₁,φ₂,φ₃分别是一摆、二摆和三摆的角度；系统参数如表A：

表A

在X＝0附近对倒立摆的非线性模型线性化，可得线性模型如下：

其中A_i为系统常量如表1：

表1

取倒立摆的线性模型作为标称系统，且系统完全能控，设其期望的闭环极点为：

p＝[-3+1.8j,-3-1.8j,-5+0.5j,-5-0.5j,-6,-4,-7,-8]；

状态反馈增益阵为：

K＝[-0.6370,-74.4805,132.8565,-75.0797,-3.0985,-1.6322,6.0225,-7.8655]；

控制器设计采用线性结构(如式(3))进行仿真分析，其中初始状态设置为x(0)＝0.1m，φ₁(0)＝0rad，φ₂(0)＝0.05rad，φ₃(0)＝-0.02rad，其他状态的初始值均为零，初始角度变化的稳定范围见表2。选取系统的ITAE性能指标，

J＝∫t(|x|+|φ₁|+|φ₂|+|φ₃|)dt；

来评价系统的动态性能，并与变结构控制进行对比。仿真结果如图2～7。

表2为初始角度变化的稳定范围。

表2

仿真研究表明，线性控制中系统状态的变化幅度较小，过渡过程时间较短，系统状态能够快速到达稳态值；相比之下，变结构控制中系统状态振荡幅度较大，调节时间较长，各状态量的振荡幅度是线性控制的0.5-4倍，调节时间是线性控制的2-3倍。

因此，线性控制系统可以显著减小系统状态的变化幅度，缩短过渡过程时间，提高系统响应的快速性，系统的动态性能明显改善，具有较强的鲁棒稳定性。此外，由于线性控制采用线性控制策略，在工程中可以方便地实现，因此在工程实践中具有广泛的应用前景。

可见，本发明实施例通过构造观测器在线获取被控对象模型偏差的信息，进而设计简单的线性控制结构补偿不确定性与非线性带来的影响。相比于传统的控制方法，本发明不仅给出一种控制系统设计方法，能够设计出简单的控制结构与算法，还可以减少甚至抵消不确定性与非线性的影响，满足快速性、可实现性和高可靠性方面的要求，具有较好的工程意义。

以上已将本发明做一详细说明，但显而易见，本领域的技术人员可以进行各种改变和改进，而不背离所附权利要求书所限定的本发明的范围。