弧形微型机电混沌系统的自适应动态面控制方法与流程

本发明涉及弧形微型机电混沌系统，具体涉及弧形微型机电混沌系统的自适应动态面控制方法。

背景技术：

微型机电系统是在微型电子技术(半导体制造技术)基础上发展起来的，融合了光刻、腐蚀、薄膜、LIGA、硅微型加工、非硅微型加工和精密机械加工等技术制作的高科技电子机械器件。微型机电系统是集微型传感器、微型执行器、微型机械结构、微型电源微型能源、信号处理和控制电路、高性能电子集成器件、接口、通信等于一体的微型器件或系统。微型机电系统是一项革命性的新技术，广泛应用于高新技术产业，是一项关系到国家的科技发展、经济繁荣和国防安全的关键技术。微型机电系统侧重于超精密机械加工，涉及微型电子、材料、力学、化学、机械学诸多学科领域。它的学科面涵盖微型尺度下的力、电、光、磁、声、表面等物理、化学、机械学的各分支。

弧形微型机电混沌系统对外部环境下的初始条件具有敏感性，能呈现非常丰富的动态行为，即工作过程中易产生不规则的混沌振荡。混沌行为极大地影响弧形微型机电混沌系统的稳定性和安全性，必须要采取措施来改善弧形微型机电混沌系统的性能。

不同激励幅值R下的弧形微型机电混沌系统相图和时序图如图3和图4所示，很显然，系统存在混沌振荡。弧形微型机电混沌系统庞加莱截面图如图5所示。在图5(a)，(c)，(e)和(f)中存在一些固定的点。当R减小时，吸引不变的轨道开始扩张，如图5(i)和(h)所示。当R进一步减小时，轨道开始变形，如图5(g)和(d)所示。当R等于0.02时，系统运动出现不稳定与混沌状态，如图5(b)所示。

利用分岔图来分析弧形微型机电混沌系统周期振动状态和混沌运动，x₁相对于激励幅值R的分岔图如图6所示。在一定范围内可以清楚的知道从规则运动到混沌运动的系统动态行为，即混沌振荡发生在区域B，D，F和I，四周期运动出现在区域H上和二周期运动出现在区域G上。

同时，在实际应用中，由于执行器物理限制、元器件老化以及外界环境影响等因素使得执行器输入输出呈现扇形非线性输入特征。这种特征不可避免地存在于实际控制系统中，并且会造成闭环控制系统的性能下降，甚至导致系统不稳定。基于安全原因和环境保护等方面的考虑，控制系统中的状态约束和输出约束不可忽视。研究发现，弧形微型机电混沌系统中的非线性补偿问题涉及位置信号及其高阶导数的观测问题，观测器能够在系统状态不完全可测的情况实现系统的闭环控制，解决系统状态在线估计问题。

微型机电系统具有高度非线性、参数未知、混沌振荡和多变量等特征。目前微型机电系统研究大部分侧重于动力学分析和生产制造，很少从自适应控制方法上去解决其混沌控制问题。另外，通用的控制方法没有考虑弧形微型机电混沌系统的特征与特点，未能有效解决系统存在扇形非线性输入、混沌振荡、未知控制方向、难测量状态和状态约束特征等的控制问题。因此，针对弧形微型机电混沌系统的自适应控制问题，迫切地需要提出一些有效的控制方法，从而降低各种因素对系统造成的不利影响，改善其性能，提高可靠性和安全性。

技术实现要素：

发明目的：为了解决现有技术存在的问题，解决弧形微型机电混沌系统在分布式静电激励下具有扇形非线性输入、混沌振荡、未知控制方向、难测量状态和状态约束特征等的自适应控制问题，本发明提供一种弧形微型机电混沌系统的自适应动态面控制方法。

技术方案：一种弧形微型机电混沌系统的自适应动态面控制方法，包括以下步骤：

(1)建立基于Euler-Bernoull梁的弧形微型机电混沌系统动力学模型，确定系统输出约束条件和扇形非线性输入条件；根据动力学模型列出弧形微型机电混沌系统非标量方程，定义状态变量；

(2)设计控制器，通过比较弧形微型机电混沌系统的输出信号与理想信号进而输出跟踪误差e₁；设计障碍李亚谱诺夫函数，所述障碍李亚谱诺夫函数用于保证输出信号满足系统的输出约束条件，误差e₁经障碍李亚谱诺夫函数处理后结合Levant微分跟踪器构成虚拟控制输入，虚拟控制输入经一阶滤波器滤波后得到滤波器输出信号α_2f；状态变量经过扩展状态观测器得到变量将滤波器输出信号α_2f与变量通过比较进而输出误差对滤波器输出信号α_2f求导得到滤波器输出信号导数

(3)根据步骤(2)得到的误差e₁和滤波器输出信号导数构建Nussbaum函数；在backstepping的框架中构建自适应控制律，根据状态变量x₁和x₂构建带有自适应控制律的Chebyshev神经网络；将Nussbaum函数与Chebyshev神经网络耦合得到实际控制输入，所述实际控制输入在满足扇形非线性输入条件下输入弧形微型机电混沌系统；

(4)调节控制器中Levant微分跟踪器、一阶滤波器、扩展状态观测器、Chebyshev神经网络的参数，检测跟踪误差e₁和控制器输出u的大小；设定一个误差阈值，当跟踪误差e₁小于误差阈值时，且输出信号值满足约束条件时，完成参数的调节。

有益效果：相比较现有技术，本发明提供的一种弧形微型机电混沌系统的自适应动态面控制方法，以在分布式静电激励下具有扇形非线性输入、混沌振荡、未知控制方向、难测量状态和状态约束特征等弧形微型机电混沌系统为对象，基于Euler-Bernoull梁构造动力学模型，设计相应的障碍李亚谱诺夫函数来保证输出信号严格满足输出约束条件，结合Levant微分跟踪器估计理想微分信号的优点，利用Chebyshev神经网络以任意小的误差逼近非线性函数的特性和扩展状态观测器来在线预估不可测的状态变量，降低了对物理传感器的限制，取消了对系统精确数学模型与精准参数的要求，避免了传统backstepping中对虚拟控制反复求导导致的系数膨胀问题，利用Nussbaum函数处理未知控制方向问题，在backstepping的框架中构造自适应动态面控制器。本发明实现了保证系统瞬态和稳态性能的自适应控制，放松了对系统全状态已知的假设条件，可以降低弧形微型机电混沌系统不确定性因素对闭环控制性能的影响。

附图说明

图1为弧形微型机电混沌系统的自适应动态面控制方法的框图；

图2为弧形微型机电混沌系统示意图；

图3为不同激励幅值R下的弧形微型机电混沌系统相图；

图4为不同激励幅值R下的弧形微型机电混沌系统时序图；

图5为弧形微型机电混沌系统庞加莱截面图；

图6为弧形微型机电混沌系统周期振动状态和混沌运动的分岔图；

图7为系统扇形非线性输入示意图；

图8为系统输出约束条件示意图；

图9为和间的微分跟踪器性能；

图10为x₁和间的观测器性能；

图11为x₂和间的观测器性能；

图12为不同激励幅值R下的跟踪性能；

图13为不同激励幅值R下的Nussbaum函数；

图14为不同激励幅值R下的实际控制输入。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式，对本发明做进一步说明。

如图1所示，弧形微型机电混沌系统的自适应动态面控制方法，包括以下步骤：

(1)建立基于Euler-Bernoull梁的弧形微型机电混沌系统动力学模型，确定系统输出约束条件和扇形非线性输入条件；根据动力学模型列出弧形微型机电混沌系统非标量方程，定义状态变量；

(2)设计控制器，通过比较弧形微型机电混沌系统的输出信号与理想信号进而输出跟踪误差e₁；设计障碍李亚谱诺夫函数，所述障碍李亚谱诺夫函数用于保证输出信号满足系统的输出约束条件，误差e₁经障碍李亚谱诺夫函数处理后结合Levant微分跟踪器构成虚拟控制输入，虚拟控制输入经一阶滤波器滤波后得到滤波器输出信号α_2f；状态变量经过扩展状态观测器得到变量将滤波器输出信号α_2f与变量通过比较进而输出误差对滤波器输出信号α_2f求导得到滤波器输出信号导数

(3)根据步骤(2)得到的误差e₁和滤波器输出信号导数构建Nussbaum函数；同时根据状态变量x₁和x₂构建带有自适应控制律的Chebyshev神经网络；将Nussbaum函数与Chebyshev神经网络耦合得到实际控制输入，所述实际控制输入在满足扇形非线性输入条件下输入弧形微型机电混沌系统；

(4)调节控制器中Levant微分跟踪器、一阶滤波器、扩展状态观测器、Chebyshev神经网络的参数，检测跟踪误差e1和控制器输出u的大小；设定一个误差阈值，当跟踪误差e1小于误差阈值时，且输出信号值满足约束条件时，完成参数的调节。

在步骤(1)中，基于Euler-Bernoull梁的弧形微型机电混沌系统动力学方程为：

式中L为细梁长度，A为横截面积，b为细梁宽度，C_v为粘性阻尼系统，d为细梁厚度，为杨氏模量，I_y为惯性矩，ρ为密度，Ω₀为简谐荷载频率，ε_a0为真空电容率，V_DC为直流电压，V_AC为交流电压；

弧形微型机电混沌系统的边界约束条件为：

假设简谐载荷小于直流静态载荷，通过坐标变换，利用Galerkin分解法，根据弧形微型机电混沌系统动力学方程列出弧形微型机电混沌系统非标量方程：

式中系统变量定义为：

h＝h₀/g₀；

式中

定义状态变量x1、x2，

x₁＝q，

考虑扇形非线性输入特征，并将变量代入弧形微型机电混沌系统非标量方程中得：

其中N(u)表示扇形非线性输入，其特征关系表示为式(1.6)；y表示系统输出信号；s_l1＞0和s_l2＞0为斜线l₁和l₂的斜率，斜线l₁和l₂为扇形的两个边界，s_M＝max(s_l1,s_l2)。系统输出y要求满足一定的约束条件，输出约束条件是|y|≤k_c1，其中，k_c1表示设定的阈值。

下面详细介绍自适应动态面控制器：

(一)、Chebyshev神经网络系统

Chebyshev神经网络由一系列的正交多项式构成，具有二项递推公式：

T_i+1(X)＝2XT_i(X)-T_i-1(X),T₀(X)＝1 (1.7)

式中X∈R和T₁(X)通常定义为X，2X，2X-1或2X+1。

Chebyshev神经网络具有在一个紧凑集上以任意小的精度误差逼近任意非线性连续函数的能力。同多层神经网络相比，Chebyshev神经网络具有较小的计算量。Chebyshev多项式增强模式X＝[x₁,…,x_m]^T∈R^m可以定义为：

ξ(X)＝[1,T₁(x₁),…,T_n(x₁),…,T₁(x_m),…,T_n(x_m)] (1.8)

式中T_i(x_j),i＝1,…,n,j＝1,…,m表示Chebyshev多项式，n表示Chebyshev多项式的除数，ξ(X)表示Chebyshev多项式基函数。

由于Chebyshev神经网络具有万能逼近能力，未知非线性函数f_CNN(X)可以估计：

f_CNN(X)＝θ^*Tξ(X)+δ (1.9)

式中δ表示有界的神经网络逼近误差，θ*表示最优权值矢量，并满足

式中Ω_θ和D_X表示紧凑集的界限θ和X。另外，对任意正定常数δ₀，|δ|≤δ₀满足。

(二)、控制器设计

a)设计扩展状态观测器

利用扩展状态观测器观测变量

式中z₀表示参考信号f_r(τ)的估计值，z_i,i＝1,…,n表示其导数和k_i,i＝1,…,n表示设计常数。

从前面可知，如果n等于3，设计如下扩展状态观测器

观测器误差满足

式中和表示x_i,i＝1，2，3的估计值。k_o、k₁、k₂为设计常数。

b)定义有界误差变量

式中表示x₂的估计值，间接虚拟控制α_2f将在接下来的内容中给出。

连续函数N(η)：R→R被称为是一个Nussbaum增益函数，具有如下特性：

Nussbaum增益函数定义为：若V(.)和η(.)在区间[0∞)是光滑函数，同时V(t)≥0，那么N(.)为光滑的Nussbaum增益函数。此时有：

式中常数c₁＞0，g(t)是非零常数，c₀表示某个合理的常数，同时V(t)，η(t)和在区间[0∞)上必定有界。

变量x₂受到物理传感器和交叉耦合极小化的影响，通常不可测。为了解决这个问题，利用扩展状态观测器来精确估计它的值，即观测误差为

选择障碍李亚谱诺夫函数

其中d_b表示理想信号的上限值，和约束关系不违反。

对V₁求导

式中y₂表示一阶滤波误差且等于α_2f-α₂。

基于Levant微分跟踪器，可以替代则

其中r₁₁与r₁₂表示常量，表示设定的阈值；为Levant微分跟踪器的变量，为Levant微分跟踪器的输出值。

结合障碍李亚谱诺夫函数及Levant微分跟踪器，构成虚拟控制输入：

式中c₁表示常量；

把(1.21)代入(1.19)，则

c)在backstepping的框架中构建自适应控制律，根据状态变量x₁和x₂构建带有自适应控制律的Chebyshev神经网络，其自适应控制律的具体设计方法为：

设一阶滤波器滤波时间常数为τ₂，虚拟控制输入为α₂，可得

存在

对y₂求导得

式中为连续函数，

根据Young’s不等式，得到不等式：

进而得到误差的公式为：

其中为观测误差的导数，观测误差所以

f₂(·)为复杂的非线性项，α₂的导数会导致系统膨胀和计算负担。由于制造误差，环境扰动和建模误差的影响，系统参数诸如μ,h,α₁,β,ω₀,R,b₁₁是不确定的。系统参数扰动会引发弧形微型机电混沌系统的混沌振荡。因此，控制设计过程中要考虑这些非线性特征和因素。鉴于Chebyshev神经网络具有万能逼近特性，利用它来估计f₂(·)。即，存在

式中δ₂为神经网络逼近误差。

引入变量

式中表示λ₂的估计值；

选择李亚谱诺夫函数

式中γ₂表示设计常数。

对V₂求导得

由(1.21)可知

结合公式(1.22)、(1.28)、(1.32)、(1.31)得不等式：

式中a₂表示设计常数；

实际控制律设计为：

自适应控制律设计为

式中c₂和m₂表示设计常数；且有

存在关系把(1.34)-(1.36)代入(1.33)，得到

式中

选择参数τ₂满足关系利用杨氏不等式，(1.37)重写为

针对弧形微型机电混沌系统在分布式静电激励下具有扇形非线性输入，混沌振荡，难测量状态和状态约束特征，融合扩展状态观测器(1.21)和微分跟踪器(1.20)到控制器中，设计带有自适应控制律(1.35)-(1.36)和滤波器(1.23)的自适应动态面控制器如(1.34)所示，那么系统所有信号诸如e₁，保持全局一致有界，且输出约束不被违反，跟踪误差快速收敛到零附近。

利用Lyapunov理论证明闭环系统所有闭环信号全局一致有界：

对V求导：

式中C₀＝min{2×c₁,2×(c₂-0.5),m₂}＞0和

对(1.39)两边同时乘以得到

给定对通过对(1.40)积分，得到

因此，e₁,和属于紧凑集

由上面可知，弧形微型机电混沌系统所有信号有界。特别是，有不等式

由于y(τ)＝e₁+x_d，和|x_d|≤d_b，很容易得到因此，所提控制方案保证了y满足约束条件。

根据(1.5)描述的弧形微型机电混沌系统，Chebyshev多项式阶数为3，根据弧形微型机电混沌系统非标量方程，将Chebyshev多项式基函数设计如下：

虽然RBF神经网络作为一种逼近器可以解决动态面系数膨胀问题和具有以任意精度逼近非线性函数的能力，但应用RBF神经网络时需要事先知道高斯基函数的中心与权值，而Chebyshev神经网络仅仅只需要输入变量信息。

调节参数c₁，c₂，k₀，k₁，k₂，r₁₁，r₁₂，γ₂，a₂和m₂保证跟踪误差趋于无穷小，并确保了闭环系统满足一定的输出约束条件，使自适应动态面控制技术具有对系统参数扰动的鲁棒性以及混沌行为的抑制能力。

弧形微型机电混沌系统如图2所示，参数取值为α₁＝7.993，β＝119.9883，h＝0.3，R＝0.02，μ＝0.1和ω₀＝0.4706。为了求解常微分方程，采用四阶龙格库塔算法求解，同时积分时间设置为2000以上。

给定时变参考信号x_d＝0.35sin(3τ)。控制输出满足约束条件|y|＜k_c1＝0.39，可以得到扇形非线性输入可以表达为N(u)＝(0.75+0.25sin(u))u，如图7所示。根据弧形微型机电混沌系统的自适应动态面控制方法，各参数选择如下：将一阶滤波器的时间常数τ₂设置为0.01，扩展状态观测器的参数选择为k₀＝k₁＝20，k₂＝19。控制器增益与参数选择为c₁＝c₂＝10，γ₂＝1，m₂＝15，a₂＝5。二阶微分跟踪器参数选择为r₁₁＝r₁₂＝6，初始值设定为0.01。

设计二阶微分跟踪器在线估计图9展示了和间的性能，两条线基本重合且相对误差小于0.05。图10-11展示了高阶扩展状态观测器的优越性能。从图可知，扩展状态观测器能够精确估计状态变量，同时放宽对物理传感器的限制。尽管弧形微型机电混沌系统具有扇形非线性输入，状态约束和混沌振荡等特征，观测器还是以很小的误差精确估计状态变量。

为了对比方便，不同参数下的性能曲线放在一张图中。图12展示了e1在不同参数下的跟踪性能(也可以看出x₁的跟踪性能)。很明显，4种工况(即R＝0.01,0.02,0.15,0.25)的实际轨迹与参考轨迹基本吻合，且实际与理论性能曲线间的差值为±0.01。

另外，应用障碍李亚谱夫函数后|y|＜k_c1约束条件得以保证。同图3的相图和图4的时序图对比，应用所提方案后弧形微型机电混沌系统在极短时间内实现状态稳定，同时与之相关的混沌振荡得到彻底抑制。

由于扇形非线性输入和控制输入方向未知，如不采取有效措施必定会导致控制器失效。图13表示不同R值的弧形微型机电混沌系统Nussbaum函数曲线。尽管系统参数遭受到外界干扰，4条Nussbaum function曲线基本保持一致。

扇形非线性输入存在于弧形微型机电混沌系统的控制输入中。它的存在影响控制性能甚至导致控制器出现颤抖现象。图14揭示了不同R值下的控制输入。由图可知，颤抖现象极大地被弱化，同时所设的控制器具有一定的鲁棒性。