带有不确定动力学的吊车有限时间轨迹跟踪控制器及方法与流程

本发明涉及欠驱动桥式吊车系统的控制技术领域，尤其涉及一种带有不确定动力学以及无负载摆角反馈的桥式吊车有限时间轨迹跟踪控制器及设计方法。

背景技术：

吊车，又称起重机，是一种大型的工程搬运设备，被广泛地应用于建筑工地、海港、码头等诸多领域。根据结构的差异，吊车可大致地分为桥式吊车、塔式吊车、回转悬臂式吊车。尽管吊车种类繁多，但它们都有一个本质特性：欠驱动特性。欠驱动系统节省了部分执行器，因此具有硬件成本低、机电结构简单、重量轻、能耗小等优点。考虑到欠驱动系统的诸多优势，其控制方法的研究已经成为近年来的一大热点。在各类吊车中，桥式吊车最具代表性，应用也最为广泛。众多学者针对欠驱动桥式吊车系统提出了一系列有意义的控制方法。

直到现在，欠驱动桥式吊车系统的控制问题仍然是一个开放的课题。一方面，由于台车质量、负载质量、吊绳长度、摩擦力、外部扰动的不确定性使得桥式吊车系统的动力学具有不确定项。并且，这些不确定项很难提前预测，导致已有大多数控制方法的控制性能大打折扣。因此，吊车控制方法的设计应充分考虑不确定动力学的影响。另一方面，已有大多数控制方法均需要负载摆角的反馈。然而，在很多情况下，负载摆角是无法测量的。因此，设计出不需要负载摆角反馈的高性能控制方法是吊车现场实际的需要。

实际上，输入整形方法以及PD控制器并不需要负载摆角的反馈。输入整形方法根据吊绳长度信息，将基本命令信号与一系列被称为输入整形器的特定脉冲信号做卷积运算。该方法可保证系统无残余摆动，然而其控制性能却严重依赖于模型的精确程度，当模型参数存在不确定性时，其控制效果会急剧下降。PD控制器结构简单，易于工程实现。然而，PD控制器对参数不确定性十分敏感，限制了其实用性。

滑模控制方法以及自适应控制方法可有效地处理系统参数存在不确定性的问题。详细地来说，传统的一阶滑模控制方法已成功应用于桥式吊车系统中，解决了定位和消摆问题，并取得很好地控制结果。不过，传统的一阶滑模控制方法是不连续的，对驱动装置带来潜在的危险并伴随着震颤现象。并且，以上控制方法仅能保证系统的渐近稳定性，这在高精度要求的运输任务中是远远不够的；另外，以上控制方法均假设其不确定动力学与系统参数为线性的关系，均需要负载摆角的反馈。

技术实现要素：

本发明的目的就是为了解决上述问题，提出了一种带有不确定动力学的吊车有限时间轨迹跟踪控制器及方法，该控制器及方法基于两个终端滑模观测器，其中一个观测器用来估计负载摆角，另一个观测器用来估计不确定动力学。

为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

一种带有不确定动力学的吊车有限时间轨迹跟踪控制器，包括：

设计第一终端滑模观测器对负载摆角θ进行估计；设计第二终端滑模观测器对不确定动力学h进行估计；根据所得到的估计值设计无负载摆角反馈的有限时间轨迹跟踪控制器如下：

其中，k₀₄∈R⁺为正的控制增益；为台车速度的估计误差，为吊车位移的一阶导数，为吊车位移一阶导数的估计值，为吊车位移二阶导数的估计值；p₃,q₃∈R⁺为正的奇数，且有p₃＜q₃；e₃＝x_d-x为台车的跟踪误差，x_d为台车的目标轨迹；M为台车质量，m_p为负载质量；为γ₂的估计值，γ₂＝h；f_rx为摩擦力，l为吊绳长度；为负载摆角的估计值，为负载摆角一阶导数的估计值，为负载摆角二阶导数的估计值；

进一步地，所述第一终端滑模观测器具体为：

其中，定义辅助函数为p的估计值，p_e为观测误差，

k₀₁∈R⁺为正的观测增益，p₁,q₁∈R⁺为正奇数，且有p₁＜q₁；p_e为观测误差，b₁为正常数。

进一步地，所述第二终端滑模观测器具体为：

其中，定义变量：γ₂＝h；

引入状态：

关于时间求导：

则：u为不确定动态h关于时间的导数；

以及分别为γ₁和γ₂的估计，k₀₂∈R⁺为正的观测增益，γ_v＝l₁sgn(e₁),l₁,l₂,l₃,l₄,l₅∈R⁺为正的观测增益，q₂和p₂为正的奇数，且q₂＞p₂。

一种带有不确定动力学的吊车有限时间轨迹跟踪控制方法，包括：

(1)假设不确定动力学f关于时间的导数是有界，不确定动力学h关于时间的导数有界，负载摆角θ以及的初始估计与实际值相同；

(2定义关于负载摆角θ的辅助函数p以及求解辅助函数p的观测误差p_e，根据观测误差p_e设计第一终端滑模观测器，对负载摆角θ进行估计；使得在有限时间T_o内准确收敛至p，且在有限时间T_o内准确收敛至负载摆角θ；其中为辅助函数p的估计值，为负载摆角θ的估计值；

(3)定义关于不确定动力学h的辅助函数Q以及设计第二终端滑模观测器，在有限的时间内精确的估计出不确定动力学h；

(4)根据得到的负载摆角θ以及不确定动力学h的估计值，得到无负载摆角反馈的有限时间轨迹跟踪控制器；

(5)将实际检测的台车位移x、台车速度输入到上述带有不确定动力学的吊车有限时间轨迹跟踪控制器中，输出驱动台车运动的力矩F，在系统台车、负载质量、吊绳长度、摩擦力参数不确定以及存在外部扰动的情况下均能够在有限时间内实现台车的精确定位以及吊钩摆动、负载绕吊钩摆动的有效抑制与消除。

进一步地，所述步骤(2)中，关于负载摆角θ的辅助函数p具体为:

其中，g为重力加速度，l为吊绳长度，为负载摆角的二阶导数。

进一步地，所述步骤(2)中，第一终端滑模观测器具体为：

其中，k₀₁∈R⁺为正的观测增益，p₁,q₁∈R⁺为正奇数，且有p₁＜q₁；b₁为正常数。

进一步地，所述步骤(3)中，关于不确定动力学h的辅助函数Q具体为；

对Q关于时间求导得：

其中，f_rx为摩擦力，l为吊绳长度；为负载摆角的估计值，为负载摆角一阶导数的估计值，为负载摆角二阶导数的估计值；F为施加于台车上的合力。

进一步地，第二终端滑模观测器具体为：

其中，定义变量：γ₂＝h；

引入状态：

则：u为不确定动态h关于时间的导数；

以及分别为γ₁和γ₂的估计，k₀₂∈R⁺为正的观测增益，γ_v＝l₁sgn(e₁)，l₁,l₂,l₃,l₄,l₅∈R⁺为正的观测增益，q₂和p₂为正的奇数，且q₂＞p₂。

进一步地，所述步骤(4)中，无负载摆角反馈的有限时间轨迹跟踪控制器具体为：

其中，k₀₄∈R⁺为正的控制增益；为台车速度的估计误差，为吊车位移的一阶导数，为吊车位移一阶导数的估计值，为吊车位移二阶导数的估计值；p₃,q₃∈R⁺为正的奇数，且有p₃＜q₃；e₃＝x_d-x为台车的跟踪误差，x_d为台车的目标轨迹；M为台车质量，m_p为负载质量；为γ₂的估计值，γ₂＝h；f_rx为摩擦力，l为吊绳长度；为负载摆角的估计值，为负载摆角一阶导数的估计值，为负载摆角二阶导数的估计值；

进一步地，为抑制并消除负载摆角，期望的台车轨迹选择为：

其中，为目标位置；为台车最大允许加速度以及速度；表示调节初始加速度的参数；κ＞1.0754为正的控制增益。

本发明的有益效果是：

与已有大多数控制方法相比，本发明所提控制器不需要负载摆角的反馈，并解决系统存在的不确定动力学的问题。本发明所提控制方法针对不确定系统参数以及外部扰动具有很强的鲁棒性；不需要负载摆角的反馈，更具实际运行价值。本发明所设计控制器可实现有限时间的收敛性。利用Lyapunov方法以及LaSalle不变性原理证明了闭环系统的稳定性与收敛性。仿真结果表明所提控制方法的正确性与有效性。

附图说明

图1为桥式吊车系统示意图；

图2为利用本发明方法在精确模型参数下得到的控制输入、负载摆角和台车轨迹仿真结果图；

图3为利用LQR控制器在精确模型参数下得到的控制输入、负载摆角和台车轨迹仿真结果图；

图4为利用增强耦合非线性控制器在精确模型参数下得到的控制输入、负载摆角和台车轨迹仿真结果图；

图5为利用PD控制器在精确模型参数下得到的控制输入、负载摆角和台车轨迹仿真结果图；

图6为利用本发明方法在不确定动力学作用下得到的控制输入、负载摆角和台车轨迹仿真结果图；

图7为基于运动规划的自适应控制方法在不确定动力学作用下得到的控制输入、负载摆角和台车轨迹仿真结果图。

具体实施方式：

下面结合附图与实例对本发明做进一步说明：

本发明提出了一种带有不确定动力学以及无负载摆角反馈的桥式吊车有限时间轨迹跟踪控制器及设计方法。具体来说，基于两个终端滑模观测器，其中一个观测器用来估计负载摆角，另一个观测器用来估计不确定动力学。然后，通过这些估计的信息，提出有限时间轨迹跟踪控制方法。利用Lyapunov方法以及LaSalle不变性原理证明了闭环系统的稳定性与收敛性。仿真结果表明所提控制方法的正确性与有效性。

1.桥式吊车动力学模型

桥式吊车系统模型如图1所示，其动力学模型可描述为：

其中，M为台车质量，m_p表示负载质量，l代表吊绳长度，h和f为不确定动力学，x(t)代表吊车位移，θ(t)表示负载摆角，f_rx为摩擦力，F为施加于台车上的合力。

实际上，(1)式的不确定动力学h以及(2)式的不确定动力学f是由不确定的台车质量ΔM、不确定的负载质量Δm_p、不确定的吊绳长度Δl、不确定的摩擦力Δf_rx、外部扰动d₁以及d₂引起的。此时不确定动力学h和f可写为：

为不失一般性，进行如下的假设：

假设1：不确定动力学f关于时间的导数是有界的，其界限为lb₁，即：

其中，b₁∈R⁺为已知的正常数。

假设2：为促进接下来分析，假设θ以及的初始估计与实际值相同，即：

假设3：不确定动力学h关于时间的导数表示为u。虽然u未知，但其幅值为有界的，即||u||≤π，其中，π∈R+为已知的正常数。

2.无负载摆角反馈的有限时间轨迹跟踪控制器设计

2.1负载摆角估计

为估计不方便测量的负载摆角，设计了一个终端滑模观测器。

针对吊车系统，sinθ≈θ,cosθ≈1是成立的。因此，(2)式可写为：

定义辅助函数p以及分别为其中，为p的估计值，为θ的估计值。p的观测误差为：

其中，p_e为观测误差。

为估计p，针对带有不确定动力学f的系统(6)，设计如下形式的终端滑模观测器：

其中，k₀₁∈R⁺为正的观测增益，p₁,q₁∈R⁺为正奇数，且有p₁＜q₁，b₁∈R⁺为已知的正常数。

定理1：针对含有不确定动力学f的动力学方程(6)，滑模观测器(8)可保证在有限时间T_o内准确收敛至p，且在有限时间T_o内准确收敛至θ，其中：

那么，当t≥T_o时，p_e≡0，

证明：选取候选Lyapunov函数为：

对(10)式关于时间求导并将(7)、(8)式代入可得：

将(5)式代入(11)式可得：

p₁、q₁为正的奇数，那么p₁+q₁为偶数，则与此同时，求解(12)式可得：

由(13)式可知，当t≥T₀时，V_O1(t)≡0，其中：

由V_O1(t)≡0可得：

由(15)式以及p、的定义可得：

定义结合假设2，(16)式可写为：

求解(17)式可得：

α＝0 (18)

由(18)式得：

由(15)、(19)式可知，定理1得证。

2.2不确定动力学h的估计

为保证控制器的高性能，应估计出吊车系统中未确定动态h，并进行有效地补偿。为此，设计一个滑模观测器来估计不确定动力学h。

定义一个辅助函数：对Q关于时间求导可得：

由(19)式可知，当t≥T₀时，引入一个辅助函数E，其表达式为：此时，(20)式可写为：

为促进接下来滑模观测器的设计，引入一个新的状态其表达式为：

其中，k₀₂∈R⁺为正的观测增益。

对(22)式关于时间求导可得：

那么，对不确定动态h的估计问题就转换成了对线性增广系统(23)的状态估计。其中(23)式中可测量/可求出。假设不确定动态h关于时间的导数为u，并引入两个新的变量γ₁、γ₂，其表达式为：γ₂＝h。此时，(23)可写为：

为估计不确定动态h(γ₂)，定义如下形式的终端滑模观测器：

其中，以及分别为γ₁和γ₂的估计，γ_v＝l₁sgn(e₁),l₁,l₂,l₃,l₄,l₅∈R⁺为正的观测增益，q₂和p₂为正的奇数，且有q₂＞p₂。

定义观测误差e为：e＝[e₁ e₂]^T。那么，由(24)-(27)式可得观测误差e的动力学方程为：

引理1：在终端滑模观测器(26)和(27)的作用下，当t≥T₀时，观测误差系统(28)和(29)中的观测误差e是一致最终有界的。在此过程中，假设γ₁、γ₂在t＝T₀时的估计值与实际值相等，即：

证明：考虑如下形式的Lyapunov函数：

对(30)式关于时间求导，并将(28)、(29)式代入可得：

其中：

由于k₀₂,l₂,l₃为正数，那么β为正定的。因此，β的最小特征值λ_min为正的。

紧接着，(31)式可写为：

当||e||≠0时，为保证以下条件应满足：

换句话说，当e不在集合内时，为负。此时，V_O2单调递减。明显地，V_O2的递减最终将驱动e进入集合D内，然后将限制在集合D内。由于即||e(T₀)||＝0，由Lyapunov定理以及LaSalle不变性原理可知，当t≥T₀时，观测误差均限制在集合D内。这表明e是一致最终有界的。

定理2：考虑由线性系统(19)、(20)以及终端滑模观测器(21)、(22)得到的误差观测系统(23)、(24)，选择观测增益l₁,l₂,l₃,l₄,l₅使得：

l₅-π＞0 (35)

在有限的时间内可精确的估计出不确定动力学h。

证明：此过程包括如下两方面的证明。

1)e₁的有限时间收敛性

考虑如下形式的Lyapunov函数：

对(36)式关于时间求导，并将(28)式代入可得：

针对||e₁||≠0，为保证选择：

为保证(38)式成立，选择：

求解(39)式可得：

那么，

成立。

对(41)式关于时间积分，可得：

由(42)式可知，当t＝T₁时：

由(28)式可得：

2)e₂的有限时间收敛性：当t≥T₁时，且有：

为完成定理2的证明，考虑如下形式的正定标量函数：

对(45)式关于时间求导，并将(35)、(44)式代入可得:

求解(46)式可得:

由(47)式可得，当t＝T₂时：

||e₂||＝0。换句话说，不确定动态可在有限时间T₂内，由精确估计出不确定动力学h。

2.3无负载反馈的有限时间轨迹跟踪控制器

为完成轨迹跟踪控制器的设计，定义如下形式的台车位移估计表达式：

其中，k₀₃,δ₀∈R⁺为正的增益，p₃,q₃∈R⁺为正的奇数，且有p₃＜q₃，e₃＝x_d-x为台车的跟踪误差，x_d为台车的目标轨迹，

因此，无负载摆角反馈的有限时间轨迹跟踪控制器设计为：

其中，为台车速度的估计误差，k₀₄∈R+为正的控制增益。

定理3：所提跟踪控制器(50)以及终端滑模观测器(8)、(26)、(27)可保证台车轨迹在有限时间内收敛至期望轨迹。

证明：由e₃，e₄的定义可得：

由(49)、(51)式可知：

另一方面，由(1)式可得:

为证明定理3，选择如下的Lyapunov候选函数：

对(54)式关于时间求导，并将(50)、(51)、(53)式代入可得:

由定理1可知，当t≥T₀时，由定理2可知，当t≥T₂时，其中：T₂≥T₀。那么，(55)式可写为:

经过有限时间T₂后，(49)式可简化为:

其中:

求解(50)式可得:

因此，有(58)式可知，当t≥T₃时，e₃≡0，e₄≡0，其中:

这表明，台车的跟踪误差e₃在有限的时间T₃内收敛至0。

备注1：为抑制并消除负载摆角，期望的台车轨迹x_d选择为

其中，为目标位置；为台车最大允许加速度以及速度；表示调节初始加速度的参数；κ＞1.0754为正的控制增益。

台车期望的目标轨迹(由(60)式表示)由两部分组成：

(i)定位参考轨迹x_d1：驱动台车至目标位置；

(ii)消摆部分x_d2：快速消除负载摆动并不影响台车的定位性能。

3.数值仿真

为验证所提控制方法的正确性与有效性，进行如下两组仿真实验。详细地来说，在第一组仿真实验中，通过对比LQR控制器，增强耦合非线性控制器，PD控制器，验证所提控制方法控制性能的优异性。在第一组组实验中，由于LQR控制器，增强耦合非线性控制器，PD控制器均是基于精确动力学的情况下提出的，所以h和f设为0。第二组仿真实验将验证所提控制方法针对不确定动力学的鲁棒性，并与基于运动规划的自适应跟踪控制器进行对比。

LQR控制器、增强耦合非线性控制器、PD控制器以及基于运动规划的自适应跟踪控制器的表达式如下：

1)LQR控制器

其中，为控制增益。

2)增强耦合非线性控制器

其中，为正的控制增益，ξ_x为如下的辅助函数：

3)PD控制器

其中，k_p,k_d∈R⁺为正的控制增益。

4)基于运动规划的自适应跟踪控制器

其中，为正的控制增益，r＝x-x_d1为台车跟踪误差，为参数向量的在线估计，由以下更新率产生：

其中，Γ为正定对称对角更新增益矩阵。

仿真1：精确模型参数下控制性能的验证：在本组实验中，吊车系统参数的实际值与名义值是相同的，设为：

M＝7kg,m_p＝1kg,l＝0.6m,h＝f＝0

摩擦力具有如下形式：

台车目标位置为：

p_d＝1m

期望的台车轨迹(60)的各个参数设为：

k_a＝0.5,k_v＝0.5,ε＝2,κ＝4

本发明所设计控制器、LQR控制器、增强耦合非线性控制器、PD控制器的控制增益见表1。

表1.仿真1控制增益

本发明所设计控制器、LQR控制器、增强耦合非线性控制器以及PD控制器的仿真结果如图2-5所示。通过对比图2与图3-5可知，在相似的运输时间下(5s内)，所提控制方法的最大负载摆角以及驱动力是这四种控制方法中最小的。这些结果表明了所提控制方法控制性能的优异性。

仿真2：不确定动力学作用下控制性能的验证：在本组实验中，吊车系统参数的名义值设置为：

M＝12kg,m_p＝9kg,l＝0.7m

台车质量、负载质量以及吊绳长度的实际值分别为：14kg、10kg、1.0m。那么，下式可得：

ΔM＝2kg,Δm_p＝1kg,Δl＝0.3m

摩擦力的名义值和仿真1的相同，其实际值为：

为模拟外部扰动，将正弦扰动d₁以及随机扰动d₂施加于吊车系统中，其幅值均为10。

台车的目标位置设置为：

p_d＝1m

期望目标轨迹(60)的参数和仿真1中的相同。

本发明所设计控制器以及基于运动规划的自适应控制器的控制增益见表2。

表2仿真2控制增益

图6-7所示为所提控制方法与基于运动规划的自适应控制方法在存在不确定动力学的仿真结果。由图6-7可知，不确定动力学对所提控制方法的跟踪控制性能影响不大。然而，当存在不确定动力学时，基于运动规划的自适应控制方法的控制性能大打折扣。由图6可知，估计的负载摆角的曲线几乎与负载摆角的实际曲线相同，这表明针对负载摆角设计的终端滑模观测器的正确性。这些优点为本发明所提控制方法的实际应用带来了便利。

上述虽然结合附图对本发明的具体实施方式进行了描述，但并非对本发明保护范围的限制，所属领域技术人员应该明白，在本发明的技术方案的基础上，本领域技术人员不需要付出创造性劳动即可做出的各种修改或变形仍在本发明的保护范围以内。