一种改进的单侧激振非线性卸载系统下散体物料流动特性分析方法与流程

本发明属于机械-散体动力学技术领域，具体涉及一种改进的单侧激振非线性卸载系统下散体物料流动特性分析方法，特别是涉及到包含求解非线性振动系统的近似解析解、机械-散体物料间相互作用以及散体物料流动性的求解方法。

背景技术：

随着散体物料的处理向着高效性、智能化、节能减排的方向发展，目前的卸载设备在一定程度上无法满足散体物料的稳定、自动化卸载，而且由于散体物料与振动输送面间、散体物料之间不连续性、随机性的摩擦和碰撞等复杂多变的工作环境，易导致卸载设备出现局部非正常振动、疲劳磨损、散体物料流动多变性以及对散体物料自身一定程度的损伤。在以往大多数研究中忽略了散体物料间的相互作用以及卸载设备的非线性振动，假设卸载面处于某种理想条件下的线性运动，而对散体物料的流动性进行研究。为此，利用振动助流原理，在求得非线性卸载设备近似解析解的前提下，判断散体物料的运动状态，掌握散体物料与振动输送面间的相互作用，进而对卸载设备的稳定可靠性具有重要的理论和应用价值，也为非线性振动条件下散体物料运动的判别提供一定的理论依据。

技术实现要素：

针对现有技术的不足，本发明提出一种改进的单侧激振非线性卸载系统下散体物料流动特性分析方法，在考虑机械系统的非线性振动、机械-散体物料间的相互作用的前提下和求得非线性卸载系统近似解析解的基础上，更加准确的获得非线性振动条件下散体物料运动状态的动态特性。

本发明的技术方案：

一种改进的单侧激振非线性卸载系统下散体物料流动特性分析方法，包括以下步骤：

步骤1，确定非线性卸载系统的动力学方程；

根据单侧激振非线性卸载系统的动态特性，推导其动力学微分方程的表达式；

步骤1-1，根据系统的受力分析，单侧激振非线性卸载系统动力学方程为：

式中，m为卸载设备的等效质量，α为卸载面的侧倾角，cl、kl分别为振动系统的等效线性阻尼和刚度，fout为外部激励，为非线性力，s为卸载系统的振动位移，为卸载系统的振动速度，为卸载系统的振动加速度。

步骤1-2，动力学方程中非线性力和线性力表达式为：

①非线性力的表达式为：

式中，ci、ki分别为卸载设备等效二次非线性和三次非线性阻尼和刚度，二次非线性中，i＝q；三次非线性中，i＝c。

②外部激励fout的表达式为：

式中，fp为外部激励幅值；ω为外部载荷激振频率；m0为激振器偏心质量；ri为激振器偏心距，i＝1、2；t为时间。

步骤2，基于ihbm对动力学方程进行增量过程；

步骤2-1，假设xi(τ)，δxi(τ)分别为非线性系统的稳态响应和响应增量，其表达式可写为：

xi(τ)＝xi0(τ)+δxi(τ),ω＝ω0+δω(i＝1,2,…m)(4)

式中，xi(τ)，x0i(τ)，δxi(τ)可表示为：

其中，

式中，n为每个自由度展开谐波的次数；q表示某一正整数，其中q＝1时为基频分析，q＝2、3、…时为超谐波频率分析；τ为无量纲时间且τ＝ωt。

整理式(4)-(6)得：

xi＝csai,xi0＝csai0,δxi＝csδai(7)

则系统的解为：

x＝sa,x0＝sa0,δx＝sδa(8)

其中，

步骤2-2，对增量方程进行伽辽金处理；

基于ihbm将系统的动力学方程写成增量形式，并略去高阶无穷小量：

式中，cn表示jacobin阻尼矩阵，kn表示jacobin刚度矩阵，且满足：

式中，表示系统非线性力向量；x＝[x1,x2,…xm]^t表示系统的位移向量；m表示系统自由度的个数；表示系统的速度向量；r表示残余误差向量；x0、ω0分别表示式(1)的准确解；p0(τ)表示系统取准确解时的外部激励向量；表示系统取准确解时的非线性力向量；表示准确解的一阶导；表示准确解的二阶导；m、c、k分别表示系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；δx表示偏离准确解x的增量；表示偏离准确解x增量的一阶导；表示偏离准确解x增量的二阶导；δω表示偏离准确解ω的增量；

步骤2-3，对动力学方程进行伽辽金法galerkin过程：

设δ(δx)＝sδ(δa)为δx的变分，并对其进行整理得：

式中，p(τ)表示振动系统外部激励向量。

步骤2-4，结合弧长延拓技术对其进行修订：

引入弧长延拓技术，进而更加准确地得到非线性卸载系统的近似解析解：

x＝x⁽ⁱ⁾+δx,λ＝λ⁽ⁱ⁾+δλ,ω＝λ⁽ⁱ⁾ω(16)

式中，δx^t表示位移增量的转置；δλ表示频率控制因子增量；表示调整ω与δx的某一参数；δl表示选定的弧长参数；x⁽ⁱ⁾表示迭代过程中第i点对应的位移向量；λ⁽ⁱ⁾表示迭代过程中第i点对应的频率控制因子。

步骤3，散体物料的运动学求解；

步骤3-1，散体物料的运动学可表示为：

式中，分别为散体物料沿振动输送面x、y方向的相对加速度；“±”为散体物料相对后滑和相对前滑，相对后滑为+，相对前滑为－；ff、fn分别为散体物料所受摩擦力和支持力；fⁿ、f^τ分别为散体物料间的法向和切向接触力，β为输送面与振动方向的夹角；mg为散体物料质量。

步骤3-2，散体物料的相对静止运动：

散体物料与振动输送面相对静止时，其加速度、速度和位移分别为：

式中，和分别表示散体物料沿振动输送面x和y方向的加速度；和分别表示散体物料沿振动输送面x和y方向的速度；x和y分别表示表示散体物料沿振动输送面x和y方向的位移；

步骤3-3，散体物料的相对滑动运动：

由于振动输送面具有较强的非线性，且散体物料间的相互接触变形很小，进而导致散体物料间的相互作用力远远小于散体物料与振动输送面间的相互作用力；因此，在后面的计算中忽略散体物料间的相互作用力；

式中，τa(ωta)、τb(ωtb)、τc(ωtc)、τd(ωtd)分别为散体物料相对于振动输送面的前滑始角、前滑止角、后滑始角和后滑止角；μ表示振动输送面与散体物料间的摩擦系数；表示散体物料沿振动输送面x方向前滑加速度；表示散体物料沿振动输送面x方向后滑加速度；表示振动输送面沿振动方向的振动加速度；表示散体物料沿输送面x方向前滑速度；表示散体物料沿输送面x方向后滑速度；表示振动输送面沿振动方向的振动速度；表示散体物料在ta时刻的速度；表示散体物料在tc时刻的速度；表示振动输送面在ta时刻的速度；表示振动输送面在tc时刻的速度；x+(t)表示散体物料沿输送面x方向前滑位移；x-(t)表示散体物料沿输送面x方向后滑位移；s(t)表示振动输送面沿振动方向的振动位移；x+(ta)表示散体物料在ta时刻的位移；s(ta)表示振动输送面在ta时刻的位移；x-(tc)表示散体物料在tc时刻的位移；s(tc)表示振动输送面在tc时刻的位移。

本发明的有益效果：本发明为一种改进的单侧激振非线性卸载系统下散体物料流动特性分析方法，该模型中考虑了卸载设备同时具有二次和三次非线性振动、机械-散体物料间的相互作用。从而准确的分析非线性振动条件下散体物料的运动状态。

附图说明

图1是一种改进的单侧激振非线性卸载系统下散体物料流动特性分析方法流程图；

图2是单侧激振非线性卸载系统动力学模型图，图2(a)是非线性系统示意图，图2(b)是外部激振器示意图，图2(c)是系统简化模型示意图，图2(d)是散体物料力学模型及运动状态示意图；

图3是改进的增量谐波平衡法(ihbm)的流程图；

图4是不同侧倾角下卸载面与散体物料速度曲线图(ω＝10rad/s)，图4(a)中α＝π/18，图4(b)中α＝π/6；

图5是不同侧倾角下卸载面与散体物料速度曲线图(ω＝35rad/s)，图5(a)中α＝π/18，图5(b)中α＝π/6；

图6是不同侧倾角下卸载面与散体物料速度曲线图(ω＝40rad/s)，图6(a)中α＝π/18，图6(b)中α＝π/6；

图7是不同摩擦系数下卸载面与散体物料速度曲线图(ω＝10rad/s)，图7(a)中μ＝0.6，图7(b)中μ＝0.9；

图8是不同摩擦系数下卸载面与散体物料速度曲线图(ω＝25rad/s)，图8(a)中μ＝0.6，图8(b)中μ＝0.9；

图9是不同摩擦系数下卸载面与散体物料速度曲线图(ω＝40rad/s)，图9(a)中μ＝0.6，图9(b)中μ＝0.9；

图10是不同摩擦系数下卸载面与散体物料速度曲线图(ω＝45rad/s)，图10(a)中μ＝0.6，图10(b)中μ＝0.9。

具体实施方式

下面结合附图和技术方案，进一步说明本发明的具体实施方式。

本发明实施例为一种改进的单侧激振非线性卸载系统下散体物料流动特性分析方法，流程图如图1所示，包括以下步骤：

步骤1，确定单侧激振非线性卸载系统的动力学方程；

根据图2单侧激振非线性卸载系统物理模型，在对其进行一定程度简化的基础上，推导其动力学微分方程的表达式，并确定其中各项表达式；

步骤1-1，单侧激振非线性卸载系统动力学方程为：

式中，m为卸载设备的等效质量，α为卸载面的侧倾角，cl、kl分别为振动系统的等效线性阻尼和刚度，fout为外部激励，为非线性力，s为卸载系统的振动位移，为卸载系统的振动速度，为卸载系统的振动加速度。

步骤1-2，非线性振动系统的非线性力和线性力为：

将卸载设备的非线性因素等效为具有二次和三次非线性的弹簧力和阻尼力。

①非线性力的表达式为：

式中，ci、ki分别为卸载设备等效二次非线性和三次非线性阻尼和刚度，二次非线性中，i＝q；三次非线性中，i＝c。

②外部激励fout的表达式为：

式中，fp为外部激励幅值；ω为外部载荷激振频率；m0为激振器偏心质量；ri为激振器偏心距，i＝1、2；t为时间。

步骤2，基于ihbm对动力学方程进行增量过程；

步骤2-1，假设xi(τ)，δxi(τ)分别为非线性系统的稳态响应和增量，其表达式可写为：

xi(τ)＝xi0(τ)+δxi(τ),ω＝ω0+δω(i＝1,2,…m)(4)

式中，xi(τ)，x0i(τ)，δxi(τ)可表示为：

其中，

式中，n为每个自由度展开谐波的次数；q表示某一正整数，其中q＝1时为基频分析，q＝2、3、…时为超谐波频率分析；τ为无量纲时间且τ＝ωt。

整理上式得：

xi＝csai,xi0＝csai0,δxi＝csδai(7)

则系统的解为：

x＝sa,x0＝sa0,δx＝sδa(8)

其中，

步骤2-2，对增量方程进行伽辽金处理；

基于ihbm将系统的动力学方程写成增量形式，并略去高阶无穷小量：

式中，cn表示jacobin阻尼矩阵，kn表示jacobin刚度矩阵，且满足：

式中，表示系统非线性力向量；x＝[x1,x2,…xm]^t表示系统的位移向量；m表示系统自由度的个数；表示系统的速度向量；r表示残余误差向量；x0、ω0分别表示式(1)的准确解；p0(τ)表示系统取准确解时的外部激励向量；表示系统取准确解时的非线性力向量；表示准确解的一阶导；表示准确解的二阶导；m、c、k分别表示系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；δx表示偏离准确解x的增量；表示偏离准确解x增量的一阶导；表示偏离准确解x增量的二阶导；δω表示偏离准确解ω的增量；

步骤2-3，对动力学方程进行伽辽金法galerkin过程：

设δ(δx)＝sδ(δa)为δx的变分，并对其进行整理得：

式中，p(τ)表示振动系统外部激励向量。

根据变分特性，整理上式化简得：

kmδa＝rm1a0+rm2+rm3a0δω(15)

式中，

式中，km表示增量系数矩阵；rm1表示系数初值矩阵；rm2表示系统等效力矩阵；rm3表示增量角速度系数矩阵；

步骤3，结合弧长延拓技术对其进行修订；

步骤3-1，对方程进行修订：

通过对式(15)的分析可知，式(15)具有(m+n)+1个方程，却有(m+n)+2个未知数，为了精确的求解出方程中的近似解析解，引入弧长延拓技术对其增量谐波平衡法进行改进。

式中，ψ(x,δλω)表示位移和激振频率函数；ψ表示弧长函数；kt表示等效的切线刚度矩阵；q表示等效的频率因子矩阵；a表示系数矩阵；

添加系统的控制方程

式中，δx表示位移增量；δx^t表示位移增量的转置；δλ表示频率控制因子增量；表示调整ω与δx的某一参数；δl表示选定的弧长参数。

步骤3-2，计算kt的行列式|kt|，进而求得δλ⁽⁰⁾和δx⁽⁰⁾的初始值：

式中，δλ⁽⁰⁾表示迭代过程中初始频率控制因子增量；δx⁽⁰⁾表示迭代过程中初始位移增量；

步骤3-3，新的增量可写为：

将式(24)带入到方程(21)，整理得：

a(δλ^(k))²+bδλ^(k)+c＝0(25)

式中，

通过式(25)可以求得方程的根为和

式中，

因此，

式中，δx^(k+1)表示弧长法迭代过程中预测和校正的第k+1点位移增量；δx^(k)表示弧长法迭代过程中预测和校正的第k点位移增量；δx^(k)表示弧长迭代过程中第k点平衡位移向量；表示迭代过程中位移控制矩阵且δλ^(k)表示弧长迭代过程中第k点平衡频率因子；表示过度位移向量且δλ^(k+1)表示弧长迭代过程中预测和校正的第k+1点频率因子；δλ^(k)表示弧长迭代过程中预测和校正的第k点频率因子；x⁽ⁱ⁾表示迭代过程中第i点对应的位移向量；λ⁽ⁱ⁾表示迭代过程中第i点对应的频率控制因子。

根据改进的增量谐波平衡法的推导过程，图3给出了该方法的流程图。

根据图2所简化的模型，其等效参数分别为：m＝240kg，cl＝700ns/m，kl＝1500n/m。求得单侧激振下非线性卸载系统的幅频特性曲线，进而能够更加准确的求得各次谐波的幅值。

步骤4，散体物料的运动学求解；

步骤4-1，散体物料的运动学方程为：

将散体物料的运动状态分为散体物料与振动输送面间的相对静止、相对前滑、相对后滑以及几种相对运动的组合运动状态。散体物料在振动输送面上的力学模型如图2(d)所示，根据牛顿第二定律可得散体物料的运动学方程为：

式中，分别为散体物料沿振动输送面x、y方向的相对加速度；“±”为散体物料相对后滑和相对前滑，相对后滑为+，相对前滑为－；ff、fn分别为散体物料所受摩擦力和支持力；fⁿ、f^τ分别为散体物料间的法向和切向接触力，β为输送面与振动方向的夹角；mg为散体物料质量。

散体物料沿x、y方向的加速度分别为：

步骤4-2，散体物料的相对静止运动：

散体物料与振动输送面相对静止时，其加速度、速度和位移分别为：

步骤4-3，散体物料的相对滑动运动：

由于振动输送面具有较强的非线性，且散体物料间的相互接触变形很小，进而导致散体物料间的相互作用力远远小于散体物料与振动输送面间的相互作用力。因此，在后面的计算中忽略散体物料间的相互作用力。

式中，μ为散体物料与振动输送面间的摩擦系数。

对式(29)进行整理、积分，进而得到散体物料的相对加速度、速度和位移表达式：

数值仿真分析

通过前面的分析可知，由于散体物料与振动输送面间的相互作用，导致散体物料在振动输送面上的运动是一个多种运动相互组合的过程(r：相对静止、f：相对前滑、b：相对后滑)。因此，分析振动输送面的侧倾角(α)和摩擦系数(μ)对散体物料运动的影响是非常必要的。

1.侧倾角对散体物料运动状态的影响

为了进一步研究侧倾角对散体物料运动状态的影响，图4-图6分别给出了侧倾角α＝π/18和α＝π/6时在不同激振频率下(ω＝10rad/s、ω＝35rad/s、ω＝40rad/s)散体物料和振动输送面的速度曲线。

如图4所示，当ω＝10rad/s时，随着侧倾角的增大，散体物料相对于振动输送面的相对静止时间减小，而相对前滑的时间增大，并且相对运动状态由相对静止→相对前滑→相对静止→相对前滑→相对静止的运动状态过渡到相对静止→相对前滑→相对静止→相对前滑→相对静止→相对前滑的运动状态。

当系统的激振频率增大到ω＝35rad/s时(图5)，散体物料在较小的侧倾角下出现了相对后滑的运动状态，并且此时散体物料相对前滑的时间较小，但随着侧倾角的增大，散体物料相对于振动输送面前滑的时间增大，而相对静止和相对后滑的运动状态时间减小。散体物料的相对运动状态由相对静止→相对前滑→相对后滑→相对前滑→相对后滑→相对静止的两次间歇性滑动的状态过渡到相对静止→相对前滑→相对后滑的单次间歇性滑动。

如图6所示，当激振频率继续增大到ω＝40rad/s时，振动系统在不同的侧倾角下仅表现出两种运动状态，即：相对静止→相对前滑。随着侧倾角的增大，不仅散体物料相对前滑运动的时间增大，而且散体物料前滑的速度也相应的增大，此时散体物料相对后滑的运动状态消失。

通过对比不同侧倾角下散体物料的运动状态可知：在一定激振频率下，随着侧倾角的增大，散体物料相对于振动输送面前滑的时间和速度增大，进而有利于提高散体物料的卸载效率。因此，在保证单侧激振非线性振动系统稳定运行的范围内应尽量的增大系统的激振频率和侧倾角，而达到提高散体物料的卸载效率、减小对振动输送面无益的磨损以及降低对散体物料“伤害”的功能。

2.摩擦系数对散体物料流动规律的影响

散体物料与振动输送面间的摩擦系数直接反应两者之间“相互作用”的强弱。当振动输送面磨损较小，散体物料表面较光滑，两者之间的摩擦系数较小，有利于散体物料的卸载；当振动输送面磨损较为严重且散体物料表面相对粗糙时，两者之间的摩擦系数较大，此时不利于散体物料的卸载。因此本节以摩擦系数为研究对象(μ＝0.6、μ＝0.9)，分析了不同激振频率下(ω＝10rad/s、ω＝25rad/s、ω＝40rad/s、ω＝45rad/s)散体物料的运动状态。

当激振频率ω＝10rad/s时，图7给出了μ＝0.6和μ＝0.9时散体物料与振动输送面的速度曲线，在不同摩擦系数下，散体物料均表现为相对静止→相对前滑→相对静止→相对前滑→相对静止→相对前滑的运动状态，但其相对静止与相对前滑的时间和速度均不相同。当摩擦系数较小时，散体物料的相对静止时间区域较小，而相对前滑的时间区域较大。随着摩擦系数的增大，散体物料的相对静止时间增大，相对前滑时间和相对速度减小。除此之外，在此激振频率下散体物料没有出现相对后滑的现象。

当振动系统的激振频率ω＝25rad/s时(图8)，散体物料表现为相对静止→相对后滑→相对静止→相对前滑的运动状态。通过对比可以发现，随着摩擦系数的增大，散体物料相对前滑的时间减小，物料开始滑动的起始时间相对增大，且开始相对静止的时间区域增大。故在此工况下，随着摩擦系数的增大，不利于散体物料卸载。与此同时，也增强了散体物料与振动输送面间的相互作用，进而增大了散体物料对振动输送面的磨损。

当激振频率继续增大到ω＝40rad/s和ω＝45rad/s时，速度曲线如图9和图10所示。通过对比可以发现：散体物料的运动状态随着摩擦系数的增大均由相对静止→相对前滑过渡为相对静止→相对前滑→相对后滑→相对前滑，不同之处在于相对运动的时间和速度的大小。因此，这里仅对ω＝45rad/s时进行详细的叙述。当摩擦系数μ＝0.6时，散体物料在区间ab内振动输送面与散体物料间的相对速度表示散体物料与振动输送面间保持相对静止状态，且b点为相对静止和相对前滑的临界点。当散体物料处于bc区域内，此时相对速度满足因此散体物料相对于振动输送面向前滑动。当摩擦系数由μ＝0.6增大到μ＝0.9时，散体物料首次出现滑动的时间增大，即在图10(a)中ab区域的长度小于图10(b)中ab的长度。当散体物料滑至c点时，物料处于相对前滑转变为相对后滑的临界点，在此后的cd区域内，散体物料与振动输送面间的相对速度满足因此散体物料相对于振动输送面向后滑动，且d点为相对后滑与相对前滑的临界点。在此后de区间，散体物料相对于卸载面向前滑动。

通过对比不同摩擦系数和不同激振频率下散体物料的运动状态可以看出，当激振频率一定时，随着摩擦系数的增大，散体物料的相对静止或相对后滑的时间增大，而相对前滑的时间减小，且首次出现滑动的时间增大，即散体物料表现为一定的“惰性”。因此，为了尽量的提高散体物料的卸载效率和降低散体物料对振动输送面的磨损，应该尽量在增大激振频率的同时减小散体物料与振动输送面间的摩擦系数。