X(m+l)(i+l) 为控制点，且具有重力，代表电缆的重力属性；标号I 为放置在控制点上的卷曲弹簧，代表电缆的弯曲属性；标号2为连接控制点的线性弹簧，代 表电缆的拉伸属性;Ani为柔性电缆的混合模型的连接点。第m段子电缆为能量优化模型，其 中Vm。、Vm、Vw Vw……Vnil为控制点，标号3、4为能量优化法建立的第m段子电缆的部分 电缆段。i为正整数。
[0037] 由于柔性电缆的混合模型是结合了能量优化法和质点弹簧法建立的模型，因此， 下面将按照子电缆段采取的建模方法来进行详细阐述。
[0038] 步骤1. 1，利用能量优化法建立第m段子电缆段模型。
[0039] 步骤I. 1. 1，确定样条函数。
[0040] 能量优化法是基于物理的曲线曲面静态造型，其采用样条函数描述曲线，以数学 规划为表达形式、曲线控制点为设计变量，最小物理形变能为优化目标，运用各种约束及施 加外力的方式控制曲线形状的建模方法。从其定义可知，必先确定合适的样条函数来描述 曲线。由于电缆实际上是具有特殊几何特性和物理特性的一定半径的中心线，其几何特性 主要表现在具有一定截面信息的曲线。而B样条曲线的特点是节点连续性、局部支柱性以 及凸包性等，且其造型灵活、易于局部调整。因此确定选择B样条曲线来描述电缆。
[0041] 为了方便计算，本发明实施例确定了二次B样条曲线来对电缆进行拟合。假设第 m段子电缆上共有η个控制点，则该段子电缆被再分成n-2段曲线，其中第i段曲线的表达 式为：
[0043] 式⑴中，Wnil(U)表示第m段子电缆的第咼曲线，u为参数且u e 为二次B样条基函数，j = 0, 1，2,其表达式可表示为：
(2)
[0045] Vnil,是用于描述二次B样条曲线的特征多边形顶点。
[0046] 步骤I. 1. 2,建立第m段子电缆的变形能函数。
[0047] 根据能量优化法的基本原理，以Gossard变形能方程为基础，建立第m段子电缆中 第i段曲线拟合的单段电缆的变形能方程：
[0049] 其中，α为电缆的拉伸系数，β为电缆的弯曲系数，f(u)是单位长度电缆的重量， W削（U)J niiuu(U)分别为曲线Wnil(U)沿参数方向的一阶导数和二阶导数，且W_(u)是电缆曲 线的形状，此处将电缆描述成具有一定半径的中心线。
[0050] 另外，材料特性参数α、β和单位长度电缆的重量f (u)与弹性模量E、截面面积S 和电缆线质量密度P有紧密关联，因此，α、β和g(u)可表示为：
[0051]
C4)
[0052] 其中，X是横截面上任意点到弯曲对称线的距离，α的求取公式中对曲面进行积 分，g是重力加速度。在对于沿长度方向材料均匀分布的电缆的情况下，弹性模量E是常量。
[0053] 由步骤I. I. 1中的公式⑴可知第m段子电缆中第i段曲线拟合的单段电缆曲线 Wmi (u)的一阶、二阶导数Wmiu(U)，Wmiuu(U)可表示为：
[0054]
(5)
[0055] 将公式（1)、（2)、⑷和（5)带入公式⑶中，可得第m段子电缆中第i段曲线拟 合的单段电缆的变形能：
[0057] 进一步简化为：
[0058] ；7)
[0059] 是已 知函数的积分，可以通过数值积分求得，为一常数。而Vnill^Vnil^表示矢量V "^和V "$勺内积， Vnilk也是用于描述二次B样条曲线的特征多边形顶点。只有控制点Vnil为未知。由此可知， 此n-2段电缆总能量艮_为：
[0061] 能量曲线模型的能量表达式转化为以控制点Vm(此处是不是表示为Vm更清楚？ 若有问题请告知）表示的二次函数，根据优化理论欲使能量函数取极值，则E 中对 每一个控制点求偏导，必有下式成立：
[0062]
(9)
[0063] Vnff为第m段子电缆上的第r+Ι个控制点。贝拱有η个方程，由于两个端点为已知 值，由此得到关于η-2个控制点的η-2个方程，然后采用任意数值解法求解方程组，从而得 到所有控制点的位置。
[0064] 步骤1. 2,利用质点弹簧法建立第m+1段子电缆模型。
[0065] 质点-弹簧法是将柔性物体离散成一系列质点，质点之间通过无质量弹簧（线性 弹簧和弯曲弹簧）相连，且质点是有质量的，从而将柔性物体等效成一个质点-弹簧系统。 假设第m+1段子电缆的长度为L，且将该段子电缆离散为η段，则离散化后该段子电缆由 η+1个控制点构成，控制点的标号从0开始一直到η。电缆的运动与变形是通过粒子间以及 粒子等的相互作用，即内力和外力共同作用。根据牛顿第二定律F = Ma，可以得到第m+1段 子电缆中第i+Ι个控制点的运动规律满足下式：
[0067] 式中，X01^1表示控制点在三维空间中的位置，是模型的求解目标，M 表示该控 制点的质量，K。表示防止计算过程中质点过度震荡设置的阻尼系数，与质点的运动速度有 关，％ (Xypt)表示控制点所受外力，Frt (Xypt)表示控制点所受内力，它们均随控制 点位置和时间t的变化而变化。由公式（10)得电缆运动仿真的关键在于求得控制点所受 外力和内力的合力。
[0068] 步骤1. 2. 1，确定第m+1段子电缆中控制点X011^1所受的外力。
[0069] 控制点X0ll^1所受的外力主要包括重力、摩擦力和操作过程中操作者产生的力。首 先计算控制点重力，由物理学可得的X 重力：
[0070] F(n+1)lg=Mlg (11)
[0071] 式（11)中，g是重力加速度，M1是第i个控制点的质量。
[0072] 其次，计算控制点X0rih所受的摩擦力F0rtW只有当电缆与周围物体或者自身不 同部分发生接触时，才会产生摩擦力。本发明实施例仅考虑地面对电缆造成的摩擦力。利 用粘性摩擦模型，假设控制点X 01^1与地面接触，电缆与地面的摩擦系数为k。，地面的法向 量为z，则控制点X0i^ ih所受的摩擦力为：
[0073]
[0074] 最后，利用虚拟耦合技术计算操作过程中操作者产生的力，其原理是采用虚拟弹 簧耦合操作位置标记点与被操作点，假设某时刻操作者操作控制点Xm h,此时位置标记 点与电缆上的控制点X01^1位置重合，用Xtmjlk表示，当随操作者的操作而动时，则
之间的距离，则作用在质点上的操作者产生的力iV1)lu 为：
[0075]
(13)
[0076] 式中ku为虚拟弹簧的刚度系数，^为单位向量且
，当操作 者停止运动时，停止运动，由于实际中电缆的动态特性不明显，在视觉上可认为电缆 控制点X0^ih也停止运动。若电缆仍处于被操作状态，则F 大小与方向可由控制点与 其相邻控制点间受力平衡来得到。
[0077] 步骤1. 2. 2,确定第m+1段子电缆中控制点所受的内力。
[0078] 控制点X01^1所受的内力主要是线性弹簧和弯曲弹簧所产生的。首先计算的是线 性弹簧受力情况，由于采用的是理想的线性弹簧，弹簧的弹性变形力利用胡克定律来计算。 如图2所示的是电缆模型的某一部位，由X01^1和与其相邻的两个控制点X (m+l) (i 1)和 X (m+l) (1+1)以及控制点之间的线性弹簧连接而成。F ^加和F ^似分别表示X ^ih受到的与相邻 两个控制点之间线性弹簧的力。
[0079] 根据胡克定律，对于模型中的线性弹簧，中间控制点XU)^