一种基于空间配面与改进傅里叶级数的层合结构振动分析方法
【技术领域】
[0001] 本发明涉及的是一种应用于工程力学和振动工程领域的基于空间配面与改进傅 里叶级数的层合结构振动分析方法。
【背景技术】
[0002] 复合材料层合结构是一类新型的工程结构。由于它具有质量轻、比刚度高、比强度 大，隔热，隔音和优良的减振降噪性能而被广泛应用于航空航天、军事装备、和科技建筑等 领域。复合材料层合结构动力学分析一直是很多学者关注和探讨的重点。与常规结构相比， 复合材料层合结构的组成材料复杂、铺层方式多样，因此其动力学行为更为复杂。目前，国 内外的绝大部分研究都还是把三维的复合材料层合结构通过ESL方法简化成一维或者二 维的经典各向异性结构来处理。这种处理降低了研究难度，对比较薄的层合结构来说其计 算结果的精度是可以接受。但是这种方法忽略了结构内部铺层之间在厚度方向上的正应力 和剪切应力的不连续性，因而当结构的厚度比比较高或者不同铺层之间材料属性差异较大 时，其计算结果相差甚远。目前，针对三维复合材料层合结构的动力学建模分析方法主要有 有限元法，但缺点是对应的系统方程维数通常较高且计算量大，精度低。因此研究和建立一 种能够适用任意厚度、任意边界条件复合材料层合结构的振动分析方法具有十分重要的意 义。
[0003] 本发明提供了一种基于空间配面与改进傅里叶级数的层合结构振动分析方法。这 种方法具有适用任意边界条件和任意厚度、精度高、收敛快、计算成本低、计算方法简单等 特点。
【发明内容】
[0004] 本发明的目的在于提供一种用以求解任意厚度层合结构在任意边界条件下的振 动问题的基于空间配面与改进傅里叶级数的层合结构振动分析方法。
[0005] 本发明的目的是这样实现的：
[0006] (1)提取层合结构的几何和材料参数并设置结构位移为U11 ( α，β，z)，其中α，β 和ζ为结构空间坐标系坐标，i = 1，2, 3代表结构位移在α，β和ζ方向上的分量，1指的 是第1层；
[0007] (2)对结构每一层沿厚度方向配置J个非均匀分布的计算平面，且第1个和第J个 计算平面分别选取为该层的下表面和上表面，其它计算平面在厚度上的分布位置为
[0009] 其中，Ii1为第1层厚度对和彳分别为该层的下表面和上表面；同时，将计算平面上 的结构位移设定为〃并将结构的任意位置结构位移设定为如下形式： CN 105184060 A 说明书 2/7 页
[0011] (3)应用改进傅里叶级数对每个计算平面上结构位移进行全域展开得到结构位移 表达式为
，其中：
[0013] 而λ n= m π/L。和λ η= η π/L p，La和L p分别为层合结构在α和β方向的结 构几何尺寸，M，N为截断级数；补充函q(O)和Q(A)的引入是为了消除结构位移展开成传 统傅里叶cosine级数时其本身及导数在边界处的不连续性，从而加速求解的收敛速度，补 充函数具体形式设置为：
[0015] (4)由步骤⑵和（3)计算在第1层第j计算平面上结构的面内方向应变' 和'，横向应变和横向剪切应变4，'和分别为：
[0022] (5)由步骤（2)和（4)求得结构在第1层任意位置的应变和应力表达式为
[0024] O1=Ce 1； 〇 1= [ σ 1α, 0 1β, σ 1ζ, τ 1α β, τ 1αζ, τ 1β Ζ]Τ； ε 1 =
[￡10) ε?β) ε?ζ) Τ?αβ) Tlaz) Τ?βζ]
[0025] 其中C为结构材料系数矩阵；
[0026] (6)根据步骤（5)建立结构能量泛函（U，T);同时，设置虚拟弹簧边界并获取边界 条件能量表达式（Us)
[0029] (7)在步骤（6)基础上建立结构拉格朗日能量泛函L = U+US_T，然后对其中的未 知变量求偏导并令其结果为零，即得到结构的特征方程：
[0030] (K- ω 2M) = 〇
[0031] 其中ω为圆频率；
[0032] (8)应用Arnoldi算法建立MATLAB求解器输出结构的振动特征数据如固有频率、 模态，并判定计算精度，若满足精度要求则输出振动特征数据，不满足则继续优化空间配面 数量和增加面内位移展开式级数截取量。
[0033] 本发明的有益效果在于：通过空间配面把结构分解成多个空间计算平面，一方面 降低结构维度，从而提高计算速度，节约计算成本，另一方面把结构化整为零，便于并行计 算，从而提高计算效率。相比较现有分析方法只适用于经典边界条件，本发明的方法可以用 于解决各种复杂边界条件包含各种经典边界、一般弹性边界和非一致约束边界条件下任意 厚度层合结构的振动问题。而且，本发明的方法只需要通过改变边界弹簧的刚度来满足结 构的不同边界条件要求，而不需要对程序结构做任何修改。总的来说本发明的方法具有适 用任意边界条件和任意厚度、精度高、收敛快、计算成本低等特点。
【附图说明】
[0034] 图1是本发明的流程图；
[0035] 图2是层合梁结构及其空间配面示意图。
【具体实施方式】
[0036] 下面结合附图对本发明做进一步描述：
[0037] 本发明提供了一种基于改进傅里叶级数与空间配面的层合结构振动分析方法。该 方法具体步骤如下：提取结构的几何、材料和边界条件参数并设置结构位移；对结构每一 层沿厚度方向进行空间配面，并应用改进傅里叶级数对每个计算平面进行结构位移全域展 开；根据结构特征选取结构理论和设置虚拟弹簧边界，建立结构能量泛函和边界能量表达 式，得到结构特征方程；应用Arnoldi算法建立MATLAB求解器输出结构振动特征数据并判 定计算精度。本发明既可用于层合结构振动分析，又可用于其静力学问题求解。与现有方 法相比，本发明具有适用任意厚度和任意边界条件、精度高、收敛快、计算成本低等特点。
[0038] 本发明包括：
[0039] (1)在结构的每一层沿厚度方向均配置了 J个非均匀分布的计算平面，并且第1个 和第J个计算平面分别选取为该层的下表面和上表面。第2到J-I个计算平面的配置采用 Shifted ChebyshevPolynomials 零点分布，即：
[0041] 其中，1指的是层合结构的第1层，Ii1为该层厚度。
[0042] (2)每个计算平面上都设置了相应的结构位移，并在面内方向将其展开成改进傅 里叶级数形式。例如，在第1层第j个计算平面的结构位移设置为，并在面内展 开成改进傅里叶级数形式。其中α，β和z为结构空间坐标系坐标，i = 1，2, 3分别为结 构位移在α，β和z方向上的分量。
[0043] (3)每个计算平面上结构的面内方向应变ε 1α，ε 1{!和γ la e由所在计算平面设 置的结构位移直接对独立变量α和β求导得到。而横向应变和横向剪切应变ε?ζ，γ1αζ和Y 1Ρζ则由所在层所有计算平面上的位移加权得到。
[0044] (4)结构每一层任意位置的应变由所在层所有计算平面上应变经拉格朗日插值得 到。
[0045] (5)结构的边界条件通过虚拟弹簧边界实现，即结构的任一边界均假设分布着三 组线弹簧（klu，k2u，k3u)与刚性壁面相连接。在计算中只需将边界弹簧的刚度取一定值即可 获得相应的边界条件。
[0046] 本发明的具体为：
[0047] (1)提取层合结构的几何和材料参数并设置结构位移为U11 ( α，β，z)，其中α，β 和ζ为结构空间坐标系坐标，i = 1，2, 3代表结构位移在α，β和ζ方向上的分量，1指的 是第1层。
[0048] (2)对结构每一层沿厚度方向配置J个非均匀分布的计算平面，且第1个和第J个 计算平面分别选取为该层的下表面和上表面，其它计算平面在厚度上的分布位置为
[0050] 其中，Ii1为第1层厚度a;丨和#分别为该层的下表面和上表面。同时，将计算平面 上的结构位移设定为<(?，/?)【乃并将结构的任意位置结构位移设定为如下形式：