[0052] (3)应用改进傅里叶级数对每个计算平面上结构位移进行全域展开得到结构位移 表达式为0，#)%,?，其中：
[0054] 而λ n= m π /L α和λ η= η π /L p (La和L p分别为层合结构在α和β方向的结 构几何尺寸），M，N为截断级数。补充函G(O)和的引入是为了消除结构位移展开成 传统傅里叶cosine级数时其本身及导数在边界处的不连续性，从而加速求解的收敛速度， 补充函数具体形式设置为：
[0056] (4)由步骤⑵和（3)计算在第1层第j计算平面上结构的面内方向应变<，& 和横向应变和横向剪切应变<，和分别为：
[0063] (5)由步骤（2)和（4)求得结构在第1层任意位置的应变和应力表达式为
[0065] Q1=Ce 1; 〇 1= [ 0 1α, σ 1β, σ 1ζ, τ 1α β, τ 1αζ, τ 1β Ζ]Τ； ε 1 =
[￡10) ε?β) ε?ζ) Τ?αβ) Tla ζ) Τ?βζ]
[0066] 其中C为结构材料系数矩阵。
[0067] (6)根据步骤（5)建立结构能量泛函（U，T)。同时，设置虚拟弹簧边界并获取边界 条件能量表达式（Us)
[0070] (7)在步骤（6)基础上建立结构拉格朗日能量泛函L = U+US_T，然后对其中的未 知变量化求偏导并令其结果为零，即得到结构的特征方程：
[0071] (Κ-ω2Μ)=0
[0072] 其中ω为圆频率。
[0073] (8)应用Arnoldi算法建立MATLAB求解器输出结构的振动特征数据（固有频率， 模态等）并判定计算精度，若满足精度要求则输出振动特征数据，不满足则继续优化空间 配面数量和增加面内位移展开式级数截取量。
[0074] 下面结合图2,以计算下述层合梁结构边界条件为两端固支（C-C)和一端固支一 端自由（C-F)时的无量纲固有频率梦=祕?为实例，进行方法说明。
[0075] 层合梁长L = 0· 381m，宽b = 0· 0254m，总厚度H = 0· 0254m,铺层形式为 [0° /90° /90° /0° ]且各层厚度和材料均相等。材料参数如下：杨氏模量E1=HSGPa, E2= E 3= 9. 6GPa，剪切模量为 G 12= 4. IGPa, G 13= G 12, G23= G 12，泊松比为 μ 12= μ 13 = μ23=0. 3,密度为P = 1570kg/m3。具体步骤如下：
[0076] (1)提取结构参数并根据梁结构特征选择以下参数：α = X。同时，设置结构的面 内和横向位移为U1 (X，Ζ)和U3(X, Ζ)。
[0077] (2)对结构的每一层沿厚度方向配置J个非均匀分布的计算平面，且第1个和第J 个计算平面分别选取为该层的下表面和上表面，其它计算平面在厚度上的分布位置为
[0078] 第一层：
[0079] 第二层：
[0080] 第三层：
[0081] 第四层：
[0082] 同时，将第1层第j个计算平面的结构位移设定为,(ζ/)并将结构第1层任 意位置的结构位移设定为如下形式：
[0084] (3)应用改进傅里叶级数对每个计算平面进行结构位移全域展开得到结构位移表 达式为(z/)，其中：
[0086] (4)根据结构特征由步骤（2)和（3)计算在第1层第j计算平面上结构的法向应 变4 ,横向应变和横向剪切应变'和?d分别为： CN 105184060 A 说明书 7/7 页
[0090] (5)由步骤（2)和（4)求得结构第1层任意位置的应变和应力表达式为
[0092] O1=Ce 1； σ 1= [ σ 1χ, σ 1ζ, τ 1χζ]Τ； ε 1= [ ε 1χ, ε 1ζ, γ j Jt
[0093] (6)根据步骤（5)建立结构能量泛函（U，Τ)，同时，设置虚拟弹簧边界并获取边 界条件能量表达式（Us)。当结构两端固支时，边界虚拟弹簧刚度应为无穷大，实际计算中 取
。当结构一端固支一端自由时，固支端虚拟边界弹簧刚度为
自由端虚拟边界弹簧刚度取为〇.
[0096] (7)在步骤（6)的基础上建立结构的拉格朗日能量泛函：L = U+US_T，然后对该泛 函中的未知变量E4+2逐个求偏导并令其结果为零，即
[0098] 得到结构的特征方程：(K- ω 2M) = 0。
[0099] (8)应用Arnoldi算法建立MATLAB求解器输出层合梁结构的固有频率。
[0100] 计算所得结果如下表所示。从表中我们可以看出本发明的方法具有很好的收敛性 和计算精度。
【主权项】
1. 一种基于空间配面与改进傅里叶级数的层合结构振动分析方法，其特征在于，包括 如下步骤： (1) 提取层合结构的几何和材料参数并设置结构位移为U11 ( α，β，z)，其中α，β和z 为结构空间坐标系坐标，i = 1，2, 3代表结构位移在α，β和ζ方向上的分量，1指的是第 1层； (2) 对结构每一层沿厚度方向配置J个非均匀分布的计算平面，且第1个和第J个计算 平面分别选取为该层的下表面和上表面，其它计算平面在厚度上的分布位置为其中，Ii1为第1层厚度X11和 < 分别为该层的下表面和上表面；同时，将计算平面上的结 构位移设定为并将结构的任意位置结构位移设定为如下形式：(3) 应用改进傅里叶级数对每个计算平面上结构位移进行全域展开得到结构位移表达 式为，其中：而λ n= m π/L。和λ η= η π/L p，La和L p分别为层合结构在α和β方向的结构几 何尺寸，M，N为截断级数；补充函的引入是为了消除结构位移展开成传统傅 里叶cosine级数时其本身及导数在边界处的不连续性，从而加速求解的收敛速度，补充函 数具体形式设置为：(4) 由步骤⑵和（3)计算在第1层第j计算平面上结构的面内方向应变齊L .，#和 ，横向应变和横向剪切应变<，Mz和^分别为：(5) 由步骤（2)和（4)求得结构在第1层任意位置的应变和应力表达式为0 I = Ce 1 ； 〇 1 = [ σ Ια, °1β, °1ζ, τ?αβ, Tlaz, τ?βζ] 1 = [￡1〇) ε?β) ε?ζ) Τ?αβ) Tlaz) Τ?βζ] 其中C为结构材料系数矩阵； (6) 根据步骤（5)建立结构能量泛函（U，T);同时，设置虚拟弹簧边界并获取边界条件 能量表达式（Us)(7) 在步骤（6)基础上建立结构拉格朗日能量泛函L = U+Us-T，然后对其中的未知变 量仏,,,(<)求偏导并令其结果为零，即得到结构的特征方程： (K- ω 2M) =〇 其中ω为圆频率； (8) 应用Arnoldi算法建立MATLAB求解器输出结构的振动特征数据如固有频率、模态， 并判定计算精度，若满足精度要求则输出振动特征数据，不满足则继续优化空间配面数量 和增加面内位移展开式级数截取量。
【专利摘要】本发明涉及的是一种应用于工程力学和振动工程领域的基于空间配面与改进傅里叶级数的层合结构振动分析方法。本发明包括：提取层合结构的几何和材料参数并设置结构位移；对结构每一层沿厚度方向配置J个非均匀分布的计算平面；应用改进傅里叶级数对每个计算平面上结构位移进行全域展开得到结构位移；计算在第l层第j计算平面上结构的面内方向应变；设置虚拟弹簧边界并获取边界条件能量；对其中的未知变量求偏导并令其结果为零。通过空间配面把结构分解成多个空间计算平面，一方面降低结构维度，从而提高计算速度，节约计算成本，另一方面把结构化整为零，便于并行计算，从而提高计算效率。
【IPC分类】G06F19/00
【公开号】CN105184060
【申请号】CN201510523132
【发明人】靳国永, 叶天贵, 宿柱, 杨传猛, 张春雨, 贾星照
【申请人】哈尔滨工程大学
【公开日】2015年12月23日
【申请日】2015年8月24日