不可伸展带状物体的几何性质描述模型及动力学模拟方法
【技术领域】
[0001] 本发明涉及了一种模型和物理模拟方法，尤其涉及了一种不可伸展带状物体的几 何性质描述模型及动力学模拟方法，主要针对于矩形带状可展曲面。 技术背景
[0002] 带状物体在日常生活中相当常见，比如胶卷、纸条、装饰彩带等等。该类物体一般 较窄，自然状态下平坦同时具有不可拉伸的性质。在几何上，带状物体可被抽象为一张光滑 的可展曲面，即直纹曲面。这种特殊的几何性质赋予带状物体一些重要的静力学和动力学 特性，使得现有方法在模拟这类物体时存在很大的挑战。
[0003] 虽然物理仿真领域已有不少针对杆状物和薄壳的模拟方法，但综合考虑几何精确 性、物理精确性和效率等方面时，这些方法并不适合用于模拟带状物体。一种传统的方法就 是在薄壳模拟的基础上施加硬约束来保证曲面的不可伸展性。然而这种模式由于需要高分 辨率的网格与大量的保长约束，会直接导致计算性能的大幅下降。
【发明内容】
[0004] 针对【背景技术】的不足，本发明的目的在于提出了一种不可伸展带状物体的几何性 质描述模型及动力学模拟方法，能够精确描述带状曲面，并基于模型实现高效的物理模拟， 在满足几何、物理精确性的同时能够兼顾计算效率。
[0005] 为实现上述目的，本发明的采用的技术方案具有如下内容。
[0006] -、一种不可伸展带状物体的几何性质描述模型：
[0007]对于一张长为1，宽为w的矩形带状可展曲面，采用由以下正则中心曲线r来描述 的公式作为所述几何性质的描述模型，该模型在连续域上可由下述公式表达：
[0008] S(u,v) =r(u)+vω(u),
[0009]ω(u) =d2 (u) +η(u)d3 (u)，
[0010] n(u) =τ(u)/κ(u)
[0011] uG[0, 1],vG[_w/2,w/2]
[0012] 式中，S(u，v)表示三维空间中的一张矩形带状可展曲面，u、v是曲面参数平面上 代表两个相互垂直方向的参数坐标，ω(u)代表母线；d3(u)，d2(u)分别代表沿着正则中心 曲线r(u)的材质标架Μ中的单位切向量和单位副法向量，Μ表示沿着正则中心曲线r(u)的 材质标架，由d?，d2(u),d3(u)三个分量构成，可表示为M= (dju)，d2(u),d3(u))eR3X3， 其中R表示实数集，山(u)代表沿着r(u)的材质标架中的单位法向量，由于r是S上的一 条测地线，所以该标架Μ总是与Frenet标架一致；v代表曲线上一点在母线ω(u)方向上 的投影，n(u)表示母线ω(u)在单位切向量上的投影，数值上等于正则中心曲线r(u)上 一点挠率与曲率的比值；κ(u)和τ(u)分别表示正则中心曲线r(u)上任意一点处的曲率 和烧率，计算方法为κ(u) =d3' (u) 4(11),τ(u) =d2' (u) ·?!3(ιι)，(13'（u)代表沿着 r(u)的材质标架的单位法向量对正则中心曲线参数坐标u的一阶导数，d2'（u)代表沿着 r(u)的材质标架的单位副法向量对正则中心曲线参数坐标u的一阶导数；上述字母含义关 系如图1所示。
[0013] 所述几何性质描述模型包含有中心曲线保长约束和母线不相交约束的两个约束 与一个边界条件。
[0014] 所述的中心曲线保长约束ClS| |沪| | = 1，以保证曲面的不可拉伸性，其中r' 表示正则中心曲线r(u)对中心曲线参数坐标u的一阶导数。
[0015] 所述的母线不相交约束cn(为|η' | <2/w，以使得由母线交点所形成的曲线 位于S之外，η'表示n(U)对中心曲线参数坐标u的一阶导数。[可参考B0P.，WANG ff. :Geodesic-controlled developable surfaces for modeling paper bending. CGF(EG07)26, 3(2007)，365 - 374]。
[0016] 所述的边界条件为矩形带状可展曲面S两端的边与单位副法向量d2平行，即 η(〇) =η(1) = 〇,这样保证带状曲面上的所有点都能够被母线覆盖。
[0017] 二、一种不可伸展带状物体的动力学模拟方法：
[0018] 1)为了便于数值模拟，保证模拟的性能与稳定性，为模拟计算所述几何性质描述 模型构造广义坐标g来表示带状曲面，广义坐标g由以下三元组表示：
[0019] g= {q,η,r}
[0020] 其中，r表示中心曲线的位置坐标，q是代表中心曲线r上材质标架M的一个四元 数，η代表母线在单位切向量上的投影。
[0021] 为了使上述广义坐标g所描述的带状物体具有不可伸展的几何性质，需要包含如 下约束：
[0022] A)单位四元数约束cuJ|q| | = 1，q是表示中心曲线上材质标架的四元数；
[0023]B)平行约束c ，r'是中心曲线r对参数坐标u的一阶导数， IIrI! d3(q)是材质标架中的单位切向量。
[0024]C)副法线零曲率约束cY :d2(qV·d3(q)=0, d2(qV是材质标架中单位副法向 量对中心曲线参数坐标u的一阶导数，d3(q)是材质标架中的单位切向量。
[0025]D)保长约束(V| |r' | |_1=0,r'是中心曲线位置坐标r对中心曲线参数坐标 u的一阶导数。
[0026] E)母线不相交约束: |η' | < 2/w，η'表示η对中心曲线参数坐标u的一 阶导数，w表示矩形带状可展曲面S的宽度；
[0027]F)等挠率约束cST :κ(q)q-τ(q) = 〇,τ(q)，κ(q)分别表示挠率和曲率。
[0028] 2)对矩形带状可展曲面S建立弹性势能模型，通过该弹性势能模型计算该矩形带 状可展曲面S中的内应力；
[0029] 3)通过数值模拟计算方法计算矩形带状可展曲面S的运动。
[0030] 广义坐标g中还可添加由用户施加的外部约束：
[0031] G)位置约束cp:r(uk)-pk= 0，r(uk)代表中心曲线的某一点&代表空间中固定的 一点。
[0032]H)方向约束〇\(?：/Χ(?；/) = 〇:, 4(g)代表材质标架中单位法向量对时间的一阶 导数，d2(q)代表材质标架中的单位副法向量。
[0033] 所述步骤2)中的弹性势能V具体采用以下公式：
[0034]
[0035] 式中，a代表泰勒展开式的阶数，D代表材质刚度，u表示曲面参数平面上代表其中 一个方向的参数坐标，w表示矩形带状可展曲面S的宽度，η代表母线在单位切向量上的投 影，κ和τ分别表示正则中心曲线r上任意一点处的曲率和挠率。具体实施中可将上述 弹性势能模型的泰勒展开式阶数a从5阶截断。
[0036] 所述的弹性势能模型可采用以下方式推导得到：带状曲面在等距形变下的弹性势 能可通过下面的公式描述：
[0037]
[0038] 其中，V代表势能，D代表材质刚度。[可参考GIOMIL.，MAHADEVAN L. :Statisticalmechanicsofdevelopableribbons.Phys.Rev. Lett. 104, 23(2010)，238104]。为了移除公式中可能出现的退化情况，对上述公知的势能函 数中的对数项进行泰勒展开进而获得弹性势能。
[0039] 考虑到模拟的效率，本发明所述步骤3)的数值模拟计算方法只考虑带状物体运 动中的低频部分，把扭转运动按准静态方式处理。给定t。时刻曲面的状态，在一个时间步 长内，方法包含了两个阶段，微分方程求解阶段（ode)和准静态优化阶段（opt)，流程如下 所示：
[0040]
[0041]其中，分别代表q,η，r和r对时间的一阶导数纟在t。时刻的取值。 %而,4彳分别代表q，η，r和r对时间的一阶导数在&时刻的取值。
[0042] 所述步骤3)的数值模拟计算方法具体如下：在每一个时间步长内，构建运动方程 动态地更新中心曲线，更新中心曲线后通过后处理方式保持中心曲线保