分数标度数字信号处理的制作方法

本公开大体上涉及数字信号处理，且具体来说，本公开涉及利用滤波器组件的组合件的信号处理系统的构建，通过拉普拉斯函数限定至少一个滤波器组件，其中所述拉普拉斯函数包含具有可变分数标度指数的非整数控制阶。

背景技术：

存在用于对所关注系统的数字表示进行滤波或另外建模的众多信号处理技术。然而，由于处理技术的人为因素，此类信号处理技术在准确地对所关注系统进行滤波和重建的能力方面受到限制。人为因素常常表现为波纹、较宽的过渡带宽、缓慢滚降等。人为因素还可以混淆或更改被滤波的数据集合内的相关信号，从而导致来自所述信号的信息的损失。

技术实现要素：

根据本公开的方面，用于处理数字信号的方法包括：识别在频域表示中表示的所需要的频率和/或相位响应；以及构建对所需要的频率和/或相位响应进行建模的分数阶控制系统。分数阶控制系统通过从滤波器组件库中组装至少一个滤波器组件构建而成，滤波器组件库包括积分器组件、微分器组件、低通滤波器组件、高通滤波器组件、高频率放大器组件、低频率放大器组件，和共振滤波器组件。通过拉普拉斯函数限定至少一个滤波器组件，其中所述拉普拉斯函数包含具有可变分数标度指数的非整数控制阶。方法还包括：接收处于数字频域的输入；基于分数阶控制系统处理所述输入以产生数字输出；以及传送所产生的数字输出信号。

根据本公开的其它方面，提供了用于产生频率和/或相位修改的数字信号输出的数字信号合成器。数字信号合成器包括输入缓冲器、变换模块、处理模块，和输出缓冲器。输入缓冲器接收在频域表示(例如，bode空间)中表示的数字输入。变换模块存储由至少一个滤波器组件的组合件限定的对所需要的频率和/或相位响应进行建模的分数阶控制系统，所述至少一个滤波器组件包括积分器组件、微分器组件、低通滤波器组件、高通滤波器组件、高频率放大器组件、低频率放大器组件，和共振滤波器组件。通过拉普拉斯函数限定至少一个滤波器组件，其中所述拉普拉斯函数包含具有可变分数标度指数的非整数控制阶。处理模块利用存储在变换模块中的分数阶控制系统对数字输入进行乘或除。另外，输出缓冲器存储输入的合成输出，该合成输出根据存储在变换模块中的分数阶控制系统在频域、相域或两者中被修改。

附图说明

图1a是包含幅值相关滤波器组件的滤波器组件库的框图，其中示意性地示出了正频率；

图1b是为了包含二阶幅值相关滤波器组件而对图1a中的库进行的扩展，其中示意性地示出了正频率；

图2a是包含相位相关滤波器组件的滤波器组件库的框图，其中示意性地示出了正频率；

图2b是为了包含二阶相位相关滤波器组件而对图2a中的库进行的扩展，其中示意性地示出了正频率；

图3是说明使用至少一个滤波器组件处理数字信号的方法的流程图，通过拉普拉斯函数限定至少一个滤波器组件，其中所述拉普拉斯函数包含具有可变分数标度指数的非整数控制阶；

图4是说明与图3的方法协作的校正相位的方法的流程图；

图5是说明使用就图1至图4阐述的特征中的一个或多个的数字信号合成器的框图；

图6a是在频域表示中表示为分数标度低通滤波器响应的实例性所需要的频率响应；

图6b是来自图1a的滤波器组件库的低通滤波器组件的实例性响应；

图6c是来自图1a的滤波器组件库的高频率放大器组件的实例性响应，和当高频率放大器组件与图6b的低通滤波器组件组合从而实现分数阶控制系统时的结果的响应；

图6d是来自图1a的滤波器组件库的积分器组件的实例性响应；

图6e是演示在设计滤波器时选择组件值的实例性方法的图表；

图6f是构建成经由图6c的分数阶控制系统实施图6a的所需要的频率响应的实例性系统；

图7是使用现场可编程门阵列来实施数字滤波器的示意性实例性实施方案，通过拉普拉斯函数限定至少一个滤波器组件，其中所述拉普拉斯函数包含具有可变分数标度指数的非整数控制阶；

图8是能够实行本文就上图更全面地描述的系统和方法的计算机的示意性表示。

具体实施方式

本公开的方面提供了分数标度方法、系统和计算机程序产品，其利用基于非整数的分数微积分来实施分数滤波(例如，分数标度、分数相移、分数积分、分数微分等)，以执行需要处理存在于频域中或可以被转换为频域的数字信号的解决方案。

分数标度滤波器组件库介绍

如将在本文中更详细地描述，系统、方法和计算机程序产品利用了分数标度数字滤波器组(即，滤波器组件库)，其包括以各种配置组装以构建复杂信号处理系统的基本构造块(在本文被称作分数标度数字滤波器组件)。至少一个分数标度数字滤波器组件将分数幂标度指数(fractionalpowerscalingexponent)(在本文标示为β)并入到对应的预定义传递函数的非整数控制阶中。

在下文列出的滤波器组件形式中，下标指示在解出所描述的传递函数的幅值和相位之后引入标度指数的形式，且提供所述下标是为了使解出相关联的幅值和相位方程会相对更加简单。

而且，在整个说明书中，在复数离散傅里叶变换的正频率中依据β写出传递函数方程，β表示在绘制为功率谱时斜率的负数，其中功率在纵坐标轴上，而频率在横坐标轴上。因此，标度指数在表示幅度谱时是β/2，其为功率谱的斜率的一半。本文的传递函数全部是呈幅度谱的形式。

第一实例性构造块是具有形式且对输入信号执行分数积分的积分器组件。相应地，实例性微分器组件具有形式并对输入信号执行分数微分。

实例性低通滤波器组件具有形式其使低频率通过且使高频率衰减。出于方便起见，低通滤波器组件还可以通过二阶形式写为同样地，实例性高通滤波器组件具有形式其使高频率通过且使低频率衰减。对应的二阶高通滤波器具有形式

高频率放大器组件具有形式其放大高频率且使低频率通过。出于方便起见，高频率放大器组件还可以通过二阶形式写为同样地，低频率放大器组件具有形式其放大低频率且使高频率通过。对应的二阶低频率放大器组件具有形式

实例性共振滤波器组件具有形式共振滤波器使低频率通过且使高频率衰减。阻尼系数'd'控制共振峰行为。还可以修改共振滤波器以得到“反共振”滤波器，其基本上是相同的共振滤波器，使用输入对其去卷积。这通过在复数频域中时进行除法而非乘法来完成。本公开独特之处在于，可以在共振方程内对标度指数进行微调(tweak)，以允许调整共振峰的底部处的宽度，从而允许更精细的调谐。值得注意的是，这种能力对于常规共振滤波器是不实际的，常规共振滤波器在常规的基于二阶整数的共振方程的情况下或多或少是固定宽度。值得注意的是，标度指数还可能影响峰的高度，其可能需要在针对特定应用进行设计时考虑进去。

由于本文更全面地陈述的分数标度数字滤波器是可逆的，因此本文的滤波器组件可以用于修改信号。然后，可以通过利用相同滤波器组件将经修改的信号去卷积而将该信号转换回到原始信号。

在以下论述中，参考图1a、图1b、图2a和图2b，提供了基于分数标度拉普拉斯传递函数的系统，其中可以彼此独立地对幅值和相位进行处理。然而，实际上，对于给定的分数标度拉普拉斯传递函数，实现了幅值和相位传递响应。因此，设计者可以基于来自相同分数标度拉普拉斯传递函数、仅来自幅值、仅来自相位、来自幅值与完全不相关的相位的混合、其组合等的幅值和相位进行设计，以产生所需要的滤波效果。然而，为了模拟具有幅值和相位变化两者的系统，随后应该使用来自相同分数标度拉普拉斯传递函数的幅值和对应的相位。由于本文系统中的幅值和相位的独立性，脱离相位而对幅值单独进行了论述。

幅值相关分数标度滤波器组件介绍

现在参考附图，且具体参考图1a，滤波器组件库100包含以完全独立于相位的幅值表达的滤波器组件。实际上，滤波器组件库100可以具有特定应用规定数量的滤波器组件。然而，为了论述的清晰性，说明性滤波器组件库100包含以下识别的七个滤波器组件中的一个或多个(以任何组合)。

第一实例性基于幅值的滤波器组件是以幅值表达的积分器组件102，其表示在根据bode空间中的正频率绘制时具有负斜率的函数。第二实例性基于幅值的滤波器组件是以幅值表达的微分器组件104，其表示在根据bode空间中的正频率绘制时具有正斜率的函数。

第三实例性基于幅值的滤波器组件是以幅值表达的低通滤波器组件106。低通滤波器组件106表示在根据bode空间中的正频率绘制时使所限定的通频带中的低频率通过且使衰减频带中的高频率衰减的低通函数。第四实例性基于幅值的滤波器组件是以幅值表达的高通滤波器组件108。高通滤波器组件108表示在根据bode空间中的正频率绘制时使所限定的通频带中的高频率通过且使衰减频带中的低频率衰减的高通函数。

第五实例性基于幅值的滤波器组件是以幅值表达的高频率放大器组件110。同样地，低通滤波器组件106、高频率放大器组件110使低频率通过。然而，高频率放大器组件110在根据bode空间中的正频率绘制时将高频率放大(与由低通滤波器组件106展现的高频率的衰减形成对比)。同样地，第六实例性基于幅值的滤波器组件是以幅值表达的低频率放大器组件112。低频率放大器组件112使高频率通过。然而，低频率放大器组件112在根据bode空间中的正频率绘制时将低频率放大(与由高通滤波器组件108展现的低频率的衰减形成对比)。

第七实例性基于幅值的滤波器组件是在根据bode空间中的正频率绘制时以幅值限定的共振滤波器组件114。共振滤波器组件114使低频率通过，且使高频率衰减，与低通滤波器组件106很像。然而，共振滤波器组件114在从通频带到衰减频带的过渡处展现出共振峰。共振峰的高度受阻尼系数d影响。

参见图1b，对滤波器组件库100进行扩展以包含更高阶函数可能比较方便。例如，对说明性滤波器组件库进行扩展以包含实例性第八基于幅值的滤波器组件，其被实施为在根据bode空间中的正频率绘制时以幅值表达的二阶低通滤波器组件116。同样地，第九实例性基于幅值的滤波器组件被实施为在根据bode空间中的正频率绘制时以幅值表达的二阶高通滤波器组件118。

另外，第十实例性基于幅值的滤波器组件被实施为在根据bode空间中的正频率绘制时以幅值表达的二阶高频率放大器滤波器组件120。类似地，第十一实例性基于幅值的滤波器组件被实施为在根据bode空间中的正频率绘制时以幅值表达的二阶低频率放大器组件122。

实际上，滤波器组件库100可以包含图1a至图1b中说明的滤波器组件102-122中的一个或多个。另外，可以通过代入β/2作为拉普拉斯传递函数的控制阶在滤波器组件库100中实施其它滤波器组件形式(即，从拉普拉斯方程导出的滤波器函数)。

通过具有扩展对应频域表示(例如，bode空间)中的正频率和负频率两者的整个范围的响应的传递函数来限定滤波器组件。就此而言，是通过滤波器组件的组合的相互作用导出了所需要的频率响应，其中每个滤波器组件覆盖整个频谱。

相位导出的分数标度滤波器组件介绍

参见图2a，滤波器组件库200包含以独立于幅值的相位表达的滤波器组件。实际上，滤波器组件库200可以具有特定应用规定数量的滤波器组件。然而，为了论述的清晰性，说明性滤波器组件库200包含以下识别的七个相位相关滤波器组件中的一个或多个(以任何组合)。

第一实例性相位相关滤波器组件是以相位表达为的积分器组件202。值得注意的是，所述相位在正bode空间中不变化。然而，对于其中β＝2的实例性实施方案，相位跨越整个正频率移位-90度。类似地，第二实例性相位相关滤波器组件是以相位表达为的微分器组件204。类似于积分器组件202，相位在正bode空间中不变化。然而，对于其中β＝2的实例性实施方案，相位跨越整个正频率移位+90度。

第三实例性相位相关滤波器组件是以相位限定为的低通滤波器组件206。实际上，相移在端点低频率处是0，且随着频率增加，在端点高频率处转变为-90度的频率。在β＝2且k＝0.01的实例性实施方案中，相位在k＝0.01的增益下经过-45度。类似地，第四实例性相位相关滤波器组件是以相位表达为的高通滤波器组件208。实际上，相移在端点高频率处是0，且随着频率减小，在端点低频率处转变为-90度。在β＝2且k＝0.01的实例性实施方案中，相位在k＝0.01的增益下经过-45度。

第五实例性相位相关滤波器组件是以相位限定为的高频率放大器组件210。实际上，相移在端点低频率处是0，且随着频率增加，在端点高频率处转变为+90度的频率。在β＝2且k＝0.01的实例性实施方案中，相位在k＝0.01的增益下经过45度。类似地，第六实例性相位相关滤波器组件是以相位表达为的低频率放大器滤波器组件212。实际上，相移在端点低频率处是+90，且随着频率减小，在端点高频率处转变为0度。在β＝2且k＝0.01的实例性实施方案中，相位在k＝0.01的增益下经过45度。

第七实例性相位相关滤波器组件是以相位表达为的共振滤波器组件214。共振滤波器组件214的相位响应对于低频率是0度，且在从通频带到阻带的过渡处逐步降低到-180度。在β＝2且k＝0.01的实例性实施方案中，相位在k＝0.01的增益下经过-90度。

参考图2b，与幅值组件一样，对滤波器组件库200进行扩展以包含更高阶函数可能比较方便。

例如，对说明性滤波器组件库200进行扩展以包含第八实例性基于相位的滤波器组件，其被实施为以相位表达为的二阶低通滤波器组件216。实际上，相移在端点低频率处是0，且随着频率增加，在端点高频率处转变为-180度的频率。在β＝2且k＝0.01的实例性实施方案中，相位在k＝0.01的增益下经过-90度。

第九实例性相位相关滤波器组件是基于相位的滤波器组件，其被实施为以相位表达为的二阶高通滤波器组件218。

实际上，相移在端点高频率处是0，且随着频率减小，在端点低频率处转变为-180度。在β＝2且k＝0.01的实例性实施方案中，相位在k＝0.01的增益下经过-90度。

第十实例性相位相关滤波器组件被实施为以相位表达为的二阶高频率放大器组件220。实际上，相移在端点低频率处是0，且随着频率增加，在端点高频率处转变为+180度的频率。在β＝2且k＝0.01的实例性实施方案中，相位在k＝0.01的增益下经过90度。类似地，实例性第十一相位相关滤波器组件被实施为以相位表达为的二阶低频率放大器组件222。实际上，相移在端点低频率处是+180，且随着频率增加，在端点高频率处转变为0度。在β＝2且k＝0.01的实例性实施方案中，相位在k＝0.01的增益下经过90度。

实际上，滤波器组件库200可以包含图2a到图2b中说明的滤波器组件202至222中的一个或多个。另外，可以通过代入β/2作为拉普拉斯传递函数的控制阶在滤波器组件库200中实施其它滤波器组件形式(即，从拉普拉斯方程导出的滤波器函数)。

通过具有扩展对应频域表示(例如，bode空间)中的正频率和负频率两者的整个范围的响应的传递函数来限定滤波器组件。就此而言，是通过滤波器组件的组合的相互作用导出了所需要的相位响应，其中每个滤波器组件覆盖整个频谱。

共同地参考图1a、图1b、图2a和图2b，在针对图1a至图1b中的滤波器组件102至122和相应地图2a至图2b中的滤波器组件202至222中的每一个示出的滤波器函数的示意性表示中，仅示出了正频率。

实际上，图1a至图1b中说明的滤波器组件库100和图2a至图2b中说明的滤波器组件库200可以实施为两个或更多个单独的库，例如，一个库用于幅值，而单独的库用于相位。替代地，图1a至图1b中说明的滤波器组件库100和图2a至图2b中说明的滤波器组件库200可以整合为单个组件库。

另外，可以通过标度因数k来标度例如以上在图1a、图1b、图2a和图2b中描述的滤波器组件中的任一个。标度因数k可以用于使频谱上的响应的幅值上下移位。因此，标度因数k是应用于整个滤波器的乘数。标度因数k可用于例如调整滤波器以与传入的信号正确地对准。作为另一实例，标度因数k同时可以用于使通频带成为放大频带。

滤波器库100、200(或其作为单独库的组合或组合为单个库)可以整合到数字信号处理芯片(例如，fpga、asic等)中。作为另一实例，可以在计算机平台中(例如，在例如运行linux处理器的嵌入式系统等分立装置中)、在桌上型计算机上，或在需要实施数字信号处理的任何其它环境中将滤波器库100、200实施为函数库。

数字信号处理方法

参考图3，提供了用于处理数字信号的方法300。方法包括在302处识别在频域表示中表示的所需要的频率和/或相位响应。在说明性实施方案中，频域表示是bode空间。

方法还包括在304通过组装来自滤波器组件库的至少一个滤波器组件而构建对所需要的频率和/或相位响应进行建模的分数阶控制系统。如本文就图1a至图2b更详细地描述的那样，滤波器组件库(或库)可以包含以下至少之一：积分器组件、微分器组件、低通滤波器组件、高通滤波器组件、高频率放大器组件、低频率放大器组件，和共振滤波器组件。与常规滤波器组件不同的是，通过拉普拉斯函数限定每个滤波器组件，对拉普拉斯函数进行了修改以使其包含具有可变分数标度指数β的非整数控制阶。

值得注意的是，分数标度指数β可以是整数值和非整数值。然而，控制阶被限定为β/2，从而使得一个或多个滤波器组件能够具有非整数值的控制阶。就此而言，标度指数(从线性最小二乘拟合到功率谱)修改对应的拉普拉斯函数，在就图1a至图2b进行的论述中以方程形式提供其实例。

如本文将更详细地描述的那样，通过以下操作来实施构建分数阶控制系统：在跨越频域表示中的频率范围的单个方向上逐步工作(例如，从最低频率逐步工作到最高频率)，并针对所需要的频率和/或相位响应中的每个变化，装配来自滤波器组件库的至少一个相关联的滤波器组件以与所需要的频率和/或相位响应中的对应变化匹配。

方法300还可以包括将滤波器组件库中的滤波器组件中的每一个限定为具有在频域表示中的整个频率范围延伸的响应。就此而言，在跨越频域表示中的频率范围的单个方向上逐步的工作还包括针对所需要的频率和/或相位响应中的每个变化从滤波器组件库选择至少一个滤波器组件，使得构建到分数阶控制系统中的所有滤波器组件的响应的总和遵循跨越所需要的频率和/或相位响应的多个变化。

更具体来说，将分数阶控制系统的幅值(如果有的话)和相位(如果有的话)作为正频率和负频率两者中的复数从极标记转换为直角标记，以变换输入信号(也在直角标记中)的fft从而产生表示经滤波输出的直角坐标标记的一组新复数，随后经由ifft将所述一组新复数转换至时域以产生经滤波输出信号。

此外，构建分数阶控制系统可以包括构建分数标度数字滤波器以对输入的选择频率进行滤波，使得滤波包括输入的幅值和相位修改，其中所述幅值修改利用与用于相位修改的滤波器组件不同的至少一个滤波器组件。这表示“混合”滤波系统。例如，方法300的实例性实施方案，分数阶控制系统可以包含低通滤波器以减小高频率的幅值，随后还仅在相位方面应用简单的积分器滤波器以引入跨越所有正频率的-90度的相移，从而产生在实际上使通频带相移的同时使阻带衰减(并相移)的混合滤波器。此处，积分器相位滤波器组件在相位上进行操作，尽管幅值相关低通滤波器组件改变了输出的幅值，但没有来自相位相关低通滤波器组件的任何贡献(无低通滤波器引发的相位贡献)。同样地，尽管相位相关积分器使信号相移，但不存在幅值相关积分器的贡献。

因此，例如，这允许在一个单个滤波器步骤中实施两个或更多通常不同的滤波步骤。另外，不同的幅值和相位滤波器组件，可以在从极标记转换为直角标记时的幅值和相位组合之后，处于同一计算中。因此，来自两个不同滤波步骤的信息被汇总在滤波器的单个复数阵列中。

作为一些附加实例，可以构建分数标度数字滤波器以对输入的选择频率进行滤波，使得滤波包括具有无相位失真和线性相位中的选定一个的唯幅值频率修改。同样地，可以构建分数标度数字滤波器以进行滤波，其包括对输入的唯相位频率修改。

方法300包括在306接收处于数字频域中的输入。而且，方法300包括在308基于分数阶控制系统来处理所述输入以产生数字输出。又进一步，方法300包括在310传送所产生的数字输出信号。信号的传送可以包括将输出传送到寄存器、端口、缓冲器等、写入到文件、跨越总线、网络或其它接口传输输出，或采取任何其它所需要的行动来定位所述输出以便可用于下游应用、电路等。

如将在本文更详细地描述的那样，方法300还可以包括接收至少一个参数，对所述至少一个参数进行主动监视以控制对分数阶控制系统的修改，使得输入的频率含量的相移和分数标度中至少之一发生变化。

在再另一说明性实例中，对方法300进行扩展，使得输入是数字图像和视频中的选定一个。在此实施方案中对所需要的频率和/或相位响应进行选择以实施预定图像和/或视频处理功能。

在方法300的再另一实例性实施方案中，输入是自然随机的时间序列，且对所需要的频率和/或相位响应进行选择，以致使输出与自然随机的时间序列的在统计上等同的合成模型相符(例如，用于计算机中的模拟和建模、科学模拟、视频游戏、电影中的特效等)。

在仍另一实例中，对方法300进行扩展，使得输入是被转换为数字频域的模拟信号，且对所需要的频率和/或相位响应进行选择，以致使输出表示频率被滤波后的输入。

在方法300的某些实施方案中，有可能的是，相位计算(例如，在组装多个相位相关滤波器组件时)将产生正频率θ(+ω)的正确相位。然而，此类计算如果用于计算正频率和负频率两者的相位便可能在负频率中产生不正确的正负号或值。由于相位展现出奇对称行为，因此可以完全根据正频率的相位计算负频率的相位。

实际上，将滤波器组件聚集在一起以产生与用于构建分数阶控制系统的滤波器组件的数量无关的最终分数阶控制系统。也就是说，无论利用单个滤波器组件还是众多滤波器组件，分数阶控制系统的总大小是不变的。举例来说，对于长度n＝8192的信号和滤波器，在本文陈述的实施方案中，利用一个滤波器组件还是十个滤波器组件来构建分数阶控制系统并不重要。系统解析到8192个复数以与所述信号相乘，从而获得正确的结果。这与常规的滤波器级联(或抽头(tap))有很大的区别，在常规的滤波器级联中更多的滤波器组件意味着更长的处理时间。

因此，例如，通过将分数阶控制系统实施为表示滤波器组件的组合件的一组复数，可以使用处于特定增益值和衰减率的一组普通滤波器来制造芯片。此处，所述处理仅仅需要使输入与由分数阶控制系统限定的该组复数相乘(或在去卷积的情况下相除)。此方法可以潜在地显著加速滤波，因为所述过程直接通过复数围绕单位圆的旋转和放大/衰减来计算端点。

参考图4，计算负频率θ(–ω)的相位的一个方法400包括在402删除负频率。例如，在正频率和负频率存储在频率阵列中的情况下，该方法从所述频率阵列中删除负频率。方法400还包括在404反转正频率的相位值。例如，在实例性实施方案中，相位信息可以存储在两个阵列中，包含正相位阵列θ(+ω)和负相位阵列θ(–ω)。方法400复制正相位值(例如，从正相位阵列θ(+ω))，随后反转所述阵列的元素的阶以在对应的负频率处产生新值。说明性方法将把相位阵列θ(+ω)从左边翻转到右边。可以将新相位值插入到现有阵列中(例如，覆写负相位阵列θ(–ω)的值)，或者可以产生新阵列，例如负相位阵列θ(–ω)ⅱ。

方法400还包括在406使新的负频率值与负一相乘(即，与-1相乘)。例如，负相位阵列θ(–ω)ⅱ中的值各自与-1相乘。与-1相乘恢复了相位的奇对称行为。

方法400随后包括在408使正频率值与新计算的负频率值并置。方法400还包括在410在零频率处插入θ＝0的相位(例如，仅含有复数x+jy中的余弦(x)分量的对应阵列的索引)。方法400还包括在412在奈奎斯特频率(ωc＝π)处插入θ＝0的相位。就此而言，可以产生展现跨越正频率和负频率的相位的奇对称行为的新相位阵列。

数字合成器实例

参考图5，提供了用于产生频率和/或相位经修改的数字信号输出的数字信号合成器500。此处，术语“数字信号合成器”指示以下观察：主处理器基于某些分数阶控制系统来处理某些输入。就此而言，数字信号合成器500可以用于接收自然随机的时间序列作为输入，其中分数阶控制系统描述为致使所述输出与所述自然随机的时间序列的在统计上等同的合成模型相符而所需要的频率和/或相位响应。

在再另一说明性实例中，数字信号合成器500可以通过处理并且调节传感器输入而充当控制器。就此而言，数字信号合成器500的一个特定实例性用途是作为分数阶比例-积分-微分(pid)控制器。此外，数字信号合成器500可以通过应用各种频率幅值和相位操纵而充当信号产生器和/或效果处理器，例如，以实施乐音产生器、音乐合成器，以产生用于测试音频系统、执行各种输入数据分析、用于执行编码/解码操作的标准化噪声等。此外，由于分数阶控制系统的参数是β、k和可选的标度因数k，因此分数阶控制系统可以是自适应的、动态的或另外可修改的，从而使得数字信号合成器500适合于自适应动态应用。此外，数字信号合成器500可以用于确立共振峰，以识别并且滤出现有信号中的固有共振峰等。

数字信号合成器一般包括输入缓冲器502、变换模块504、处理模块506，和输出缓冲器508。输入缓冲器502接收在频域表示中(例如，在bode空间中)表示的数字输入。

变换模块504存储由至少一个滤波器组件的组合件限定的对所需要的频率和/或相位响应进行建模的分数阶控制系统，所述至少一个滤波器组件包括积分器组件、微分器组件、低通滤波器组件、高通滤波器组件、高频率放大器组件、低频率放大器组件，和共振滤波器组件。举例来说，变换模块504的滤波器组件可以是本文就图1a至图2b(即，图1a、图1b、图2a和图2b)更全面地描述的滤波器组件中的一个或多个的任何组合。更具体来说，通过拉普拉斯函数限定每个滤波器组件，对拉普拉斯函数进行了修改以使其包含具有可变分数标度指数的非整数控制阶。此处，分数阶控制系统可以呈复数变量的形式，例如其中已制定出滤波器设计，并且已将该设计缩减到必需的复数分量值。在其它实施方案中，分数阶控制系统可以包含实行由其限定的滤波函数所必需的方程、方程的分量等。

处理模块506从输入缓冲器502接收输入和存储在变换模块504中的分数阶控制系统，并且利用分数阶控制系统对数字输入进行乘法。另外，处理模块506可以任选地实行(例如)本文就图3和图4陈述的方法(或其部分)中的一个或多个。处理模块506将经过处理的信号传送给输出缓冲器508。

输出缓冲器508因此存储输入的合成输出，处理模块506根据所需要的频率和/或相位响应(由存储在变换模块504中的分数阶控制系统限定)在频域、相域或两者中修改所述输入。

在存储在变换模块504中的分数阶控制系统是动态或另外可修改的实例性实施方案中，数字信号合成器500可以包含滤波器组件的库510，例如，参考图1a和图1b描述的滤波器组件库100、参考图2a和图2b描述的滤波器组件库200、其组合、其子集等。

另外，在实例性实施方案中，将幅值(如果有的话)和相位(如果有的话)作为正频率和负频率两者中的复数从极标记转换为直角标记，以变换输入信号(也在直角标记中)的fft从而产生表示经滤波输出的直角坐标标记的一组新复数，随后经由ifft将所述一组新复数转换为时域以产生经滤波输出信号。在此意义上，一旦得出滤波器，便不需要库本身。而是，可以利用代码仅将分数阶控制系统的复数存储在芯片上，且使输入信号与这些复数相乘以对信号进行滤波。

在已经在数字频域表示中格式化基础输入数据的实例性实施方案中，可能不需要处理所述输入。然而，有可能使用数字信号合成器500来处理模拟时间序列信号。在此情况下，数字信号合成器500可以包含数据调节电路，数据调节电路包含耦合至快速傅里叶变换模块514的模拟-数字转换器512，快速傅里叶变换模块将输入从时域表示转换为复数频域表示，其随后存储在输入缓冲器502中。

同样地，合成数据可以保持在数字域中，或合成数据可以经过处理，例如，经由反向快速傅里叶变换模块516和可选的数字-模拟转换器518被转换回模拟时间序列表示，反向快速傅里叶变换模块将存储在输出缓冲器508中的输出从复数频域表示转换为时域表示，数字-模拟转换器用于将数字信号转换回模拟时间序列合成信号。

在其它实例中，输入源自数字信号，即，不需要模拟-数字转换器，然而，需要快速傅里叶变换模块514将数字信号转换为复数频域表示。在使用数字信号合成器500实施图像或视频处理器(例如，以通过实行预定图像处理功能来处理图像)时可为此种情况。而且，输入可以是频数据等形式，其需要实施一些操作(例如，滤波)来实行预定图像处理功能。此处，可以如上文更全面地描述的那样产生模拟输出。在信号合成器实施为音调产生器的情况下可为此种情况。

在说明性实施方案中，数字信号合成器500实施于现场可编程门阵列(fpga)、专用集成电路和数字信号处理(dsp)芯片中的选定一个中。就此而言，应该观察到，在某些实施方案(例如，fpga)中，芯片本身可能不是原生就支持例如模拟-数字转换器512和对应的数字-模拟转换器520等组件。就此而言，可以从数字信号合成器500除去这些功能块，并且这些功能块可以实施于例如专用模拟-数字转换器芯片和专用数字-模拟转换器芯片等其它芯片中。在又其它实施方案中，模拟-数字转换器512和对应的数字-模拟转换器520可以实施于同一芯片上，其经由合适的电路在外部连接到数字信号合成器。数字合成器500还可以实施于由中央处理单元芯片与存储器的组合实施的处理系统中，例如，实施于专用机器中，专用机器为例如控制器、机器人、机器、电器、嵌入式系统等。数字信号合成器还可以实施于计算机中。

在替代性实施方案中，数字信号合成器实施于计算机可读媒体中，例如，以便加载到计算机系统中形成专用处理装置。

在又其它实例性实施方案中，数字信号合成器500可以连接到一个或多个传感器520，该一个或多个传感器520提供输出，所述输出被传送到输入缓冲器502(例如，直接地或通过模拟-数字转换器512和快速傅里叶变换模块514)。这使得数字信号合成器能够充当智能传感器、控制器，或极精确地处理传感器信号的其它处理装置。虽然将传感器520说明为耦合到模拟-数字转换器512，但实际上，传感器520的输出可以直接耦合到输入缓冲器502，或经由替代性处理电路(出于清晰起见未示出)耦合到输入缓冲器502。

在再另一可选的实施方案中，数字信号合成器500可以实施为分数阶比例-积分-微分控制器(pid控制器)。在此实施方案中，对应硬件过程的过程可变输入522提供信号，所述信号(例如)直接地或经由中介电路(例如，如所说明的模拟-数字转换器512和快速傅里叶变换模块514)馈送给输入缓冲器502。

此实施方式还包含控制元件524，其(例如)直接地或经由中介电路(例如，如所说明的反向快速傅里叶变换模块516和数字-模拟转换器518)可通信地耦合到输出缓冲器508。过程变量522和对应的控制元件524可以是pid控制器(例如)控制温度、调节流量、压力和/或其它工业过程所需的任何所需要的组件。

就此而言，数字信号合成器500还可以包含设定点缓冲器524以为pid控制器存储所需要的设定点。在此实施方案中，数字信号合成器500可以实施于可编程逻辑控制器(plc)中，或实施为面板安装式数字控制器。

此外，可以组合图5中的特征和元件的任何组合以形成硬件控制器，例如，以在无人驾驶车辆(uav)上执行目标获取或自动驾驶控制、控制机械机构，以用于稳定系统、防碰撞系统、避让系统等。

还可以在与适当的硬件整合时实行软件实施方案，以支持与过程变量522和控制元件524的交互。不管是何种实施方案，在pid控制器的实例中，数字信号合成器500实施控制回路反馈机构(控制器)，其利用存储在变换模块504中的分数阶控制系统来计算误差值以作为所测得的过程变量与所需要的设定点之间的差异。更具体来说，数字信号合成器500实施比例-积分-微分控制器，使得由处理模块产生的比例、积分和微分值的加权总和对受控制元件影响的硬件过程进行调整。另外，数字信号合成器500可以使用图3和/或图4的方法以及图1a、图1b、图2a和图2b的库(以其任何组合)的任何组合。

设计实例

参考图6a至图6f描述简化设计实例，其利用图1a至图2b的滤波器组件库100、200以及图3至图4的方法来实现以图5中说明的方式构建的系统。

识别所需要的频率和/或相位响应

如具体参考图3的框302所述，为了建立滤波器，设计者可以通过识别在频域表示中表示的所需要的频率和/或相位响应而开始。

现在参考图6a，示出了使用所述滤波器组件来建立低通滤波器的实例。为了清楚地说明本文的原理，图6a的简化实例说明了幅值响应，但未涉及相位响应。然而，需要时，类似地执行相位分量。

沿着曲线abcd示出了低通滤波器频率响应600的基本形状。在通频带区602中使沿着线段ab的频率通过。线段bc限定过渡频带604。同样地，在衰减区606中使沿着线段cd的频率衰减。因此，过渡频带604被限定在通频带区602与衰减区606之间，并且以点b处的截止频率和点c处的转角频率为特征。

构建分数阶控制系统

如具体参考图3的框304所述，下一步骤是构建分数阶控制系统，分数阶控制系统通过组装来自滤波器组件库的至少一个滤波器组件(在图1a至图2b中说明其实例)对所需要的频率和/或相位响应(参见框302)进行建模。

由于图1a至图2b的滤波器组件的响应在bode空间中是加性的，因此滤波器组件库100、200的各种滤波器组件可以用于产生几乎任何特设(ad-hoc)形状，包含复数形状和使用常规滤波器所不可能或不实际的形状。另外，每个滤波器组件包含一普通组变量(例如，在适用时，ω、k、β、d等)，其取决于滤波器类型。变量的一致性和有限数目加上对各种滤波器组件的限定极大地简化了滤波器设计。

可以完全通过选择图1a中的一些滤波器组件来建立对图6a中所需要的频率响应进行建模的分数阶控制系统。值得注意的是，低通滤波器组件106的基本形式具有导致通过而不会改变通频带602中的输入的幅值(除非通过k进行标度)的响应，且针对高于截止频率的频率在bode空间中展现出负斜率。这意味着高于截止频率的频率越高，衰减越大。

相应地，高频放大器110的基本形式具有导致通过而不会改变通频带602中的输入的幅值(除非进行标度)的响应，且针对转角频率以上的频率在bode空间中展现出正斜率。这意味着频率(高于转角频率)越高，放大率越大。因为滤波器组件响应在bode空间中是加性的，所以对于高频率，低通滤波器组件106的衰减率可以被高频率放大器组件110的增益率抵消，从而导致响应线段cd通过高频率区变平。对滤波器组件变量的选择基本上限定了低通滤波器组件106的截止频率、高频率滤波器组件110的转角频率，和过渡频带604中的衰减量。

为了建立图6a的低通滤波器，使用了三个组件：积分器组件、低通滤波器组件和高频率放大器组件(其中不使用一些低通滤波器、积分器组件)。作为区分滤波器组件的值的方式，为了本文进行论述，第一组件的值包含下标1(例如，β1)、第二组件的值包含下标2(例如，β2)等。例如，积分器组件102是第一组件，因此积分器组件的β是由β1表示。

在图6a的低通滤波器的情况下，具有0斜率的积分器被用作第一组件，因此β1＝0(积分器不需要k的值)。由于积分器包含β1＝0，因此可以完全省略积分器组件。然而，为了实例的完整性并且为了稍后演示如何产生任何类型的频率响应，将其保留下来。

参考图6b，为了建立图6a的低通滤波器，从滤波器库100中选择低通滤波器组件106，且利用分数标度指数β2的适当值对其进行配置，且将参数k2选择成与截止频率b对应。

参考图6c，为了建立低通滤波器，还从库100中选择高频放大器110。利用分数标度指数β3的适当值对高频放大器110进行配置，且将参数k3选择成与转角频率c对应。值得注意的是，如图6c最佳地说明，通过设定β2＝β3，低通滤波器(图6b)的高频率衰减的斜率与线段cd(图6a)中的平坦响应的高频率放大的斜率(由高频放大器110(图6c)经由求和导致)大小相等且方向相反。

参考图6d，滤波器还可以利用积分器(例如，来自库100的积分器组件102)(或来自库100的微分器104)来实施通频带602中的标度校正调整，如将在本文更详细地描述的那样。

因此，用于形成该滤波器的三个滤波器组件包含积分器滤波器组件102(或微分器滤波器组件104)、低通滤波器组件106，和高频率放大器组件110。

用于每个滤波器组件的拉普拉斯函数一起相乘以产生低通滤波器的方程。然而，应记得拉普拉斯函数的乘法在变换到bode空间时被设想为加法/减法。

组装滤波器组件

可以采用具有低或高频率标度校正(sc)的低通分数标度数字滤波器来使低频率通频带内的所有频率通过且使高频率阻带内的所有频率衰减，同时除了任何衰减之外还在低或高频带内引入标度校正。包含一个积分器组件、一个低通滤波器组件和一个高频率放大器组件的低通分数标度数字滤波器(sc)的拉普拉斯形式是：

此处，k2<k3。k是可选的标度因数。也就是说，乘数k用于将滤波器上下移位，使得跨越所有频率分别存在幅值或功率的增加或减小。由于在引入标度指数之前解出了括号内方程的幅值和相位，因此标度指数β示为下标。一旦解出低通分数标度数字滤波器的幅值和相位，标度指数β便分布在整个构造块方程中。

值得注意的是，低频率区的滤波器的标度行为(低于增益值k2)受积分器/微分器构造块102影响，而高频率区的滤波器的标度行为(高于增益值k3)由低通滤波器组件106和高频率放大器组件110的相互作用确定。更准确地说，β1控制低频率标度校正，而β1、β2和β3之间的关系控制高频率区的标度校正(其中“低”和“高”频率区是相对于与增益值k2和k3相关联的频率而言)。因此，β(一般)是非整数分数标度指数的变量，其表示与所需要的频率响应的对应区段相关联的功率谱的斜率。

虽然含有k2和k3的方程主要影响高频率区的滤波器标度校正，但高频率区的传递函数滤波方程的影响开始于恰好低于k2的频率，并且延伸至更高的频率。因此，高频率区的传递函数滤波方程不会显著影响低于k2的频率。若高频率传递函数滤波方程在低于k2的频率处无影响，则导致具有可选的乘数k的积分器滤波器组件102(或微分器104)会支配较低频率区。基本上，任何区中的斜率是在那个区之前存在的所有组件的斜率的总和。

通过使用本文更全面地陈述的所述方程，通过下式给出低通分数标度数字滤波器的幅值：

bode空间中的低通分数标度数字滤波器的幅值(以(db)计)是：

为了获得输入至方程中的变量，设计者可以针对每个组件指定所需要的β。为了简化实例，假定β1＝0，且β2＝β3。这使积分器滤波器组件的值简化为k。如果k＝l，那么会实现传统低通滤波器响应。变量ω是以弧度计的角频率，并且容易计算为ω＝2π/τ，其中t是系统的周期。接下来，滤波器设计者可以指定k2。更具体来说，将k2转换为角频率ωk2，且依据角频率识别低通滤波器的截止频率(参见图6a中的点b)。可以通过许多方式确定k3的值(参见图6a中的点c)。具体来说，k3的值随着过渡频带604的斜率以及过渡频带604所需要的衰减(以db计)而变。如此，由于过渡频带604衰减限定于k2与k3之间，因此以增益描述k值。相比之下，可选的值k>1可以用于在幅值上将整个响应上移，而将k设定在0与1之间将在幅值上将整个响应下移。

参考图6e，依据过渡频带604中的β的值，过渡区的斜率将变化。在所述实例中，β2＝y陡于β1＝x。假定ki与ki+1之间所需要的过渡频带是-30db，其中斜率为β1。可以通过跟随线β1直到ki+1到达-30db点而找到ki+1的值。根据此映射很容易计算ωki+1。

在加上传递函数在每个角频率下的每个值之后，bode空间中的幅值(m(db))随后可以通过取结果m(db)除以20的逆对数而转换回幅值(m)，如下：

在bode空间中加上值的中间步骤可用于计算机执行的算法，并且当在bode空间中直观地加上幅值(或功率)以确定每个构造块传递函数的共同相互作用时是有用的。

如果设计者正在执行对应的相位调整，那么来自图2a的低通分数标度数字滤波器的正频率的弧度(+ω)中的对应相位方程将是：

使用图4的方法计算负频率的相位θ(-ω)，例如，通过对低通分数标度数字滤波器的正频率的相位值θ(+ω)反转并乘以-1，以将相位的奇对称行为恢复为：θ(-ω)＝θ(+ω)·-1。

随后将正频率和负频率并置，从而在零频率和奈奎斯特频率处插入θ＝0的相位，使得低通分数标度滤波器的最终相位展现出奇对称。值得注意的是，不需要将相位转换到bode空间以利用本文中所描述的滤波的可加性。

关于构建分数阶控制系统的一般情况

再次参考图6a，甚至在低通滤波器的简化实例内，可以仅通过控制β的值来实现复杂形状。具体来说，可以通过改变β值的关系实现至少九个不同的滤波器形状。更具体来说，如果β1＝0，那么线段ab是平坦的。然而，设定β1>0会致使积分器将增益引入到响应中，从而致使线段ab具有负斜率(在通频带中，较低频率的幅值较高)，如通过线段614说明。另一方面，设定β1<0实际上会使微分器组件取代积分器滤波器组件(因为β为负)，从而致使通频带线段ab具有正斜率(在通频带中，较低频率的幅值较低)，如通过线段616说明。

设定β3＝β1+β2会致使衰减频带响应为平坦线(线段cd是平坦的)。然而，设定β3>β1+β2会致使衰减频带线段cd具有正斜率(在衰减频带中，较低频率的幅值较低)，如通过线段618说明。相应地，设定β3<β1+β2会致使衰减频带线段cd具有负斜率(在衰减频带中，较低频率的幅值较高)，如通过线段620说明。常规滤波器技术中不存在此能力。

为了描绘与常规滤波器方法的一些其它区别，可以观查到，β＝2×常规滤波器阶(即，6db/octave(倍频程))。因此，β为8对应于常规四阶滤波器。然而，根据本公开，β可以高达稳定性允许的值，从而容易达到84或更高的阶，因此产生42阶滤波器的等效物，而无带内或带外波纹。通过提供优良的滤波器,仅此属性便会显著改进信号滤波的技术领域。另外，利用在本文公开滤波器之前不可能有的独特特性，该设计方法使得能够更快地设计滤波器，而不依赖于查找表或繁冗的常数，从而通过实现滤波器的迅速设计和开发而进一步改进了滤波器设计的技术领域。另外，由于所述方程是加性的，因此解决方案解析为独立于滤波器截止的斜率/阶的单个大小的格式。因此，本文的滤波器通过提供对总处理能力的要求低于优良滤波器的总处理能力的滤波器改进了滤波器设计的技术领域，同时提供了简化的硬件和/或数字实现，如本文更详细地描述的那样。

每个线段的斜率受到每个组件的β影响。例如，为了形成图6的频率响应600，积分器组件的β将为零(即，β1＝0)，从而针对线段ab产生无斜率的平坦线。然而，在频率响应600的截止频率(即，k1)下，低通滤波器组件包含β的高值以在过渡频带606中急剧减小。例如，针对线段bc，为八十五的β将产生急剧截止，而为四的β将具有更平缓的截止。为了在衰减区604(即，线段cd)中产生斜率为零的平坦线，高频率放大器组件的β将等于积分器组件的β和低通滤波器组件的β的总和。通过低通滤波器组件的β和衰减区604内所需要的衰减来确定高频率放大器组件的截止频率。另外，β本身可以是分数。例如，设计者可以容易基于公式β/10＝所需要的db/十倍频选择β。因此，35db/decade(十倍频程)的斜率将具有β＝3.5。

例如，假定在1khz的转角频率且在过渡频带中具有30db的衰减的条件下，用户想要建立具有平坦通频带(线段ab)和平坦衰减频带(线段cd)的四十二又二分之一阶低通滤波器。积分器组件仅包含一个变量：β(假定k＝l)，且所要的四十二又二分之一阶低通滤波器的通过区602中所需要的斜率是零。因此，β1＝0。第二组件、低通滤波器组件包含斜率和截止频率。从低通滤波器的规格可知，k2(即，第二组件的截止频率)是1khz(其必须转换为角频率)，且β2是八十五(即，滤波器所需要的阶的两倍减去β1)。为了确定β3(即，高频放大器的β)，使β1加上β2(即，0+85)，其产生八十五。

可以利用β2的斜率的比率确定高频放大器的转角频率(即，k3)。在β2＝85的情况下，过渡频带604内的斜率是85/2×6db/倍频程。使用斜率的上升/延伸公式，于是从k2移位30db/(85/2×6db/倍频程)＝0.117，其可以转换为角频率，如本文更详细地陈述的那样。

将所确定的值插到低通滤波器的方程中，得到传递函数的复值。传递函数的这些复值可以存储在存储器中以便稍后用于信号。

为了形成不同的低通滤波器，可以使用其它β值。例如，如果在通过区602中需要正斜率，那么β1＜0。相反地，如果在通过区602中需要负斜率，那么β1＞0。过渡频带604中的斜率是β1+β2。如果在衰减区中需要正斜率，那么β3＜β1+β2。相反地，如果在衰减区中需要负斜率，那么β3＞β1+β2。应注意，区的斜率取决于所述区前面的区的斜率。可以添加具有不同截止值和斜率的更多组件以产生任何所需要的形状。

参考图6f，说明了系统的实例性实施方案(例如，系统500的实例)。系统控制器650(例如，处理芯片)包含积分器模块652，例如，其存储与图1a中的积分器组件102对应的积分器。系统控制器650还包含低通滤波器模块654，例如，其存储与图1a中的低通滤波器组件106对应的低通滤波器。系统控制器650进一步包含高频放大器模块656，例如，其存储与图1a中的高频放大器110对应的高频放大器。将由积分器模块652、低通滤波器模块654和高频放大器模块656实现的滤波器组件集合起来(例如，基于频域表示在bode空间中)以产生分数阶控制系统660。

乘法器664使复数频域表示662中的输入与分数阶控制系统660的复值相乘产生输出666，所述输出可以用于驱动下游过程。

虽然为了清晰而对简单低通滤波器进行了说明，但应该容易明白，可以组合任何一个或多个滤波器组件以产生其它滤波器类型，例如高通分数标度滤波器(例如，)、通频带分数标度滤波器(例如，)、陷波分数标度滤波器(例如，)、共振分数标度滤波器(例如，)、具有标度校正的共振分数标度滤波器(例如，)、谐波共振分数标度滤波器(例如，因此hr＝hr1×hr2×…×hrn))，或者可以与其它频率响应模型组合地组装任何其它复杂分数标度数字滤波器或频率响应模型等。

值得注意的是，分数标度滤波器不限于每个传递函数方程一个滤波器实例。而是，可以将若干实例联系在一起。例如，可以将谐波共振分数标度滤波器实施为若干共振分数标度滤波器，以便对谐波进行滤波、产生具有良好限定的谐波的合成信号。此处，构成谐波共振分数标度滤波器的共振分数标度滤波器的每个实例的变量配置成表示单个信号内出现的若干周期性或谐波。更具体来说，谐波共振峰的频率位置是由增益(k)值设定，而共振峰的高度和宽度是由d和β值确定。另外，由于一个共振分数标度滤波器单独地表示每个谐波，因此每个谐波可以完全经过定制，并且在滤波特性方面不同于其它谐波。使任何输入信号与谐波共振分数标度滤波器卷积，产生完全合成的信号以作为具有与指定共振频率一样良好限定的谐波的输出。类似地，将输入去卷积会通过衰减从信号移除多个谐波。因此，可以将滤波器组合以产生包含合成器、音调产生器、乐器等的复杂系统。

另外，可以将一个或多个滤波器组件(具有相同或不同滤波器类型)组合以产生极为复杂的滤波器特性。例如，模型可以包含用于表征相对较低频率的第一组滤波器组件，和用于表征相对较高频率的不同组滤波器组件。作为另一实例，本文的分数标度技术可以用于准确地量化自然随机的时间序列内的噪声，并且以计算方式对表示负责产生这些信号的物理或数学过程的自然和随机复杂系统的动态标度行为进行建模。下文参考编码器/解码器实例提供产生合成噪声的方法。本文的分数标度技术还可以用作许多应用中出现的数字滤波器。另外，本文的分数标度技术可以用于实施控制系统、图像处理、视频处理和其它信号处理等。

利用滤波器组件库中的各种组件，通过与上文所论述的方式相似的方式可以沿着不同频率实现斜率和衰减水平不同的任何所需要的频率响应，其中从窄带宽内的尖锐过渡到通频带内的复杂结构的准确性很高，均不会引入当前技术状态滤波器的数学伪影或导致经滤波信号中发生信息损失。

fir实例

现在参考图7，实例性系统700说明了图3中的方法300用作有限脉冲响应(fir)滤波器对数字输入信号的频率进行滤波。如图6的实例所示，可以从滤波器组件库100、200的滤波器组件(图1a至图2b)建立传递函数h的形状。为传递函数(已经在频域内)所得的复值存储在fir滤波器传递函数存储器702内。

将时域内的信号704设定为系统700的输入。如果时域信号已非数字信号(即，如果信号是模拟信号)，那么时域信号应该穿过模拟-数字转换器(未示出)，如参考图5所论述。数字时域信号704馈给快速傅里叶变换(fft)组件706以将信号704从时域转换为复数频域。如所示，输入信号704直接馈给fft706。然而，输入信号的一个或多个样本可以在到达fft706之前置于缓冲器中。

fft706的输出馈给存储器708，该存储器存储在频域中表示的输入信号。因此，频域信号存储器708的大小取决于fft的点的数目(例如，1024点fft将需要至少1024个地址的频域信号存储器708)。此外，fir滤波器传递函数存储器702的大小取决于fft的点的数目(例如，1024点fft将需要1024个地址的fir滤波器传递函数存储器702)。

为了在频域中执行信号的卷积，使用了乘法。因此，乘法器710使频域输入信号的每个点与fir滤波器传递函数的对应点相乘。例如，计数器可以用于寻址频域信号存储器708和fir滤波器传递函数存储器702两者，其中存储器702、708的输出馈给乘法器710。相乘结果随后存储在频域输出存储器712中。例如，计数器还可以寻址频域输出存储器712(具有任何数目的延迟抽头，因为在乘法器710中存在管线级(如果乘法器内存在任何管线级)。

频域输出存储器712可以穿过第二fft714(如反向快速傅里叶变换所说明)以将输出传递到时域输出中。在一些情况下，第二fft714可以是第一fft706。例如，在低处理量系统中，可以对fft706进行时间多路复用以适应变换时域输入信号704和频域输出。然而，在高处理量系统中，将存在两个单独的fft706、714。

使用系统700会通过移除与执行时域中的卷积相关联的若干乘法步骤和加法器树而缩减用于对信号执行卷积的时钟循环的数目。

编码器/解码器

另一实例性应用包含编码器/解码器。如上文提及，滤波器组件可以用于创建产生特定功能的噪声的系统。编码器/解码器能力利用如本文更全面地陈述的分数标度的特征和技术。

例如，再次参考图3，处理数字信号以执行编码/解码的此实例性方法包括在302通过识别所需要的频率响应来识别在频域表示中表示的所需要的频率和/或相位响应以对噪声进行整形。

例如，设计者从选择系统的标度指数开始，标度指数标示为βs。设计者随后获得噪声信号以作为输入x[n]。噪声信号可以包括高斯白噪音、某一随机化噪声、来自噪声源(例如，无线电干扰)的经取样噪声。通过fft处理噪声输入以产生输入的复数频域表示，例如，以直角标记表示为x[s]。随后将直角标记输入转换为极标记和噪声的功率谱(例如，)。在转换了噪声的情况下，从功率谱确定标度输入。

再次参考图3，在此实例中，在304通过以下操作构建分数阶控制系统：基于输入的标度指数修改系统的标度指数以使得βs＝βs+βi。将标度指数βs并入到单个标度传递函数(例如，积分器组件)中，其中β＝βs。随后在每个复合频率下解出单个传递函数的幅值和相位(例如，)，其中幅值且将传递函数从极标记转换回直角标记，例如，x＝mcos(θ)；y＝msin(θ)，使得h[s]＝x+jy。

再次参考图3，在此实例中，通过接收噪声作为输入，在306接收输入。同样地，在此实例中，在308处理输入包括将噪声的频域表示(例如，噪声的直角标记)与所需要的频率响应的模型(的直角标记)相乘以产生数字输出。这产生了新输出噪声的直角标记y[s]。

在离开复数频域之前，所述过程进一步通过复制移位一百八十度的数字输出来处理所述数字输出以产生反向数字输出。数字输出和反向数字输出随后被转换回时域，以实现具有与输入噪声相同的标度行为的输出噪声。

进一步通过以下操作构建编码器/解码器：将有效负载信号嵌入到数字输出和反向数字输出(例如，在时域中)中的选定一个中以产生传输信号、将数字输出和反向数字输出中的剩余一个指定为密钥信号。例如，可以将消息、信息、数据等深深地埋入传输信号的噪声中。将密钥信号传送给接收器。例如，在第一时间将密钥信号传递到接收器。还将传输信号传送到接收器，但是优选通过与将密钥信号传送给接收器分开的方式。

为了恢复有效负载(例如)消息，接收器同步地混合传输信号和密钥信号。这产生与密钥信号的噪声对消的传输信号的噪声分量(因为它们是180度异相)，从而显露并揭露有效负载。因此，除了具有用于揭露信号的密钥信号的人之外，向所有人隐藏消息。这可以用于编码实时消息、传输静态数据，或任何其它所要的有效负载。

因此，编码器/解码器提供对信号的唯相位修改的实例性用途(例如，用于产生揭露有效负载所需的密钥)。而且，因为输出噪声是合成的，所以可以重新产生噪声源，从而使新噪声指纹具有无尽的可能性，因此确保密钥信号与对应的传输信号之间紧密相关。为了获得新的唯一配对，仅仅需要重新产生合成噪声，且导出新的且唯一的噪声指纹。另外，以上方法可以用于产生未嵌入有效负载的噪声信号，(例如)以产生模型化信号的合成版本，从而允许具有根据需要产生基础信号的尽可能多的在统计上准确的表示的能力。此处，不需要相移的输出。

多方面考虑因素

在本文的滤波器中，分数标度指数β的值可以是分数，而不必是整数。

可以使用频率响应模型(frm)内的分数标度数字滤波器更准确地对自然和随机的复杂系统和信号内含有的信息进行建模，从而允许开发这些自然且随机的复杂系统的动力学的定量、基于方程的模型，其随后可以用于产生完全合成的信号，所述完全合成的信号在统计上等同于通常将从这些系统出现的信号。

此外，分数标度数字滤波器允许多种选择性滤波能力，并且还可以通过使用滤波器的等效部分对任何信号执行唯幅值频率修改(没有相位失真或仅具有线性相位)或唯相位频率修改，从而提供滤波器设计方面的灵活性。

通过此类新的传递函数，可以从具有分数控制阶的分数标度数字滤波器设计数字滤波器，从而允许精确地修改任何信号的频率含量的分数标度和/或相移。

分数标度数字滤波器还可以充当“智能”数字信号处理滤波器，其根据所测得的输入信号准实时地进行自我调整，从而主动地适应信号内的波动或噪声以产生所需要的被滤波的响应。

在比较传统的dsp滤波器的性能和分数标度数字滤波器的性能时，实现特定频率区的分数衰减率所需要的方程和参数更少，其解释为计算所需的时间量的减少。实质上，分数标度数字滤波器提供对任何信号进行分数滤波的能力，从而获得比不利用分数微积分的常规滤波器设计更有效和精细调谐的滤波器。

通过采用含有分数标度数字滤波器的数学的算法，可以开发创新的软件和硬件应用，从而允许分数控制阶数字滤波器可以跨行业广泛地使用。分数标度数字滤波器的数学算法的用户友好的软件实施方案可以包含块集以作为嵌入式系统测试环境。

硬件实施方案包含将分数标度数字滤波器编码到现场可编程门阵列(fpga)装置中或dsp芯片组内，其随后可以用于对数字信号执行分数滤波、建立数字“智能”自适应分数滤波器，或增强商业、科学和国防工业内的传感器的灵敏度。

分数标度数字滤波器还提供以下方法：定量地描述多种乐器的音符的尺度的谐波频谱，并且允许针对乐器的每个音符开发频率响应模型，其可以用于产生纯数学但是现实的音乐声音以供用于数字合成器和软件中。

在数字电路中，滤波器和系统、分数标度数字滤波器可以减少计算时间，增加效率，从而允许更快的电路或系统的响应，并且提高电路和滤波器的准确性，从而消除近似误差。

作为另一附加益处，可以通过用分数标度数字滤波器的方程取代传统的dsp滤波器方程来经由更准确和高效的分数阶控制系统更好地限定当前控制系统的一些方面。

作为还限定控制和移动的方程，使用分数标度数字滤波器的分数数学对系统的动态行为进行建模的控制算法还可以提高机械平台(例如，仿生学、可穿戴外骨骼和无人车辆)的响应、稳定性和机器学习能力。

因此，分数标度数字滤波器的分数数学最终可以提供对被滤波信号的更大的命令和控制，从而导致更准确地限定移动和控制算法的能力。分数阶控制系统(例如，分数阶比例-积分-微分(pid)控制器)提供在强扰动下的更大的稳定性和性能，因为分数控制系统更加灵活，从而更好地能够适应环境的动态性质，并且还具有更加有效的阻尼特性。通过利用分数标度数字滤波器的分数控制系统控制的任何装置、机器人、平台或车辆可以从扰动更快地恢复，并且具有更大的准确性，从而与使用传统的dsp滤波器的常规控制系统进行控制相比，允许更流畅且更加高效的控制。

总的来说，分数标度数字滤波器的开发提供对我们当前查看、建模、滤波和控制数字信号和系统的方式进行变革的潜力，并且代表与常规的数字滤波器设计相比非凡的技术进步。分数标度数字滤波器的有用性及其它们在分数阶控制系统中的用途跨众多学科和行业而延伸：从控制理论、控制论、信息理论、医学、神经科学、神经工程学、认知科学和人类行为科学到环境科学、气象学、地球物理学、航空航天、控制系统、机器人学、机械工程、机电一体化、传感器、电气工程、电信、音频、视频，和具有众多应用的数字信号处理，例如雷达和声纳数据采集系统。因此，与分数阶控制系统方法组合的分数标度数字滤波器的增加的准确性和精确度可以快速地加速多种领域中的技术开发，从而在将来产生稳健的解决方案。

计算机系统概述

参考图8，示意性框图说明用于实施本文中所描述的各种方法的示例性计算机系统800。示例性计算机系统800包含连接到系统总线830的一个或多个(硬件)微处理器(μp)810和对应的(硬件)存储器820(例如，随机存取存储器和/或只读存储器)。可以通过合适的桥接器850在系统总线830与总线840之间传递信息。总线840用于与以下各项在外围介接：一个或多个微处理器(μp)810，例如存储装置860(例如，硬盘驱动器)；可移除媒体存储装置870(例如，快闪驱动器、dvd-rom驱动器、cd-rom驱动器、软盘驱动器等)；i/o装置880(例如，鼠标、键盘、监视器、打印机、扫描仪等)；以及网络适配器890。通过说明的方式呈现外围设备的以上列表，且不打算具限制性。其它外围装置可以适当地集成到计算机系统800中。存储器820、存储装置860、可插入到可移除媒体存储装置870中的可移除媒体或其组合可以用于实施本文陈述和描述的方法、配置、接口和其它方面。

微处理器810控制示例性计算机系统800的操作。另外，微处理器810中的一个或多个执行计算机可读代码，所述计算机可读代码指令微处理器810实施本文的方法和过程。计算机可读代码可以存储(例如)在存储器820、存储装置860、可移除媒体存储装置870或可以由微处理器810存取的其它合适的有形存储介质中。存储器820还可以充当工作存储器，(例如)以存储数据、操作系统等。

本文的方法和过程可以实施为在计算机系统上执行的机器可执行方法，所述计算机系统例如为本文更全面地描述的处理装置中的一个或多个。就此而言，本文的方法和过程可以在存储机器可执行程序代码的计算机可读存储装置(例如，计算机可读存储硬件)上实施，其中所述程序代码指令处理器实施所描述的方法/过程。本文的方法和过程还可以由耦合到存储器的处理器执行，其中通过存储在存储器中的程序代码对处理器进行编程以执行所描述的方法。

因此，示例性计算机系统800或其组件可以实施如本文更详细地陈述的方法和计算机可读存储装置。其它计算机配置也可以实施如本文更详细地陈述的方法和计算机可读存储装置。可以通过一种或多种编程语言的任何组合写出用于实行本公开的各方面的操作的计算机程序代码。程序代码可以完全在计算机系统800上或部分在计算机系统800上执行。在后一种情景中，远程计算机可以(例如)使用计算机系统800的网络适配器890通过任何类型的网络连接而连接到计算机系统800。

在实施本公开的计算机方面中，可以利用计算机可读媒体的任何组合。所述计算机可读媒体可为计算机可读信号媒体、计算机可读存储介质，或其组合。另外，实际上可以将计算机可读存储介质实施为一个或多个不同的媒体。

计算机可读信号媒体本质上是暂时性传播信号。计算机可读信号媒体可以包含其中体现的计算机可读程序代码，其(例如)作为基带中的传播的数据信号或作为载波的部分。然而，具体来说，计算机可读信号媒体不包含计算机可读存储介质。

计算机可读存储介质是有形的装置/硬件，其可以保持并且存储程序(指令)以供指令执行系统、设备或装置(例如，计算机或本文更全面地陈述的其它处理装置)使用或与其结合。值得注意的是，计算机可读存储介质不包含计算机可读信号媒体。因此，如本文所使用，计算机可读存储介质将不被解释为本质上是暂时性信号，例如无线电波或通过传输媒体的其它自由传播的电磁波。

计算机可读存储介质的特定实例(非详尽列表)包含以下各项：硬盘、随机存取存储器(ram)、只读存储器(rom)、可擦除可编程只读存储器(eprom)、快闪存储器、便携式计算机存储装置、光学存储装置(例如，压缩光盘只读存储器(cd-rom)或数字视频盘(dvd))，或前述各者的任何合适的组合。具体来说，计算机可读存储介质包含计算机可读硬件，例如计算机可读存储装置(例如，存储器)。此处，计算机可读存储装置和计算机可读硬件是非暂时性的物理、有形的实施方案。

非暂时性意味着本质上不同于将自然地停止存在的暂时性传播信号，限定所要求保护的主体的计算机可读存储装置或计算机可读硬件的内容会存留下去，直到受到外部动作作用为止。例如，加载到随机存取存储器(ram)中的程序代码被认为是非暂时性的，原因在于内容将存留下去，直到(例如)通过断电、通过覆写、删除、修改等进行作用为止。

另外，因为硬件包括对应计算机系统的物理元件或组件，所以硬件本质上不包含软件。

本文使用的术语是用于仅描述特定实施方式的目的，且不打算限制本公开。如在本文中所使用，除非上下文另外清楚地指示，否则希望单数形式“一”和“所述”也包含复数形式。将进一步理解，术语"包括(comprises)"和/或“包括(comprising)”当用于本说明书中时指定所陈述的特征、整体、步骤、操作、元件和/或组件的存在，但不排除一个或多个其它特征、整体、步骤、操作、元件、组件和/或其群组的存在或添加。

已经出于说明和描述的目的呈现了本公开的描述，但是不打算是详尽的或以所公开的形式受限于本公开。在不脱离本公开的范围和精神的情况下，许多修改和变化对于本领域技术人员来说将显而易见。

因此已经详细描述了本申请的公开内容且通过参考其实施方式，将明白，在不脱离所附权利要求书中限定的本公开的范围的情况下，可以进行修改和变化。