台体型并联机构及其位置正解的求解方法与流程

技术特征：

1.一种台体型并联机构，包括一个实心立方体形状的动平台，一个空心立方体形状的静平台和12条结构相同的支链，所述动平台和12条支链设置在静平台的容置腔内，初始状态下，静平台的几何中心与动平台的几何中心重合；其特征是，所述12条支链中，每两条支链为一组呈一夹角布置于动平台上的6条棱边的中点，所述6条棱边分为三组，每组包括不在同一平面且相互平行的两条棱边，所述支链由一移动副和两球面副串联而成。

2.根据权利要求1所述的台体型并联机构，其特征是，所述支链由一个下球铰链、一个内杆、一个外杆和一个共用球铰链依次串接组成，所述内杆套装在外杆内，并且所述内杆与外杆配合形成一移动副，使得内杆可沿轴向相对外杆移动，进而使支链可压短和拉长；所述下球铰链、共用球铰链为圆球体，所述内杆与下球铰链配合形成第一球面副，所述外杆与共用球铰链配合形成第二球面副。

3.根据权利要求2所述的台体型并联机构，其特征是，所述下球铰链固定在静平台的内壁上。

4.根据权利要求3所述的台体型并联机构，其特征是，所述每组两条支链共用一个共用球铰链，6个共用球铰链分别固定于动平台的上后棱边、上左棱边、右后棱边、下前棱边、下右棱边、左前棱边的中点。

5.根据权利要求4所述的台体型并联机构，其特征是，所述每组两条支链之间的夹角为90°。

6.根据权利要求1至5任一项所述的台体型并联机构位置正解的求解方法，其特征是，包括以下步骤：

第1步、将静平台固定在工作地面上，并在静平台的容置腔内设置动平台和12条支链，在静平台内建立坐标系oxyz，其中坐标系原点o与静平台的几何中心重合，x、y、z轴分别垂直指向静平台的右侧面、顶面、前面，初始状态下，动平台的几何中心与静平台的几何中心重合，动平台的6个外表面与静平台的6个内表面一一对应且平行设置，并且12条支链的长度相同；转至第2步；

第2步、将动平台的中心点标记为P，其笛卡尔坐标为将固定于动平台上的6个共用球铰链的中心点依次标记为B₁、B₂、B₃、B₄、B₅、B₆，,其笛卡尔坐标分别为选取动平台上四个特征点的坐标为未知量，所述四个特征点为动平台的中心点和前3个共用球铰链的中心点，其笛卡尔坐标分别为假设将x₀,y₀,z₀,x₁,y₁,z₁,x₂,y₂,z₂,x₃,y₃,z₃设为待求的未知数，然后根据上述12个未知数列出后3个共用球铰链中心点的笛卡尔坐标的坐标解析式：

转至第3步；

第3步、驱动12条支链的移动副工作，以实现动平台在静平台的容置腔内沿任意方向运动，然后根据12条支链的下球铰链中心点与对应共用球铰链中心点之间的实时距离以及前3个共用球铰链中心点分别与动平台中心点之间的约束距离，建立15个二次相容方程式，将15个二次相容方程式分成三组，其中方程(1)～(5)构成第一组方程，方程(6)～(10)构成第二组方程，方程(11)～(15)构成第三组方程，

$|{\stackrel{v}{B}}_1-{\stackrel{v}{b}}_1{|}^2={x_1}^2+{(y_1-(n+L\left)\right)}^2+{(z_1+n)}^2={l_1}^2---\left(1\right)$

$|{\stackrel{v}{B}}_1-{\stackrel{v}{b}}_2{|}^2={x_1}^2+{(y_1-n)}^2+{(z_1+(n+L\left)\right)}^2={l_2}^2---\left(2\right)$

$|{\stackrel{v}{B}}_4-{\stackrel{v}{b}}_7{|}^2={(x_1-2x_0)}^2+{(y_1-2y_0-(n+L\left)\right)}^2+{(z_1-2z_0+n)}^2={l_7}^2---\left(3\right)$

$|{\stackrel{v}{B}}_4-{\stackrel{v}{b}}_8{|}^2={(x_1-2x_0)}^2+{(y_1-2y_0-n)}^2+{(z_1-2z_0+(n+L\left)\right)}^2={l_8}^2---\left(4\right)$

$|{\stackrel{v}{B}}_1-\stackrel{v}{P}{|}^2={(x_1-x_0)}^2+{(y_1-y_0)}^2+{(z_1-z_0)}^2=2n^2---\left(5\right)$

$|{\stackrel{v}{B}}_2-{\stackrel{v}{b}}_3{|}^2={(x_2+n)}^2+{(y_2-(n+L\left)\right)}^2+{z_2}^2={l_3}^2---\left(6\right)$

$|{\stackrel{v}{B}}_2-{\stackrel{v}{b}}_4{|}^2={(x_2+(n+L\left)\right)}^2+{(y_2-n)}^2+{z_2}^2={l_4}^2---\left(7\right)$

$|{\stackrel{v}{B}}_5-{\stackrel{v}{b}}_9{|}^2={(x_2-2x_0+n)}^2+{(y_2-2y_0-(n+L\left)\right)}^2+{(z_2-2z_0)}^2={l_9}^2---\left(8\right)$

$|{\stackrel{v}{B}}_5-{\stackrel{v}{b}}_{10}{|}^2={(x_2-2x_0+(n+L\left)\right)}^2+{(y_2-2y_0-n)}^2+{(z_2-2z_0)}^2={l_{10}}^2---\left(9\right)$

$|{\stackrel{v}{B}}_2-\stackrel{v}{P}{|}^2={(x_2-x_0)}^2+{(y_2-y_0)}^2+{(z_2-z_0)}^2=2n^2---\left(10\right)$

$|{\stackrel{v}{B}}_3-{\stackrel{v}{b}}_5{|}^2={(x_3-n)}^2+{y_3}^2+{(z_3+(n+L\left)\right)}^2={l_5}^2---\left(11\right)$

$|{\stackrel{v}{B}}_3-{\stackrel{v}{b}}_6{|}^2={(x_3-(n+L\left)\right)}^2+{y_3}^2+{(z_3+n)}^2={l_6}^2---\left(12\right)$

$|{\stackrel{v}{B}}_6-{\stackrel{v}{b}}_{11}{|}^2={(x_3-2x_0-n)}^2+{(y_3-2y_0)}^2+{(z_3-2z_0+(n+L\left)\right)}^2={l_{11}}^2---\left(13\right)$

$|{\stackrel{v}{B}}_6-{\stackrel{v}{b}}_{12}{|}^2={(x_3-2x_0-(n+L\left)\right)}^2+{(y_3-2y_0)}^2+{(z_3-2z_0+n)}^2={l_{12}}^2---\left(14\right)$

$|{\stackrel{v}{B}}_3-\stackrel{v}{P}{|}^2={(x_3-x_0)}^2+{(y_3-y_0)}^2+{(z_3-z_0)}^2=2n^2---\left(15\right)$

其中，设定支链的编号为j(j＝1,2，3，…12)，并将第j条支链的下球铰链中心点标记为b_j，其笛卡尔坐标为将第j条支链的下球铰链中心点与对应共用球铰链中心点之间的实时距离设为l_j，同时设定支链的初始长度为L，动平台的边长为2n；转至第4步；

第4步、依次将第一组方程、第二组方程、第三组方程中的同构方程相减，得到12个线性相容方程：

$\left(1\right)-\left(2\right)\⇒y_1+z_1=(-{l_1}^2+{l_2}^2)/\left(2L\right)---\left(16\right)$

$\left(3\right)-\left(4\right)\⇒y_0+z_0=(-{l_1}^2+{l_2}^2+{l_7}^2-{l_8}^2)/\left(4L\right)---\left(17\right)$

$\left(1\right)-\left(3\right)\⇒x_0{x}_1+y_0{y}_1+z_0{z}_1=({l_1}^2-{l_7}^2)/4+{x_0}^2+{y_0}^2+{z_0}^2+(n+L)y_0-{\mathrm{nz}}_0---\left(18\right)$

$\begin{array}{c}\left(5\right)-\left(1\right)\⇒(n+L)y_1-{\mathrm{nz}}_1=\\ \left(n+L\right)y_0-{\mathrm{nz}}_0-\left({l_1}^2+{l_7}^2\right)/4+\left({x_0}^2+{y_0}^2+{z_0}^2\right)/2+3n^2/2+{\left(n+L\right)}^2/2\end{array}---\left(19\right)$

$\left(6\right)-\left(7\right)\⇒x_2+y_2=(-{l_3}^2+{l_4}^2)/\left(2L\right)---\left(20\right)$

$\left(8\right)-\left(9\right)\⇒x_0+y_0=(-{l_3}^2+{l_4}^2+{l_9}^2-{l_{10}}^2)/\left(4L\right)---\left(21\right)$

$\left(6\right)-\left(8\right)\⇒x_0{x}_2+y_0{y}_2+z_0{z}_2=({l_3}^2-{l_9}^2)/4+{x_0}^2+{y_0}^2+{z_0}^2-{\mathrm{nx}}_0+(n+L)y_0---\left(22\right)$

$\begin{array}{c}\left(10\right)-\left(6\right)\⇒{\mathrm{nx}}_2-(n+L)y_2=\\ {\mathrm{nx}}_0-\left(n+L\right)y_0+\left({l_3}^2+{l_9}^2\right)/4-\left({x_0}^2+{y_0}^2+{z_0}^2\right)/2-3n^2/2-{\left(n+L\right)}^2/2\end{array}---\left(23\right)$

$\left(11\right)-\left(12\right)\⇒x_3+z_3=({l_5}^2-{l_6}^2)/\left(2L\right)---\left(24\right)$

$\left(13\right)-\left(14\right)\⇒x_0+z_0=({l_5}^2-{l_6}^2-{l_{11}}^2+{l_{12}}^2)/\left(4L\right)---\left(25\right)$

$\left(11\right)-\left(13\right)\⇒x_0{x}_3+y_0{y}_3+z_0{z}_3=({l_5}^2-{l_{11}}^2)/4+{x_0}^2+{y_0}^2+{z_0}^2+{\mathrm{nx}}_0-(n+L)z_0---\left(26\right)$

$\begin{array}{c}\left(15\right)-\left(11\right)\⇒{\mathrm{nx}}_3-(n+L)z_3=\\ {\mathrm{nx}}_0-\left(n+L\right)z_0-\left({l_5}^2+{l_{11}}^2\right)/4+\left({x_0}^2+{y_0}^2+{z_0}^2\right)/2+3n^2/2+{\left(n+L\right)}^2/2\end{array}---\left(27\right)$

转至第5步；

第5步、将上述12个线性相容方程分成四组，其中，方程(17)、(21)、(25)构成关于动平台位置的第Ⅰ组方程，并将第Ⅰ组方程表示成如下矩阵形式：

$\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\\ z_0\end{array}\right)=\frac{1}{4L}\left(\begin{array}{c}-{l_1}^2+{l_2}^2+{l_7}^2-{l_8}^2\\ {l_5}^2-{l_6}^2-{l_{11}}^2+{l_{12}}^2\\ -{l_3}^2+{l_4}^2+{l_9}^2-{l_{10}}^2\end{array}\right)---\left(28\right),$

方程(16)、(18)、(19)构成关于第一个共用球铰链中心点坐标的第Ⅱ组方程，并将第Ⅱ组方程表示成如下矩阵形式：

$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ x_0& y_0& z_0\\ 0& n+L& -n\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\\ z_1\end{array}\right)=\\ \left(\begin{array}{c}(-{l_1}^2+{l_2}^2)/\left(2L\right)\\ ({l_1}^2-{l_7}^2)/4+{x_0}^2+{y_0}^2+{z_0}^2+(n+L)y_0-{\mathrm{nz}}_0\\ (n+L)y_0-{\mathrm{nz}}_0-({l_1}^2+{l_7}^2)/4+({x_0}^2+{y_0}^2+{z_0}^2)/2+3n^2/2+{(n+L)}^2/2\end{array}\right)\end{array}---\left(29\right),$

方程(20)、(22)、(23)构成关于第二个共用球铰链中心点坐标的第Ⅲ组方程，并将第Ⅲ组方程表示成如下矩阵形式：

$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ x_0& y_0& z_0\\ n& -\left(n+L\right)& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\\ z_2\end{array}\right)=\\ \left(\begin{array}{c}(-{l_3}^2+{l_4}^2)/\left(2L\right)\\ ({l_3}^2-{l_9}^2)/4+{x_0}^2+{y_0}^2+{z_0}^2+{\mathrm{nx}}_0+(n+L)y_0\\ {\mathrm{nx}}_0-(n+L)y_0+({l_3}^2+{l_9}^2)/4-({x_0}^2+{y_0}^2+{z_0}^2)/2-3n^2/2-{(n+L)}^2/2\end{array}\right)\end{array}---\left(30\right)$

方程(24)、(26)、(27)构成关于第三个共用球铰链中心点坐标的第Ⅳ组方程，并将第Ⅳ组方程表示成如下矩阵形式：

$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ x_0& y_0& z_0\\ n& 0& -\left(n+L\right)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_3\\ y_3\\ z_3\end{array}\right)=\\ \left(\begin{array}{c}({l_5}^2-{l_6}^2)/\left(2L\right)\\ ({l_5}^2-{l_{11}}^2)/4+{x_0}^2+{y_0}^2+{z_0}^2+{\mathrm{nx}}_0-(n+L)z_0\\ {\mathrm{nx}}_0-(n+L)z_0-({l_5}^2+{l_{11}}^2)/4+({x_0}^2+{y_0}^2+{z_0}^2)/2+3n^2/2+{(n+L)}^2/2\end{array}\right)\end{array}$

$\left(31\right)$

转至第6步；

第6步、计算得到非齐次线性方程组(28)的系数矩阵的行列式如下：

$\left|\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)\right|=2\≠0---\left(32\right)$

当非齐次线性方程组(28)的系数矩阵非奇异时，该方程的解析解如下：

$\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\\ z_0\end{array}\right)=\frac{1}{4L}{\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{c}-{l_1}^2+{l_2}^2+{l_7}^2-{l_8}^2\\ {l_5}^2-{l_6}^2-{l_{11}}^2+{l_{12}}^2\\ -{l_3}^2+{l_4}^2+{l_9}^2-{l_{10}}^2\end{array}\right)---\left(33\right)$

转至第7步；

第7步、根据非齐次线性方程组(29)、(30)、(31)计算得到其系数矩阵的行列式，并根据上述行列式分别判断非齐次线性方程组(29)、(30)、(31)的系数矩阵的奇异性，当非齐次线性方程组(29)、(30)、(31)的系数矩阵非奇异时，能够直接获得6个共用球铰链中心点坐标的解析解，当非齐次线性方程组(29)、(30)、(31)的系数矩阵奇异时，需结合对应的共用球铰链中心点坐标的一个二次相容方程获得6个共用球铰链中心点坐标的解析解；转至第8步；

第8步、采用x₀,y₀,z₀,x₁,y₁,z₁,x₂,y₂,z₂,x₃,y₃,z₃12个未知数描述动平台的右侧面中心点坐标、顶面中心点坐标、前面中心点坐标，然后利用动平台的右侧面中心点坐标、顶面中心点坐标、前面中心点坐标以及动平台的中心点坐标描述动平台姿态的解析解，最终得到动平台位姿的全解析解。

7.根据权利要求6所述的台体型并联机构位置正解的求解方法，其特征是，所述第7步中判断非齐次线性方程组(29)、(30)、(31)的系数矩阵的奇异性以及获得6个共用球铰链中心点坐标的解析解，包括如下步骤：

S1、首先计算得到非齐次线性方程组(29)的系数矩阵的行列式如下：

$\left|\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ x_0& y_0& z_0\\ 0& n+L& -n\end{array}\right)\right|=(L+2n)x_0--\left(34\right)$

再根据x₀是否为0，判断非齐次线性方程组(29)的系数矩阵的奇异性，若x₀≠0，非齐次线性方程组(29)的系数矩阵非奇异，该方程的解析解如下：

$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\\ z_1\end{array}\right)={\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ x_0& y_0& z_0\\ 0& n+L& -n\end{array}\right)}^{-1}\\ \left(\begin{array}{c}(-{l_1}^2+{l_2}^2)/\left(2L\right)\\ ({l_1}^2-{l_7}^2)/4+{x_0}^2+{y_0}^2+{z_0}^2+(n+L)y_0-{\mathrm{nz}}_0\\ (n+L)y_0-{\mathrm{nz}}_0-({l_1}^2+{l_7}^2)/4+({x_0}^2+{y_0}^2+{z_0}^2)/2+3n^2/2+{(n+L)}^2/2\end{array}\right)\end{array}---\left(35\right),$

若x₀＝0，非齐次线性方程组(29)的系数矩阵奇异，需要从非齐次线性方程组(29)中提取新的二元方程组(36)：

$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ n+L& -n\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ z_1\end{array}\right)=\\ \left(\begin{array}{c}\left(-{l_1}^2+{l_2}^2\right)/\left(2L\right)\\ \left(n+L\right)y_0-{\mathrm{nz}}_0-\left({l_1}^2+{l_7}^2\right)/4+\left({x_0}^2+{y_0}^2+{z_0}^2\right)/2+3n^2/2+{\left(n+L\right)}^2/2\end{array}\right)\end{array}---\left(36\right)$

根据二元方程组(36)计算其系数矩阵的行列式：

$\left|\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ n+L& -n\end{array}\right)\right|=-(L+2n)\≠0---\left(37\right)$

当二元方程组(36)的系数矩阵非奇异时，该方程组的解析解如下：

$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ z_1\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ n+L& -n\end{array}\right)}^{-1}\\ \left(\begin{array}{c}\left(-{l_1}^2+{l_2}^2\right)/\left(2L\right)\\ \left(n+L\right)y_0-{\mathrm{nz}}_0-\left({l_1}^2+{l_7}^2\right)/4+\left({x_0}^2+{y_0}^2+{z_0}^2\right)/2+3n^2/2+{\left(n+L\right)}^2/2\end{array}\right)\end{array}---\left(38\right)$

然后根据方程(5)，获得x₁的两个解析解：

$x_1=\±\sqrt{2n^2-{(y_1-y_0)}^2-{(z_1-z_0)}^2}---\left(39\right);$

转至S2；

S2、首先计算得到非齐次线性方程组(30)的系数矩阵的行列式如下：

$\left|\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ x_0& y_0& z_0\\ n& -(n+L)& 0\end{array}\right)\right|=(L+2n)z_0---\left(40\right)$

再根据z₀是否为0，判断非齐次线性方程组(30)的系数矩阵的奇异性，若z₀≠0，非齐次线性方程组(30)的系数矩阵非奇异，该方程的解析解如下：

$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\\ z_2\end{array}\right)={\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ x_0& y_0& z_0\\ n& -(n+L)& 0\end{array}\right)}^{-1}\\ \left(\begin{array}{c}(-{l_3}^2+{l_4}^2)/\left(2L\right)\\ ({l_3}^2-{l_9}^2)/4+{x_0}^2+{y_0}^2+{z_0}^2-{\mathrm{nx}}_0+(n+L)y_0\\ {\mathrm{nx}}_0-(n+L)y_0+({l_3}^2+{l_9}^2)/4-({x_0}^2+{y_0}^2+{z_0}^2)/2-3n^2/2-{(n+L)}^2/2\end{array}\right)\end{array}---\left(41\right),$

若z₀＝0，非齐次线性方程组(30)的系数矩阵奇异，需要从非齐次线性方程组(30)中提取新的二元方程组(42)：

$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ n& -(n+L)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)=\\ \left(\begin{array}{c}(-{l_3}^2+{l_4}^2)/\left(2L\right)\\ {\mathrm{nx}}_0-(n+L)y_0+({l_3}^2+{l_9}^2)/4-({x_0}^2+{y_0}^2+{z_0}^2)/2-3n^2/2-{(n+L)}^2/2\end{array}\right)\end{array}---\left(42\right)$

根据二元方程组(42)计算其系数矩阵的行列式：

$\left|\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ n& -(n+L)\end{array}\right)\right|=-(L+2n)\≠0---\left(43\right)$

当二元方程组(42)的系数矩阵非奇异时，该方程组的解析解如下：

$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ n& -\left(n+L\right)\end{array}\right)}^{-1}\\ \left(\begin{array}{c}(-{l_3}^2+{l_4}^2)/\left(2L\right)\\ {\mathrm{nx}}_0-(n+L)y_0+({l_3}^2+{l_9}^2)/4-({x_0}^2+{y_0}^2+{z_0}^2)/2-3n^2/2-{(n+L)}^2/2\end{array}\right)\end{array}---\left(44\right)$

然后根据方程(10)，获得z₂的两个解析解：

$z_2=\±\sqrt{2n^2-{(x_2-x_0)}^2-{(y_2-y_0)}^2}---\left(45\right);$

转至S3；

S3、首先计算得到非齐次线性方程组(31)的系数矩阵的行列式如下：

$\left|\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ x_0& y_0& z_0\\ n& 0& -(n+L)\end{array}\right)\right|=-(L+2n)y_0---\left(46\right)$

再根据y₀是否为0，判断非齐次线性方程组(31)的系数矩阵的奇异性，若y₀≠0，非齐次线性方程组(31)的系数矩阵非奇异，该方程的解析解如下：

$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}{x}_3\\ y_3\\ z_3\end{array}\right)={\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ x_0& y_0& z_0\\ n& 0& -\left(n+L\right)\end{array}\right)}^{-1}\\ \left(\begin{array}{c}({l_5}^2-{l_6}^2)/\left(2L\right)\\ ({l_5}^2-{l_{11}}^2)/4+{x_0}^2+{y_0}^2+{z_0}^2+{\mathrm{nx}}_0-(n+L)z_0\\ {\mathrm{nx}}_0-(n+L)z_0-({l_5}^2+{l_{11}}^2)/4+({x_0}^2+{y_0}^2+{z_0}^2)/2+3n^2/2+{(n+L)}^2/2\end{array}\right)\end{array}---\left(47\right),$

若y₀＝0，非齐次线性方程组(31)的系数矩阵奇异，需要从非齐次线性方程组(31)中提取新的二元方程组(48)：

$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ n& -\left(n+L\right)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_3\\ z_3\end{array}\right)=\\ \left(\begin{array}{c}\left({l_5}^2-{l_6}^2\right)/\left(2L\right)\\ {\mathrm{nx}}_0-\left(n+L\right)z_0-\left({l_5}^2+{l_{11}}^2\right)/4+\left({x_0}^2+{y_0}^2+{z_0}^2\right)/2+3n^2/2+{\left(n+L\right)}^2/2\end{array}\right)\end{array}---\left(48\right)$

根据二元方程组(48)计算其系数矩阵的行列式：

$\left|\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ n& -(n+L)\end{array}\right)\right|=-(L+2n)\≠0---\left(49\right)$

当二元方程组(48)的系数矩阵非奇异时，该方程组的解析解如下：

$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}{x}_3\\ z_3\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ n& -\left(n+L\right)\end{array}\right)}^{-1}\\ \left(\begin{array}{c}\left({l_5}^2-{l_6}^2\right)/\left(2L\right)\\ {\mathrm{nx}}_0-\left(n+L\right)z_0-\left({l_5}^2+{l_{11}}^2\right)/4+\left({x_0}^2+{y_0}^2+{z_0}^2\right)/2+3n^2/2+{\left(n+L\right)}^2/2\end{array}\right)\end{array}---\left(50\right)$

然后根据方程(15)，获得y₃的两个解析解：

$y_3=\±\sqrt{2n^2-{(x_3-x_0)}^2-{(z_3-z_0)}^2}---\left(51\right)$

至此获得前3个共用球铰链的中心点坐标

8.根据权利要求7所述的台体型并联机构位置正解的求解方法，其特征是，所述第8步中动平台姿态解析解的获取方法具体如下：

(a)对前3个共用球铰链的中心点坐标(x₁,y₁,z₁)、(x₂,y₂,z₂)、(x₃,y₃,z₃)是否为唯一解进行判断，若(x₁,y₁,z₁)、(x₂,y₂,z₂)、(x₃,y₃,z₃)是唯一解，则选定前3个共用球铰链的中心点坐标；若(x₁,y₁,z₁)、(x₂,y₂,z₂)、(x₃,y₃,z₃)不是唯一解，则根据(52)式筛选出符合要求的前3个共用球铰链的中心点坐标：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_0+x_1-x_2-x_3=0\\ y_0+y_1-y_2-y_3=0\\ z_0+z_1-z_2-z_3=0\end{array}\right.---\left(52\right);$

(b)根据前3个共用球铰链的中心点坐标获得后3个共用球铰链的中心点坐标；

(c)将动平台的右侧面中心点坐标设为根据该点与第三个共用球铰链中心点、第5个共用球铰链中心点、动平台中心点的几何关系，获得该点坐标的解析解：

${\stackrel{v}{P}}_{right}=\frac{1}{3}\left(\stackrel{v}{P}+{\stackrel{v}{B}}_3+{\stackrel{v}{B}}_5\right)-\frac{1}{3n}\left({\stackrel{v}{B}}_5-{\stackrel{v}{B}}_3\right)\×\left(\stackrel{v}{P}-{\stackrel{v}{B}}_3\right)---\left(53\right)$

其中，“×”表示矢量的叉乘运算；

(d)将动平台的顶面中心点坐标设为根据该点与第一个共用球铰链中心点、第二个共用球铰链中心点、动平台中心点的几何关系，获得该点坐标的解析解：

${\stackrel{v}{P}}_{top}=\frac{1}{3}\left(\stackrel{v}{P}+{\stackrel{v}{B}}_1+{\stackrel{v}{B}}_2\right)-\frac{1}{3n}\left(\stackrel{v}{P}-{\stackrel{v}{B}}_1\right)\×\left({\stackrel{v}{B}}_2-{\stackrel{v}{B}}_1\right)---\left(54\right);$

(e)将动平台的前面中心点坐标设为根据该点与第四个共用球铰链中心点、第六个共用球铰链中心点、动平台中心点的几何关系，获得该点坐标的解析解：

${\stackrel{v}{P}}_{front}=\frac{1}{3}\left(\stackrel{v}{P}+{\stackrel{v}{B}}_4+{\stackrel{v}{B}}_6\right)-\frac{1}{3n}\left({\stackrel{v}{B}}_4-\stackrel{v}{P}\right)\×\left({\stackrel{v}{B}}_6-\stackrel{v}{P}\right)---\left(55\right);$

(f)设定动平台的姿态矩阵为(R)，根据动平台的右侧面中心点坐标顶面中心点坐标前面中心点坐标以及动平台的中心点坐标描述动平台姿态矩阵(R)的解析解如下：

$\left(R\right)=\frac{1}{n}\left({\stackrel{v}{P}}_{right}-\stackrel{v}{P},{\stackrel{v}{P}}_{top}-\stackrel{v}{P},{\stackrel{v}{P}}_{front}-\stackrel{v}{P}\right)---\left(56\right)$

其中，动平台位置坐标的解析解和动平台姿态矩阵(R)的解析解共同构成了动平台位姿的全解析解。