欠驱动柔性机械臂系统的约束力鲁棒伺服控制方法及装置与流程

本发明涉及伺服控制方法领域，尤其涉及一种机械臂系统伺服约束力控制方法，特别是一种欠驱动柔性机械臂系统的约束力鲁棒伺服控制方法、与所述方法相对应的约束力鲁棒伺服控制装置、采用所述方法的计算机终端和计算机可读存储介质。

背景技术：

柔性关节机械臂被广泛的应用于工业领域中，作为一个有力的助手，机械臂可以为我们快速而精确地承担一系列的工作，例如定位和轨迹跟踪等。在实际情况中，机械臂结构被要求遵循确定的约束。所谓的约束主要分为两类：被动约束和伺服约束。

对于被动约束，周围环境可以产生所需要的约束力来限制运动。一般认为，我们所未知的不确定性因素仍然是系统的一部分，而且整个系统包含所有不确定性的信息。因此，不确定性可以通过系统本身完全的解决。基于这些前提条件，许多学者为了确保系统服从这些约束规律已经做出了出色的研究。

然而伺服约束问题却没有得到充分的研究，部分原因是由于难以获得约束力。我们知道，约束具有不同的形式并且有些形式是不完整的，这使得约束方程不可积分。此外柔性关节机械臂系统拥有比它的自由度数目更少的输入，换句话说，这是欠驱动的。因此，很难进行约束力的精确描述。

技术实现要素：

本发明提供了一种欠驱动柔性机械臂系统的约束力鲁棒伺服控制方法、与所述方法相对应的约束力鲁棒伺服控制装置、采用所述方法的计算机终端和计算机可读存储介质，所述方法在udwadia和kalaba的基本框架下，通过嵌入一个虚拟控制，将整个系统分成了两个子系统，再通过类udwadia-kalaba控制部分控制方法和鲁棒控制部分控制方法，使得连杆角度近似的跟随给定的约束。

本发明采用以下技术方案实现：一种欠驱动柔性机械臂系统的约束力鲁棒伺服控制方法，其包括以下步骤：

步骤(1)，提供带有约束的欠驱动柔性机械臂系统的动力学方程：

其中，m代表欠驱动柔性机械臂系统的机械臂的惯量矩阵，c代表着所述机械臂的离心力，g代表所述机械臂的重力，k代表所述机械臂的弹性系数，q1代表所述机械臂的连杆角度矢量；q2代表所述机械臂的关节角度矢量，为q1的一阶求导，为q1的二阶求导，j代表所述机械臂的执行器惯量的对角矩阵；u代表所述机械臂的电机的输入力，为q2的二阶求导；

其中，所述的欠驱动柔性机械臂系统的约束力鲁棒伺服控制方法还包括：

步骤(2)，引入虚拟控制变量u1，设x2＝q2-u1，，将所述动力学方程转换成：

其中，

步骤(3)，令系统的虚拟控制u1，满足如下公式：

u1＝p11+p12+p13式(4.9)

其中，p11，p12，p13分别代表虚拟控制u1的分量，p11代表理想约束控制部分，p12代表稳定性收敛控制部分，p13代表鲁棒控制部分；

p11，p12，p13的获取过程包括以下步骤：

(3.1)令系统的虚拟控制u1的分量p11，满足如下公式：

其中，a代表欠驱动柔性机械臂系统的约束条件矩阵，代表m的名义部分，代表c的名义部分，代表g的名义部分，b1代表系统二阶约束目标值，这里上标+代表moore-penrose广义逆矩阵；

(3.2)令系统的虚拟控制u1的分量p12，满足如下公式：

其中，γ1为对应控制装置分量p12的正增益参数，a^t代表矩阵a的转置，p为任意n×n的正定矩阵，p^-1为矩阵p的逆矩阵，c1代表系统一阶约束目标值；

(3.3)令系统的虚拟控制u1的分量p13，满足如下公式：

其中μ1代表调整式(3.4)的控制饱和区域大小的参数，ф1代表正增益参数，ρ1代表式(3.4)中含有的不确定性和外界干扰的最大边界估计值；

步骤(4)，令系统的控制u，满足如下公式：

其中，kp代表带有对应维数的对角正定增益矩阵，s代表带有对应维数的对角正定增益矩阵，kd代表带有对应维数的对角正定增益矩阵，代表k的名义部分，代表j的名义部分；

这里μ2＝(x3+sx2)p2，p2代表一个标量函数，ρ2:r²ⁿ×rⁿ×rⁿ→r+，r代表实数，ε2>0。

作为上述方案的进一步改进，所述控制方法存在不确定边界的幅值影响，所述幅值影响采用平均控制力描述：

分别定义两个参数平均控制力的表达式如下：

其中δm1,2(t)＝0.3|sin(5t)|，δk1,2(t)＝0.4|cos(5t)|，t代表控制介入的时间，t表示控制介入的总时间，平均控制力随着不同的的结合状况而变化，在接近0.1和接近0.4时，平均控制力达到最大峰值。

作为上述方案的进一步改进，设计方程(3.4)和(3.5)组合系统的边界性能：

(i)一致边界性：对于任意给定的正数r>0存在一个以r为自变量的函数d(r)<∞，使得对于系统状态方程的任意一个解x(·)，若t0时刻||x(t0)||≤r，对于所有的时刻t≥t0，有||x(t)||≤d(r)；

(ii)一致最终边界：对于任意的r>0且||x(t0)||≤r，存在一个正数d>0，使得当时，其中代表与和r相关的标量函数；

(iii)收敛到零：对于系统状态方程的任意一个解x(·)，有

本发明还提供了另一种欠驱动柔性机械臂系统的约束力鲁棒伺服控制方法，其包括以下步骤：

(i)对于一个给定的a，选择一个p，并且对于计算λa，其中，若系统的维度数是n，约束条件数是m，且m小于等于n，则a代表欠驱动柔性机械臂系统的维度为m×n的约束条件矩阵，p为任意n×n的正定矩阵，λa为设计过程中间参数，取值由决定，m代表欠驱动柔性机械臂系统的机械臂的惯量矩阵，k代表所述机械臂的弹性系数；

(ii)基于选择γ1，根据式(4.5)和式(4.6)获得p11,p12，其中，γ1为对应控制装置分量p12的正增益参数；

(iii)对于给定的ε1>0选择一个边界函数ρ1(·)，然后通过式(4.10)获得p13；

(iv)选择kp,s使得其中，kp代表对应维数的正定增益矩阵，s代表对应维数的正定增益矩阵，代表kp的最大特征值；

(v)对于一个给定的ε2>0，选择kd,ρ2(·)，通过式(4.15)获得欠驱动柔性机械臂系统的实际的控制输入，其中，kd代表带有对应维数的对角正定增益矩阵。

本发明还提供一种欠驱动柔性机械臂系统的约束力鲁棒伺服控制装置，其包括：

计算模块一，其用于对于一个给定的a，选择一个p，并且对于计算λa，其中，a代表欠驱动柔性机械臂系统的约束条件矩阵，维度为m×n，p为任意n×n的正定矩阵，λa为设计过程中间参数，m代表欠驱动柔性机械臂系统的机械臂的惯量矩阵，k代表所述机械臂的弹性系数；

计算模块二，其用于基于选择γ1，根据式(4.5)和式(4.6)获得p11,p12，其中，γ1为对应p12的正增益参数；

计算模块三，其用于对于给定的ε1>0选择一个边界函数ρ1(·)，然后通过式(4.13)获得p13；

选择模块一，其用于选择kp，s，使得其中，kp代表带有对应维数的对角正定增益矩阵，s代表带有对应维数的对角正定增益矩阵，代表kp的最大特征值；

选择模块二，其用于对于一个给定的ε2>0，选择kd,ρ2(·)，通过式(4.15)获得欠驱动柔性机械臂系统的实际的控制输入，其中，kd代表带有对应维数的对角正定增益矩阵。

本发明还提供另一种欠驱动柔性机械臂系统的约束力鲁棒伺服控制装置，其包括：

动力学方程输出模块，其用于提供带有约束的欠驱动柔性机械臂系统的动力学方程：

其中，m代表欠驱动柔性机械臂系统的机械臂的惯量矩阵，c代表着所述机械臂的离心力，g代表所述机械臂的重力，k代表所述机械臂的弹性系数，q1代表所述机械臂的连杆角度矢量；q2代表所述机械臂的关节角度矢量，为q1的一阶求导，为q1的二阶求导，j代表所述机械臂的执行器惯量的对角矩阵；u代表所述机械臂的电机的输入力，为q2的二阶求导；

转换单元，用于引入虚拟控制变量u1，设x2＝q2-u1，将所述动力学方程转换成：

其中，

设置单元一，令系统的虚拟控制u1，满足如下公式：u1＝p11+p12+p13式49)

其中，p11，p12，p13分别代表虚拟控制u1的分量，p11代表理想约束控制部分，p12代表稳定性收敛控制部分，p13代表鲁棒控制部分；

p11，p12，p13的获取过程包括以下步骤：

(3.1)令系统的虚拟控制u1的分量p11，满足如下公式：

其中，a代表欠驱动柔性机械臂系统的约束条件矩阵，代表m的名义部分，代表c的名义部分，代表g的名义部分，b1代表系统二阶约束目标值，这里上标+代表moore-penrose广义逆矩阵；

(3.2)令系统的虚拟控制u1的分量p12，满足如下公式：

其中，γ1为对应控制装置分量p12的正增益参数，a^t代表矩阵a的转置，p为任意n×n的正定矩阵，p^-1为矩阵p的逆矩阵，c1代表系统一阶约束目标值；

(3.3)令系统的虚拟控制u1的分量p13，满足如下公式：

其中μ1代表调整式(3.4)的控制饱和区域大小的参数，ф1代表正增益参数，ρ1代表式(3.4)中含有的不确定性和外界干扰的最大边界估计值；

设置单元二，令系统的控制u，满足如下公式：

其中，kp代表带有对应维数的对角正定增益矩阵，s代表带有对应维数的对角正定增益矩阵，kd代表带有对应维数的对角正定增益矩阵，代表k的名义部分，代表j的名义部分；

这里μ2＝(x3+sx2)ρ2，p2代表一个标量函数，ρ2∶r²ⁿ×rⁿ×rⁿ→r+，r代表实数，ε2>0。

作为上述方案的进一步改进，所述控制装置存在不确定边界的幅值影响，所述幅值影响采用平均控制力描述：

分别定义两个参数平均控制力的表达式如下：

其中δm1,2(t)＝0.3|sin(5t)|，δk1,2(t)＝0.4|cos(5t)|，t代表控制介入的时间，t表示控制介入的总时间，平均控制力随着不同的的结合状况而变化，在接近0.1和接近0.4时，平均控制力达到最大峰值。

作为上述方案的进一步改进，设计方程式(3.4)和式(3.5)组合系统的边界性能：

(i)一致边界性：对于任意给定的正数r>0存在一个以r为自变量的函数d(r)<∞，使得对于系统状态方程的任意一个解x(·)，若t0时刻||x(t0)||≤r，对于所有的时刻t≥t0，有||x(t)||≤d(r)；

(ii)一致最终边界：对于任意的r>0且||x(t0)||≤r，存在一个正数d>0，使得当时，其中代表与和r相关的标量函数；

(iii)收敛到零：对于系统状态方程的任意一个解x(·)，有

本发明还提供一种计算机终端，其包括存储器、处理器以及存储在所述存储器上并可在所述处理器上运行的计算机程序；所述处理器执行所述程序时实现上述任意欠驱动柔性机械臂系统的约束力鲁棒伺服控制方法的步骤。

本发明还提一种计算机可读存储介质，其上存储有计算机程序，所述程序被处理器执行时，实现上述任意欠驱动柔性机械臂系统的约束力鲁棒伺服控制方法的步骤。

本发明考虑了一个欠驱动柔性机械臂系统的约束力鲁棒伺服控制方法控制任务是驱动装置近似的跟踪给定的约束。给定的控制装置基于可能的边界不确定性，通过引入一个虚拟控制u1，把最初的系统转变为连杆角度子系统和节点角度子系统。通过使用udwadia-kalaba方程，获得了约束力的闭环形式，该形式可以应用到控制装置的设计中。所提出的控制率使得连杆角度子系统满足约束的要求，同时使得装置状态一致有界和一致最终有界。

附图说明

图1为本发明欠驱动柔性机械臂系统的约束力鲁棒伺服控制装置的实施例2中的两连杆柔性关节机械手的结构示意图。

图2为实施例2中受到约束条件限制的子系统的性能与名义控制性能的比较曲线图。

图3为实施例2中连杆角速度和的跟踪轨迹图。

图4为实施例2中名义控制与鲁棒控制输出力的大小||μ||的比较示意图。

图5为实施例2中受到约束的系统的整体性能示意图。

图6为边界不确定性与平均控制力之间的关系示意图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合具体实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

实施例1

欠驱动柔性机械臂系统的约束力鲁棒伺服控制方法，包括以下步骤：

步骤(1)，提供带有约束的欠驱动柔性机械臂系统的动力学方程：

其中，m代表欠驱动柔性机械臂系统的机械臂的惯量矩阵，c代表着所述机械臂的离心力，g代表所述机械臂的重力，k代表所述机械臂的弹性系数，q1代表所述机械臂的连杆角度矢量；q2代表所述机械臂的关节角度矢量，为q1的一阶求导，为q1的二阶求导，j代表所述机械臂的执行器惯量的对角矩阵；u代表所述机械臂的电机的输入力，为q2的二阶求导；

步骤(2)，引入虚拟控制变量u1，设x2＝q2-u1，将所述动力学方程转换成：

其中，

步骤(3)，令系统的虚拟控制u1，满足如下公式：

u1＝p11+p12+p13式(4.9)

其中，p11，p12，p13分别代表虚拟控制u1的分量，p11代表理想约束控制部分，p12代表稳定性收敛控制部分，p13代表鲁棒控制部分；

p11，p12，p13的获取过程包括以下步骤：

(3.1)令系统的虚拟控制u1的分量p11，满足如下公式：

其中，a代表欠驱动柔性机械臂系统的约束条件矩阵，代表m的名义部分，代表c的名义部分，代表g的名义部分，b1代表系统二阶约束目标值，这里上标+代表moore-penrose广义逆矩阵；

(3.2)令系统的虚拟控制u1的分量p12，满足如下公式：

其中，γ1为对应控制装置分量p12的正增益参数，a^t代表矩阵a的转置，p为任意n×n的正定矩阵，p^-1为矩阵p的逆矩阵，c1代表系统一阶约束目标值；

(3.3)令系统的虚拟控制u1的分量p13，满足如下公式：

其中μ1代表调整式(3.4)的控制饱和区域大小的参数，ф1代表正增益参数，ρ1代表式(3.4)中含有的不确定性和外界干扰的最大边界估计值；

步骤(4)，令系统的控制u，满足如下公式：

其中，kp代表带有对应维数的对角正定增益矩阵，s代表带有对应维数的对角正定增益矩阵，kd代表带有对应维数的对角正定增益矩阵，代表k的名义部分，代表j的名义部分；

这里μ2＝(x3+sx2)ρ2，p2代表一个标量函数，ρ2：r²ⁿ×rⁿ×rⁿ→r+，r代表实数，ε2＞0。

所述控制方法存在不确定边界的幅值影响，所述幅值影响采用平均控制力描述：

分别定义两个参数平均控制力的表达式如下：

其中δm1,2(t)＝0.3|sin(5t)|，δk1,2(t)＝0.4|cos(5t)|，t代表控制介入的时间，t表示控制介入的总时间，平均控制力随着不同的的结合状况而变化，在接近0.1和接近0.4时，平均控制力达到最大峰值。

设计方程(3.4)和(3.5)组合系统的边界性能：

(i)一致边界性：对于任意给定的正数r>0存在一个以r为自变量的函数d(r)<∞，使得对于系统状态方程的任意一个解x(·)，若t0时刻||x(t0)||≤r，对于所有的时刻t≥t0，有||x(t)||≤d(r)。

(ii)一致最终边界：对于任意的r>0且||x(t0)||≤r，存在一个正数d>0，使得当时，其中代表与和r相关的标量函数。

(iii)收敛到零：对于系统状态方程的任意一个解x(·)，有

通过分析，系统的一致稳定性可以通过所提出的控制规律来保证。当ε1,2→0时，一致最终边界球的尺寸最终趋近于0。然而，这也会导致p12、p2项值的增加。这样可以实现更好的控制性能。

欠驱动柔性机械臂系统的约束力鲁棒伺服控制方法，还包括以下步骤：

(i)对于一个给定的a，选择一个p，并且对于计算λa，其中，a代表欠驱动柔性机械臂系统的约束条件，p为任意n×n的正定矩阵，λa为设计过程中间参数，m代表欠驱动柔性机械臂系统的机械臂的惯量矩阵，k代表所述机械臂的弹性系数。

(ii)基于选择γ1，根据式(4.5)和式(4.6)获得p11,p12，其中，γ1为对应p12的正增益参数。

(iii)对于给定的ε1>0选择一个边界函数ρ1(·)，然后通过式(4.10)获得p13。

(iv)选择kp,s使得其中，kp代表对应维数的对角正定增益矩阵，s代表对应维数的对角正定增益矩阵，代表kp的最大特征值。

(v)对于一个给定的ε2>0，选择kd,ρ2(·)，通过式(4.15)获得欠驱动柔性机械臂系统的实际的控制输入，其中，kd代表带有对应维数的对角正定增益矩阵。

实施例2

根据给定的机械系统：

m代表欠驱动柔性机械臂系统的机械臂的惯量矩阵，c代表着所述机械臂的离心力，g代表所述机械臂的重力，k代表所述机械臂的弹性系数，q1代表所述机械臂的连杆角度矢量；q2代表所述机械臂的关节角度矢量，为q1的一阶求导，为q1的二阶求导，j代表所述机械臂的执行器惯量的对角矩阵；u代表所述机械臂的电机的输入力，为q2的二阶求导。

针对系统受到的下面形式的约束：

是的第i个元素.ali(·)和cl(·)都属于c¹,m≤n。他们是一阶形式的约束。这些约束一般来说可能并不可积分并且是不完整的。这些约束可以用矩阵的形式表达：

其中a＝[ali]m×n,c＝[c1c2…cm]^t

有两种方式解释这个约束，第一种方式，它们可能是被动地，那就是为了遵从约束规则，环境(或者说是结构)可以为系统提供约束力。第二种方式，它们可能是主动地，系统控制输入提供所需要的力以至于约束可以满足。本发明中，可以采用第二种方式。

我们现在把一阶形式转化为二阶形式，并且对约束方程式(2.2)关于t微分得到式(2.4)

式(2.4)中，二阶形式的约束可以重新写为式(2.8)

其中b＝[b1b2…bm]^t

假设1.对于每一个(q,t)∈rⁿ×r,σ∈σ,m(q,σ,t)>0

定义1.对于给定的a和b,如果至少存在一个解则式(2.8)中的约束被认为是一致的。

假设2.式(2.8)中的约束是一致的。

定理1(udwadiaandkalaba).考虑系统方程(2.1)和约束方程(2.8)隶属于假设1和假设2，获得约束力方程式(2.9)

其中，g是重力加速度常量。

服从达朗贝尔原理的拉格朗日形式，并且使得系统满足约束。这里上标+代表moore-penrose广义逆矩阵。

1、欠驱动柔性机械臂系统的系统模型的建立

我们看一下欠驱动柔性机械臂系统，可以用下面的方程来描述：

其中，m代表欠驱动柔性机械臂系统的机械臂的惯量矩阵，c代表着所述机械臂的离心力，g代表所述机械臂的重力，k代表所述机械臂的弹性系数，q1代表所述机械臂的连杆角度矢量；q2代表所述机械臂的关节角度矢量，为q1的一阶求导，为q1的二阶求导，j代表所述机械臂的执行器惯量的对角矩阵；u代表所述机械臂的电机的输入力，为q2的二阶求导。

我们提出两阶方法设计鲁棒控制装置。首先式(3.1)的第一部分可以改写为下面的方程形式

u1是嵌入进入该系统的摩擦部分，并且只是用来设计该系统的实际控制部分。当引入u1时，该系统可以分成两部分，(i)连杆角度子系统(ii)关节角度子系统，每个系统有它自己的控制输入和控制目标。第一个子系统由u1来控制，该控制是虚拟的。第二个子系统由u来控制，这是实际的控制。

其次，通过把k乘到方程式(3.3)的两边，让x2＝q2-u1将所述动力学方程转换成：

其中，

2、鲁棒伺服控制装置的设计

当我们设计u1和u时，如果考虑不确定性，这会妨碍我们使用m,c,k和g的精确信息，因此我们把j和k做如下分解

这里和代表名义部分，δm,δc,δg,δj和δk代表不确定性部分。在工程应用中，机械臂常用来定位一个目标或者跟踪一个给定的轨迹。执行器通常固定在连杆上，连杆角度的性能是我们控制的目的。我们使子系统去跟踪预先指定的约束，因为整个装置可被视为两个子系统的级联，我们首先为系统定义虚拟控制u1。

假设aat是可逆的，对于给定的正定矩阵p∈r^m×m,p>0，定义矩阵

其中，矩阵i为具有对应维数的单位矩阵；

此外，存在一个常量(可能未知)ρe>-1，使得对于所有的(q1,t)∈rⁿ×r

其中，λm为矩阵w+w^t的最小特征值；

备注：常量ρe一般是未知的，因为不确定性边界是未知的。在这种特殊的情况(无不确定性)，e＝0,w＝0因此我们可以选择因此根据连续性，该假设把不确定性的影响加在了m和的偏差上，使得偏差在一定的阈值范围。我们在此强调此阈值是单向的(那就是，在一个方向上是没有边界的)。让

为了构造虚拟控制u1，让我们选择一个标量函数ρ1:rⁿ×rⁿ→r+，

ρ1≥(1+ρe)^-1||φ1||式(4.7)

u1＝p11+p12+p13式(4.9)

其中，p11，p12，p13分别代表虚拟控制u1的分量，p11代表理想约束控制部分，p12代表稳定性收敛控制部分，p13代表鲁棒控制部分；

控制任务是连杆子系统问题的近似约束力伺服控制，这也意味着可能这可能由于未建模的不确定性或者外部扰动引起的。工程中不可能得到式(2.9)中q^c的精确值。与此同时，装置最初的状态可能会远离给定的约束。为了在给定s＝[si]n×n，si>0,i＝1,2,…n的情况下给出控制转矩u的表达式，我们首先选择一个标量函数ρ:2r²ⁿ×rⁿ×rⁿ→r+，我们提出如下形式的实际输入转矩u：

其中

这里μ2＝(x3+sx2)ρ2,kp,kd为带有对应维数的对角正定增益矩阵。

定理2假设和根据式(4.9)，设计式(3.4)和式(3.5)组合系统的边界性能：

(i)一致边界性：对于任意给定的正数r>0存在一个以r为自变量的函数d(r)<∞，使得对于系统状态方程的任意一个解x(·)，若t0时刻||x(t0)||≤r，对于所有的时刻t≥t0，有||x(t)‖≤d(r)。

(ii)一致最终边界：对于任意的r>0且||x(t0)||≤r，存在一个正数d>0，使得当时，其中代表与和r相关的标量函数。

(iii)收敛到零：对于系统状态方程的任意一个解x(·)，有证明过程如下：

选择的李雅普诺夫如下

v(x)＝v1(x1)+v2(x2,x3),式(4.17)

那么得到

其中κ3＝min{λ1,λ2,λkd}，

d(r)表示如下

此外，最终一致边界性能如下

对于一个给定的

一致最终边界球的半径由d来决定，当r接近0是，d接近0。那也就是意味着ε1和ε2都接近于0。因此如果ε1,2→0，那么d→0。

3、控制设计过程可以总结为如下步奏：

(i)对于一个给定的a，选择一个p，并且对于计算λa，其中，a代表欠驱动柔性机械臂系统的约束条件，p为任意n×n的正定矩阵，λa为设计过程中间参数，取值由决定，m代表欠驱动柔性机械臂系统的机械臂的惯量矩阵，k代表所述机械臂的弹性系数。

(ii)基于选择γ1，根据式(4.5)和式(4.6)获得p11,p12，其中，γ1为对应p12的正增益参数。

(iii)对于给定的ε1>0选择一个边界函数ρ1(·)，然后通过式(4.13)获得p13。

(iv)选择kp,s使得其中，kp代表对应维数的对角正定增益矩阵，s代表对应维数的对角正定增益矩阵，代表kp的最大特征值。

(v)对于一个给定的ε2>0，选择kd,ρ2(·)，通过式(4.15)获得欠驱动柔性机械臂系统的实际的控制输入，其中，kd代表带有对应维数的对角正定增益矩阵。

通过分析，控制装置的一致稳定性可以通过所提出的控制规律来保证。当ε1→0时和ε2→0，一致最终边界球的尺寸最终趋近于0。然而，这也会导致p12、p13项值的增加。总而言之，通过更大的控制努力，可以实现更好的控制。对于实际的应用，控制代价是由控制装置本身或者经济原因所限制。因此，设计者更希望通过优化控制参数来实现所要求的控制性能。

4、举例说明

请参阅图1我们采用一个两连杆的柔性关节机械手去验证所提出的控制方法的有效性。连杆角度矢量q1＝[q⁽²⁾q⁽⁴⁾]^t,关节角度矢量[q⁽¹⁾q⁽³⁾]^t,m1和m2是连杆的质量。l1是第一连杆1的长度，l2是第二连杆2的长度，lc1和lc2分别是两根连杆长度的一半(假设质量在连杆上是均匀分布的)，g是重力加速度常量。系统模型如下

其中

所有的惯性矩阵元素由下面的方程确定其边界

为了简便，我们要求连杆角速度满足下面的约束：

意味着

a＝[11],c＝0,b＝0.3.8

我们考虑质量的不确定性和k,

这里，δm1,2(t),δk1,2(t)是未知的，但是估计他们的边界到是可能的。

通过

g＝9.81,s1＝s2＝1,ω＝1,p＝2,ε1＝ε2＝0.1,kd1＝kd2＝2

δm1,2(t)＝0.3|sin(5t)|,δk1,2(t)＝0.4|cos(5t)|这些参数，我们可以得到

请参阅图2，图2显示了采用式(2.2)的约束系统的性能与名义控制下的性能比较的曲线图，这与类udwadia-kalaba控制的渐进收敛相呼应。通过使用所提出的控制方法，在2秒之前的一个确定时刻，系统的性能满足约束的要求。然而名义控制并不能收敛到0附近的区域。

请参阅图3，图3分别给出了连杆角速度和的跟踪轨迹图。

请参阅图4，图4给出了名义控制与鲁棒控制输出力的大小||μ||的比较示意图，很明显，尽管在装置性能结果中有很大的不同，名义控制还是要比鲁棒控制花费的代价大得多。

请参阅图5，图5给出了受到约束的本发明欠驱动柔性机械臂系统的整体性能图。

请参阅图6，图6给出了边界不确定性与平均控制力之间的关系示意图，为了去描述本实施例中不确定边界的幅值影响，我们分别定义两个参数

分别定义两个参数平均控制力的表达式如下：

t代表控制介入的时间，t表示控制介入的总时间，。很明显，平均控制力随着不同的的结合状况而变化。在接近0.1和接近0.4时，达到最大峰值。

实施例3

本实施例提供了与实施例1相对应的一种欠驱动柔性机械臂系统的约束力鲁棒伺服控制装置。所述约束力鲁棒伺服控制装置包括计算模块一、计算模块二、计算模块三、选择模块一、选择模块二。

计算模块一用于对于一个给定的a，选择一个p，并且对于计算λa，其中，a代表欠驱动柔性机械臂系统的约束条件矩阵，维度为m×n，p为任意n×n的正定矩阵，λa为设计过程中间参数，m代表欠驱动柔性机械臂系统的机械臂的惯量矩阵，k代表所述机械臂的弹性系数。

计算模块二用于基于选择γ1，根据式(4.5)和式(4.6)获得p11,p12，其中，γ1为对应p12的正增益参数。

计算模块三用于对于给定的ε1>0选择一个边界函数ρ1(·)，然后通过式(4.13)获得p13。

选择模块一用于选择kp，s，使得其中，kp代表带有对应维数的对角正定增益矩阵，s代表带有对应维数的对角正定增益矩阵，代表kp的最大特征值。

选择模块二用于对于一个给定的ε2>0，选择kd,ρ2(·)，通过式(4.15)获得欠驱动柔性机械臂系统的实际的控制输入，其中，kd代表带有对应维数的对角正定增益矩阵。

本实施例具有实施例1与2的相同有益效果。

实施例4

本实施例提供了与实施例2相对应的一种欠驱动柔性机械臂系统的约束力鲁棒伺服控制装置。所述约束力鲁棒伺服控制装置包括动力学方程输出模块、转换单元、设置单元一、设置单元二。

动力学方程输出模块，其用于提供带有约束的欠驱动柔性机械臂系统的动力学方程：

其中，m代表欠驱动柔性机械臂系统的机械臂的惯量矩阵，c代表着所述机械臂的离心力，g代表所述机械臂的重力，k代表所述机械臂的弹性系数，q1代表所述机械臂的连杆角度矢量；q2代表所述机械臂的关节角度矢量，为q1的一阶求导，为q1的二阶求导，j代表所述机械臂的执行器惯量的对角矩阵；u代表所述机械臂的电机的输入力，为q2的二阶求导；

转换单元，用于引入虚拟控制变量u1，设x2＝q2-u1，，将所述动力学方程转换成：

其中，

设置单元一，令系统的虚拟控制u1，满足如下公式：u1＝p11+p12+p13式(4.9)

其中，p11，p12，p13分别代表虚拟控制u1的分量，p11代表理想约束控制部分，p12代表稳定性收敛控制部分，p13代表鲁棒控制部分；

p11，p12，p13的获取过程包括以下步骤：

(3.1)令系统的虚拟控制u1的分量p11，满足如下公式：

其中，a代表欠驱动柔性机械臂系统的约束条件矩阵，代表m的名义部分，代表c的名义部分，代表g的名义部分，b1代表系统二阶约束目标值，这里上标+代表moore-penrose广义逆矩阵；

(3.2)令系统的虚拟控制u1的分量p12，满足如下公式：

其中，γ1为对应控制装置分量p12的正增益参数，a^t代表矩阵a的转置，p为任意n×n的正定矩阵，p-¹为矩阵p的逆矩阵，c1代表系统一阶约束目标值；

(3.3)令系统的虚拟控制u1的分量p13，满足如下公式：

其中μ1代表调整式(3.4)的控制饱和区域大小的参数，ф1代表正增益参数，ρ1代表式(3.4)中含有的不确定性和外界干扰的最大边界估计值；

设置单元二，令系统的控制u，满足如下公式：

其中，kp代表带有对应维数的对角正定增益矩阵，s代表带有对应维数的对角正定增益矩阵，kd代表带有对应维数的对角正定增益矩阵，代表k的名义部分，代表j的名义部分；

这里μ2＝(x3+sx2)ρ2，p2代表一个标量函数，ρ2：r²ⁿ×rⁿ×rⁿ→r+，r代表实数，ε2＞0。

约束力鲁棒伺服控制装置存在不确定边界的幅值影响，幅值影响采用平均控制力描述：

分别定义两个参数平均控制力的表达式如下：

其中δm1，2(t)＝0.3|sin(5t)|，δk1，2(t)＝0.4|cos(5t)|，t代表控制介入的时间，t表示控制介入的总时间，平均控制力随着不同的的结合状况而变化，在接近0.1和接近0.4时，平均控制力达到最大峰值。

设计方程式(3.4)和式(3.5)组合系统的边界性能：

(i)一致边界性：对于任意给定的正数r＞0存在一个以r为自变量的函数d(r)＜∞，使得对于系统状态方程的任意一个解x(·)，若t0时刻||x(t0)||≤r，对于所有的时刻t≥t0，有||x(t)||≤d(r)。

(ii)一致最终边界：对于任意的r＞0且||x(t0)||≤r，存在一个正数d＞0，使得当时，其中代表与和r相关的标量函数。

(iii)收敛到零：对于系统状态方程的任意一个解x(·)，有

本实施例具有实施例1与实施例2的相同有益效果。

实施例5

本实施例提供了一种计算机终端，其包括存储器、处理器以及存储在所述存储器上并可在所述处理器上运行的计算机程序。所述处理器执行所述程序时实现如实施例1或实施例2描述的欠驱动柔性机械臂系统的约束力鲁棒伺服控制方法的步骤。

实施例6

本实施例提供了一种计算机可读存储介质，其上存储有计算机程序，其特征在于，所述程序被处理器执行时，实现如实施例1或实施例2描述的欠驱动柔性机械臂系统的约束力鲁棒伺服控制方法的步骤。

尽管已经示出和描述了本发明的实施例，对于本领域的普通技术人员而言，可以理解在不脱离本发明的原理和精神的情况下可以对这些实施例进行多种变化、修改、替换和变型，本发明的范围由所附权利要求及其等同物限定。