一种能精确聚焦的函数曲面透镜的制作方法

本发明涉及一种新型非球面透镜，此透镜能将规则光束精确聚焦。

背景技术：

一侧表面为平面的球面透镜称为“平凸球面透镜”，本发明给出的透镜下文中简称为“本透镜”。

透镜聚焦精度的高低在某些场合中，将直接影响到透镜工作性能的好坏，例如透镜被用在聚焦激光的场合中。平凸球面透镜与本透镜相比，在将平行光光束聚焦时，平凸球面透镜的聚焦精度较低，而本透镜的聚焦精度较高，这可以从二个方面给予证明。

其一是，从透镜焦距计算公式的准确性方面进行比较。在大学物理教材中的几何光学一章中，推导单一平凸球面透镜焦距的计算公式是有条件限制的，其中条件之一是入射光线为“近轴光线”，所谓“近轴光线”是指：光线折射点到光轴(透镜中心轴)的高度h很低，光线折射时的h/r很小，这里的r是指球面透镜的球面半径，h则相当于透镜半径。在几何光学理论中，将平行光光束看作时“物点”在无限远处发出的光束，并以此为条件之一，推导出了像方焦距的计算公式。当“近轴光线”这一条件不能满足时，用推导出的平凸球面透镜像方焦距的计算公式计算出的焦距具有不确定性。而本透镜的焦距计算数学解析式中，则没有“近轴光线”的限制，本透镜折射曲面数学解析式的推导详见本说明书

技术实现要素：
部分。在本透镜中心轴横向的整个区间，唯一的限制条件是：入射光线的入射角小于发生全反射的角度。

其二是，可用电脑cad仿真绘图给予证明。用电脑cad绘图软件绘制透镜折射光线光路图，是本发明人的一项发明，不来自于任何资料。因为autocad绘图软件背后有一套复杂的精确的数学系统的支持，其绘制的图形的准确性和正确性已被无数的人在各行各业中给予了证实，所以用cad绘制出来的几何图形用于推理证明是有数学依据的。用cad绘制折射光线光路图时，需将cad中的“对象捕捉”功能打开，并设置端点、交点、中点、垂足、圆心和圆弧切点等对象捕捉开启，在画竖直和水平直线时还需开启正交画直线功能，还需将尺寸测量的精度设置为最高等级即小数点后8位数字有效，并按比例1∶1绘图。具体绘制球面透镜折射光线光路图的顺序和原理为：参看图11，进入autocad绘图软件2004以上版本，先以球面透镜的球面半径r0为半径，以g点为圆心画一个半圆，再过g点画一水平线dj，再过此半圆圆心g点画一条竖直直线gy，(画dj和gy直线需用到cad的“正交”画直线功能)，在gy直线上适当位置画一条横线ef，再画一条与gy直线平行的入射光线hp，hp直线与半圆曲线交于p点，再连接g点和p点画直线gp，再以p点为圆心以r为半径(r＜r0)画一个完整圆，此圆与gp直线交于u点，再过u点画一条与入射光线hp垂直的直线ut并与hp直线交于t点。然后用cad自带的标注尺寸操作，测量出直线ut的长度并设为x1，再用计算器算出x1*n＝x2，n为透镜材料相对于空气的光的相对折射率，然后再利用cad中画延长线操作，将gp直线延长至与以r为半径的圆的另一侧相交并相交于v点，再以v点为圆心，以x2为半径画一完整圆，再过p点作以x2为半径的圆的切线并交于q点，(画此切线要用到cad中自带的自动捕捉切点的对象捕捉功能)，然后再利用cad中画延长线操作，将直线pq延长至与直线ef相交并相交于l点，直线pl即是球面透镜的折射光线。原理是：直线gv是平凸球面透镜在p点的法线，直线hp是入射光线，根据光的折射率公式有：sin(c)/sin(a)＝n，(此公式中的c和a对应于图11中的角c和角a)，如果能证明：sin(c)/sin(a)＝n，则pl直线为折射光线。参看图11。

证明：因为sin(c)/sin(a)＝(x2/r)/(x1/r)＝x2/x1，又因为：x2＝x1*n，

所以：x2/x1＝n，所以sin(c)/sin(a)＝n，所以直线pl为折射光线。

按照此画法可以画出入射光线为平行光光束时球面透镜的多条折射光线，再用cad自带的测量尺寸功能，可测量出聚焦焦点光斑的尺寸。图12是绘制出的一个平凸球面透镜折射光线光路图的实例。图12中的透镜半径为50毫米，球面透镜的球面半径r113.69是经过多次试画才得出的，这个球面半径能使透镜半径为50毫米和n＝1.5时，最小光斑位置刚好出现在距离透镜平面200毫米附近，误差小于1毫米，焦点光斑尺寸为6.01毫米左右。

为了将平凸球面透镜与本透镜进行比较，接下来再来绘制本透镜的折射光线光路图。本发明人已将本透镜曲面曲线坐标的值的计算编写成vb程序，可通过运行vb程序来获得本透镜曲面曲线上的点的坐标值。vb程序可以方便的计算出相隔千分之一毫米宽度的本透镜曲面曲线上的一系列的点的坐标值，如果将这些点的坐标值都在cad中画出，将耗费大量时间，无法做到，所以此处将采用以直线折线替代光滑曲线的方法，在cad中绘制本透镜的焦点光斑情况，并确定光斑尺寸。为了方便比较，本透镜选择与平凸球面透镜相同的参数，即透镜半径为50毫米，焦点到本透镜平面的距离为200毫米，透镜的光的相对折射率为n＝1.5。然后再将本透镜的曲面曲线按宽度5毫米分为10段，运行vb程序可得到这10段直线转折点的坐标值如下：

(x＝0，y＝12.31313986)，(x＝5，y＝12.18002184)，

(x＝10，y＝11.78207526)，(x＝15，y＝11.12344882)，

(x＝20，y＝10.21082107)，(x＝25，y＝9.05307535)，

(x＝30，y＝7.66089624)，(x＝35，y＝6.04632717)，

(x＝40，y＝4.22232648)，(x＝45，y＝2.20235262)，(x＝50，y＝0)。

按照这11个折线转折点的坐标绘制出的折线本透镜如图13所示，图13中标有x的为x坐标轴，标有y的为y坐标轴。每二个坐标点之间是一直线而不是曲线，此10条直线为本透镜的折射界面线。图13中y坐标轴为折线本透镜的中心轴线，中心轴线左边的折线部分与中心轴线右边的折线部分是镜像对称，可用cad中“镜像复制”操作，以y坐标轴为镜像轴直接复制右边的线段得到。如何能证明图13中的折线透镜就是本透镜呢？有一个方法可以证明，就是：可以验算一下每一段折射界面直线的斜率k，看斜率k是否符合一个简单的数学公式，即|k|＝sin(b)/[n-cos(b)]，此数学公式中的b是要验算的直线段的中点与给定的平行光光束聚焦焦点(本例中焦点坐标为x＝0，y＝200)的连线再与透镜中心轴线相交的夹角，n是给定的透镜相对于空气的光的相对折射率(本例中为n＝1.5)。在验算时，可用二点式直线的斜率计算方法来计算直线段的斜率k，这样计算出来的斜率k是一个负值，应将此负值取绝对值，再将此绝对值的值与用公式sin(b)/[n-cos(b)]计算出来的值进行比较其结果应相等或误差很小。图13中的折线透镜的这一特征是本透镜的特征之一，这一特征可以被用来证明图13中的折线透镜就是本透镜。

下面绘制图13中折线本透镜的折射光线光路图，以确定聚焦焦点光斑的尺寸。画折射光线的方法与球面透镜画折射光线的方法相类似，先画出每一段折射界面直线段中点的折射光线，入射光线为平行光光束。具体画折射光线的方法参看图14。先从一段折射界面线jk的中点p点画一条入射光线hp，hp入射光线与折线透镜的中心轴线平行，(画hp直线需用到cad的自动捕捉中点和“正交”画直线功能)，再以p点为圆心，以略小于jk线段的1/2长度的r为半径画一完整圆，再将jk直线段以p点为中心旋转90度，得到新的直线，此直线与以r为半径的圆交于u、g二点，直线ug即是折射界面线jk在p点的法线，再连接j、k二点，重画jk直线。再过u点作直线hp的垂线并与hp直线交于t点，再用cad自带的标注尺寸功能，测量出ut直线的长度并设为x1，再用计算器计算出x2＝x1*n，再以x2为半径，以g点为圆心，画一完整圆，再过p点作以x2为半经的圆的切线并交于q点(画此切线要用到cad中自带的自动捕捉切点的对象捕捉功能)。然后再利用cad中画延长线操作，将直线pq延长至与直线ef相交并相交于l点，直线pl即是折线本透镜的折射光线，ef直线是与折线本透镜中心轴线相垂直，距离位于略超过焦点处的一段直线。ef直线位置参看图15。用此绘图方法可以绘制出本例中10条折射界面线中点的折射光线，y坐标轴左边的10条折射光线可用“镜像复制”得到。20条折射光线都画好后得到的折射光线光路图如图15所示。接下来可用cad的测量尺寸功能测量聚焦焦点光斑的尺寸。将电脑鼠标光标移到焦点附近，连续转动鼠标上的转轮，将焦点的图像连续放大，当放大到一定程度后，cad绘图软件不再放大图像，此时可点击cad绘图软件中的下拉菜单中的“视图(v)//重生成(g)”命令，再转动鼠标转轮，图像将会继续放大，如再次出现图像不再放大的情况，还可以再次点击下拉菜单中的“视图(v)//重生成(g)”命令，直到看到发散的焦点图像为止，此时可用cad的测量尺寸功能测量焦点光斑的尺寸，测量的结果是：焦点光斑的尺寸小于0.0001毫米。至此，焦点光斑的尺寸还未最终确定，每一段折射界面直线段除了中点以外还有左右各2.5毫米区间内的点的折射光线未画出，这些点处的折射光线的绘制如图16示意图所示，这些点处的折射光线与中点处的折射光线平行(因为入射光线是平行的)，这样得到每一段的折射界面线的实际聚焦焦点光斑的尺寸为略小于5毫米，并且此略小于5毫米的宽度是以聚焦焦点为中点的。考虑到20条折射光线焦点光斑存在微小误差0.0001毫米，这样最后得到的图13中的折线本透镜的聚焦焦点光斑的尺寸为5.0001毫米左右，这个尺寸小于同等参数条件下平凸球面透镜聚焦焦点光斑的尺寸6.01毫米。

不仅如此，图13中的折线本透镜聚焦焦点光斑的尺寸还可以再减小，方法是将每一段折射界面线的宽度再减小，重新运行vb程序，得到更多的直线段转折点的坐标值，并在cad绘图软件中按上述方法重做上面的操作。通过对折线本透镜和平凸球面透镜的cad仿真绘图，可以得出这样一个结论，折线本透镜在将平行光光束聚焦时，影响焦点光斑尺寸的主要部分是折射界面直线段的宽度，如果将折射界面直线段的宽度大幅度减小，则焦点光斑的尺寸将随之大幅度减小，而平凸球面透镜则不具备这一特性。

发明内容

为了准确形象的描述本发明给出的新型透镜，本说明书给本透镜起了一个名字叫：“函数曲面透镜”，特指这种透镜的曲面符合某个本说明书中所描述的数学函数解析式，也是为了与球面透镜和非球面透镜区分开。

本说明书中所说“规则光束”分为三种情况：一是光线与光线之间相互平行组成的光束，本说明书中称之为“平行光光束”；二是某个物体发出的射向某一焦点的光束，本说明书中称之为“聚焦光束”；三是从某一焦点发出的射向某个物体的光束，本说明书中称之为“点光源光束”。在规则光束三种情况下，本说明书给三种类型的函数曲面透镜分别取一个名字是：将平行光光束精确聚焦的函数曲面透镜称为“a型函数曲面透镜”；将聚焦光束改变焦点焦距的函数曲面透镜称为“b型函数曲面透镜”；将点光源光束在透镜另一侧重新聚焦的函数曲面透镜称为“aa型函数曲面透镜”。

本说明书中所说“透镜折射曲面”是指：透镜使光线发生折射的表面曲面。

本说明书中所说“透镜折射曲面线”的含义是：透镜折射曲面线绕中心轴旋转360度形成的曲面即是透镜折射曲面，对透镜折射曲面的数学解析可分解为对透镜折射曲面线的数学解析，对透镜折射曲面线做出的数学解析在透镜折射曲面上将得到相同结果。

函数曲面透镜具有的功能是：将规则光束精确聚焦，为了制造和加工出此透镜需要先推导出透镜折射曲面的数学函数解析式，具体推导如下：

(01)从光学透镜折射率公式推导出一个折射率变形公式：

参看图1，a角为光线入射角，c角为光线折射角，pf为法线，pa为入射光线，pb为折射光线，pe为入射光线的延长线，b角加d角等于c角，又因为d角等于a角，(对顶角相等)，所以角b＝c-d＝c-a，本说明书给b角起一个名字叫：“偏转角”。图1中下方是光密介质，上方是空气，光从光密介质射入空气中，n为光的相对折射率，因为实验实际测得的n值大于1，根据折射率公式n＝sin(c)/sin(a)，所以有：c角大于a角，b角大于零。

n＝sin(c)/sin(a)；(n为光的相对折射率，由折射率公式得到)

＝sin(a+b)/sin(a)；(参看图1，c＝d+b＝a+b得到)

＝[sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)]/sin(a)；(由三角函数公式得到)

＝{[sin(a)cos(b)]/sin(a)}+{[cos(a)sin(b)]/sin(a)}；(中括号展开得到)

＝cos(b)+[sin(b)/tan(a)]；(由a角正切值tan(a)＝sin(a)/cos(a)得到)再将n＝cos(b)+[sin(b)/tan(a)]推导出的公式左右移项整理化简，可以得到如下公式：

tan(a)＝sin(b)/[n-cos(b)]…………(1)

导出公式(1)给出了入射角a与偏转角b及相对折射率n三者之间的数学关系，这个公式是折射率公式的变形公式，下面推导过程中要用到。

(02)推导出yzq切线公式一：

参看图2，图2是a型函数曲面透镜将平行光光束精确聚焦的光路图。图中弧线是透镜折射曲面线，透镜的另一侧为平面，且此平面与x坐标轴平行，y坐标轴是透镜折射曲面的中心轴。当入射光为平行光光束且与透镜的平面一侧垂直，并照射到透镜的平面一侧时，入射光不发生折射，入射光保持原有方向进入透镜内部。y坐标轴上的f点是透镜折射光的焦点，本说明书中称f点为a型函数曲面透镜折射曲面的焦点。p点是透镜折射曲面上的任意一点，从下向上标有箭头的平行线是入射光线，入射光线与y坐标轴平行，pe线是入射光线通过p点的延长线，pf线是透镜折射曲面在p点的法线，x轴上的g点是透镜折射曲面上p点的切线与x坐标轴的交点，x轴上的r点是透镜的边缘点，o点是坐标原点，折射光线pf与pe直线的夹角是b角，因为入射光线延长线pe与y坐标轴平行，所以折射光线pf与y坐标轴的夹角也是b角，(平行线内错角相等)，入射光线hp与法线pf的夹角是光线入射角a角，切线pg与x轴的夹角是切线角的补角d角。因为d角的二条边与a角的二条边分别相互垂直，(切线垂直于法线，入射光线垂直于x轴)，所以有d角等于a角。接下来我们把图2中的a角b角与图1中的a角b角作一个比较，你会发现，它们的物理特性是完全相同的，都是入射角和偏转角，由图1推导出的公式(1)在图2中同样是正确的。又因为在图2中a角等于d角，d角小于90度，并且d角是切线与x轴的夹角，所以p点切线斜率的绝对值|k|＝tan(d)＝tan(a)，将|k|代入公式(1)中得到：

|k|＝sin(b)/[n-cos(b)]…………(2)。

公式(2)即是将平行光光束精确聚焦的a型函数曲面透镜折射曲面上任意一点的切线斜率绝对值的计算公式。为了叙述方便，给公式(2)起一个名字叫：“yzq切线公式一”，(yzq是本发明人杨兆强三个字的汉语拼音的第一个字母连在一起组成的缩写名称)。此公式中的|k|为透镜折射曲面上的任意一点p点的切线斜率的绝对值，b是对应的切线切点p点与透镜折射曲面的焦点f点的连线再与透镜折射曲面的中心轴线相交的夹角，n是透镜材料相对于空气(光线从透镜射出进入空气中)光的相对折射率。

(03)推导出yzq切线公式二：

参看图3，图3是b型函数曲面透镜改变聚焦光束的焦点焦距的光路图。y坐标轴是透镜折射曲面的中心轴，图中y坐标轴上的f点是聚焦光束在没有透镜折射时聚焦焦点位置，本说明书中称f点为b型函数曲面透镜折射曲面的虚焦点。y坐标轴上的f点是入射聚焦光束被b型函数曲面透镜折射后重新聚焦的焦点，本说明书中称f点为b型函数曲面透镜折射曲面的焦点。图中二条曲线是b型函数曲面透镜二侧的透镜曲面线，x轴上的r点是透镜的边缘点，0点是坐标原点，图中下方矩形uv是发射光束的物体。透镜朝向发射光束的物体一侧的曲面是一段标准的球形曲面，球形曲面的圆心位于虚焦点f点，透镜的另一侧为折射曲面，虚焦点f点与透镜折射曲面位于同一侧。球形曲面的作用是：使得物体uv发出的射向f点的照射到球形曲面上的所有光线与透镜球形曲面处处垂直，使入射光保持原有方向进入透镜内部。聚焦光束被b型函数曲面透镜折射时只发生一次折射，这种结构对于简化数学解析式很重要。p点是透镜折射曲面上的任意一点，pm是透镜折射曲面在p点的法线，x坐标轴上的g点是折射曲面在p点的切线与x轴的交点，直线pt是过p点与y坐标轴平行的辅助线，a角是入射光线与法线的夹角，b角是入射光线的延长线pf与折射光线pf的夹角，d角是p点切线与x坐标轴的夹角。h角是切线切点p点与透镜折射曲面的焦点f点的连线再与透镜折射曲面的中心轴线相交的夹角，g角是切线切点p点与透镜折射曲面的虚焦点f点的连线再与透镜折射曲面的中心轴线相交的夹角，又因为辅助线pt与y坐标轴平行，所以直线pt与入射光线延长线pf的夹角与g角相等，(平行线内错角相等)，也是g角。法线pm与直线pt的夹角是e角。因为e角的二条边与d角的二条边分别相互垂直，(切线垂直于法线，直线pt垂直于x坐标轴)，所以e角等于d角。由图3可推导出如下关系式：

在三角形ffp中，角b＝角h-角g…………(3)；(三角形外角等于不相邻的二内角之和)

角a＝角g+角e＝角g+角d…………(4)；(对顶角相等)和(角e＝角d)得到

角a角b分别是入射角和偏转角，由图1推导出的公式(1)在图3中也是正确的，将推导出的关系式(3)、(4)代入公式(1)中得到：

tan(g+d)＝sin(h-g)/[n-cos(h-g)]…………(5)

令：sin(h-g)/[n-cos(h-g)]＝w

将公式(5)等号左边运用三角函数展开，等号右边等于w，左右移项，化简，代入w值得到：

tan(d)＝[w-tan(g)]/[1+w*tan(g)]…………(6)

因为d角是切线与x轴的夹角，并且d角小于90度，所以p点切线斜率的绝对值|k|＝tan(d)，将|k|代入公式(6)中，得到：

|k|＝[w-tan(g)]/[1+w*tan(g)]…………(7)

公式(7)中的w是：w＝sin(h-g)/[n-cos(h-g)]

公式(7)即是将聚焦光束改变焦点焦距的b型函数曲面透镜折射曲面上任意一点的切线斜率绝对值的计算公式。为了叙述方便，给公式(7)起一个名字叫：“yzq切线公式二”。此公式中的|k|为透镜折射曲面上的任意一点p点的切线斜率的绝对值，h是对应的切线切点p点与透镜折射曲面的焦点f点的连线再与透镜折射曲面的中心轴线相交的夹角，g是对应的切线切点p点与透镜折射曲面的虚焦点f点的连线再与透镜折射曲面的中心轴线相交的夹角，n是透镜材料相对于空气(光线从透镜射出进入空气中)光的相对折射率。

(04)aa型函数曲面透镜切线斜率公式说明：

参看图4，图4是aa型函数曲面透镜将点光源光束在透镜的另一侧重新聚焦的光路图。aa型函数曲面透镜实质上是由二片a型函数曲面透镜平面对平面合在一起构成。图中gm直线是透镜的中心轴，直线gm上的f1和f2点是透镜二侧的焦点。当点光源光束的发光点位于f1点时，根据光的可逆性原理及a型函数曲面透镜折射光路原理，点光源发出的光束被朝向点光源一侧的折射曲面折射后，在透镜内部将变成平行光光束，当平行光光束从透镜另一侧折射曲面射出时，因为朝向重新聚焦一侧的透镜折射曲面也是与a型函数曲面透镜相同类型的折射曲面，所以平行光光束将被重新聚焦。与人们所熟知的球面透镜二侧也各自有一个相同焦距的焦点不同的是：aa型函数曲面透镜二侧的焦点的焦距可以是不相同的。因为aa型函数曲面透镜二侧的折射曲面均为与a型函数曲面透镜相同类型的折射曲面，所以aa型函数曲面透镜二侧的折射曲面的切线斜率绝对值解析式与a型函数曲面透镜的切线斜率绝对值解析式相同，都是yzq切线公式一。

(05)制作成菲尼尔透镜形式的函数曲面透镜切线斜率公式说明：

图2、图3和图4所示的函数曲面透镜的曲面是由整条光滑透镜曲面线绕中心轴旋转而成，本说明书中称此种函数曲面透镜为“单曲面函数曲面透镜”，或简称为“函数曲面透镜”。再看图5、图6和图7，本说明书中称如图5、图6和图7所示有多条(2条及2条以上)光滑曲面线绕中心轴旋转而构成的函数曲面透镜为：“菲尼尔透镜形式的函数曲面透镜”。图5是制作成菲尼尔透镜形式的a型函数曲面透镜的示意图，图6是制作成菲尼尔透镜形式的b型函数曲面透镜三种形式的示意图，三种形式分别是：球形曲面和折射曲面均制作成菲尼尔透镜形式；折射曲面制作成菲尼尔透镜形式而球形曲面仍然是单曲面形式；折射曲面仍然是单曲面形式而球形曲面制作成菲尼尔透镜形式，这三种形式的函数曲面透镜均称为制作成菲尼尔透镜形式的b型函数曲面透镜。图7是制作成菲尼尔透镜形式的aa型函数曲面透镜二种形式的示意图，二种形式分别是：二侧折射曲面均制作成菲尼尔透镜形式；一侧折射曲面制作成菲尼尔透镜形式而另一侧折射曲面仍然是单曲面形式，这二种形式的函数曲面透镜均称为制作成菲尼尔透镜形式的aa型函数曲面透镜。因为a型b型和aa型三种类型的函数曲面透镜的切线斜率绝对值数学解析式只与折射光线或入射光线的延长线与中心轴的夹角(b角h角g角)和折射率n有关，而与透镜折射曲面线分成几段无关，所以三种类型的制作成菲尼尔透镜形式的函数曲面透镜，其切线斜率解析式与对应的单曲面函数曲面透镜的切线斜率绝对值解析式相同。

(06)微分链接计算法说明：

上述已经推导出了在规则光束三种情况下函数曲面透镜折射曲面上任意一点切线斜率绝对值的计算公式，但我们的目的是要得到透镜折射曲面线上每一点的x、y坐标值，以方便数控设备加工或绘制透镜曲面线。接下来我们看如何用微分链接计算法计算出透镜折射曲面线上每一点的x、y坐标值。设透镜的半径为r，在透镜折射曲面线上有一个特殊点的坐标是不需要计算的，这就是透镜边缘点的坐标(r，0)，就以这个特殊点为起点，从起点开始计算。先定义一下坐标系，把透镜折射曲面的中心轴作为y坐标轴，透镜的边缘点位于x轴上，透镜折射曲面线位于坐标系第一象限。然后在x方向设定一个微小间隔dx，把透镜折射曲面线在x方向按微小间隔dx分成许多微小片段，(dx值可以根据需要任意设定)，将每一个微小片段定为是一段直线，微小直线片段上有几个关键点定义如下：微小直线片段在x轴上投影的长度为dx，在y轴上投影的长度为dy，微小直线片段按计算顺序分为起点坐标为(x1，y1)，切线切点p点坐标为(xp，yp)，结束点坐标为(x2，y2)，从透镜的边缘点开始计算，且透镜边缘点位于坐标系第一象限x轴上，透镜折射曲面线为单曲面线区间，则有x2始终小于x1，y2始终大于y1，进一步可得到如下几个公式：x1-x2＝dx，y2-y1＝dy，dy＝|k|*dx，dy1＝|k1|*dx，|k1|是以(x1，y1)点为切线切点，运用yzq切线公式计算出的(x1，y1)点处折射曲面线切线斜率的绝对值。微分链接计算法的p点坐标计算公式为：

p点坐标x值：xp＝x1-dx/m…………(8)

p点坐标y值：yp＝y1+dy1/m…………(9)

此2个计算公式中的m是大于1的实数，由人为指定，当选择微小直线片段的中间点作为p点所在位置时，链接计算法的p点坐标的计算公式(8)、(9)中的m为m＝2。

dy＝|k|*dx计算公式中的|k|为微小直线片段斜率的绝对值，与p点的切线斜率的绝对值相等，|k1|和|k|则用yzq切线公式一或yzq切线公式二计算得到。当某一个微小直线片段的起点坐标值为(x1，y1)是已知的，dx是已知的，结束点坐标值为(x2，y2)时，计算顺序是：用yzq切线公式计算出(x1，y1)点处切线斜率的绝对值|k1|，由|k1|计算出dy1，由指定的m值和x1、y1以及dy1的值、dx值，用链接计算法的p点坐标计算公式(8)、(9)计算出xp和yp的值，再用yzq切线公式计算出(xp，yp)点处的切线斜率的绝对值|k|，再由|k|计算出dy，再由dy、dx、x1和y1的值计算出x2和y2值。在a型及aa型函数曲面透镜折射曲面上的点计算中，|k1|和|k|按yzq切线公式一进行计算，在b型函数曲面透镜折射曲面上的点的计算中，|k1|和|k|按yzq切线公式二进行计算，令透镜折射曲面的边缘点在坐标系第一象限x轴上，以透镜折射曲面的边缘点为起点，从起点开始计算，将计算出的每一个微小直线片段结束点的坐标值作为下一个微小直线片段的起点坐标值，连续重复计算，直到计算完需要计算的透镜折射曲面线上所有间隔为dx的点的坐标值为止。这些坐标值就是我们想要得到的透镜折射曲面线上的间隔为dx的一系列的点的坐标值。本说明书中称这种计算透镜折射曲面线上的点的坐标值的方法为：“微分链接计算法”。在实际计算时，将使用计算机程序来计算，所以不必担心为了提高精度而将dx取的足够微小会增加计算难度。用微分链接计算法计算出的坐标值虽然是透镜折射曲面线上的点的坐标值的近似值，但借助于现代高性能计算机的帮助，可以将误差减小到微米级水平，是完全能够满足透镜的使用要求的。

(07)微分解方程计算法说明：

微分解方程计算法需要将yzq切线公式转换成x、y坐标解方程的形式。a型函数曲面透镜参看图9，b型函数曲面透镜参看图10。在转换公式前需要将透镜折射曲面线作分段处理，与微分链接计算法中的做法相似，先定义一下坐标系，把透镜折射曲面的中心轴作为y坐标轴，透镜的边缘点位于x轴上，透镜折射曲面线位于坐标系第一象限。然后在x方向设定一个间隔dx，把透镜折射曲面线在x方向按间隔dx分成许多片段，(dx值可以根据需要任意设定)，将每一个片段定为是一段直线，直线片段上有几个关键点定义如下：直线片段在x轴上投影的长度为dx，在y轴上投影的长度为dy，直线片段按计算顺序分为起点坐标为(x1，y1)，切线切点p点坐标为(xp，yp)，结束点坐标为(x2，y2)，从透镜的边缘点开始计算，且透镜边缘点位于坐标系第一象限x轴上，透镜折射曲面线为单曲面区间，则有x2始终小于x1，y2始终大于y1，进一步可得到如下几个公式：x1-x2＝dx，y2-y1＝dy，解方程计算法的p点坐标计算公式为：

p点坐标x值：xp＝x1-dx/m…………(10)

p点坐标y值：yp＝y1+dy/m…………(11)

解方程计算法的p点坐标的计算公式中的m是大于1的实数，由人为指定，当选择直线片段的中间点作为p点所在位置时，解方程计算法的p点坐标的计算公式中的m为m＝2。对于a型及aa型函数曲面透镜按图9中的标注可以得到如下2个a型函数曲面透镜三角函数转换等式：

将解方程计算法的p点坐标计算公式(10)、(11)和推导出的a型函数曲面透镜三角函数转换等式(12)、(13)代入到yzq切线公式一中等号右边的表达式中，经过化简整理可以得到一个只包含有变量x1、y1、dx、dy和常数f、n、m的切线斜率绝对值表达式，将此表达式简化的表示为：t1(x1，y1，dx，dy)，同时将直线片段的斜率绝对值|k|表示为|dy/dx|，则yzq切线公式一可转换为另一种表达形式如下：

|dy/dx|＝t1(x1，y1，dx，dy)…………(15)

将表达式(15)写成解方程的形式为：

|dy/dx|-t1(x1，y1，dx，dy)＝0…………(16)

在方程式(16)中，dx是人为设置的，所以是已知的，因为坐标计算是从透镜边缘点开始计算的，之后是每一直线片段的结束点坐标值作为下一直线片段起点的坐标值，所以对于准备计算的直线片段来说，x1、y1也是已知的。这样方程式(16)中就只有一个未知数dy，通过对方程式(16)解方程可以得到dy值。方程式(16)是一个一元多次方程式。常用的解方程方法不能解此方程，可以用计算机程序来解这个方程，用vb程序解这个方程的程序源代码可以是如下所示：

这一段程序是用试验法来解方程，即让dy值逐步增大，当dy值增大到某一值时，计算机程序经过计算得知abs(dy/dx)-t1(x1，y1，dx，dy)＝0或abs(dy/dx)-t1(x1，y1，dx，dy)的绝对值小于0.000001时，程序跳出循环，此时的dy值即是方程的解，程序继续运行，计算出本线段的结束点坐标x2和y2值。

对于b型函数曲面透镜，按图10中的标注可以得到如下6个b型函数曲面透镜三角函数转换等式：

将推导出的b型函数曲面透镜三角函数转换等式(20)、(21)、(22)、(23)、(24)、(25)和解方程计算法的p点坐标计算公式(10)、(11)代入到yzq切线公式二中等号右边的表达式中，经过化简整理可以得到一个只包含有变量x1、y1、dx、dy和常数f、f、n、m的切线斜率绝对值表达式，将此表达式简化的表示为：t2(x1，y1，dx，dy)，并将直线片段的斜率绝对值|k|表示为|dy/dx|，则yzq切线公式二可转换为另一种表达形式如下：

|dy/dx|＝t2(x1，y1，dx，dy)…………(26)

将表达式(26)写成解方程的形式为：

|dy/dx|-t2(x1，y1，dx，dy)＝0…………(27)

因为准备计算的直线片段的x1、y1、dx均为已知，所以在方程式(27)中只有一个未知数dy，方程式(27)是一个一元多次方程式，可以用计算机程序来解这个方程式，得到dy值。

对上述二个方程式(16)和(27)解方程求出dy值后，又因为(x1，y1)是已知的，再应用公式x1-x2＝dx和y2-y1＝dy能够计算出此直线片段的结束点坐标(x2，y2)值，将计算出的每一个直线片段结束点的坐标值作为下一个直线片段的起点坐标值，连续重复计算，直到计算完需要计算的透镜折射曲面线上所有间隔为dx的点的坐标值为止。本说明书中称这种计算透镜折射曲面线上的点的坐标值的方法为：“微分解方程计算法”。在dx值无限接近于0的条件下，由微分解方程计算法计算出的一系列的折射曲面线上的点的坐标值是一个精确值。

(08)yzq切线公式可以有许多种不同的表现形式说明：

上述给出了二种yzq切线公式说明，还有一点需要说明的是：上述yzq切线公式可以有许多种不同的表现形式，例如在切线斜率绝对值计算公式中，可以用正切函数取代正弦函数或余弦函数，或用x、y坐标的形式描述yzq切线公式等等，但不管如何变化，最后的计算结果将与yzq切线公式相一致。所以，要判断切线斜率绝对值计算公式是否属于本发明范围内的切线斜率绝对值计算公式，要看计算结果而不能只看表现形式。

(09)如何界定函数曲面透镜与普通透镜方法说明：

用本说明书给出的微分链接计算法或微分解方程计算法能够计算出某函数曲面透镜折射曲面线上一系列的点的坐标值，将计算出的坐标数据作为模板值，与透镜折射曲面上实际有效的点的坐标测量值进行比较，如果相吻合，则认为此透镜是与函数曲面透镜相同的透镜。这里“相吻合”一词有二个含义，一是不低于95％的点的测量值与模板值相同或误差在允许的范围内则认为是相吻合，因为加工和测量均存在误差，所以模板值与测量值不可能100％的相同；二是实物测量值与模板值比较时误差在允许范围内则认为是相吻合，这个误差允许范围可以是十分之一毫米以内或百分之一毫米以内或千分之一毫米以内，具体选哪一个误差允许范围等级，以能够说清楚事实为前提，选择较大的一个误差允许范围等级。

(10)函数曲面透镜的优越之处：

因为函数曲面透镜能将规则光束精确聚焦，并且在将平行光光束聚焦方面精度超过了平凸球面透镜，并且还可以被制作成菲尼尔透镜的形式，故函数曲面透镜可以被用来制造更高精度的光学仪器以及被用来制造菲尼尔透镜形式的太阳能聚光透镜等。还因为函数曲面透镜折射曲面可以用本说明书中给出的函数解析式进行解析和坐标计算，故可以方便的将计算出的坐标值输入到数控设备中，进而可以方便的加工出所需的函数曲面透镜。

附图说明

图1是光从光密介质射入空气中光线折射的光路图

图2是a型函数曲面透镜将平行光光束精确聚焦的光路图。

图3是b型函数曲面透镜改变聚焦光束的焦点焦距的光路图。

图4是aa型函数曲面透镜将点光源光束在透镜的另一侧重新聚焦的光路图。

图5是制作成菲尼尔透镜形式的a型函数曲面透镜的示意图。

图6是制作成菲尼尔透镜形式的b型函数曲面透镜三种形式的示意图。

图7是制作成菲尼尔透镜形式的aa型函数曲面透镜二种形式的示意图。

图8是实施例中将微分链接计算法编写成计算机vb程序的vb程序方框图。

图9是a型函数曲面透镜折射曲面线应用微分解方程计算法进行计算解析示意图。

图10是b型函数曲面透镜折射曲面线应用微分解方程计算法进行计算解析示意图。

图11是平凸球面透镜应用cad绘制折射光线光路图原理图。

图12是平凸球面透镜应用cad绘制折射光线光路图实例图。

图13是折线本透镜折射界面直线段坐标图。

图14是折线本透镜应用cad绘制折射光线光路图原理图。

图15是折线本透镜应用cad绘制折射光线光路图实例图。

图16是折线本透镜折射界面线上各点的折射光线光路图原理图。

具体实施方式

具体实施例将设计一片直径为30厘米的菲尼尔透镜形式的太阳能聚光透镜，参看图5。我们可以把太阳光看作是平行光光束。用玻璃制作透镜，选择玻璃的尺寸为：直径30厘米，厚度2厘米。查找相关资料，确定玻璃的折射率n为1.65。设计透镜的焦距为50厘米，考虑到如果将透镜制作成单曲面的函数曲面透镜，透镜中部最大高度将超过2厘米(玻璃的厚度)，无法制作，所以选择制作成菲尼尔透镜形式的a型函数曲面透镜类型。将透镜折射曲面线分成三段，其三段折射曲面线起点的x值分别为r1、r2和r3，如图5所示。将折射曲面的中心轴作为y坐标轴。接下来将微分链接计算法编写成计算机vb程序，计算透镜折射曲面上每一点的坐标值。vb程序中使用千分之一毫米为数字的单位，dx＝1，透镜最大半径r1为150000(1厘米＝10000数字单位)，焦距为500000，折射率n＝1.65，透镜曲面分成三段，三段曲面线起点和结束点的x值分别为，15到12厘米，12到8厘米，8到0厘米。按这个比例分段是考虑到使每一段曲面线能达到的最大y值基本相等。在计算切线斜率时，指定每一微小直线片断的接近中间点的位置为切线切点p点的位置。图8是将微分链接计算法编写成计算机vb程序的vb程序方框图。先启动vb6编程环境软件，新建一个标准工程程序文件，在form1窗体中放置一个命令按钮command1和一个文本框text1，然后按照程序框图或如下vb程序源代码编写vb程序，编写好后运行程序，点击窗口中的命令按钮，程序开始按要求进行计算，大约十几秒钟后程序运行结束，在e盘上得到一个文件名为：abc.txt的文件，用记事本程序打开此文件，文件中每一行有2个数字，第一个数字是某点的x坐标值，第二个数字是同一点的y坐标值，一共有150000个透镜折射曲面线上的点的坐标值，x值精度为千分之一毫米，y值精度为微米级。我们可以将abc.txt这个数据文件拷贝到数控设备的电脑中，数控设备就能够按照坐标值加工透镜了。如下是实施例的vb程序的源代码，vb程序中pf线段是指：透镜折射曲面线上任意一点p点到焦点f点的线段。