用于分析颤振试验数据的系统和方法与流程

本公开的实施方式总体上涉及作为用观察到的输入-输出数据对动态系统进行数学建模的科学技术的系统识别，更特别地，涉及飞行器结构振动模式的颤振飞行试验以及确定各特定飞行条件下的各结构构造的模态特性，可使用该模态特性例如估计飞行器的气动弹性稳定裕度。

背景技术：

诸如摩天大楼、桥梁和飞行器机身的许多类型的工程结构遭受振动应力，振动应力可以是因由于例如风或由于飞行中的飞行器的空速导致的空气动力而造成的。这些结构上的空气动力可造成被称为颤振的、结构的不稳定振荡气动弹性变形或振动。颤振可涉及不同类型的运动或应力(诸如弯曲或扭曲)，这些类型的运动或应力的组合可被称为模式(例如，变形的模式)或振动模式。

在飞行中的飞行器机翼的情况下，例如，在飞行器的正常操作包线内，气动弹性变形可相对温和且稳定。然而，在颤振的情况下，气动弹性变形可被驱动成不稳定模式，在该不稳定模式下，扭转(例如，扭曲)运动例如从气流中提取能量，该能量将特定振动模式(例如，扭转运动本身或扭转运动与诸如弯曲的某种其他运动的组合)驱动成越来越高的幅值，从而造成可导致机翼受损的幅值增大的振动。

为了降低这些情形的可能性，常常进行详尽的飞行和风洞试验来观察并且记录在飞行器的整个飞行包线内飞行器的各种气动弹性结构的颤振特性并且预测飞行器的安全操作速度和高度包线。在这种试验中，可将多个各种类型的传感器或换能器附于飞行器的各种结构(诸如机翼、机身和尾翼)。例如，传感器可包括加速计、应变仪、温度传感器和速度指示器。在进行飞行试验期间，可为传感器提供各种激励(诸如将控制表面(例如，副翼、升降舵、方向舵或襟翼)偏转例如某个特定量)。提供的激励(输入)和传感器的响应(输出)之间的对应性被包括在飞行试验数据中。通常，需要用计算机来分析有用的飞行试验数据。然而，经常在进行飞行期间，为了例如避免飞行器和机务组遭受危险，在可提供任何其他或新激励之前就需要分析结果。最坏的情况场景是，在可完成分析结果计算之前，试飞停飞，在完成计算时可重新开始试飞。就飞行器停飞以及诸如飞机跑道和指挥塔台的设施、地面和机组人员的低效使用而言，这些中断的成本会是昂贵的。因此，在针对气动弹性变形和振动响应测试结构(例如，颤振试验)时需要在计算上有效和快速的分析和使用颤振试验数据的方法，这也有益于其他受风结构或遭受诱发振动的结构(诸如建筑物和桥梁)的设计制造和测试。

技术实现要素：

在一个或更多个实施方式中，根据动态系统的自由响应时间衰减数据历史的系统识别采用允许将振型处理为线性系数的新形式的动态系统自由响应衰减方程。系统识别还产生灵敏度的矩阵的块对角形式，该形式允许独立地计算各传感器的振型并且大幅加速系统识别处理。在另一个实施方式中，当已经通过一小组传感器的拟合确定了频率和阻尼和激励能级时，可使用闭合形式形状拟合来提供一大组传感器的振型。在另一个实施方式中，非线性优化将闭合形式形状拟合并入确定灵敏度的雅可比矩阵和评估残差中，从而可减少完成非线性优化的时间，非线性优化可被称为某个目标函数的经受一个或更多个限制或条件的逼近最大值或最小值的处理，目标函数可以是一个或更多个变量的函数(诸如，Levenberg–Marquardt或阻尼最小二乘方法)。通常，在本文中使用术语“优化”及其各种形式(例如，“优化形式”、“优化的”等)来指示所阐述的参数、处理、数据、项和/或关联关系被改进、调节、设置和/或增强(相对于其之前形式)，而非指示完美的或绝对最佳可能的，如本领域的技术人员将理解的。

在一个实施方式中，一种使用闭合形式形状拟合的系统识别的计算机实现的方法，所述计算机实现的方法包括：接收从多个传感器获得的一组数据；从所述多个传感器中选择特定传感器；从所述一组数据收集针对激励群组的针对所述特定传感器的数据；用公式表示针对所述激励群组的针对所述特定传感器的线性最小二乘问题；求解针对所述激励群组的针对所述特定传感器的所述线性最小二乘问题；以及从所述一组数据提取针对所述激励群组的针对所述特定传感器的一个或更多个振型项以得到振型信息。

在另一个实施方式中，一种系统包括：多个传感器，其被配置为从经受一个或更多个激励事件的结构提供颤振试验数据，所述颤振试验数据包括与所述传感器进行的物理测量对应的机器可读时间历史数据；以及计算机处理器，其被配置为接收所述机器可读时间历史数据并且执行处理，所述处理包括：对所述时间历史数据执行一系列阻尼正弦曲线的一个或更多个拟合；计算对所述时间历史数据的所述一系列阻尼正弦曲线的所述一个或更多个拟合中的第一拟合的拟合误差的快速傅里叶变换(FFT)；估计将包括在所述一系列阻尼正弦曲线中的下一个阻尼正弦曲线；针对所述一系列阻尼正弦曲线执行闭合形式形状拟合的一次或更多次迭代以优化振型项(参照逼近振型项的最佳值的处理)并且执行第一非线性拟合以优化频率和阻尼和激励能级项；使用优化的频率和阻尼以及激励能级和振型项，对所述时间历史数据执行所述一系列阻尼正弦曲线的第二非线性拟合；以及输出所述非线性拟合的结果。

在其他实施方式中，一种非暂态计算机可读介质包括指令，响应于计算机系统的执行，所述指令造成所述计算机系统：接收来自附于结构的传感器进行的测量的与结构的激励对应的时间历史数据；用公式表示针对所述激励的所述传感器的所述时间历史数据的线性最小二乘问题；求解针对所述激励的针对来自所述传感器的所述时间历史数据的线性最小二乘问题；以及从所述时间历史数据中提取一个或更多个振型项，以得到关于所述结构的振型信息。

附图说明

图1是按照本公开的实施方式的示出用于系统识别的系统的总体系统示图。

图2是示出根据一个实施方式的用于处理各传感器的闭合形式形状拟合的不同传感器之间的相对独立性的矩阵稀疏性图。

图3是示出根据实施方式的用于处理闭合形式形状拟合的方法的流程图。

图4是示出根据实施方式的将闭合形式形状拟合并入非线性拟合的方法的流程图。

图5是示出根据实施方式的一旦已经使用一小组传感器确定了关键参数就得到非常大的一组传感器的振型的方法的流程图。

图6是示出按照一个或更多个实施方式的已经被应用闭合形式形状拟合来加速非线性优化处理的非线性优化的方法的流程图。

图7是示出按照一个实施方式的可在诸如图6中示出的非线性优化的方法中应用的用于确定雅可比式(Jacobian)的方法的流程图。

图8是示出按照一个实施方式的可在诸如图6和图7中示出的非线性优化的方法中应用的用于评估残差的方法的流程图。

图9是根据实施方式的适于实现进行系统识别的系统的处理的计算机系统的示例的框图。

可通过参照随后的具体实施方式来最佳地理解本公开的实施方式及其优点。应该理解，使用类似的参考标号来标识图中的一个或更多个中示出的类似元件，在这些图中，其中的图示是出于例示实施方式的目的，而非限制实施方式的目的。

具体实施方式

本公开总体上描述了系统识别方法和系统的一个或更多个实施方式，这些方法和系统尤其可应用于分析飞行器结构的颤振试验数据的问题，但是也会发现更常见地可应用于出现风或空气流颤振响应的诸如桥梁或高楼大厦的任何结构。

一个或更多个实施方式应用于从动态系统的自由响应时间衰减数据历史进行的系统识别。一种这样的应用是对飞行器进行的典型颤振飞行试验。颤振是因结构振动模式的相互作用和这些振动造成的空气动力而导致的不稳定。为了进行颤振试验，期望识别各种飞行条件下处于各种结构构造的飞行器的模态频率、阻尼和振型。通常，针对各种结构构造和飞行条件中的每个，进行多重试验，以激发飞行器振动模式并且记录自由响应衰减。然后，可处理衰减数据，以确定特定飞行条件下对于各结构构造的模态特性。通过对模态频率和阻尼进行趋势拟合或跟踪，可使确定各结构构造和特定飞行条件的模态特性(例如，振型信息)的结果更有用。

振型信息对于执行模态频率和阻尼的跟踪(拟合趋势)可以是非常有用的。可使用频率和阻尼趋势来估计飞行器的气动弹性稳定裕度(例如，推想预期可能发生颤振的速度)。

现有技术的方法采用非线性优化技术以根据驻留和衰减的颤振试验数据来确定频率、阻尼和振型。可例如从激发结构模式(例如，特定形式或振型的振动运动)并随后停止激发以允许结构响应消失的试验获取驻留和衰减的颤振试验数据。振动的衰减产生了一组颤振时间历史数据，这些数据可被建模为一系列阻尼正弦波。只有传感器的响应数据被包括在非线性优化中，才确定该传感器的振型信息。通过数据到模型(例如，一系列阻尼正弦波)的拟合中包括的传感器的数量来驱动非线性优化中的未知数的数量。为了得到良好的振型，现有技术的方法需要在非线性优化中包括大量的传感器。大量的传感器需要大量的时间进行计算，通常在专用计算机上进行几小时计算，如上所述，这样会扰乱飞行试验和飞行试验所需的资源调度。2012年3月6日发布的、名称为“METHOD AND APPARATUS FOR EVALUATING DATA REPRESENTING A PLURALITY OF EXCITATIONS OF A PLURALITY OF SENSORS”的美国专利No.8,131,491B2和2005年9月20日发布的、名称为“METHODS AND APPARATUS FOR ANALYZING FLUTTER TEST DATA USING DAMPED SINE CURVE FITTING”的美国专利No.6,947,858B2中给出用于系统识别的系统和方法的示例，这两个美国专利的全部内容以引用方式并入本文中。

根据一个或更多个实施方式，公开了一种将非常大的非线性优化问题分成两个部分的方法。第一个部分集中于模态频率、阻尼和激发能级数据。第二个部分集中于振型数据。

根据一个或更多个实施方式，可将针对振型数据的(第二部分)求解进一步分成针对各传感器的单独的问题。如以下进一步描述的，对于振型数据的这些类型的求解，求解许多小问题比求解一个大问题快得多(即，一次针对许多传感器求解问题(而非求解针对各传感器的单独的问题)更困难和/或更耗时)。

根据一个或更多个实施方式，针对各传感器处的振型数据的求解也可用公式表示为线性最小二乘法问题(非迭代闭合形式)而不是非线性优化。针对给定一组频率、阻尼和激发能级数据使用闭合形式线性最小二乘问题公式表示，可比非线性优化方法更快速地确定最佳振型数据。

根据一个或更多个实施方式，提供了这些技术的两个应用示例。第一个是一旦已经从一小组传感器确定了模态频率、阻尼和激发能级数据就确定一大组传感器的最佳振型的振型扩阶。通过(以下结合图5描述的)方法500来给出示例。第二个是将闭合形式振型拟合并入一大组(或任何组)的传感器的非线性优化中。通过(以下结合图4描述的)方法400来给出通常非线性优化的示例，通过(以下结合图6描述的)方法600来给出用于确定雅可比矩阵(通常可应用于非线性优化，还有其他)的另一个示例。

图1示出按照一个实施方式的用于系统识别的系统100。在通过系统100例示的示例中，经受颤振试验的结构102可以是如所示的飞行器，或者可以是经受诱发的振动和振荡的另一种结构系统。结构102可装配一组传感器104，出于随后方程的目的，可用变量“j”将这些传感器104编索引，使得这组传感器104中的特定(但非专用)传感器可被称为传感器(j)或传感器j。例如，传感器104可包括各种类型的传感器(诸如加速计、应变仪、流速传感器和温度传感器)。各传感器可提供设计为回应的一种类型的数据(例如，加速度、应力、流速、温度)，并且可将数据与报告或测量数据的历史时间关联。

结构102的测试可包括为结构1020(例如，飞行器102)提供激励群组(未示出)。例如，在飞行器的情况下，可通过移动飞行器的一个或更多个控制表面、调节动力输出水平(例如，油门)、或组合激励来提供激励事件。可以以从结构102引出脉冲响应的这种方式来提供激励事件。可提供一组传感器104的各个传感器可响应的激励事件，并且以传感器(j)响应和时间对的形式提供传感器数据(例如，测量的数据)，其中，用变量“p”将历史时间编索引，例如，p从值1开始，并且用“t_p”表示数据中保持跟踪的各历史时间点p。出于随后的方程的目的，可用变量“k”将各激励事件编索引，使得这批激励中的特定(但非专用)激励事件可被称为激励事件(k)。给定激励事件(k)，在时间点p，传感器(j)响应和时间对(例如，测量的数据或传感器数据)可表示为Y_j,k(t_p)。

用于系统识别的系统100可包括用于接收测量的定时传感器数据的计算机系统108。例如，计算机系统108可借助遥测105来接收传感器数据。在替代实施方式中，计算机系统108可借助数据的记录来接收传感器数据。例如，可通过飞行器102上的设备在飞行中记录数据。记录设备可提供飞行中记录的数据106，数据106被(如数据传递107所指示地)传递到计算机系统108。数据传递107可包括例如来自计算机可读介质(诸如磁、电、或光学介质)的数据的有线或无线通信或读取。

可使用已经接收到传感器数据Y_j,k(t_p)的计算机108以多种不同方式处理传感器数据。处理可应用于(但不限于)颤振试验数据。例如，可使用非线性优化将一系列阻尼正弦波的值拟合成试验数据(例如，测量的数据或传感器响应数据)Y_j,k(t_p)来进行动态系统的识别。如下地给出管理的最小二乘优化方程：

最小化:

其中：

N_k＝激励事件的数量；

N_j＝响应传感器的数量；

N_p＝时间点的数量；

k＝激励事件的索引；

j＝这组传感器的索引；

p＝时间点的索引；

t_p＝已取得数据的一系列时间点中的一个；

Rng_j,k＝给定激励事件(k)的来自传感器(j)的响应的归一化因子；

Y_j,k(t_p)＝在特定时间点(p)处给定激励事件(k)的针对响应传感器(j)的测量的数据；以及

在特定时间点(p)处给定激励事件(k)的针对响应传感器(j)的拟合方程。

这种优化针对以下给出的拟合方程—方程(1)，力求确定系数W_i、D_i、例如，各传感器(j)的模式(i)频率和阻尼以及振型信息。拟合方程将各设置成由常数项(C_j,k)加上一系列阻尼正弦波组成。第一时间点t₁可被当作零。正弦波幅值A和相位Φ项可被分成激励能级(上标E)和输出模式(上标O)形状。如下给出拟合方程：

其中：

C_j,k＝常数项，非正弦，针对给定激励事件(k)的来自传感器(j)的响应；

N＝模式的数量；

i＝模式的索引(例如，模式(1)…模式(i)…模式(N))；

t_p＝已取得数据的一系列时间点中的一个；

t₁＝已取得数据的一系列时间点中的第一时间点；

D_i,W_i＝模式中的一个(模式(i))的阻尼和频率项；阻尼比计算为

模式(i)中的一个和一个激励事件(k)的激励能级幅值和相位，针对第一激励k＝1，固定激励能级，使得针对各模式(i)，且以及

＝在一个响应传感器(j)处针对模式(i)中的一个的振型幅值和相位(输出)。

图2是可用于使用通过拟合方程(1)描述的非线性优化来求解方程组的矩阵200的矩阵稀疏性图。这种求解可提供方程(1)的项的值(即，D_i、W_i、(需要非线性优化的项)和C_j,k、(可通过闭合形式形状拟合来确定的项))到计算的数值精度内的最优或最佳拟合。最终的结果是针对所有这些项的优化。非线性优化程序需要针对各项的拟合灵敏度(偏导数)。因此，可用数学用语将矩阵200描述为经常被称为雅可比阵列的偏微分的矩阵。矩阵200的矩阵稀疏性图用“×”示出非零(“非零”是指可取实数系的任何值(包括零)的条目，与只可以是零的零条目区分开)条目并且为用于求解方程(1)的矩阵200的零条目留下空白处，方程(1)实际上是在p(针对时间点)的情况下用j(针对传感器)、k(针对激励事件)、和i(针对模式)索引的方程组。在2个激励(k＝1、2)、3个传感器(j＝1、2或3)和2个模式(i＝1、2)的情况下针对拟合方程给出矩阵200的示例。

如图2中所示，各种块(例如，块202、203)包括全都为零的条目。带有非零条目(用×标记，例如，块201)的块可比零块相对少，这可被描述为矩阵200是“稀疏性”的。带有非零条目(大体沿着矩阵200的对角线定位并且造成矩阵200被称为块对角形式)的块指示雅可比矩阵200中的哪些项是非零，进而可指示哪些拟合方程项(D_i、W_i、如图2中的矩阵200的顶部指示的)受哪些测得的数据值(Y_j,k(t_p)，如图2中的矩阵200的左侧指示的)影响。可注意到，因为且(对于i＝1、2)，所以这些项被定义为不需要被求解的常数，因此没有沿着矩阵200的顶部列出。

所以对于图2示出的特定示例，图2的块201表示传感器1项受传感器1数据的影响。块202表示传感器2和传感器3项独立于传感器1数据(不受传感器1数据影响)。并且，块203表示传感器1项独立于传感器2数据和传感器3数据(不受传感器2数据和传感器3数据影响)。因此，矩阵200的块对角形式可导致求解线性最小二乘拟合的方程简化。

已经在图2中布置了拟合方程项，使得频率和阻尼(W_i，D_i)以及激励幅值和相位项被聚集在一起。然后，针对各传感器将常数以及振型幅值和相位(C_j,k,)项被聚集在一起，如沿着图2中的矩阵200的顶部所指示的。该布置造成针对传感器(j)项的矩阵200呈块对角形式。使用这种块对角形式的矩阵200，可容易看到，一旦已经确定了频率和阻尼以及激励幅值和相位项，那么就可针对各传感器(j)只使用该传感器的测量数据将优化问题分成单独的问题，测量数据可包括针对该传感器的针对各激励的数据(例如，针对传感器(1)，Y_1,1；Y_1,2)。

因此，图2示出根据一个实施方式的用于处理各传感器(j)(例如，一组传感器104的各传感器(j))的闭合形式形状拟合(如图3所示)的不同传感器(j)之间的相对独立性。因此，使用图2所示的块对角形式，变得可以将求解拟合方程的整体问题分成较小的子问题，每个传感器(j)对应一个子问题。可用短时间量处理各子问题(拟合方程(1)的求解的该部分)，使得用于求解所有子问题的总时间量明显少于将拟合方程(1)整体求解而没有分成针对各传感器的子问题时。

图3示出根据实施方式的用于处理闭合形式形状拟合的方法300。如图3中指示的，用于方法300的处理可开始，前进至将传感器索引j初始化的子处理301。为了简便示出图3的示例，可假定将索引j初始化成1并且通过方法300(例如，在子处理307中)进行递增，计数加1地从1增至N_j，使得当j达到N_j时，方法300可确定在子处理302中已经处理了所有传感器(j)的数据并且“结束”方法300的处理，如图3中指示的。可通过3示出处理这组传感器104的一个示例，但是，根据各种考虑(诸如希望处理这组传感器104的特定子集)，可通过任何所需方式将索引j初始化成任何所需值并且进行递增或逐步升高，并且索引j与实际传感器104的对应性可如方法300的用户所定义地变化。

方法300可继续进行子处理303，针对所有激励事件(k)收集传感器(j)的数据。对于图2的示例，在j＝1(例如，传感器1数据)的情况下，可收集传感器1(第一索引＝1)和激励事件1和2(第二索引＝1或2)的数据Y_1,1；Y_1,2，例如，置于计算机系统108的计算机存储器的特定可访问位置，供计算机系统108的计算机处理器处理。数据Y_1,1；Y_1,2例如可包括对于j＝1、k＝1或2并且对于已经被收集数据的所有时间点t_p的数据Y_j,k(t_p)—或者时间点的数据可根据期望被限制为所选择的时间点t_p的子集。例如，可只包括针对比取得数据的取样速率小的取样速率的数据，例如，只使用针对每第三个时间点的数据。例如，一般可以以每秒1,000个数据点的取样速率取得数据，但对于较低频率模式，只以每秒500个样本使用数据(使用例如仅仅每隔一个数据点)。经常被称为数据抽取的这种数据速率降低可加速处理，而没有任何明显或不期望的精度损失。选择将数据速率降低多少的关键是每个周期的数据点的数量。例如，对于每秒500个数据点的20Hz(赫兹)模式，将存在每周期25个数据点，通常认为对于一般期望的精度而言这是充分的。

方法300可继续进行子处理304，用公式表示用于求解针对所有激励事件(k)的针对传感器(j)的拟合方程(1)的线性最小二乘问题。对于图2的示例，求解针对所有激励事件(k)的针对传感器(j)的拟合方程(1)对应于求解与矩阵200的对角线上的非零块之一对应的一小组方程(小于方程(1)描述的整组)。对于图2的示例，在j＝1(例如，传感器1数据)的情况下，拟合方程组将对应于块201，传感器2的拟合方程组将对应于矩阵200的对角线上的第二个非零块，以此类推。因此，对于图2的示例，用公式表示求解针对传感器1、所有激励和所有模式的拟合方程(1)的线性最小二乘问题的子处理304意指在j＝1、k＝1或2和i＝1或2的情况下用公式表示方程(1)。在频率(W)、阻尼(D)、激励幅值(A^E)和激励相位(Φ^E)项是确定的(例如，是已知项)并且选择了传感器(j＝1，对于示例)的情况下，可使用三角恒等式sin(A+B)＝sin(A)cos(B)+cos(A)sin(B)按以下形式编写方程(1)：

可通过在子处理304中针对振型幅值(A^O)和相位(Φ^O)(例如，未知项)并且针对激励幅值(A^E)和相位(Φ^E)(例如，已知项)执行以下变量替换(3)，针对振型项(未知数)定义新变量A^S和A^C，并且针对激励项(已知数)定义新变量X^S和X^C以更简单的形式编写方程(2)：

$A_{i,j}^S=A_{i,j}^{O}cos\left({\mathrm{\Φ}}_{i,j}^O\right);$

$A_{i,j}^C=A_{i,j}^{O}sin\left({\mathrm{\Φ}}_{i,j}^O\right);$

$X_{i,k}^S\left(t_p\right)=e^{-D_i(t_p-t_1)}{A}_{i,k}^E\sin \left(W_i\right(t_p-t_1)+{\mathrm{\Φ}}_{i,k}^E);$

$X_{i,k}^C\left(t_p\right)=e^{-D_i(t_p-t_1)}{A}_{i,k}^{E}cos\left(W_i\right(t_p-t_1)+{\mathrm{\Φ}}_{i,k}^E)---\left(3\right).$

使用替换(3)，等式(2)变成：

等式(4)是可执行最小二乘闭合形式优化以找到未知数(A^S和A^C振型项)的最佳值的简单线性方程。因此，通过提供方程(4)，子处理304用公式表示以闭合形式针对所有激励事件(k)针对特定传感器j求解拟合方程(1)的线性最小二乘问题。

因为针对常数和振型项(C、A^S和A^C项)使用严格代数技术来直接求解方程(4)，所以方程(4)被称为是闭合形式。在进行闭合形式形状拟合的情况下，可针对方程(4)提供确定性或简单的代数解，方程(4)例如不依赖于逼近(诸如Gauss-Newton方法)或使用微积分的其他技术。

方法300可继续进行子处理305，提供对在子处理304中用公式表示的闭合形式形状拟合问题的求解。注意已经选择了特定传感器j使得j是固定的，可用公式将方程(4)表示为N_k+2N个变量(在N_k个常数(C_j,k)的情况下，用i索引的)的N_k·N_p线性方程(针对用p索引的所有时间点，用k索引)的系统。方程可被写为矩阵形式，例如，写为XA＝Y，其中，X是已知数的N_k·N_p乘以(N_k+2N)增广矩阵；A是未知数的(N_k+2N)乘以1列矢量；以及Y是Y_j,k(t_p)数据值的(N_k·N_p)乘以1列矢量。可通过上述的Rng_j,k归一化因子将矩阵X和列矢量Y归一化。然后，例如，可使用一种技术针对A求解方程XA＝Y，A＝[X^TX]^-1[X^TY]。还可使用诸如高斯消去(Gaussian elmination)的其他技术。因此，子处理305可针对所有激励事件(k)针对传感器(j)提供拟合方程(4)的线性最小二乘解。

在通过图2示出的示例中(其中，在p＝1…N_p的情况下针对N_k＝2个激励(k＝1、2)，N_j＝3个传感器(j＝1、2、或3)和N＝2个模式(i＝1、2)的拟合方程给出矩阵200的示例)，针对各传感器j进行求解表现出有N_k+2N＝2+2·2＝6个变量的N_k·N_p＝2N_p线性方程的问题，或者2N_p×6。在有3个传感器并且使用闭合形式形状拟合来针对各传感器分别求解的情况下，存在3个2N_p×6问题。在有3个传感器并且针对所有传感器同时求解的情况下，存在1个6N_p×18问题。通常，一个大问题(例如，在这个示例中，6N_p×18)需要远比多个较小问题(例如，在这个示例中，3个2N_p×6问题)多得多的计算机时间。因此，使用方法300可提供求解拟合方程(1)以进行优化和系统识别的计算效率方面的明显益处。

方法300可继续进行子处理306，从通过子处理305给出的方程(4)的解提取方程(2)的常数和振型项(与针对方程(1)的相同)。因此，子处理306可提供对用方程(2)中使用的原始变量表达的闭合形式形状拟合问题的求解。子处理306可如下地“颠倒”或反转新变量A^S和A^C的变量替换(3)，以“恢复”振型幅值(A^O)和相位(Φ^O)：

$A_{i,j}^O=\sqrt{A_{i,j}^S{A}_{i,j}^S+A_{i,j}^C{A}_{i,j}^C};{\mathrm{\Φ}}_{i,j}^O=\arctan (A_{i,j}^C/A_{i,j}^S)---\left(5\right).$

可注意到，诸如的许多商购数学软件包提供了可按应用于方程(5)的atan2函数，以得到所需的四象限相位信息。

因此，子处理306可针对所有激励事件(k)针对传感器(j)提供拟合方程(1)的线性最小二乘解，对于传感器(j)称为闭合形式形状拟合。

方法300可继续进行子处理307，将传感器索引j递增。如以上针对子处理302描述的，可按任何次序处理传感器的任何子集，并且根据索引j，通过传感器逐一地从1逐步增至N_j，传感器的编号可以仅仅是一个示例。可根据对子处理器302和307进行的修改，选择任何特定组(例如，任一个、任两个等、或全部)的传感器并且按任何所需次序逐个传感器地进行处理。

图4示出根据一个实施方式的使用一系列一个或更多个阻尼正弦波将方法300的闭合形式形状拟合并入颤振试验数据(例如，系统100从传感器104提供到计算机系统108的飞行试验数据)的非线性拟合的方法400。方法400可在步骤401中读入用于颤振时间历史数据组的一组数据点Y_j,k(t_p)，例如通过将这组数据点存储在计算机系统108的存储装置或计算机可读存储器中。然后，方法400可继续进行步骤402，对具有零正弦的数据组Y_j,k(t_p)进行非线性零正弦拟合，从而只包括方程(1)中的常数项，以确定拟合值

在决策块403中，可确定是否完成了曲线拟合处理，例如，在拟合中是否已经包括了足够的正弦项来满足某种预定标准。当拟合中的阻尼正弦波中的一个不稳定时，拟合处理可完成。通常，拟合中的所有正弦波都应该是稳定的。各正弦波的幅值应该是总计中的绝大部分。通常，各正弦波的幅值应该大于拟合误差。如果方法400未完成，则可例如通过评估在“方程”(0)中给出的表达式来确定拟合误差。

在步骤404中，可将快速傅里叶变换(FFT)函数应用于拟合误差。在步骤405中，可用FFT函数估计下一个阻尼正弦模式。更具体地，可从FFT中的最大峰取得下一个阻尼正弦波的频率和相位。在一个实施方式中，可使用半功率法来估计阻尼，并且幅值可初始地设置成零。利用零作为幅值初始值可有助于确保拟合将不因添加了下一个正弦波而劣化。在步骤406中，曲线拟合中的阻尼正弦模式的数量可递增。

在步骤407中，方法300可应用于方程(1)中的“已知数”(频率(W)和阻尼(D)以及激励幅值(A^E)和相位(Φ^E))的当前值(使用拟合中的正弦的当前数量)，以提供“未知数”(常数(C)以及振型幅值(A^O)和相位(Φ^O)项)的解。

在步骤408中，可使用步骤407的结果来执行非线性优化，以确定频率(W)和阻尼(D)以及激励幅值(A^E)和激励相位(Φ^E)项的新值。

在步骤409中，方法300可应用于方程1中的“已知数”(新的频率(W)和阻尼(D)以及新的激励幅值(A^E)和相位(Φ^E))的当前值(使用拟合中的正弦的当前数量)，以提供“未知数”(常数(C)以及振型幅值(A^O)和相位(Φ^O)项)的解。在决策块410中，如果已经执行了足够的步骤(例如，步骤408和409的迭代，可以是例如预定的或基于收敛(例如，改正后的解收敛)的所选择数量的步骤)来提供方程式(1)中的常数(C)以及振型幅值(A^O)和相位(Φ^O)项的足够改进的值，则方法400可继续进行步骤411。否则，可执行步骤408、409的进一步迭代和决策块410。

在步骤411中，可将非线性“N”阻尼正弦拟合(其中，“N”是拟合中的正弦的当前数量)应用于颤振试验数据组Y_j,k(t_p)。在该非线性“N”阻尼正弦拟合过程期间，可用试验数据来确定对于所有可测量结构模式的频率和阻尼以及振型特性。在步骤412中，方法400可例如通过打印结果，在监视器上显示结果，或者通过将结果写到数据文件来输出结果。方法400随后可继续决策块403，在决策块403中，可确定是否完成曲线拟合处理。

方法400可在没有步骤407、408、409和410的情况下，得到与之前使用非线性“N”阻尼正弦拟合而实现的频率、阻尼和振型相同的结果，但时间(例如，计算操作或计算机时间)少得多。例如，在颤振试验数据来自70个传感器的一种情况下，对于2正弦拟合，加速是36:1，而对于4正弦拟合，加速是60:1。闭合形式形状拟合(方法300)可用于只优化频率、阻尼和激励能级的特定形式的非线性优化(例如，步骤408、优化频率/阻尼)。可针对所选择数量的步骤(预定的或基于收敛的)进行这两个优化。

图5示出根据一个实施方式的一旦已经使用一小组传感器(数据组A)确定了关键参数就得到非常大的一组传感器(数据组B)的振型的方法500。方法500可提供以下手段：使用方法300，一旦已经使用一小组(A)传感器确定了模态频率和阻尼(和激励幅值和相位)数据就计算非常大的一组(B)传感器的振型。相比于非常大的一组传感器的“标准”拟合，得到这些振型所花费的时间少得多。对于一个样本的情况，相比于执行一组70个传感器的“标准”拟合，从7个传感器到70个传感器的2正弦拟合扩阶的加速是360:1，即便频率和阻尼仍然只得自一小组传感器(不同于使用更大组的传感器的标准拟合)。方法500的一个目的可以是给定得自一小组传感器的标准拟合的频率、阻尼和激励能级数据，获得最佳可能的振型。

方法500可在步骤501中读入用于颤振时间历史数据组的一组数据点Y_j,k(t_p)，例如通过将这组数据点存储在计算机系统108的存储装置或计算机可读存储器中。颤振时间历史数据组可包括较小一组的数据A(例如，来自受限制的一组传感器104)和较大一组的数据B(例如，来自这组全部的传感器104)。

然后，方法500可继续进行步骤502，对具有零正弦的A数据组Y_j,k(t_p)值进行非线性零正弦拟合，从而只包括方程(1)中的常数项，以确定A数据组的拟合值

在决策块503中，可确定是否完成了曲线拟合处理，例如，在拟合中是否已经包括了足够的正弦项来满足某种预定标准。当拟合中的阻尼正弦波中的一个不稳定时，拟合处理可完成。通常，拟合中的所有正弦波都应该是稳定的。各正弦波的幅值应该是总计中的绝大部分。通常，各正弦波的幅值应该大于拟合误差。如果方法500未完成，则可例如通过评估在“方程”(0)中给出的表达式来确定拟合误差。

在步骤504中，可将快速傅里叶变换(FFT)函数应用于拟合误差。在步骤505中，可用FFT函数估计下一个阻尼正弦模式。更具体地，可从FFT中的最大峰取得下一个阻尼正弦波的频率和相位。在一个实施方式中，可使用半功率法来估计阻尼，并且幅值可初始地设置成零。利用零作为幅值初始值可有助于确保拟合将不因添加了下一个正弦波而劣化。在步骤506中，曲线拟合中的阻尼正弦模式的数量可递增。

在步骤511中，可将非线性“N”(其中，“N”是拟合中的正弦的当前数量)阻尼正弦拟合应用于数据组A的颤振试验数据。在该非线性“N”阻尼正弦拟合过程期间，可用试验数据来确定对于所有可测量结构模式的频率和阻尼以及振型特性。步骤511可应用例如方法400的技术，诸如执行步骤407闭合形式形状拟合、步骤408优化频率阻尼、步骤409执行闭合形式形状拟合、步骤410迭代步骤408、409直到已经基于所选择数量的步骤(例如，预定的或基于收敛的)执行了足够的步骤。

在步骤512中，方法500可例如通过打印结果，在监视器上显示结果，或者通过将结果写到数据文件来输出对于到数据组A的拟合的结果。方法500随后可继续决策块513，在决策块513中，可确定是否期望进行数据组B的形状拟合(是，则前进至步骤514；否，前进至决策块503)。

在步骤514中，方法500可将来自步骤512的非线性“N”阻尼正弦拟合结果保存于例如计算机系统108的数据存储装置或计算机系统108可访问的计算机可读介质。在步骤515中，方法500可使用步骤514中保存的结果(诸如数据组A的频率和阻尼(W_i,D_i)项以及激励幅值和相位项)来针对数据组B使用方法300执行“闭合形式形状拟合”，以确定常数以及振型幅值和相位(C_j,k,)项。在步骤516中，方法500可例如通过打印结果，在监视器上显示结果，或者通过将结果写到数据文件来输出数据组B的闭合形式形状拟合的结果。然后，方法500可进行步骤517，加载(例如，步骤514中保存的)数据组A的“N”正弦拟合结果和数据用于步骤504-517的可能的进一步迭代，并且继续进行决策块503，在决策块503中，可确定是否完成了B数据组的曲线拟合处理。

图6示出按照一个或更多个实施方式的已经被应用闭合形式形状拟合来加速非线性优化处理的非线性优化的方法600。

方法600提供了使用闭合形式形状拟合(例如，方法300)将这个线性最小二乘解嵌入非线性优化处理中的示例，对于大多数问题大小，这可大幅减少非线性优化中的参数的数量。例如，表1示出随着问题大小增长，可使非线性优化中的参数的数量缓慢增长，而闭合形式形状拟合中的参数的数量承担参数数量增长的大部分。通过方法600例示的处理可优化模态频率和阻尼，并且振型可被当作优化处理内的优化参数的函数。因此，因为非线性优化中的参数的数量减少，方法600可减少进行这些优化的计算时间。

以下，示出拟合方程中的参数的数量。还示出需要非线性优化的那些参数的数量和可使用闭合形式形状拟合(例如，方法300)确定的那些参数的数量。需要非线性优化的参数是针对各模式的频率和阻尼，以及针对各激励的激励幅值和相位(除了第一个之外；记住对于各模式(i)，且)。可使用闭合形式形状拟合确定的参数是各激励下针对各传感器的偏移值，以及针对各传感器的对于各模式的输出振型幅值和相位。表1提供了样本问题大小的示例，其中：

N＝模式的数量；

N_K＝激励事件的数量；

N_J＝针对各激励事件的响应传感器的数量；

Nparm＝拟合方程中的所有参数的数量；

＝2N+2N(N_K-1)+N_K·N_J+2N·N_J；

Nparm1＝需要非线性优化的参数的数量；

＝2N+2N(N_K-1)；

Nparm2＝通过闭合形式形状拟合确定的参数的数量；

＝N_K·N_J+2N·N_J。

表1

闭合形式形状拟合线性最小二乘优化(例如，方法300)可被并入几乎任何非线性优化处理中。方法600提供按照一个实施方式的闭合形式形状拟合(例如，方法300)可被并入的非线性优化处理的示例。更特别地，可发现闭合形式形状拟合应用于方法600的子处理602“评估残差”、子处理603“确定雅可比式”和子处理605“评估残差”。

在子处理601中，方法600可通过初始化步长来开始诸如Levenberg-Marquardt方法或其他优化搜索方法的非线性优化处理。这种步长通常是在Levenberg-Marquardt处理中是用例如符号δ来表示的，并且可根据正在执行的搜索或非线性优化的类型、问题参数和约束的值以及其他考虑来选择。在子处理602中，方法600可继续，使用图8中示出的方法800评估初始参数的残差，可并入闭合形式形状拟合(方法300)。残差可例如被评估为拟合的值与诸如“方程”(0)中示出的数据值的偏差。在子处理603中，可更新雅可比式或灵敏度矩阵。闭合形式形状拟合(例如，方法300)可并入子处理603中，如图7中所示，并且可提高该处理的计算效率。在子处理604中，可使用在子处理601、子处理607或子处理609中确定的当前步长来更新正通过方法600求解的非线性优化问题的参数。在子处理605中，方法600的非线性优化处理可继续，使用图8中示出的方法800评估更新后参数的残差，可并入闭合形式形状拟合(方法300)。在决策块606中，如果残差已经减小(拟合的值与数据值的偏差的平方和小于之前在子处理605或子处理602中计算出的平方和)，则方法600可继续进行决策块608；否则，方法600可继续，在子处理607中减小步长(例如，δ)并且前进至子处理604，如图6中所示。在决策块608中，可执行针对收敛的试验，并且如果解收敛，则可决定处理600已经得到非线性优化的解并且终止，如图6中所示；否则，方法600可继续，在子处理609中增大步长(例如，δ)并且前进至子处理603，如图6中所示。

方法600可得到与之前使用现有技术的非线性“N”阻尼正弦拟合方法实现的对于频率、阻尼和振型相同的的结果，但时间(例如，计算操作或计算机时间)更短。例如，在颤振试验数据来自70个传感器的一种情况下，对于4正弦拟合，加速是470:1，而在颤振试验数据来自136个传感器的另一种情况下，对于4正弦拟合，加速是1020:1(也参见表1)。

图7示出当要使用差分方式来估计偏导数时确定雅可比式的方法700。方法700可应用于例如按照一个或更多个实施方式的诸如图6中示出的非线性优化的方法。

按照一个实施方式，方法700可需要可被并入闭合形式形状拟合(例如，方法300)的一系列“评估残差”操作。更特别地，可发现闭合形式形状拟合应用于方法700中的子处理701和704“评估残差”并且可整体提高各子处理和方法700的处理的计算效率。

在子处理701中，方法700可开始确定雅可比矩阵来求解优化问题的处理。子处理701可评估一组当前参数值的残差(例如，拟合的值与诸如“方程”(0)中示出的数据值的偏差)。子处理701可并入图8中示出的方法800，方法800可并入闭合形式形状拟合(例如，方法300)。

在子处理702中，方法700可选择预先指定的某组参数中的第一参数并且前进至子处理703。在子处理703中，该参数并且唯有该参数(例如，如果源自子处理702，则是第一参数；如果源自子处理708，则是“下一个”参数)可通过对方法700开始时的其初始值进行改变(如图7中所示的“Del Param”)来修改。例如，如果改变是为了可应用雅可比式的优化问题的整体求解而期望得到的精度的数量级，则可认为该改变小。在子处理704中，可使用得自子处理703的修改后的参数来评估残差。如同子处理701，子处理704可并入图8中示出的方法800，方法800可并入闭合形式形状拟合(例如，方法300)。

在处理705中，可使用来自最近子处理704和来自子处理701的计算出的残差之间的差异(例如，如图7中所示的“Del Resid”)并且使用在子处理703中进行的对参数的改变的大小(例如，如图7中所示的“Del Param”)计算比率“Del Resid/Del Param”，来计算针对雅可比矩阵的偏微分中的一个，如图7中所示。

在子处理706中，偏微分可被例如存储在计算机系统108的计算机内存或存储装置中。在决策块707中，如果已经评估了所有参数的偏微分，则方法700可如图7中所指示地终止，或者可通过选择下一个参数并且继续进行子处理703来在子处理708处继续。

图8示出按照一个或更多个实施方式的用于评估残差的方法800。方法800可在子处理802中并入闭环形式形状拟合(例如，方法300)，并且可提高评估残差的处理的计算效率。方法800可应用于例如非线性优化的方法(诸如图6中示出的方法600)。方法800还可应用于例如确定灵敏度的雅可比矩阵以求解优化问题的方法(诸如通过图7中示出的方法700例示的)。

在子处理801中，方法800可通过将参数加载到拟合方程中，开始评估残差(例如，拟合的值与诸如“方程”(0)中示出的数据值的偏差)的处理。换句话讲，方程(1)的频率和阻尼参数以及激励幅值和相位参数的值可被存储在例如计算机系统108的内存或存储装置中以备访问，使得可容易地评估方程(1)。

在子处理802中，可执行闭合形式形状拟合线性最小二乘处理(诸如方法300)，以确定拟合方程(方程(1))偏差(例如，常数C_j,k的值)以及振型幅值和相位(例如，的值)值。使用方法300的闭合形式技术，可用比使用现有技术的非线性优化来求解方程(1)更少的时间(如例如表1中示出的)来计算这些值的解。

在子处理803中，可使用所有拟合方程(方程(1))项(例如，常数、频率/阻尼、激励、和振型项)来计算残差(例如，拟合的值与方程(1)的数据值的偏差)。

图9是根据一个或更多个实施方式的适于实现数据分析或其他软件处理(诸如系统识别或非线性优化处理)的计算机系统900的示例的框图。计算机系统900可包括总线902或用于在计算机系统900的各种组件之间进行信息数据、信号和信息的通信的其他通信机制。组件包括输入/输出(I/O)组件904，I/O组件904处理用户动作(诸如从键区/键盘中选择键、选择一个或更多个按钮或链路等)，并且将对应信号发送到总线902。I/O组件904还可包括诸如显示器911和光标控件913(诸如键盘、键区、鼠标等)的输出组件。还可包括可选的音频输入/输出组件905以允许用户通过转换音频信号来使用用于输入信息的语音。音频I/O组件905可允许用户收听音频。收发器或网络接口906进行计算机系统900和诸如照相测量系统106或物理支持系统104的其他装置之间的信号的发送和接收。在一个实施方式中，发送是无线的，尽管还可适用其他传输介质和方法。可以是微控制器、数字信号处理器(DSP)或其他处理组件的处理器912处理这各种信号，诸如以在计算机系统900上显示或借助通信链路918发送到其他装置。处理器912还可控制将诸如cookie或IP地址的信息发送到其他装置。

计算机系统900的组件还包括系统存储器组件914(例如，RAM)、静态存储组件916(例如，ROM)和/或盘驱动917。计算机系统900通过执行系统存储器组件914中包含的一个或更多个指令序列，由处理器912和其他组件执行特定操作。逻辑可被编码在计算机可读介质中，计算机可读介质可被称为参与向处理器912提供指令以便执行的任何介质。这种介质可采取许多形式，包括但不限于非易失性介质、易失性介质和传输介质。在各种实现方式中，非易失性介质包括光盘或磁盘，易失性介质包括诸如系统存储器组件914的动态存储器，传输介质包括同轴电缆、铜线和光纤，包括含总线902的电线。在一个实施方式中，逻辑被编码在非暂态计算机可读介质中。在一个示例中，传输介质可采取声波或光波(诸如在无线电波、光学和红外数据通信期间的那些)的形式。

计算机可读介质的一些公共形式包括例如软盘、柔性盘、硬盘、磁带、任何磁性介质、CD-ROM、任何其他光学介质、穿孔卡、纸带、带有孔图案的任何其他物理介质、RAM、PROM、EEPROM、FLASH-EEPROM、任何其他存储器芯片或盒式存储器、或适于供计算机读取的任何其他介质。

在本公开的各种实施方式中，可通过计算机系统900执行用于实践本公开的指令序列执行。在本公开的各种其他实施方式中，通过通信链路918连接到网络(例如，诸如LAN、WLAN、PSTN、和/或各种其他有线或无线网络，包括电信、移动和蜂窝电话网络)的多个计算机系统900可执行相互配合的用于实践本公开的指令序列。

在适用时，可使用硬件、软件、或硬件和软件的组合来实现本公开提供的各种实施方式。另外，在适用时，在不脱离本公开的精神的情况下，本文中阐述的各种硬件组件和/或软件组件可被组合成复合组件，包括软件、硬件和/或这二者。在适用时，在不脱离本公开的范围的情况下，本文中阐述的各种硬件组件和/或软件组件可被分成子组件，包括软件、硬件和/或这二者。另外，在适用时，料想到软件组件可被实现为硬件组件，反之亦然。

诸如程序代码和/或数据的按照本公开的软件可被存储在一个或更多个计算机可读介质上。还料想到，可使用联网和/或其他的一个或更多个通用或专用计算机和/或计算机系统来实现本文中标识的软件。在适用时，本文中描述的各种步骤的排序可被改变，组合成复合步骤，和/或分成子步骤，以提供本文中描述的特征。

另外，本公开包括根据以下条件的实施方式：

条款1.一种用于使用闭合形式形状拟合的系统识别的计算机实现的方法，所述计算机实现的方法包括：

接收从多个传感器得到的一组数据；

从所述多个传感器中选择特定传感器；

从所述一组数据收集针对激励群组的针对所述特定传感器的数据；

用公式表示针对所述激励群组的针对所述特定传感器的线性最小二乘问题；

求解针对所述激励群组的针对所述特定传感器的所述线性最小二乘问题；以及

从所述一组数据提取针对所述激励群组的针对所述特定传感器的一个或更多个振型项以得到振型信息。

条款2.根据条款1所述的方法，其中，用公式表示针对所述激励群组的针对所述特定传感器的所述线性最小二乘问题包括选择与仅仅所述特定传感器和所述激励群组相关的拟合方程的一部分，使得所选择的所述拟合方程的所述一部分对应于块对角矩阵的非零块。

条款3.根据条款1或2所述的方法，其中，用公式表示所述线性最小二乘问题包括执行变量替换，所述变量替换将拟合方程设置成简单线性方程形式，可对所述简单线性方程执行最小二乘闭合形式优化，以找到所述振型项的最佳值。

条款4.根据条款1、2或3所述的方法，其中，求解所述线性最小二乘问题包括求解因拟合方程中的振型项和激励项的变量的替换而造成的一组方程。

条款5.根据条款1、2、3或4所述的方法，其中，提取一个或更多个振型项包括反转拟合方程中的振型项和激励项的变量替换，以得到所述拟合方程中的一个或更多个振型项和激励项。

条款6.根据条款1、2、3、4或5所述的方法，其中，依次选择所述多个传感器中的每个传感器并且重复所述方法，以从所述一组数据中得到针对所述多个传感器中的每个传感器和所述激励群组的振型信息。

条款7.根据条款1、2、3、4、5或6所述的方法，其中，接收所述一组数据包括接收按传感器、激励事件和时间点编索引的传感器响应和时间对形式的颤振时间历史数据。

条款8.根据条款1、2、3、4、5、6或7所述的方法，所述方法还包括执行非线性优化，其中，求解针对所述激励群组的针对所述特定传感器的所述线性最小二乘问题提供了一个或更多个频率和阻尼和振型项的优化，所述优化减少了求解所述非线性优化的计算步骤的量。

条款9.根据条款1、2、3、4、5、6、7或8所述的方法，所述方法还包括：

针对所述多个传感器中的第一组执行非线性优化；以及

求解针对所述多个传感器中的第二组的线性最小二乘问题，其中，所述第二组包括并且大于所述第一组。

条款10.根据条款1、2、3、4、5、6、7、8或9所述的方法，所述方法还包括：

将参数加载到拟合方程；

使用因求解所述线性最小二乘问题而得到的振型信息，以确定拟合方程偏差以及振型幅值和相位；以及

计算所述拟合方程的一个或更多个残差。

条款11.一种系统，所述系统包括：

多个传感器，其被配置为从经受一个或更多个激励事件的结构提供颤振试验数据，所述颤振试验数据包括与所述传感器进行的物理测量对应的机器可读时间历史数据；以及

计算机处理器，其被配置为接收所述机器可读时间历史数据并且执行处理，所述处理包括：

对所述时间历史数据执行一系列阻尼正弦曲线的一个或更多个拟合；

计算对所述时间历史数据的所述一系列阻尼正弦曲线的所述一个或更多个拟合中的第一拟合的拟合误差的快速傅里叶变换(FFT)；

估计将包括在所述一系列阻尼正弦曲线中的下一个阻尼正弦曲线；

针对所述一系列阻尼正弦曲线执行闭合形式形状拟合的一次或更多次迭代以优化一个或更多个振型项并且执行第一非线性拟合以优化一个或更多个频率和阻尼和激励能级项；

使用优化的频率和阻尼以及激励能级和振型项，对所述时间历史数据执行所述一系列阻尼正弦曲线的第二非线性拟合；以及

输出所述非线性拟合的结果。

条款12.根据条款11所述的系统，所述系统还包括飞行器，所述飞行器装配用于在飞行期间获取所述颤振试验数据的多个传感器。

条款13.根据条款11或12所述的系统，其中，执行闭合形式形状拟合还包括：

用公式表示针对所述多个传感器的特定传感器并且针对所述一个或更多个激励事件的群组的线性最小二乘问题；

求解针对所述一个或更多个激励事件的群组的针对所述特定传感器的线性最小二乘问题；以及

从所述一组数据中提取针对所述一个或更多个激励事件的群组的针对所述特定传感器的一个或更多个振型项以得到振型信息；以及

针对所述多个传感器中的每个，重复用公式表示、求解和提取。

条款14.根据条款11、12或13所述的系统，其中，执行闭合形式形状拟合还包括用公式表示针对一个或更多个激励事件的群组的针对特定传感器的线性最小二乘问题，包括选择与仅仅所述特定传感器和所述一个或更多个激励事件的群组相关的拟合方程的一部分，使得通过与整个拟合方程对应的块对角雅可比矩阵的非零块求解所选择的所述拟合方程的所述一部分。

条款15.根据条款11、12、13或14所述的系统，其中，执行闭合形式形状拟合还包括用公式表示线性最小二乘问题，包括执行变量替换，所述变量替换将拟合方程设置成简单线性方程形式，可对所述简单线性方程执行最小二乘闭合形式优化，以找到所述振型项的最佳值。

条款16.根据条款11、12、13、14或15所述的系统，其中，执行闭合形式形状拟合还包括求解因拟合方程中的振型项和激励项的变量替换而造成的方程中的线性最小二乘问题。

条款17.根据条款11、12、13、14、15或16所述的系统，其中，执行闭合形式形状拟合还包括提取由于求解因拟合方程中的振型项和激励项的变量替换而造成的方程中的线性最小二乘问题而导致的一个或更多个振型项，包括反转振型项和激励项的变量替换，以得到所述拟合方程的一个或更多个振型项和激励项。

条款18.根据条款11、12、13、14、15、16或17所述的系统，其中，所述计算机处理器被进一步配置为针对所述多个传感器中的第一组执行非线性优化；以及针对所述多个传感器中的第二组使用闭合形式形状拟合求解线性最小二乘问题，其中，所述第二组包括并且大于所述第一组。

条款19.根据条款11、12、13、14、15、16、17或18所述的系统，其中，所述计算机处理器被进一步配置为将来自一系列阻尼正弦曲线的一个或更多个参数加载到拟合方程中；使用利用闭合形式形状拟合求解线性最小二乘问题而得到的振型信息来确定拟合方程偏差以及振型幅值和相位；以及计算所述拟合方程的一个或更多个残差。

条款20.一种非暂态计算机可读介质，所述非暂态计算机可读介质包括指令，响应于计算机系统的执行，所述指令造成所述计算机系统：

接收来自附于结构的传感器进行的测量的与所述结构的激励对应的时间历史数据；

用公式表示针对所述激励的针对来自所述传感器的所述时间历史数据的线性最小二乘问题；

求解针对所述激励的针对来自所述传感器的所述时间历史数据的线性最小二乘问题；以及

从所述时间历史数据中提取一个或更多个振型项，以得到关于所述结构的振型信息。

以上的公开不旨在将本公开限于所公开的使用的精确形式或特定领域。如此，料想到，按照本公开可以有本公开的各种替代实施方式和/或修改形式，无论在本文中是明确描述的还是隐含的。通过由此描述本公开的实施方式，本领域的普通技术人员将认识到，在不脱离本公开的范围的情况下可进行形式和细节上的改变。因此，本公开仅受权利要求书限制。