基于松弛优化的配电网故障区间高容错性故障定位方法与流程

本发明涉及配电网故障定位的技术领域，尤其涉及一种基于松弛优化的配电网故障区间高容错性故障定位方法。

背景技术：

快速准确的馈线故障区段辨识技术已成为提升配电网安全性和可靠性的关键技术手段。随着配电网智能化水平提升，利用馈线智能化终端可便捷获取馈线运行状态信息，以其为基础的馈线故障辨识方法已成为学术界的研究焦点。其中，基于故障电流信息的馈线故障区段定位技术，因原理直接、实现便捷而成为该领域的研究热点。

快速高容错性的馈线故障区段定位技术是提高配电网智能化水平的重要环节。至今，学术界对基于故障电流信息的馈线故障区段辨识方法已开展大量研究，采用的建模理论与方法主要有：人工智能技术、矩阵算法和最优化方法等。其中，人工智能故障辨识方法可应用于配电网复杂故障且具有容错性，但其对新的故障类型适应能力弱；矩阵算法的故障辨识方法原理简单、建模直接、故障定位效率高，但其多重故障定位能力和容错性不强；最优化方法的故障辨识技术依据故障诊断最小集理论，利用报警信息与故障状态的最佳逼近，通过最优化决策，实现馈线故障区段位置辨识，其与矩阵算法和人工智能技术相比，在通用性和容错性方面有显著优势，一直以来是该领域研究的重要方向。

文献[wenfs，changcs.anewapproachtofaultdiagnosisinelectricaldistributionnetworksusingageneticalgorithm[j].artificialintelligenceinengineering，1998，12(1)：69-80.]最早提出了基于逻辑建模的故障区段定位群体智能优化方法，因其对于信息畸变和多重故障情景具有强适应性，吸引了众多学者对该类故障辨识方法的研究，并取得了丰硕成果；但其仍面临建模方案难于契合大规模配电网、故障辨识过程和结果具有随机性、故障定位效率低等固有缺陷。研究基于代数建模的故障区段定位最优化技术，已成为克服上述方法不足的关键。

文献[1]---申请号为201610324035.x的中国发明专利基于代数关系描述和互补理论的配电网故障定位方法，提出了配电网故障区段定位的光滑优化方法，表明基于代数建模的故障区段定位最优化技术具有可行性，但其决策方法数值稳定性不强。文献[2]---申请号为201610324013.3的中国发明专利一种配电网在线故障容错性定位的线性整数规划方法，提出了配电网故障定位的非线性方程组模型和牛顿-拉夫逊求解的故障辨识方法，数值稳定性强、故障辨识效率高。文献[3]---申请号为201610345826.0的中国发明专利基于故障辅助因子的配电网高容错性在线故障定位方法和文献[4]---[何瑞江,胡志坚,李燕,等.含分布式电源配电网故障区段定位的线性整数规划方法[j].电网技术,2018,42(11):3684-3692.]提出数值稳定好、对单故障具有高容错性的配电网故障辨识整数规划方法。但是，当馈线发生多重故障时将会出现漏判或误判现象。文献[5]---申请号为201610979581.7的基于预测校正技术的配电网容错性在线故障定位方法以文献[1]为基础，提出配电网故障定位的预测校正方法，不仅数值稳定性好，且对单一故障和多重故障具有强适应性，但其分层解耦建模过程复杂，对配电网拓扑的动态变化缺乏适应性，模型通用性不强。

技术实现要素：

针对现有故障定位最优化技术的逻辑方法数值稳定性差，代数方法缺乏多重故障强适应性的技术问题，本发明提出一种基于松弛优化的配电网故障区间高容错性故障定位方法，。

为了达到上述目的，本发明的技术方案是这样实现的：一种基于松弛优化的配电网故障区间高容错性故障定位方法，其步骤如下：

步骤一：根据配电网中自动化开关与因果设备的关系建立因果设备关联信息，根据因果设备关联信息采用加法运算建立开关函数的代数关系模型，依据数学误差测度理论建立开关函数与报警信息间的逼近关系模型；

步骤二、将步骤一中逼近关系模型中所有配电网故障二次逼近函数叠加得到配电网故障定位优化方法的目标函数，构建配电网故障定位的非线性整数规划模型；

步骤三、在非线性整数规划模型的目标函数中增加容错因子获得基于容错因子的配电网故障定位目标函数，量化容错因子的值，根据量化后的容错因子建立配电网故障定位的容错因子模型，基于数学集合表示方法将配电网故障定位的容错因子模型转化为连续域内配电网故障定位容错因子模型；

步骤四、在连续域内配电网故障定位容错因子模型中引入正的松弛因子得到可行域连续的二次凸优化问题，基于空间伸缩因子并采用非线性规划方法求解可行域连续的二次凸优化问题得到配电网故障定位容错因子模型的最优馈线状态值，从而辨识出馈线发生故障的区段。

所述步骤一中开关函数与报警信息间的逼近关系模型为：

s11：根据配电网的拓扑结构和功率流流动方向，推断出每个自动化开关的因果设备，并通过表示馈线b紧邻馈线a且功率流由a流向b，从而建立因果设备关联信息；

s12：建立馈线故障状态集x＝[x(1)x(2)x(3)…x(n)]，其中，x(1)～x(n)分别为馈线1～n的馈线状态信息；x(k)＝0表示馈线状态为运行故障；x(k)＝1表示馈线状态为运行正常；k＝1,2,3…,n，n为馈线的总数；

s13：依据因果设备关联信息，采用加法运算进行开关函数建模，得到开关函数代数描述的数学解析模型i1(x),…,ii(x),…,in(x)，其中，i＝1,2,3…,n，ii(x)为自动化开关设备i的开关函数，n为配电网自动化开关设备总数；

s14：依据数学误差测度理论，采用开关函数值和故障报警信息间差值的平方衡量其逼近程度：采用i^*＝[i1…ii…in]表示电流报警信息集，i1～in分别为自动化开关s1～sn耦合的监控设备上传的报警信息，且ii＝0表示控制主站没有接收到报警信息，ii＝1表示控制主站接收到报警信息；

s15：以馈线发生单一故障或多重故障为前提，开关函数与报警信息间二次逼近关系模型为：

其中，bi(x)表示自动化开关设备i的开关函数与报警信息的逼近关系。

所述步骤二中构建配电网故障定位的非线性整数规划模型的方法为：当辨识出馈线故障区段时，期望所有开关函数i1(x)～in(x)确定的假定故障过电流信息应和故障报警信息间的最小，采用总体偏差最小化进行衡量：依据统计学中整体偏差的度量方法，采用开关函数值和故障报警信息间残差平方和最小化衡量整体逼近程度，将所有配电网故障二次逼近函数叠加得到配电网故障定位优化方法的目标函数f(x)，加上馈线状态的0/1取值限制，构成了配电网故障定位的非线性整数规划模型为：

所述步骤二中非线性整数规划模型从本质上并没做到开关函数ii(x)与电流报警信息i^*间的最佳逼近，从而导致优化结果中目标函数最优值所对应的馈线状态集并非唯一，即存在一值多解问题，而真正故障的馈线状态对应的目标函数值并非最小值，非线性整数规划模型具有不完备性；若性质相同，直接通过权重系数加权和法将多目标问题转化为单目标问题进行优化求解，通过改变权重系数大小，改变最优目标函数值的大小，实现目标函数最优值和馈线状态集的单值对应关系。

所述开关函数与报警信息间二次逼近关系模型具有相同性质的多个并列优化目标，借鉴多目标优化问题的权重系数法，通过权重系数确定，实现真正故障的馈线状态对应目标函数值的移动，使其目标函数值为唯一最小值，则基于容错因子的配电网故障定位通用目标函数数学模型为：

其中，权重系数向量ω＝[ω1ω2,…,ωn]为容错因子，t为向量的转置，x(1)～x(n)分别为馈线1～n的馈线状态信息，b(x)为开关函数与报警信息的逼近关系，ii(x)为自动化开关设备i的开关函数，ii为自动化开关设备i的电流报警信息，i＝1,2,3…,n，n为配电网自动化开关设备总数，为融入容错因子后的目标函数。

所述步骤三中容错因子的量化方法为：

(1)对于下游无耦合节点的馈线所对应逼近关系函数的权重系数为1；

(2)对于下游含耦合节点的馈线所对应逼近关系函数的权重系数，依据关联的最大故障馈线条数和单一最优目标函数值对应的不等式关系确定，即权重系数为：其中，mi表示与第i个逼近关系函数关联的最大故障馈线条数。

所述配电网故障定位的容错因子模型为：

依据相同馈线故障状态互斥性可知，馈线状态信息的值不能同时为0或1，基于数学集合表示方法，馈线状态0/1取值约束等价于：

将馈线状态0/1取值约束融合于即配电网故障定位的容错因子模型构成完全等价的连续域内配电网故障定位容错因子模型为：

其中，x为馈线故障状态集，x(k)为馈线k的馈线状态信息，权重系数向量ω＝[ω1ω2,…,ωn]为容错因子，t为向量的转置，为融入容错因子后的目标函数，b(x)为开关函数与报警信息的逼近关系，ii(x)为自动化开关设备i的开关函数，ii为自动化开关设备i的电流报警信息，i＝1,2,3…,n，n为配电网自动化开关设备总数。

所述步骤四连续域内配电网故障定位容错因子模型的目标函数为凸二次函数，依据数学最优化理论，若给定一合理的初始点，仍然能稳定的找到其最优解；依据最优化松弛方法，通过在连续域内配电网故障定位容错因子模型引入正的松弛因子ξ≥1，将其松弛为可行域连续的二次凸优化问题，其数学模型为：

其中，x为馈线故障状态集，x(k)为馈线k的馈线状态信息，权重系数向量ω＝[ω1ω2,…,ωn]为容错因子，t为向量的转置，b(x)为开关函数与报警信息的逼近关系，ii(x)为自动化开关设备i的开关函数，ii为自动化开关设备i的电流报警信息，i＝1,2,3…,n，n为配电网自动化开关设备总数，为融入容错因子后的目标函数；因松弛因子ξ＞0，可行域连续的二次凸优化问题满足非线性约束规范，直接采用非线性规划方法决策求解。

当配电网发生故障时，所述步骤四中配电网故障定位容错因子模型的基于空间伸缩因子的松弛优化方法的求解步骤为：

(1)初始化松弛因子ξ≥1、空间伸缩因子η，随机产生馈线故障状态集0≤x≤1的初始解集x，设置算法允许误差ζ；

(2)直接利用非线性规划对可行域连续的二次凸优化问题进行决策求解，得到当前松弛因子ξ时的配电网故障定位容错因子模型的最优解x^*；

(3)若松弛因子ξ＞ζ，则ξ＝ηξ，x＝x^*转入步骤(2)，若松弛因子ξ≤ζ，算法收敛，从而辨识出馈线故障区段。

本发明的有益效果：基于故障诊断最小集理论和不等式定理，采用代数建模方法，首次提出融入容错因子的配电网故障定位非线性规划模型，其特点为：(1)具有报警信息畸变时馈线多重故障的强辨识能力；(2)无需应对互补约束的求解问题，可直接在连续域内对离散变量进行优化决策，显著降低故障辨识过程的复杂性。以此为基础，提出一种基于空间伸缩因子的松弛优化技术进行决策求解。仿真表明：配电网故障辨识的松弛优化方法鲁棒性好、数值稳定性强、决策效率高，契合于大规模配电网馈线故障区段定位问题，在大规模配电网故障定位中具有应用前景。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本发明实施例中7节点辐射状配电网的结构示意图。

图2为本发明实施例中33节点辐射状配电网的结构示意图。

图3为33节点配电网故障仿真结果图。

图4为本发明稳定性分析曲线图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有付出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

如图1所示，一种基于松弛优化的配电网故障区间高容错性故障定位方法，借鉴故障定位优化模型的代数建模优势，避开分层解耦的建模策略，基于故障诊断最小集理论和不等式定理，首次提出融入容错因子的配电网故障定位非线性规划模型；基于模型等价转换思想和伸缩因子策略，提出收敛性不依赖于初始点选择的配电网故障定位模型决策求解的松弛优化技术。详细阐述了故障定位新模型的构建方法和优化求解算法，通过算例进一步验证模型和算法的有效性。

本发明以现有配电网故障定位方法的建模理论为依据，构建配电网故障定位非线性整数规划模型；验证所建模型用于故障区段辨识时，缺乏对馈线多重故障的完备性，并从物理和数学的双重角度分析其不具备多重故障辨识能力的原因；基于间接建模方法，构建可在连续域直接优化决策的配电网故障区段定位容错因子模型。本发明的具体实施步骤为：

配电网故障定位的最优化方法本质上是找出最有可能发生故障的馈线，其最能解释馈线终端单元(feederterminalunit,ftu)等配电网自动化终端上传至控制主站的故障报警信号，即假定馈线故障造成的过电流信息和故障报警信息间偏差最小。以图1所示7节点辐射状配电网为例阐述其建模方法。

步骤一、根据配电网中自动化开关与因果设备的关系建立因果设备关联信息，根据因果设备关联信息采用加法运算建立开关函数的代数关系模型，依据数学误差测度理论建立开关函数与报警信息间的逼近关系模型。

根据图1拓扑结构和功率流流动方向可知，当配电网控制主站接收到断路器s1的监控设备上传的报警信息时，可推断出可能是馈线1～7发生短路故障引起的，其为断路器s1的因果设备。同理，可推断出馈线2～7是分段开关s2的因果设备；馈线3～6是分段开关s3的因果设备；馈线4～6是分段开关s4的因果设备；馈线5是分段开关s5的因果设备；馈线6是分段开关s6的因果设备；馈线7是分段开关s7的因果设备。表1所示为图1中各开关的因果设备与排序，其中，表示馈线b紧邻馈线a且功率流由a流向b。

表1因果设备关联信息

若x＝[x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)x(7)]为馈线故障状态集，x(1)～x(7)分别为馈线1～7的馈线状态信息。k＝1,2,3…,7，x(k)＝0表示馈线k状态为运行故障；x(k)＝1表示馈线k状态为运行正常。依据表1中因果设备关联信息，采用加法运算进行开关函数建模，表征因果设备的状态因果关系，其代数描述的数学解析模型i1(x)～i7(x)为：

i1(x)＝x(1)+x(2)+x(3)+x(4)+x(5)+x(6)+x(7)(1)

i2(x)＝x(2)+x(3)+x(4)+x(5)+x(6)+x(7)(2)

i3(x)＝x(3)+x(4)+x(5)+x(6)(3)

i4(x)＝x(4)+x(5)+x(6)(4)

i5(x)＝x(5)(5)

i6(x)＝x(6)(6)

i7(x)＝x(7)(7)

依据数学误差测度理论，为避免运算过程中的绝对值运算，可以采用开关函数值和故障报警信息间差值的平方衡量其逼近程度。采用i^*＝[i1i2i3i4i5i6i7]表示电流报警信息集，i1～i7分别为自动化开关s1～s7耦合的监控设备上传的报警信息。i＝1,2,3,…,7，ii＝0表示控制主站没有接收到报警信息；ii＝1表示控制主站接收到报警信息。以馈线发生单一故障或多重故障为前提，开关函数与报警信息间二次逼近关系模型为：

其中，bi(x)表示第i个自动化开关的开关函数与报警信息的逼近关系。

步骤二、将步骤一中逼近关系模型中所有配电网故障二次逼近函数叠加得到配电网故障定位优化方法的目标函数，构建配电网故障定位的非线性整数规划模型。

当辨识出馈线故障区段时，期望所有开关函数i1(x)～i7(x)确定的假定故障过电流信息应和故障报警信息间的最小，需采用总体偏差最小化进行衡量。依据统计学中整体偏差的度量方法，可采用开关函数值和故障报警信息间残差平方和最小化来衡量其整体逼近程度，将式(8)中所有配电网故障二次逼近函数叠加即可得到配电网故障定位优化方法的目标函数f(x)为：

式(9)及馈线状态的0/1取值限制，构成了配电网故障定位的非线性整数规划模型，若配电网具有n条馈线，其数学模型可以表示为：

假定图1中馈线5、馈线6、馈线7同时发生故障，假定没有信息畸变，电流报警信息集i^*＝[i1i2i3i4i5i6i7]＝[1111111]，此时相应的配电网故障定位的非线性整数规划模型为：

若假定式(10)对多重故障具有强适应性，则通过优化计算最终确定满足约束条件的馈线故障状态集x＝[0000111]，此时通过将其代入式(11)的目标函数中计算得到f(x)的值为10，而实际上通优化计算得到的馈线故障状态集x＝[0000100]，此时通过将其代入目标函数式(11)中计算得到最优目标函数值为2，出现了漏判和错判现象，因此，所构建的配电网故障定位非线性整数规划模型建模方案还存在不完备性，无法应对馈线多重故障的情景。

依据最佳一致逼近原理可知，在无报警信息畸变情况下，定位出故障区段馈线5、馈线6、馈线7，即x＝[0000111]时，最理想状态期望依据馈线状态确定开关函数报警值ii(x)和实际报警值i^*之间的偏差为最小值0。但实际上将x＝[0000111]代入时，出现[ii(x)-ii]²不为0的情况。具体为：

[i3(x)-i3]²＝[x(5)+x(6)-i3]²＝[(1+1)-1]²＝1(14)

[i4(x)-i4]²＝[x(5)+x(6)-i4]²＝[(1+1)-1]²＝1(15)

依据式(12)-(15)可得出结论：仅处于耦合节点d1、d2前面的[ii(x)-ii]²的值不等于0。出现上述现象的物理原因：虽然馈线5、馈线6和馈线7相互间不存在直接的因果关系，但其都是断路器s1和分段开关s2的因果设备，馈线5、馈线6都是分段开关s3和分段开关s4的因果设备；开关函数ii(x)中，采用加法运算揭示馈线故障电流并联叠加特性对开关函数ii(x)确定的报警值的作用特性，但实际报警值i^*没有动态追踪耦合节点后馈线故障电流并联叠加特性的影响，仍然采用0/1编码。

从数学角度上，因配电网故障定位非线性整数规划模型从本质上并没做到开关函数ii(x)与实际报警值i^*间的最佳逼近，从而导致表2优化结果中目标函数最优值所对应的馈线状态集并非唯一，即存在一值多解问题，而真正故障的馈线状态对应的目标函数值并非最小值，从而导致故障区段的错判或漏判。

表2故障定位非线性整数规划模型优化结果

步骤三、在非线性整数规划模型的目标函数中增加容错因子获得基于容错因子的配电网故障定位目标函数，量化容错因子的值，根据量化后的容错因子建立配电网故障定位的容错因子模型，基于数学集合表示方法将配电网故障定位的容错因子模型转化为连续域内配电网故障定位容错因子模型。

依据非线性整数规划模型不完备性分析中的理论描述可知：只有真正故障的馈线状态对应目标函数值最小且存在唯一对应关系时，才能使配电网故障定位模型准确的辨识出多个馈线故障区段位置。

在最优化领域，进行多目标问题决策求解时，若其性质相同，可直接通过权重系数加权和法将多目标问题转化为单目标问题进行优化求解，通过改变权重系数大小，将会导致最优目标函数值的不同，实现目标函数最优值和馈线状态集的单值对应关系。权重系数法给决策者的启示有：(1)可将性质相同的目标函数直接加权和；(2)可通过权重系数的量值，改变目标函数的重要性，实现其最优值的移动，从而确定满足决策者要求的技术方案。

由式(8)可知，开关函数与报警信息间二次逼近关系模型可看作具有相同性质的多个并列优化目标，因此，可借鉴多目标优化问题的权重系数法，通过权重系数的合理确定，实现真正故障的馈线状态对应目标函数值的移动，使其目标函数值为唯一最小值，从而实现多重馈线故障的准确辨识。ω＝[ω1ω2,…,ωn]为权重系数向量，因为其引入可避免多重故障的误判和漏判，将其称之为容错因子。假定配电网具有n条馈线，基于容错因子的配电网故障定位通用目标函数数学模型为：

其中，t为向量的转置，x(1)～x(n)分别为馈线1～n的馈线状态信息，b(x)为开关函数与报警信息的逼近关系，ii(x)为自动化开关设备i的开关函数，ii为自动化开关设备i的电流报警信息，i＝1,2,3…,n，n为配电网自动化开关设备总数，为融入容错因子后的目标函数。

配电网故障定位非线性整数规划模型式(10)中目标函数与式(16)中所有容错因子ωi的值都为1时目标函数模型完全等价，本质上属于基于容错因子的配电网故障定位目标函数的特例，只因其容错因子取值不合理，使其多重故障时具有不完备性。因此，如何合理量化式(16)中权重系数成为提升其多重故障强适应性的关键。以图1所示配电网馈线5、馈线6和馈线7同时发生故障为例阐述权重系数确定方法。具体的确定方法如下：

(1)对于下游无耦合节点的馈线所对应逼近关系函数的权重系数为1。按照该准则，图1所对应b5(x)、b6(x)、b7(x)的权重系数ω5＝1，ω6＝1，ω7＝1。

(2)对于下游含耦合节点的馈线所对应逼近关系函数的权重系数，依据关联的最大故障馈线条数和单一最优目标函数值对应的不等式关系确定。

当馈线5、馈线6、馈线7发生故障时，依据式(10)至少有一条馈线故障位置无法找到，此时其最优目标函数值为了保证可准确找出所有馈线故障区段，使得式(16)在x^*＝[0000111]时的目标函数值要满足因此，按照过估计策略，可以得出以下不等式关系：

容错因子ω1和ω2关联的最大可能馈线支路数相同，对于目标函数值的影响程度一致，为简化计算令ω1＝ω2，同时考虑到信息畸变时，仍然能够准确的找到馈线故障区段，令i1＝0，i2＝0，x^*＝[0000111]，代入式(17)即可得到ω1和ω2的最大估计值为：

ω1＝ω2＝1/18(18)

同理，可得到容错因子ω3和ω4的最大估计值为：

ω3＝ω4＝1/8(19)

mi表示与第i个逼近关系函数关联的最大故障馈线条数，由式(17)～式(19)可得出权重系数的通用表达式为：

式(16)、式(20)，并考虑到权重系数ω5＝1，ω6＝1，ω7＝1和馈线状态的0/1取值限制，若配电网具有n条馈线，配电网故障定位的容错因子模型的通用形式可表示为：

式(21)为具有0/1离散变量的非线性整数规划模型，不易对其直接优化求解，若基于等价变换，将其转化为连续域内的非线性规划模型，将可极大程度降低其决策求解时的复杂性。依据相同馈线故障状态互斥性可知，其值不能同时为0或1，基于数学集合表示方法，馈线状态0/1取值约束等价于：

将式(21)和式(22)融合即构成了与式(21)完全等价的连续域内配电网故障定位容错因子模型：

步骤四、在连续域内配电网故障定位容错因子模型中引入正的松弛因子得到可行域连续的二次凸优化问题，基于空间伸缩因子并采用非线性规划方法求解可行域连续的二次凸优化问题得到配电网故障定位容错因子模型的最优馈线状态值，从而辨识出馈线发生故障的区段。

式(23)连续域内配电网故障定位容错因子模型虽然为连续空间表示的非线性规划模型，但由式(22)确定的可行域点取值特征，因不满足非线性约束规范，若直接利用非线性规划求解，将导致无法找到最优解。连续域内配电网故障定位容错因子模型的目标函数为凸二次函数，依据数学最优化理论，若给定一合理的初始点，仍然能稳定的找到其最优解，如何给定一个有效的初始点成为求解连续域内配电网故障定位容错因子模型的关键。

依据最优化松弛方法，通过在式(23)引入正的松弛因子ξ≥1，将其松弛为可行域连续的二次凸优化问题，其数学模型为：

因松弛因子ξ＞0，式(24)满足非线性约束规范，可直接采用非线性规划方法决策求解。依据凸二次最优化理论，式(24)具有唯一的局部最优点且为全局最优点。假定ξ1＞ξ2＞ξ3＞...＞ξn≈0，x^*、分别为式(24)ξ＝ξ1时的全局最优点及函数值，为式(24)ξ＝ξ2时的全局最优点及函数值。基于泰勒级数，与之间的数学关系模型可表示为：

当全局最优点满足式(24)ξ＝ξ2时所有的约束条件时，当全局最优点不满足式(24)ξ＝ξ2时所有约束条件时，此时，因式(24)ξ＝ξ1＞0为连续空间二次凸优化模型，其具有满足非线性约束规范的全局最优点，考虑到式(25)仍为凸二次函数，因此，全局最优点可为式(24)ξ＝ξ2＞0提供了一个稳定的优化初始点。同理，式(24)ξ＝ξ2＞0的优化结果可为式(24)ξ＝ξ3＞0的优化问题提供了一个稳定的优化初始点，反复重复上述步骤，当式(24)ξ＝ξn≈0时，式(24)与式(23)等价，此时即可得到配电网故障定位容错因子模型的最优馈线状态值，从而辨识出馈线发生故障的区段。

基于上述理论分析，当配电网发生故障时，配电网故障定位容错因子模型的求解步骤为：

(1)初始化松弛因子ξ≥1、空间伸缩因子η，随机产生馈线故障状态集0≤x≤1的初始解集x，设置算法允许误差ζ；

(2)直接利用非线性规划对式(24)可行域连续的二次凸优化问题进行决策求解，得到当前松弛因子ξ时的配电网故障定位容错因子模型的最优解x^*；

(3)若松弛因子ξ＞ζ，则ξ＝ηξ，x＝x^*转入步骤(2)，若松弛因子ξ≤ζ，算法收敛，从而辨识出馈线故障区段。

以图1所示的7节点辐射状配电网为例进行仿真。容错因子值ω1＝ω2＝1/18和ω3＝ω4＝1/8，松弛因子初始值ξ＝1，空间伸缩因子η＝10^-3，初始解集x随机产生，算法终止条件ξ≤10^-5。以独立区域内单一故障假设为前提，分别对馈线1～7的单一故障和多重故障情形进行仿真。表3为7节点配电网故障定位仿真结果。

由表3故障编号1～11的故障定位仿真结果可以看出：针对无报警信息畸变情况，配电网故障定位的容错因子模型不仅可实现单一故障的正确辨识，且对双重故障和三重故障时的故障区段定位情形具有强适应性，能够实现多重故障时馈线故障区段的准确辨识。由表3故障编号12～23的故障定位仿真结果可以看出：在有报警信息畸变情况时，无论是单一故障还是多重故障的情形，当有1位和2位报警信息畸变时，配电网故障定位的容错因子模型具有强的容错性能，均可准确的辨识出多个馈线故障区段位置。

通过7节点配电网仿真结果可知，本发明所构建的配电网故障定位容错因子模型在故障辨识时的有效性，其根本原因在于：从数学的角度上，通过故障因子的引入，使得馈线故障区段状态所对应的目标函数值发生移动，且具有唯一最优特征，使得可避开一直多解的情形，因此能够实现无信息畸变情况下馈线故障区段的准确辨识。此外，因故障因子确定时，采用了按照过估计策略，考虑了信息畸变情况时的影响，所以具有强的容错性能。

需要注意的是：利用配电网故障定位的容错因子模型进行故障辨识时，在单一故障无报警信息畸变时，找到馈线故障时的最优目标函数值为0；当出现多重故障时，即便无报警信息畸变，找到馈线故障区段时的最优目标函数值也不再为0。因此，不能单独依据目标函数值为0与否来判定是否存在报警信息畸变。

表37节点配电网故障定位仿真结果

以图2所示33节点配电网为例进一步验证配电网故障定位容错因子模型的工程适应性。33节点工程测试用辐射状配电网来源于文献[islamfr,prakashk.,mamunka,etal.aromaticnetwork:anovelstructureforpowerdistributionsystem[j].ieeeaccess,2017,(5):25236-25257.]，系统共含有d1、d2、d3的3个耦合节点，1个断路器，32个分段开关，33条馈线支路。按照步骤三配电网故障定位模型的建模方法，其优化目标中包含33个逼近关系函数的加权和，其容错因子的量值ω1＝ω2＝1/32，ω3＝1/18，ω4＝ω5＝1/8，ω6＝ω7＝…＝ω33＝1。鉴于故障情形较多，仿真时只针对末端支路发生故障时有无畸变情况进行仿真。初始化参数值和7节点配电网相同。表4为33节点配电网故障定位仿真结果。

表433节点配电网故障定位仿真结果

根据表4故障编号1～13的故障定位仿真结果可以看出：针对33节点配电网工程算例，在无报警信息畸变时，当馈线发生单一故障时(故障编号1～4)，目标函数值为最小值0，能够准确的辨识出发生故障的馈线区段；当馈线发生多重故障时(故障编号5～23)，由于馈线故障电流并联叠加特性，导致开关函数值和报警信息值没有实现零偏差一致逼近，因此，导致目标函数不再等于0，尽管如此，此时因为容错因子的存在，避免了故障误判或漏判现象，准确的辨识出多个故障馈线区段。

根据表4故障编号15～23的故障定位仿真结果可以看出：当发生复杂多重故障情景下，存在报警信息畸变的情况下，仍然可以准确的辨识出发生故障的多个馈线区段；特别是故障编号19和22出现连续多位报警信息畸变情况，通过决策求解，优化目标函数值达到最小值时，可准确辨识出发生故障的多个馈线故障区段，进一步验证了配电网故障定位的容错因子模型不仅对单一故障和多重故障时馈线区段辨识具有强适应性，且具备强的容错性能。

表5对文献[6]---[杜红卫，孙雅明，刘弘靖，等.基于遗传算法的配电网故障定位和隔离[j].电网技术，2000，25(5)：52-55.]、文献[7-12]---[卫志农，何桦，郑玉平.配电网故障区间定位的高级遗传算法[j].中国电机工程学报，2002，22(4)：127-130.、陈歆技，丁同奎，张钊.蚁群算法在配电网故障定位中的应用[j].电力系统自动化，2006，30(5)：74-77.、郭壮志，吴杰康.配电网故障区间定位的仿电磁学算法[j].中国电机工程学报，2010，30(13)：34-40.、郑涛，潘玉美，郭昆亚，等.基于免疫算法的配电网故障定位方法研究[j].电力系统继电保护与控制，2014，42(1)：77-83.、付家才，陆青松.基于蝙蝠算法的配电网故障区间定位[j].电力系统继电保护与控制，2015，43(16)：100-105.、刘蓓，汪沨，陈春，等.和声算法在含dg配电网故障定位中的应用[j].电工技术学报，2013，28(5)：280-286.]、文献[1]、文献[2]、文献[3]、文献[4]和文献[5]中的配电网故障定位的最优化模型进行总结并和本发明所构建的故障因子模型从建模理论、故障定位能力、容错性能、决策方法、建模复杂性进行比较。

表5配电网故障定位的最优化模型

依据表5可知，遗传算法和高级遗传算法采用的逻辑建模方法通常具有单一和多重故障定位能力，且除遗传算法外都具备强容错性能，但因采用逻辑建模，建模过程复杂，难于应用于大规模配电网，其模型决策求解依赖于群体智能算法，即便故障定位模型完善，没有报警信息畸变，也可能因为算法的寻优过程的不确定性，造成故障错判或漏判；互补理论采用代数建模，建模原理简单，易于实现，可避开群体智能算法的应用，但无多重故障辨识能力；线性整数规划约束条件随网络结构的变化需要动态调整，且无多重故障辨识能力；故障辅助因子模型可采用牛顿-拉夫逊法求解，故障定位效率高，但建模过程复杂，无多重故障辨识能力；分布式线性整数规划模型包含了矩阵模型和最优化模型，虽然具备多重故障能力，但建模过程复杂，且优化模型仍然需要采用群体智能算法决策求解；预测校正采用代数建模，且对于单一和多重故障具有强适应性，容错性强，但需对网络进行分层解耦，建模过程复杂。本文故障容错因子模型，约束无需随网络拓扑结构变化而变化，目标函数构建继承了互补理论建模简单的优点，权重因子值易于确定，融合了预测校正代数建模机制下的单一和多重故障辨识能力，与其它文献故障定位模型相比具有明显优势。

以33节点配电网中s1～s7报警信息畸变时的四重故障情景为例进行仿真。遗传算法直接采用matlab工具箱；松弛算法采用7节点配电网的参数设置值，依据均匀随机数产生初始点，基于8gram和core^tmi5-6200u@2.30ghz2.4ghz处理器，基于matlabr2014b环境仿真运行50次。

和遗传算法找到的全局最优解比较，以验证本发明的全局收敛性。通过多次优化求解，基于遗传算法获得该场景下最优目标函数值为4.5，本发明松弛算法运行50次，虽然初始点为随机产生，均可稳定的收敛到全局最优点，找到正确的馈线故障区段位置，本发明具有好的全局收敛性。图3的上图为其中1次的优化运行结果。

式(23)直接非线性规划求解和对(24)松弛算法求解的结果比较，以验证本发明的强数值稳定性和高的决策效率。图3的下图为50个初始随机样本点的优化结果。

依据图4可看出在相同的初始点下，直接采用非线性规划对式(23)求解，因其最优点不满足非线性约束规格，求解过程随机性强，算法不具备稳定的收敛性能，应用时不能直接对式(23)直接求解，否则将无法找到正确的馈线故障区段；在50个随机样本下，本发明所提出的松弛优化算法可以稳定可靠的找到故障定位模型的全局最优解，具有高的可靠性和强的数值稳定性。

此外，通过对33节点配电网工程算例进行求解50次的优化结果进行统计，基于本文参数设置，整个优化过程总共需外迭代2次，因为算法具有强的稳定性，每次外迭代的次数和图3迭代次数接近，约25次，该故障定位过程总共约50次，每次辨识出馈线故障区段的时间约0.9s，故障定位效率高。将本发明应用于文献[21,23,25]所采用的1000节点辐射状配电网进行仿真，故障定位过程总共约50次，和33节点配电网决策求解时的迭代次数在同一量级，表明本发明可应用于大规模配电网的馈线故障定位问题。

本发明基于权重系数构建的配电网故障定位容错因子模型，通过对馈线故障区段目标函数值的最佳偏移，使其对配电网馈线多重故障具有强适应性，且具备高容错性，可实现配电网高容错性多重故障区段的准确辨识。本发明基于数学集合的离散变量不等式关系等价转换的方法，可避免对离散变量的直接优化决策，可极大程度地降低故障定位模型优化决策时的复杂性。本发明基于松弛策略提出的故障定位模型松弛优化方法，可保证算法稳定的引导目标函数值向最优目标函数值移动，可使决策变量可靠稳定的收敛于优化问题的最优点，从而准确地定位出馈线故障，为配电网故障区段定位问题的最优化方法提供了新的技术方案。本发明故障辨识能力强、鲁棒性好、数值稳定性强、决策效率高，契合于大规模配电网馈线故障区段定位问题。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。