基于电化学过程的全SOC范围锂离子电池等效模型
本发明涉及锂离子电池等效模型领域，详细讲是一种能够在电池全soc范围内，尤其是低soc范围内，提供较高的模拟精度的基于电化学过程的全soc范围锂离子电池等效模型
背景技术：
我们知道，随着电动汽车保有量的增加，动力电池的续航能力受到了广泛关注。一方面，要进行电池本体的研究，增加动力电池的能量密度；另一方面，则需要制定更为高效的能量管理策略。凭借能量密度相对较高，循环寿命长等优点，锂电池成为了当前电动汽车的主要储能单元。为确保电动汽车车载能源系统能够安全、高效地运行，电池管理系统(batterymanagementsystem，bms)成为了电动汽车的一个重要组成部分。动力电池状态估算是bms的一项重要功能，一般是基于电池等效模型完成的。由等效模型模拟电池外特性或内部反应机理，从而达到估测电池实时工作状态或预测电池未来工作状态的效果。常用的动力电池模型主要包括：电化学模型和等效电路模型。
电化学模型是从锂电池内部电化学机理的角度，详细描述电池内部电化学过程，从而模拟电池的工作特性。基于多孔电极理论和浓溶液理论建立的伪二维(pseudo-two-dimensional，p2d)模型一直以来被视为电池电化学模型的基础。在p2d模型中将电极上的活性物质简化为一个个大小相等的圆球，分别用偏微分方程描述电池内部锂离子参与的过程：锂离子在活性颗粒中的固相扩散、发生在固液相交界面的电荷转移反应以及锂离子在电解液中的液相扩散。因此，p2d模型能够同时模拟电池的外特性和电池内部电化学物质的变化过程。单粒子模型(singleparticlemodel，spm)在p2d模型的基础上，假设电化学反应在电极上的分布是均匀的，从而将每个电极上的活性物质简化为单个圆球。与p2d模型将比，spm忽略了锂离子的液相扩散，相应地简化了一部分运算过程。p2d模型应用了一系列偏微分方程来描述电池内部电化学变量的变化，求解偏微分方程给模型带来了庞大的运算量，这使模型很难做到实时性，从而无法应用于bms。spm虽然在p2d模型的基础上有所简化，但依然需要求解部分偏微分方程，计算效率一般，且spm忽略了锂离子的液相扩散，降低了模型在高倍率下的模拟精度。同时，电化学模型涉及的参数较多，且无法实现参数的在线辨识。
等效电路模型采用电阻、电容等电子元件搭建电路，模拟锂离子电池的外特性。最早的rint模型只描述了电池内部的欧姆阻抗，thevenin模型在rint模型的基础上添加了一个rc并联模块描述电池的极化特性，基于thevenin模型，添加不同数量的rc并联模块得到了二阶rc等效电路模型及n阶rc等效电路模型。综合模型精度和运算量，二阶rc等效电路模型运用较为广泛。基于运行时间的模型(runtime-basedmodel，rtm)在二阶rc模型的基础上用一个电流控电流源来模拟电池的工作电流，从而基于安时积分法来获取电池当前的荷电状态(stateofcharge，soc)，在估测电池端电压响应的同时达到预测电池剩余运行时间的效果。此外，还有基于电池内部电化学过程建立的改进等效电路模型，将锂离子的固相扩散考虑到电池开路电压(opencircuitvoltage，ocv)的更新中，用以提高模型在低soc范围内的精度。等效电路模型只用于拟合电池的外特性，不对电池内部的电化学过程进行阐释。以应用最为广泛的二阶rc等效电路模型为例分析模型的误差来源：两个用于模拟电池内部极化过程的rc模块虽然在时间常数上存在差异，但其对端电压的作用是平行的，不管通过离线辨识还是在线辨识都是同时得到的，与锂离子电池内部电化学过程没有明显对应关系。同时，锂电池内部固液相交界面处发生的电荷转移反应并不是纯阻性的，故二阶rc等效电路模型用一个电阻来描述此过程会产生较大的误差。除此之外，锂电池内部锂离子的固相扩散过程会影响工作状态下电池的实时ocv，而二阶rc等效电路模型采用宏观上的平均soc来确定电池的ocv，使得模型在低soc范围内的模拟精度较低。
技术实现要素：
本发明的目的是解决上述现有技术的不足，提供一种能够在电池全soc范围内，尤其是低soc范围内，提供较高的模拟精度的基于电化学过程的全soc范围锂离子电池等效模型。考虑到电动汽车bms对电池模型在精度和实时性方面的要求，本发明将锂电池内部电化学过程简化后用于改进等效电路模型，从而提出一种基于电化学过程的全soc范围内高精度锂离子电池等效模型，
本发明解决上述现有技术的不足所采用的技术方案是：
一种基于电化学过程的全soc范围锂离子电池等效模型，其特征在于包括锂离子电池实时soc模拟模型和锂离子电池端电压响应模拟模型两部分；
所述的锂离子电池实时soc模拟模型由三个电容ccapacity、cds1、cds2，两个电阻rds1、rds2以及两个分别由外电流i和电流idl控制的电流源一和电流源二组成，电路结构为：电阻rds1和电容cds1并联、电阻rds2和电容cds2并联分别构成两个rc模块，两个rc模块进行串联、然后与电流源二并联，再与电流源一以及电容ccapacity串联，形成闭环电路；其中，电容ccapacity表征电池的实际可用容量，外电流i控制电流源一用来跟踪电池的工作电流；电流idl为双电层电容充电电流、控制着电流源二；rds1、rds2、cds1和cds2为描述固相扩散的等效电阻和等效电容，rds1和cds1、rds2和cds2共同构成二阶rc模块，用来模拟固相扩散。
所述的锂离子电池端电压响应模拟模型由两个电容cdl、cconc，两个电阻rohm、rconc，一个阻抗zctr，一个电压源uocv以及端电压ut组成；电路结构为：电阻rconc和电容cconc并联构成一个rc模块，阻抗zctr和电容cdl并联构成一个zc模块，rc模块、zc模块、电阻rohm、电压源uocv以及端电压ut依次串联，形成闭环电路；其中，uocv表征电池开路电压，rohm为等效欧姆电阻，cdl为双电层电容，zctr为电荷转移反应等效阻抗，cdl和zctr共同模拟反应极化部分，与反应极化过电势ηctr相对应；rconc为浓差极化等效电阻，cconc为浓差极化等效电容，cconc和rconc共同模拟浓差极化部分，与浓差极化过电势ηconc相对应；ut为电池端电压；锂离子电池端电压ut的计算式为：
ut＝uocv(usoc_surf)-irohm-ηctr-ηconc。
一种基于电化学过程的全soc范围锂离子电池等效模型，其特征在于其模型公式为：
欧姆极化效应：ηohm＝irohm
浓差极化效应：
考虑固相扩散的电极电势：
电荷转移效应：
电池端电压计算过程：ut＝uocv(usoc_surf)-irohm-ηctr-ηconc
浓差极化过电势及参数在线辨识获取过程：
反应极化过电势及参数获取过程：
开路电压获取过程：
其中，锂离子电池的各变量含义如下：rohm为欧姆内阻，rconc为等效浓差极化电阻，cconc为等效浓差极化电容，τconc为等效浓差极化时间常数，λ为递推最小二乘法的遗忘因子，a为活性颗粒比表面积，l为极板厚度，s为极板面积，cdl为双电层电容，kc0为拟合系数，kc1为拟合系数，kc2为拟合系数，ks,1为拟合系数，τs,1为拟合系数，ks,2为拟合系数，τs,2为拟合系数，α为传递系数，t为开尔文温度，f为法拉第常数，uass为中间变量，k1为中间变量，k2为中间变量，k3为中间变量，y(k)为，
本发明应用于bms，模拟锂电池的工作过程和工作特性，实现对锂电池端电压的实时高精度模拟，有助于提高bms对锂电池的状态估算，从而制定更为高效的管理策略，提高电池的能量利用率。
第一步：通过电池实验进行电池实际可用容量和soc-ocv的标定，为模型的建立提供数据基础；
第二步：对于电化学过程引入的拟合系数进行在线辨识，对阶跃电流下电化学变量的数值解进行函数拟合，从而标定拟合系数。
第三步：输入电池的初始状态和实时工作电流，获取考虑固相扩散过程的电池表面soc，从而经查表得到电池的实时开路电压。固相扩散过程的描述是提高模型在低soc范围内精度的关键。
第四步：模型中简化描述电池内部欧姆简化、反应极化和浓差极化过程的子模块分别模拟电池的欧姆极化过电势、反应极化过电势和浓差极化过电势。其中，第二步中所提到的简化描述方法使得butler-volmer方程能够直接应用于等效模型，提高了模型对反应极化过程的描述精度。结合电池实时开路电压，实现对电池端电压的实时模拟。
本发明将锂电池内部电化学过程简化后用于改进等效电路模型，基于对锂电池内部电化学过程的分析和简化，建立了一个在电池全soc范围内能够实现高精度、高计算效率且在线辨识参数的等效模型。本发明具备描述双电层电容效应、电荷转移反应、液相扩散和固相扩散的能力，提出了用宏观电学变量描述电池内部微观电化学变量的近似方法，避免了偏微分方程的求解，使模型更适于应用于bms。
附图说明
图1是工作过程中，锂离子电池内部电化学过程示意图。
图2是本发明的锂离子电池实时soc模拟模型结构示意图。
图3是本发明的锂离子电池端电压响应模拟模型结构示意图。
图4是断电流实验测双电层电容原理图。
图5是本发明模型、rtm(基于运行时间的等效电路模型)在锂离子电池全soc范围hppc下的端电压响应和电压实验测量值的对比图。
图6是本发明、rtm在锂离子电池全soc范围hppc下的端电压均方根误差图(root-mean-square-error，rmse).
图7是本发明模型、rtm在锂离子电池低soc范围hppc下的端电压响应和电压实验测量值的对比图(对应于图5中的局部放大图)。
图8是本发明、rtm在锂离子电池低soc范围hppc下的端电压均方根误差图。
图9是本发明和rtm在dst下的输入电流图。
图10是本发明和rtm在dst下的端电压响应图。
图11是本发明和rtm在dst下的端电压误差图。
图12是本发明和rtm在dst下的端电压rmse图。
具体实施方式
一种基于电化学过程的全soc范围锂离子电池等效模型，其特征在于包括锂离子电池实时soc模拟模型和锂离子电池端电压响应模拟模型两部分；
所述的锂离子电池实时soc模拟模型由三个电容ccapacity、cds1、cds2，两个电阻rds1、rds2以及两个分别由外电流i和电流idl控制的电流源一和电流源二组成，电路结构为：电阻rds1和电容cds1并联、电阻rds2和电容cds2并联分别构成两个rc模块，两个rc模块进行串联、然后与电流源二并联，并联后的整体再与电流源一以及电容ccapacity串联，形成闭环电路；其中，电容ccapacity表征电池的实际可用容量，外电流i控制电流源一用来跟踪电池的工作电流，由于电容ccapacity的电容值在数值上与电池的实际可用容量相等，满充状态下，电容两端电压为1v，随着电池放电过程的进行，电容两端电压usoc_avg从1v变化到0，相当于安时积分法计算得到的平均soc；电流idl为双电层电容充电电流、控制着电流源二；rds1、rds2、cds1和cds2为描述固相扩散的等效电阻和等效电容，rds1和cds1、rds2和cds2共同构成二阶rc模块，用来模拟固相扩散，根据电流在电池内部的组成情况，通过双电层电容充电电流idl控制电流源二，从外电流中分离出法拉第电流if，然后通过二阶rc模块来模拟固相扩散产生的uδsoc，usoc_avg与uδsoc二者相减即得到电池的表面soc，usoc_surf即实时soc；
所述的锂离子电池端电压响应模拟模型由两个电容cdl、cconc，两个电阻rohm、rconc，一个阻抗zctr，一个电压源uocv以及端电压ut组成；电路结构为：电阻rconc和电容cconc并联构成一个rc模块，阻抗zctr和电容cdl并联构成一个zc模块，rc模块、zc模块、电阻rohm、电压源uocv以及端电压ut依次串联，形成闭环电路；其中，uocv表征电池开路电压，(可由usoc_surf经查soc-ocv对照表得到)；rohm为等效欧姆电阻，与欧姆极化过电势ηohm相对应；cdl为双电层电容，zctr为电荷转移反应等效阻抗，cdl和zctr共同模拟反应极化部分，与反应极化过电势ηctr相对应；rconc为浓差极化等效电阻，cconc为浓差极化等效电容，cconc和rconc共同模拟浓差极化部分，与浓差极化过电势ηconc相对应；ut为电池端电压；锂离子电池端电压ut的计算式为：
ut＝uocv(usoc_surf)-irohm-ηctr-ηconc。
一种基于电化学过程的全soc范围锂离子电池等效模型，其特征在于其模型公式为：
欧姆极化效应：ηohm＝irohm
浓差极化效应：
考虑固相扩散的电极电势：
电荷转移效应：
电池端电压计算过程：ut＝uocv(usoc_surf)-irohm-ηctr-ηconc
浓差极化过电势及参数在线辨识获取过程：
反应极化过电池及参数获取过程：
开路电压获取过程：
其中，锂离子电池的各变量含义如下：rohm为欧姆内阻，rconc为等效浓差极化电阻，cconc为等效浓差极化电容，τconc为等效浓差极化时间常数，λ为递推最小二乘法的遗忘因子，a为活性颗粒比表面积，l为极板厚度，s为极板面积，cdl为双电层电容，kc0为拟合系数，kc1为拟合系数，kc2为拟合系数，ks,1为拟合系数，τs,1为拟合系数，ks,2为拟合系数，τs,2为拟合系数，α为传递系数，t为开尔文温度，f为法拉第常数，uass为中间变量，k1为中间变量，k2为中间变量，k3为中间变量，y(k)为，
本发明应用于bms，模拟锂电池的工作过程和工作特性，实现对锂电池端电压的实时高精度模拟，有助于提高bms对锂电池的状态估算，从而制定更为高效的管理策略，提高电池的能量利用率。
第一步：通过电池实验进行电池实际可用容量和soc-ocv的标定，为模型的建立提供数据基础；
第二步：对于电化学过程引入的拟合系数进行在线辨识，对阶跃电流下电化学变量的数值解进行函数拟合，从而标定拟合系数。
第三步：输入电池的初始状态和实时工作电流，获取考虑固相扩散过程的电池表面soc，从而经查表得到电池的实时开路电压。固相扩散过程的描述是提高模型在低soc范围内精度的关键。
第四步：模型中简化描述电池内部欧姆简化、反应极化和浓差极化过程的子模块分别模拟电池的欧姆极化过电势、反应极化过电势和浓差极化过电势。其中，第二步中所提到的简化描述方法使得butler-volmer方程能够直接应用于等效模型，提高了模型对反应极化过程的描述精度。结合电池实时开路电压，实现对电池端电压的实时模拟。
本发明将锂电池内部电化学过程简化后用于改进等效电路模型，基于对锂电池内部电化学过程的分析和简化，建立了一个在电池全soc范围内能够实现高精度、高计算效率且在线辨识参数的等效模型。本发明具备描述双电层电容效应、电荷转移反应、液相扩散和固相扩散的能力，提出了用宏观电学变量描述电池内部微观电化学变量的近似方法，避免了偏微分方程的求解，使模型更适于应用于bms。
本发明的理论推导如下：
电化学过程的描述
在工作过程中，锂离子电池内部存在一系列电化学过程，示意图如图1所示。
以放电工况为例，锂离子电池内部电化学过程包括：
1)锂离子从负极活性颗粒内部到表面的固相扩散；
2)负极固液相交界面双电层电容形成及电荷转移反应过程；
3)脱离负极活性颗粒的锂离子到达正极活性颗粒表面的液相扩散；
4)正极固液相交界面双电层电容形成及电荷转移反应过程；
5)锂离子从正极活性颗粒表面向内部的固相扩散。
由于各个电化学过程在正、负极两端的效果反映到外部端电压上是叠加的，故在本发明中，将对正、负极极化特性合并考虑。合并后等效模型描述的锂离子电池内部电化学过程包括：双电层电容效应、固液相交界面的电荷转移反应、锂离子在活性颗粒内部的固相扩散以及锂离子在电解液中的液相扩散。下面将从机理层面介绍各反应过程。
(1)欧姆极化
欧姆极化就是电池工作过程中发生在外部回路和电池内部的电荷转移受到阻力而导致端电压瞬间下降的现象。锂电池内部欧姆阻抗的来源包括集流体和外电路导线对电子的阻抗，电极活性颗粒、sei膜(solid-electrolyteinterface，sei)和电解液对离子的阻抗，在本模型中用电阻rohm来模拟，则由欧姆极化产生的欧姆极化过电势ηohm可通过式(1)计算，其中i是电池的工作电流。
ηohm＝irohm(1)
(2)浓差极化
在锂电池内部，锂离子在扩散和电迁移的作用下移动时会产生浓差极化现象，可以用fick第二定律和液相欧姆定律描述。将锂离子液相扩散的欧姆阻抗与电池内部其他欧姆阻抗合并考虑，于是，浓差极化可以通过一个rc并联模块来简化描述。根据基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律，由于浓差极化产生的浓差极化过电势ηconc可通过式(2)计算：
其中，rconc为等效浓差极化电阻，cconc为等效浓差极化电容。
(3)双电层电容效应
当外电路接通后，电池正、负极之间的电势差驱动外电路和电池内部的电荷转移，外电路中，电荷转移由电子在导线中移动实现，电池内部则由带电离子完成。由于外电路中电子的移动速度远高于电池内部的离子，故活性颗粒表面会产生电荷积累，积累的电荷吸引溶液中带相反电荷的离子，于是形成了双电层电容。
(4)考虑固相扩散的电极电势
电池的实时开路电压可由工作状态下的实时soc根据实验测得的soc-ocv的对应关系，通过查表得到，而电池实时soc的获取是一个关键问题。
电池的soc由电池内部锂离子固相浓度决定。当锂电池处于平衡状态时，活性颗粒内锂离子的浓度均匀；当锂电池处于工作状态时，其内部活性颗粒表面发生电化学反应，消耗表面锂离子，驱动锂离子在活性颗粒内部的固相扩散，因而导致活性颗粒内部及表面锂离子浓度产生差异。通常宏观上根据外电流积分得到的为平均soc，表征的是活性颗粒内的平均锂离子浓度，平均soc的定义如式(3)所示，计算如式(4)所示。而电极电势差实际上由活性颗粒表面锂离子浓度决定，因此用平均soc反映电池开路电压会带来一定的误差。故本发明引入表面soc，如式(5)所示，用表面锂离子浓度描述的电池荷电状态来获取电池的电势差。
其中，usoc_avg为平均soc，cs,avg为活性颗粒内锂离子平均固相浓度，cs,lower为锂电池完全放电时的锂离子固相浓度，cs,upper为锂离子电池满充状态下锂离子固相浓度，cs,max为锂离子最大固相浓度，soc0为初始soc，qcapacity为电池最大可用容量，usoc_surf为表面soc，cs,surf为活性颗粒表面锂离子浓度。
由于活性颗粒表面锂离子浓度无法通过电池外部宏观变量计算得到，为了简化运算量，引入uδsoc近似代替锂离子固相扩散的影响，如式(6)所示：
(5)电荷转移反应极化
锂离子电池电极固液相交界面存在完成电子转移的电化学反应，参与电化学反应的锂离子流量密度jf与反应极化过电势ηctr之间的关系可通过反应动力学butler-volmer方程描述。考虑到butler-volmer方程描述的是单极电化学反应极化过程，引入反应极化过电势系数kctr合并计算锂离子电池正、负极总的反应极化过电势，调整后的butler-volmer方程如式(7)所示：
其中，ηctr为反应极化过电势；jf为参与反应的锂离子流量密度，也称为法拉第电流密度；j0为交换电流密度，即锂离子电池处于平衡状态时电极反应的流量密度；α为传递系数，通常取0.5；f为法拉第常数；t为开尔文温度；r为理想气体常数。
可描述电化学过程的锂离子全soc范围等效模型的提出
考虑到bms对等效模型在精度和运算量方面的需求，同时，bms中常用的soc估算方法为安时积分法，故选取rtm为模型结构基础。基于对以上各个电化学过程的分析和简化，建立了可描述电化学过程的锂离子全soc范围等效模型：
ut＝uocv(usoc_surf)-irohm-ηctr-ηconc(8)
电路结构如图2、图3所示。
具体各模块及其参数获取过程具体如下所示：
(1)欧姆极化过电势ηohm和浓差极化过电势ηconc及其参数的具体获取过程
欧姆极化过电势ηohm＝irohm，i是电池的工作电流，其中rohm是需要获取的参数，rohm是通过基于遗忘因子的递推最小二乘法进行在线辨识获取得到。
由式(2)可知，浓差极化过电势
参数在线辨识过程：本发明基于遗忘因子的递推最小二乘法提出了电池端电压响应模拟模块中参数rohm、rconc和cconc的在线辨识方法，可以提高电池端电压响应模拟模块参数的适应性，便于电池在不同soc和动态工况下更精确地模拟电池外特性。
首先对式(2)进行拉普拉斯变换，将含有实数参数t的式(2)变换为含有复数参数s的式(9)，如下所示：
然后结合式(8)和式(9)可将电池端电压ut转化为适用于最小二乘法的数学形式，如式(10)所示：
令τconc＝rconccconc，uass＝uocv-ηctr，整理得到式(11)：
ut(τconcs+1)＝uass(τconcs+1)-τconcrohmis-i(rohm+rconc)(11)
令
令
遗忘因子递推最小二乘法计算过程如式(14)所示，λ为遗忘因子，一般取0.95～1。p(0)＝c·e，c为常数，e为单位矩阵。
由辨识得到k1、k2、k3，根据k1、k2、k3的表达式即可获得电池端电压响应模拟模块参数rohm、rconc和cconc。
(2)反应极化过电势ηctr及其参数的具体获取过程
通过前面提到的式(10)
引入辅助变量ξ求解butler-volmer方程，如式(15)所示：
求解反双曲正弦函数可得到ηctr，如式(16)所示：
求解辅助变量ξ需要先完成法拉第电流密度jf和交换电流密度j0的计算。jf可由法拉第电流if与锂电池的相关尺寸参数计算得到，如式(17)所示：
其中，a为活性颗粒比表面积，l为极板厚度，s为极板面积。
故在获取锂离子流量密度jf时要先得到法拉第电流if，法拉第电流if的获取过程可结合双电层电容反应来得到。基于双电层电容效应，外电流i在锂离子电池内部由参与固液相交界面电荷转移反应的法拉第电流if和用于双电层电容充电的非法拉第电流idl组成。认为法拉第电流if与外电流i呈一阶暂态关系，如式(18)所示：
其中，τdl为时间常数，与双电层电容cdl和电荷转移反应等效阻抗zctr的大小有关。
双电层电容的大小可通过断电流实验测得，实验原理如图3所示，由于0时刻之前以小幅度脉冲电流充电，所以液相扩散过程可忽略。其中，ηohm为切断电流的瞬间锂电池内部欧姆内阻的响应，断电流后极短的时间δt内，双电层电容的放电电流最大，近似与0时刻前的电流相等。双电层电容cdl可由δt内电池端电压的变化ηctr计算，如式(19)所示：
交换电流密度j0表征电极反应发生的难易程度，计算过程如式(20)所示：
j0＝ksce0.5(cs,max-csurf)0.5csurf0.5(20)
其中，ks为电化学反应速率常数，ce为锂离子液相浓度。
由于实时锂离子液相浓度和表面固相浓度无法直接获取，本发明提出一种新的近似方法。锂离子液相浓度和浓差极化过电势之间的关系可通过液相欧姆定律表征，如式(21)所示：
其中，keff为锂离子液相电导率，
为了更清楚地表达二者之间的关系，式(21)两边同时积分后可写作式(22)：
kηconc＝k1lnce-k2(22)
其中，k，k1和k2均为组合系数。
式(22)可改写为式(23)：
用泰勒公式展开式(23)，忽略二阶及以上高次项，液相锂离子浓度可由浓差极化过电势的线性函数表示，如式(24)所示：
ce＝keηconc+c0(24)
其中，ke、c0均为拟合系数。
基于表面soc与锂离子表面嵌锂率
cs,solid＝(cs,max-cs,surf)cs,surf＝kc2usoc_surf2+kc1usoc_surf+kc0(25)
其中，kc2、kc1和kc0均为拟合系数，与电池soc有关。采用有限差分方法计算不同soc、恒流放电工况下cs,surf的数值解，可用来拟合这些系数。
通过这种近似简化方法，即可在不需要计算电化学微观变量的情况下获取交换电流密度j0，从而直接通过butler-volmer方程计算得到反应极化过电势ηctr。
(3)电池开路电压uocv(usoc_surf)的具体获取过程
电池开路电压uocv可由usoc_surf经查soc-ocv对照表得到，考虑到电池的固相扩散，根据式(3)、(4)、(5)、(6)可得式(26)：
usoc_surf＝usoc_avg-uδsoc(26)
其中，uδsoc近似代替锂离子固相扩散的影响，用4参数6阶多项式近似求解固相扩散过程中固相锂离子浓度分布，结果显示，uδsoc与法拉第电流if之间近似存在二阶暂态关系，可由式(27)描述。
其中ks,1、τs,1、ks,2、τs,2均为拟合系数，可利用有限差分法近似求解固相扩散的数值解，然后通过函数曲线拟合得到。
获取得到uδsoc后，即可得到usoc_surf，进而经查soc-ocv对照表得到uocv。
本发明具体模型描述总结如下：
上述等效模型在描述端电压响应时需要获取一些模型参数，在进行参数获取的过程中需要用到一些中间变量，具体的模型参数及其获取方式和中间变量列举如下：
基于锂电池实验对本发明进行了对比验证，选择目前最为常用的rtm作为对比对象，分别在混合脉冲功率工况(hybridpulsepowercondition，hppc)和动态工况(dynamicstresstest，dst)下完成了模型精度验证。
从图5、图6中可以看出，rtm在中、高soc范围内具有不错的拟合效果，但在低soc范围内误差明显增大。这是由于锂离子电池在低soc状态下具有很强的极化特性，且内部阻抗急剧变化。而本发明提出的模型，不仅在放电前期相较于二阶rc等效电路模型表现出更好的端电压特性，更重要的是，在低soc范围内能够完成端电压响应的跟随，尽管误差稍有增大，但依然能够反映此模型在描述电池全soc范围内电压特性方面的优越性。
从图7、图8中可以看出，相比于全soc范围的hppc工况，独立的低soc恒流放电工况下rtm表现有所改善，但依然无法同时很好地模拟电池在恒流放电和回弹阶段的极化特性。本发明提出的模型在低soc状态下依然能够很好模拟电池的极化特性主要归功于对锂离子电池内部固相扩散过程的描述，一方面由于uδsoc的加入，修正了电池工况下的实时开路电压，另一方面，引入usoc_surf参与电极反应极化过程的描述，改进了反应极化过电势的计算。
等效模型对动态工况的适应性是其能够满足实时系统应用的一个重要特点；从图9、图10、图11、图12中可以看出，相较于rtm，本发明所提出的模型在dst下能够表现出更优越的模拟特性，尤其是在充、放电电流变化频繁的情况下。随着工作电流的不断变化，电池内部阻抗随着复杂的电化学过程变化频繁，这给rtm带来了挑战。而本发明所提出的模型能够近似描述电池内部电化学过程，故可以从机理上做出更为精确的响应。
bms：batterymanagementsystem，电池管理系统。在电动汽车中用于检测动力电池状态，完成状态估算并制定合理的动力电池管理策略。
p2d模型：pseudo-two-dimensional，伪二维模型。基于多孔电极理论和浓溶液理论建立锂的电池机理模型，能够详细描述电池内部电化学反应过程，并对电池的外特性和内部变量的变化过程进行模拟。
spm：single-particlemodel，单粒子模型。在p2d模型的基础上，将电极上的活性物质简化为单个圆球，忽略电池内部锂离子液相扩散的电化学模型。
等效电路模型：采用电阻、电容等电子元件搭建电路，模拟锂离子电池的外特性。
rtm：runtime-basedmodel，基于运行时间的等效电路模型。用一个电阻模拟电池内部欧姆阻抗，用两个rc并联模块模拟电池内部极化过程，同时用电容和电流控电流源搭建soc估算模型(安时积分法)。
ocv：opencircuitvoltage，电池的开路电压。电池内部处于平衡状态时的端电压，用于表征电池的平衡电势(平衡状态下正负极之间的电势差)。
soc：stateofcharge，电池的荷电状态。用于表征电池剩余容量。
平均soc：电池的soc由锂离子固相浓度决定，平均soc是指由活性颗粒内部的平均锂离子浓度表征的soc。
表面soc：由活性颗粒表面锂离子浓度表征的soc。
扩散：不同区域内某组分从浓度高的区域向浓度低的区域移动的现象。
固相扩散：锂离子在活性颗粒内部从浓度高的区域向浓度低的区域移动。
液相扩散：锂离子在电解液中从浓度高的区域向浓度低的区域移动。
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