2计算板两端处的长度L3;根据连续系统振动理论，材料满足理想弹性体条件， 假定坐标原点为试样轴向中心，取试样轴向为X轴；U(X, t)为坐标X处的截面在t时刻的 纵向振动位移；S(X)是坐标X处试样横截面的面积，S'（X)为函数S(X)的一阶导数，那么 试样在谐振时的纵向波动方程为：
[0097] 假设试样满足谐振条件，将U(x，t)分离变量成u(x，t) = U(X)e11^t，代入（1)式得
[0099] 式中，:0为对函数U(X)求导，
阶求导：
为二阶求导。k为试样材料 的一个混合参数，
为试样材料的密度，E为试样材料的弹性模量，f为试样 振动频率。
[0100] 根据板状试样的横截面面积方程
[0102] 其中，Id1为板等截面段的厚度，b 2为板两端处的厚度，w为板的宽度。
[0103] 根据试样的横截面面积方程并根据边界条件
和 连续性条件
求得试样纵向的振动方程U(X)为：
[0105] 式中：
[0106]
[0107] u_= U| X = D为试样的最大位移振幅；α ρ β p 为：
[0109] 求得板两端处的长度L3S :
[0111] 在试样解析计算时假设图3中的含等截面段板状试样的变截面段曲线为悬链线， 由于机械加工难以完成，在实际加工时，用圆弧曲线代替悬链线；由变截面段长度L 2，最小 厚度h，两端处的厚度b2，求得变截面段过渡弧半径
[0112] 所述第二部分，具体如下：
[0113] 含等截面段板状超声疲劳试样的应力分布函数〇 (X)通过对位移函数U(X)求导 得到：
其最大应力幅〇 _在试样中间截面（X = 〇)处，求得含等截面段板状 试样的最大应力幅为：
[0115] 其中，E为试样材料的弹性模量，
为试样的最大位移振 幅，
[0116] 对于含等截面段板状试样，拟定其尺寸参数L1, L2, bp b2，首先根据公式（4)求得 板两端处的长度L3，拟定需要加载的应力幅值为σ _，由式（5)求得含等截面段板状试样应 力幅值对应的位移幅值
[0117] 对于系统控制软件中自带的圆弧形超声疲劳试样，如图4所示，拟定/<、<，/J丨 数据，为圆弧形试样中最细处的半径，圯为试样两端处圆柱的半径，if为试样中间变 截面段长度的一半；那么圆弧形试样两端处的长度4由系统控制软件自动给出，也可以由 圆弧形试样两端处长度的解析公式给出：
[0119] 式中，
P为试样材料的密度， E为试样材料的弹性模量，f为试样振动频率。
[0120] 圆弧形试样的应力分布函数。°(x)通过对位移函数求导得到，圆弧形试样最大应 力幅式样中间截面（X = 〇)处：
[0123] 由式（7)可知，为了使含等截面段板状试样的位移振幅为Uniax，需拟定圆弧形试样 在与含等截面段板状试样相同的位移振幅Uniax下对应的应力幅值〇1\为：
[0125] 式（8)即为含等截面段板状试样和圆弧形试样之间的应力转换公式，其中， 为含等截面段板状试样的应力幅值，Cix为相同位移幅值下对应的圆弧形试样应力幅值。
[0126] 所述第三部分，具体如下：
[0127] 假定通过精确测量测得实际加工出来的含等截面段板状试样尺寸为L' i，L' 2, L' 3， b' i，b'2，如图3所示，b' i为板等截面段的实测厚度，b'2为板两端处的实测厚度，L1S 板等截面段实测长度的一半，L'2为板变截面段实测长度，L' 3为板两端处的实测长度。由 于试样实测尺寸与设计尺寸存在偏差，将导致试样的实际谐振频率可能不是2. OX 104Hz。 此时试样实际谐振频率f'可根据式（4)由试样的实测尺寸来反算，将L' i，L' 2, b' i，b' 2 代入式（4)，并将振动频率在超声疲劳试验机的振动频率范围内，即在19. 50X IO3Hz~ 20. 50 X IO3Hz之间每隔IOHz逐一取值编程计算，求得板两端处的实测长度L' 3和谐振频率 f'之间的对应关系，即可由1；3的值得到实际谐振频率f ;
[0128] 若f'小于19. 50X IO3Hz或大于20. 50X IO3Hz,表明试样的尺寸偏差过大，以至于 试样无法起振，试样需要重新加工；
[0129] 根据得到的f，可以求得含等截面段板状试样在应力幅值σ _下的实际振动位 移幅僅
[0130] 其中
[0132] 根据U'_，由式（8)可以求得给定尺寸圆弧形试样在振幅U'_下对应的应力幅值
为给定的圆弧形试样的尺寸 值，f°= 2. 0 X 10 4Hz ; ^的表达式如下：
[0134] 式（9)即为含等截面段板状试样的应力修正公式；其中，g，<·/??为给定 的圆弧形试样的尺寸值，f°= 2. 0 X 10 4Hz，L' i，L' 2, L' 3, b' i，b' 2为含等截面段板状试样的 实测尺寸值，f'为由板状试样实测尺寸L' i，L' 2, L' 3, b' i，b' 2反算得到的实际谐振频率。
[0135] 实施例1
[0136] 以一种汽车板用钢材料为例，假定试样加工过程中，尺寸精度控制的非常好。
[0137] 1.测量出汽车板用钢材料弹性模量E = 206GPa，密度P = 7850kg/m3。
[0138] 2.对试样尺寸进行设计。预设轴向拉压试样为含等截面段板状超声疲劳试样，如 图3所示。先拟定其尺寸参数，L 1= 12. 5mm，L 2= 20mm，b丨=3mm，b 2= 10mm，b丨为板等截 面段的厚度，b2为板两端处的厚度，L i为板等截面段长度的一半，L 2为板变截面段长度。计 算时将所有已知的参数换算成_，g，ms的量纲单位，由板状试样两端处长度的计算公式即 式（4)计算可得试样两端处的长度L 3= 11. 13_，变截面段过渡弧半径R= 58. 89_。而后 根据L1, L2, L3, bp b2, R等参数将材料加工成超声疲劳试样，抛光试样中部的工作区域，即等 截面段和变截面段表面，达到光洁度Ra= 〇. 32。对试样的一侧进行攻孔，螺孔直径为5mm。
[0139] 3.将加工好的试样固定在超声疲劳试验机位移放大器中，调整冷却空气喷嘴，对 准试样应力集中部位，打开阀门，冷却试样，如图6所示。
[0140] 4.打开超声疲劳系统控制软件，选取圆弧形试样类型，拟定圆弧形试样尺寸参数
为圆弧形试样中最细处的半径，馬0为试样两端处 圆柱的半径，拉为试样中间变截面段长度的一半。由圆弧形试样两端处长度的解析公式 (6)或者由超声疲劳试验机系统控制软件可以求得圆弧形试样两端处的长度
[0141] 5.拟定含等截面段板状试样需要加载的应力幅值σ_= 200MPa，根据拟 定的圆弧形试样的尺寸参数
和含等 截面段板状试样的尺寸参数L1= 12. 5mm，L 2= 20mm，L 3= 11. 13mm，b丨=3mm，b 2 = 10mm。由应力转换公式即式（8)求得相同的位移振幅下对应的圆弧形试样的应力幅值 C =449MPa.即需要在系统控制软件中输入的圆弧形试样的应力幅值，此时的振动位 移幅值为22. Ιμπι。σ_= 200MPa时，如果直接采用圆弧形试样进行试验，尺寸参数
的圆弧形试样的位移幅值为9. 85 μ m，超 过了超声疲劳试验机的振动范围，试验无法完成。
[0142] 6.在控制系统软件中设定好其他各项试验参数后，开始含等截面段板状试样的轴 向拉压超声疲劳试验，振动频率为2. 0 X IO4Hz,经过1. 38 X IO7周次的循环后，试样断裂。
[0143] 实施例2
[0144] 以和实施例1中相同的汽车板用钢材料为例，假定试样加工过程中，尺寸精度控 制不好，并且试样加工完成后经过表面打磨导致试样的实际尺寸与设计尺寸偏差较大。
[0145] 1.测量出汽车板用钢材料的弹性模量E = 206GPa，密度P = 7850kg/m3。
[0146] 2.对试样尺寸进行设计。预设轴向拉压试样为含等截面段板状超声疲劳试样，如 图3所示。先拟定其尺寸参数，L 1= 12. 5mm，L 2= 20mm，b丨=3mm，b 2= 10mm，b丨为板等截 面段的厚度，b2为板两端处的厚度，L i为板等截面段长度的一半，L 2为板变截面段长度。计 算时将所有已知的参数换算成_，g，ms的量纲单位，由板状试样两端处长度的计算公式即 式（4)计算可得试样两端处的长度L