基于模型参考自适应控制的舰载无人机自动着舰控制装置的制作方法

文档序号:12360779阅读:来源:国知局

技术特征:

1.一种基于模型参考自适应控制的舰载无人机自动着舰控制装置,其特征在于,该装置包括:着舰指令与下滑基准轨迹生成模块,用于根据舰船与舰载无人机的相对位置和绝对位置信息,生成三维下滑基准轨迹信号和速度指令信号;

模型参考自适应飞行控制模块,利用模型参考自适应控制算法生成舰载无人机的飞行控制信号,使得舰载无人机的实际飞行轨迹和速度跟踪着舰指令与下滑基准轨迹生成模块所生成的三维下滑基准轨迹信号和速度指令。

2.如权利要求1所述舰载无人机自动着舰控制装置,其特征在于,模型参考自适应飞行控制模块中,用于对参考模型的名义控制矩阵估计值K2(t)进行在线更新的自适应更新律按照以下方法设计得到:

ω(t)=[ΔxT(t),ΔrT(t)]T,Δr为参考输入信号,Δx为状态向量,则输出跟踪误差

e(t)=Δy(t)-Δym(t),

式中,Δy、Δym分别为系统输出、参考模型输出;

定义新的误差信号为

ε(t)=ξm(s)h(s)[e](t)+Ψ(t)ξ(t),

式中,h(s)=1/f(s),f(s)为稳定多项式,Ψ(t)为Ψ*=Kp的估计值,Kp为高频增益矩阵,ξm(s)为参考模型的交互矩阵,ξ(t)=ΘT(t)ζ(t)-h(s)[Δu](t);

ζ(t)=h(s)[ω](t),

则新的误差信号转化为

<mrow> <mi>&epsiv;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>&Psi;</mi> <mo>*</mo> </msup> <msup> <mover> <mi>&Theta;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <mi>&zeta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mover> <mi>&Psi;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&xi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

式中,

于是,控制矩阵参数的自适应更新律设计为:

<mrow> <msup> <mover> <mi>&Theta;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>S</mi> <mi>p</mi> </msub> <mi>&epsiv;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>&zeta;</mi> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msup> <mi>m</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow>

<mrow> <mover> <mi>&Psi;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>-</mo> <msup> <mi>&Gamma;&epsiv;&xi;</mi> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msup> <mi>m</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow>

式中,Γ=ΓT>0,Sp为可逆定常矩阵。

3.如权利要求1所述舰载无人机自动着舰控制装置,其特征在于,模型参考自适应飞行控制模块的输入信号包括:舰载无人机的四个纵向状态量——飞行速度V、迎角α、俯仰角速率q、俯仰角θ;五个横侧向状态量——侧滑角β、滚转角速率p、偏航角速率r、滚转角φ、偏航角ψ;着舰指令与下滑基准轨迹生成模块输出的速度指令Vc及下滑基准轨迹信号XEATDc(t),YEATDc(t),ZEATDc(t);

模型参考自适应飞行控制模块的输出信号包括:油门开度ΔδT、升降舵偏角Δδe、副翼偏角δa、方向舵偏角δr

模型参考自适应飞行控制模块中的飞行控制律包括纵向和横侧向飞行控制律,通过以下方法设计得到:

第一步,基于如下纵向线性模型

<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&Delta;</mi> <mover> <mi>V</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&Delta;</mi> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&Delta;</mi> <mover> <mi>q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&Delta;</mi> <mover> <mi>&theta;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&Delta;</mi> <mover> <mi>H</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&Delta;</mi> <mi>V</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&Delta;</mi> <mi>&alpha;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&Delta;</mi> <mi>q</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&Delta;</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&Delta;</mi> <mi>H</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&Delta;&delta;</mi> <mi>e</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&Delta;&delta;</mi> <mi>T</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>&Delta;y</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>&Delta;</mi> <mi>V</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&Delta;</mi> <mi>&alpha;</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&Delta;</mi> <mi>q</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&Delta;</mi> <mi>&theta;</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&Delta;</mi> <mi>H</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>

判断传递函数矩阵的相对阶次li,i=1,2,计算高频增益矩阵

<mrow> <msub> <mi>K</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>A</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>A</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>

保证为非奇异;式中,Alon、Blon、Clon为变量符号描述的纵向线性系统矩阵,c1,lon、c2,lon分别为Clon的第1行和第2行;

第二步,根据传递函数矩阵的相对阶次li,i=1,2,选取交互矩阵其中p1i,p2i为纵向系统期望极点,从而设计如下参考模型

Δym,lon(t)=Wm,lon(s)[Δrlon](t)

式中,Δrlon(t)=[0,ΔHEATDc]T

第三步,计算纵向飞行控制律

<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>&Delta;</mi> <msub> <mi>&delta;</mi> <mi>e</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&Delta;</mi> <msub> <mi>&delta;</mi> <mi>T</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>K</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>&Delta;</mi> <mi>V</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&Delta;</mi> <mi>&alpha;</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&Delta;</mi> <mi>q</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&Delta;</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&Delta;</mi> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&Delta;</mi> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mi>A</mi> <mi>T</mi> <mi>D</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>

其中,K2,lon(t)为在线更新的控制矩阵;

第四步,基于如下横侧向线性模型

<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mover> <mi>&beta;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>p</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>r</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>&phi;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>&psi;</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>y</mi> <mo>&CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>&beta;</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>p</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>r</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&phi;</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&psi;</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>y</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&delta;</mi> <mi>a</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&delta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>&beta;</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>p</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>r</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&phi;</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&psi;</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>y</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>

判断传递函数矩阵的相对阶次li,i=1,2,计算高频增益矩阵

<mrow> <msub> <mi>K</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>A</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>a</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>

保证为非奇异;式中,Alat、Blat、Clat为横侧向线性系统矩阵,c1,lat、c2,lat分别为Clat的第1行和第2行;

第五步,根据传递函数矩阵的相对阶次li,i=1,2,选取交互矩阵其中p1i,p2i为横侧向系统期望极点,从而设计如下参考模型

ym,lat(t)=Wm,lat(s)[rlat](t)

式中,rlat(t)=[0,YEATDc]T

第六步,计算横侧向飞行控制律

<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&delta;</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&delta;</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>K</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>&beta;</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>p</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>r</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&phi;</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&psi;</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>y</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>Y</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mi>A</mi> <mi>T</mi> <mi>D</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>

其中,K2,lat(t)为在线更新的控制矩阵。

4.如权利要求1所述舰载无人机自动着舰控制装置,其特征在于,着舰指令与下滑基准轨迹生成模块的输入信号包括:舰船跑道或下滑道的方位角(ψSac),其中ψS为舰船方位角,λac为斜角甲板夹角;着舰指令与下滑基准轨迹生成模块的输出信号包括:速度指令Vc及下滑基准轨迹信号XEATDc(t),YEATDc(t),ZEATDc(t)。

5.如权利要求4所述舰载无人机自动着舰控制装置,其特征在于,着舰指令与下滑基准轨迹生成模块使用以下方法生成速度指令Vc及下滑基准轨迹信号XEATDc(t)、YEATDc(t)、ZEATDc(t):

捕获下滑道后,根据已知的初始下滑高度-ZEA0、下滑角γc、下滑速度Vc,计算着舰时间

<mrow> <msub> <mi>t</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>Z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <msub> <mi>V</mi> <mi>c</mi> </msub> <msub> <mi>sin&gamma;</mi> <mi>c</mi> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow>

和下滑道长度

<mrow> <msub> <mi>R</mi> <mi>A</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>V</mi> <mi>c</mi> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mi>A</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow> <msub> <mi>sin&gamma;</mi> <mi>c</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>;</mo> </mrow>

然后计算以理想着舰点为原点的地面坐标系下的三维下滑基准轨迹:

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mi>A</mi> <mi>T</mi> <mi>D</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>V</mi> <mi>c</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>cos&gamma;</mi> <mi>c</mi> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&psi;</mi> <mi>S</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&lambda;</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>Y</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mi>A</mi> <mi>T</mi> <mi>D</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>V</mi> <mi>c</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>cos&gamma;</mi> <mi>c</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&psi;</mi> <mi>S</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&lambda;</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mi>A</mi> <mi>T</mi> <mi>D</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mi>A</mi> <mi>T</mi> <mi>D</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>V</mi> <mi>c</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>sin&gamma;</mi> <mi>c</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>.</mo> </mrow>

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