一种基于异步状态观测器的马尔科夫跳变系统控制方法与流程

本发明属于自动控制领域，涉及一种基于异步状态观测器的马尔科夫跳变系统控制方法。

背景技术：

马尔科夫跳变系统是一种具有多个模态的随机系统，系统在各个模态之间的跳变转移是由马尔科夫链决定的。由于参数的跳跃性，马尔科夫跳变系统非常适合模拟遭受随机结构变化或模型不确定性的系统。并且马尔可夫跳变系统数学形式简单，能够对物理系统精确建模，因此受到了国内外研究者的广泛关注，相关研究成果被成功应用于能源电力、网络通信、经济预测等多个领域。

目前学者已经在马尔可夫跳变系统的状态估计及控制器设计方面取得了许多重要的研究成果，考虑了时延、不确定性以及执行器故障等因素对马尔可夫跳变系统稳定性的影响。然而，现有的技术都是基于观测器与系统模型同步跳变的基础上，而实际系统的运行模态往往难以获取甚至无法获取，很难保证观测器与系统模型同步跳变。因此，设计一种与系统非同步跳变的异步观测器来估计系统状态对马尔可夫跳变系统的控制器设计非常重要。

技术实现要素：

本发明的目的在于克服上述现有技术的缺点，提供一种基于异步状态观测器的马尔科夫跳变系统控制方法。

为达到上述目的，本发明采用以下技术方案予以实现：

一种基于异步状态观测器的马尔科夫跳变系统控制方法，包括以下步骤：

步骤1：将马尔科夫跳变系统的控制问题采用数学形式进行描述；通过离散时间的线性马尔科夫跳变系统方程以及异步状态观测器和控制器方程得到闭环系统方程；

步骤2：给出保证闭环系统指数稳定性和h∞性能的充分条件，并分析闭环系统的稳定性；

步骤3：将步骤2中的充分条件线性化，同时迭代求解异步状态观测器和控制器增益。

本发明进一步的改进在于：

步骤1中：

离散时间的线性马尔科夫跳变系统方程为：

其中：x(k)∈rⁿ表示系统状态，u(k)∈r^m表示系统输入；z(k)∈r^s表示调节输出，y(k)∈r^t表示测量输出，w(k)∈r^v表示外源性干扰，ark,brk,...,crk均为马尔科夫跳变过程中的常量参数，rk表示马尔科夫跳变过程且包含于集合l，集合l＝{1,2,…,l}，rk满足pr{rk+1＝j∣rk＝i}＝πij，其中：0≤πij≤1并且πi1+πi2+...+πil＝1；

异步状态观测器和控制器方程为：

其中：表示估计状态，表示估计输出，kτk表示反馈增益，lτk表示观测器增益，τk表示l空间到ξ空间的概率映射，ξ＝{1,2,…,s}，其转移概率满足：pr{τk＝q∣rk＝i}＝θiq,i∈l,q∈ξ，其中：0≤τij≤1，θi1+θi2+...+θis＝1；

定义估计误差rk＝i和τk＝q；通过离散时间的线性马尔科夫跳变系统方程以及异步状态观测器和控制器方程得到闭环系统的方程：

其中：

闭环系统是指数收敛的：

其中：b>0，τ∈(0,1)，为任意的初始条件；

闭环系统的被控输出z(k)满足：

步骤2中：

通过构造随机李雅普诺夫函数给出保证闭环系统指数稳定性和h∞性能的充分条件，并采用李雅普诺夫理论分析闭环系统的稳定性。

步骤2中：

通过构造随机李雅普诺夫函数给出保证闭环系统指数稳定性和h∞性能的充分条件：

其中：mi,q>0，ni,q>0，pi>0，qi>0；

步骤3中：

采用锥补线性化算法将步骤2中的充分条件线性化。

步骤3中充分条件线性化的具体方法为：

利用矩阵ti替换pi的逆矩阵，利用矩阵qi替换ji的逆矩阵：

piti＝i,qiji＝i,i∈l

其中：piti满足tr(piti)＝n，qiji满足tr(qiji)＝n；将矩阵ti和ji代入步骤2中的充分条件中，采用标准锥补线性化算法将充分条件线性化。

与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：

通过设计异步状态观测器对系统状态进行估计，利用估计状态设计控制器镇定系统，同时给出保证闭环系统指数稳定性的充分条件并利用李雅普诺夫理论分析闭环系统的稳定性，然后利用锥补线性化算法将建立的充分条件线性化，求解控制器和观测器增益。异步状态观测器及控制器有自己的运行模态，无需与系统同步跳变即可达到镇定闭环系统的目的，即允许异步状态观测器和控制器与系统有不同的跳变模态，异步状态观测器和控制器无需与系统同步运转，提高设计方法的实用性。经过仿真一些马尔科夫跳变问题，表明在观测器和控制器与系统模态异步跳变的情况下，本方法可以有效地控制马尔科夫跳变系统。

进一步的，利用锥补线性化算法求解异步状态观测器和控制器增益可以降低奇异值分解方法的保守性，进而确保异步状态观测器和控制器增益的精度。

附图说明

图1为本发明的控制系统和状态观测器的运行模态图；

图2为本发明的系统状态x1和x1的估计曲线图；

图3为本发明的系统状态x2和x2的估计曲线图。

具体实施方式

为了使本技术领域的人员更好地理解本发明方案，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分的实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都应当属于本发明保护的范围。

需要说明的是，本发明的说明书和权利要求书及上述附图中的术语“第一”、“第二”等是用于区别类似的对象，而不必用于描述特定的顺序或先后次序。应该理解这样使用的数据在适当情况下可以互换，以便这里描述的本发明的实施例能够以除了在这里图示或描述的那些以外的顺序实施。此外，术语“包括”和“具有”以及他们的任何变形，意图在于覆盖不排他的包含，例如，包含了一系列步骤或单元的过程、方法、系统、产品或设备不必限于清楚地列出的那些步骤或单元，而是可包括没有清楚地列出的或对于这些过程、方法、产品或设备固有的其它步骤或单元。

首先对本文所用到的符号进行说明，x＞y(x≥y)表示x＞y是正定(半正定)的；0和i分别表示零矩阵和单位矩阵；e{x}代表x的期望；diag{...}表示一个块对角矩阵；矩阵中的*表示对称元素。

下面对本发明做进一步详细描述：

本发明一种基于异步状态观测器的马尔科夫跳变系统控制方法，包括以下步骤：

步骤1：将需要解决的马尔科夫跳变系统的控制问题用数学形式进行描述。

离散时间的线性马尔科夫跳变系统如公式(1)所示：

其中：x(k)∈rⁿ是系统状态，u(k)∈r^m表示系统输入；z(k)∈r^s为调节输出，y(k)∈r^t表示测量输出，w(k)∈r^v代表外源性干扰，ark,brk,...,crk均是马尔科夫跳变过程中的常量参数。

马尔科夫过程rk包含于集合l＝{1,2,…,l}并且满足：

pr{rk+1＝j∣rk＝i}＝πij(2)

其中，0≤πij≤1并且πi1+πi2+...+πil＝1。

在本发明中，我们的主要目标是设计一个能够和受控系统异步运行的动态状态观测器，即允许异步状态观测器和控制器与系统有不同的跳变模态，提高设计方法的实用性。

异步状态观测器和控制器的数学表示如式(3)：

其中：代表估计状态，代表估计输出，kτk表示反馈增益，lτk表示观测器增益，τk是从l空间到ξ空间的概率映射，ξ＝{1,2,…,s}，相应的转移概率满足：

pr{τk＝q∣rk＝i}＝θiq,i∈l,q∈ξ(4)

其中，0≤τij≤1并且θi1+θi2+...+θis＝1。

定义估计误差rk＝i和τk＝q；根据式(1)和式(3)得到闭环系统方程：

其中：

本发明的目标是对于一个给定的马尔科夫跳变系统和一个预先定义的标量γ，设计一个形如式(3)的异步状态观测器来使式(5)中的闭环系统同时满足下面两个要求：

闭环系统是指数收敛的：

其中：b>0，τ∈(0,1)，而为任意的初始条件。

闭环系统的被控输出z(k)满足：

步骤2：通过构造随机李雅普诺夫函数给出保证闭环系统指数稳定性和h∞性能的充分条件并利用李雅普诺夫理论分析闭环系统的稳定性。

找到矩阵mi,q>0，ni,q>0，pi>0，qi>0，使得下面两个条件成立：

通过李雅普诺夫理论证明闭环系统的系统指数稳定性和h∞性能，其中：

步骤3：利用锥补线性化算法将建立的充分条件(7)线性化，求解控制器和异步状态观测器增益。充分条件(7)具有非线性的根本原因在于逆矩阵的存在，因此利用矩阵ti替换pi的逆矩阵，同时利用矩阵qi替换ji的逆矩阵，即：

piti＝i,qiji＝i,i∈l(8)

然后引入下面两个不等式：

注意到公式(8)成立的充要条件是：

tr(piti)＝n，tr(qiji)＝n(10)

通过将矩阵ti和ji代入充分条件(7)，然后通过标准的锥补线性化算法就可以对充分条件(7)进行线性化，同时给定误差参数并迭代求解异步控制器和状态观测器增益。

本发明设计目标是设计基于异步状态观测器的马尔科夫跳变系统控制方法：1.通过异步观测器估计系统状态，估计状态用以设计控制器；2.允许异步状态观测器及控制器与系统有不同的跳变模态，即观测器和控制器无需与系统同步运转；3.利用锥补线性化算法求解控制器增益以降低奇异值分解方法的保守性，进而确保控制器增益的精度。

下面结合具体仿真实例，进一步阐述本发明。

首先考虑一个如式(1)所示的马尔科夫跳转系统，选取参数如下：

f1＝0.8，g1＝g2＝0.1

f2＝0.4，g1＝g2＝[11]

接下来，系统和状态观测器的状态转移矩阵设定如下：

同时，外界干扰w(k)为：

w(k)＝e^-0.1kcos(2k)

此外，设定γ＝1.5然后利用本发明基于异步状态观测器的马尔科夫跳变系统控制方法，我们很容易可以获得如下控制器增益：

k1＝[-0.412-1.386]，

和观测器增益：

l1＝[-0.8830.440]，l2＝[1.1460.009]

参见图1，描述了控制系统和状态观测器的运行模态，表明二者的运行模态是异步的；参见图2和图3，系统状态x1和它的估计曲线以及系统状态x2和它的估计曲线，表明本发明的状态观测器可以有效地估计系统状态并且实现控制目的。

以上内容仅为说明本发明的技术思想，不能以此限定本发明的保护范围，凡是按照本发明提出的技术思想，在技术方案基础上所做的任何改动，均落入本发明权利要求书的保护范围之内。