一种控制输入受限的二阶混沌比例投影同步方法与流程

本发明属于自动控制技术领域，具体涉及一种控制输入受限的二阶混沌比例投影同步方法。

背景技术：

混沌是连接确定性运动和随机性运动的纽带，广泛存在于自然界和人类社会中。自从pecora和carroll通过电子线路实现混沌同步以来，由于混沌同步在保密通信和控制领域等方面具有巨大的潜在应用前景，使其得到了广泛的关注和深入的研究。mainieri和rehacek提出投影同步的概念，统一了不同类型的混沌同步现象。二阶混沌系统只需要单一控制输入就能实现比例投影同步，在保密通信方面具有广泛的应用前景。

滑模控制对于建模不确定和外部干扰信号具有很强的鲁棒性，并具有响应速度快和容易实现等优点，广泛用于非线性系统的控制。普通滑模控制分为趋近模态和滑动模态，并且只在滑动模态具有鲁棒性。全局滑模控制是通过设计动态非线性滑模面来实现的，在趋近模态和滑动模态都具有鲁棒性。采用全局滑模控制器进行二阶混沌系统的比例投影同步控制时，控制输入的大小要有一定的限制，过大的控制输入不仅会使系统的控制难以实现，甚至可能会损坏执行器，研究控制输入受限的二阶混沌比例投影同步方法非常必要。

技术实现要素：

基于以上的技术问题，本发明提供一种控制输入受限的二阶混沌比例投影同步方法，根据驱动系统和响应系统建立比例投影同步误差系统，采用全局滑模面和自适应指数趋近律设计全局滑模控制器，在饱和约束下的全局滑模控制器对比例投影同步误差系统进行平衡控制，实现驱动系统和响应系统的比例投影同步控制，对建模不确定和外部干扰信号具有鲁棒性。

所述一种控制输入受限的二阶混沌比例投影同步方法，包括以下步骤：

步骤1：驱动系统为二阶混沌系统，响应系统为带有建模不确定和外部干扰信号的二阶混沌系统，根据驱动系统和响应系统，建立比例投影同步误差系统；

驱动系统为二阶混沌系统，其状态方程为：

其中，x1和x2为系统的状态变量，x＝[x1,x2]^t，f1(x,t)为连续函数，t为时间。

响应系统为二阶混沌系统，带有建模不确定和外部干扰信号的受控响应系统，其状态方程为：

其中，y1和y2为系统的状态变量，y＝[y1,y2]^t，f2(y,t)为连续函数，t为时间。△f2(y)为建模不确定，d(t)为外部干扰信号，u1为控制输入。驱动系统和响应系统为同构混沌或者为异构混沌。

建模不确定△f2(y)和外部干扰信号d(t)均有界，即：

|△f2(y)|+|d(t)|≤d1(3)

其中，d1为建模不确定和外部干扰信号的上界，且d1>0。

驱动系统和响应系统的比例投影同步误差为：

其中，k为比例常数，且k≠0。当k＝1时，驱动系统和响应系统是完全同步，当k＝-1时，驱动系统和响应系统为反相同步。完全同步和反相同步为比例投影同步的特殊情况。

对公式(4)进行求导，得到比例投影同步误差系统为：

驱动系统和响应系统的比例投影同步控制，转换为比例投影同步误差系统的平衡控制，即

步骤2：设计全局滑模面和自适应指数趋近律；

在全局滑模控制器的设计中，采用的全局滑模面为：

s＝e2+ce1-p(t)(6)

其中，c>0，p(t)是为了实现全局滑模控制设计的函数。当t＝0时，s(0)＝0。当t→∞时，s→0。函数p(t)需要满足下面的三个条件：

(1)p(0)＝e2(0)+ce1(0)；

(2)当t→∞时，p(t)→0；

(3)p(t)具有一阶导数。

根据以上三个条件，将函数p(t)设计为：

p(t)＝p(0)e^-βt(7)

其中，β为常数，且β>0。对函数p(t)进行求导，得到：

在全局滑模控制器的设计中，采用的自适应指数趋近律为：

其中，k1，k2和k3为常数，且k1>0，k2>0，k3≥d1。

步骤3：根据比例投影同步误差公式(5)，全局滑模面公式(6)和自适应指数趋近律，设计全局滑模控制器为：

利用lyapunov稳定性理论对系统的稳定性进行证明。lyapunov函数为：

其中，s为公式(6)中定义的全局滑模面。

对公式(11)进行求导，然后将公式(5)和公式(10)带入后，得到：

由于v≥0，根据lyapunov稳定性原理，全局滑模控制器能够实现比例投影同步误差系统的平衡控制，即从而实现驱动系统和响应系统的比例投影同步控制，对建模不确定和外部干扰信号具有鲁棒性。

步骤4：采用正弦型饱和函数sat(s)代替符号函数sgn(s)，改进全局滑模控制器，具体如下：

在全局滑模控制器中存在符号函数sgn(s)，会使控制输入不连续，出现抖振现象。符号函数sgn(s)的表达式为：

为了削弱抖振的影响，采用正弦型饱和函数sat(s)代替符号函数sgn(s)。正弦型饱和函数sat(s)的表达式为：

其中，δ为常数，且δ>0。

改进后的全局滑模控制器为：

步骤5：全局滑模控制器控制输入受到的饱和约束为：

其中，umax为最大控制输入值，且umax>0，u1为公式(14)的全局滑模控制器，u为饱和约束下的全局滑模控制器。

步骤6：采用饱和约束下的全局滑模控制器对比例投影同步误差系统进行平衡控制，实现驱动系统和响应系统的比例投影同步控制，对建模不确定和外部干扰信号具有鲁棒性。

有益技术效果：

采用全局滑模面和自适应指数趋近律设计全局滑模控制器，提出采用饱和约束下的全局滑模控制器对比例投影同步误差系统进行平衡控制。为了削弱抖振现象，在全局滑模控制器中，采用正弦型饱和函数代替符号函数。在控制输入受限情况下能够实现二阶混沌系统的比例投影同步控制，比例投影同步的速度非常快，对建模不确定和外部干扰信号具有很好的鲁棒性和很高的可靠性。

附图说明

图1是本发明的总体原理图；

图2是具体实施例1中采用符号函数时饱和约束下全局滑模控制器的响应曲线；

图3是具体实施例1中采用正弦型饱和函数时饱和约束下全局滑模控制器的响应曲线；

图4是具体实施例1中比例投影同步误差的响应曲线；

图5是具体实施例2中采用符号函数时饱和约束下全局滑模控制器的响应曲线；

图6是具体实施例2中采用正弦型饱和函数时饱和约束下全局滑模控制器的响应曲线；

图7是具体实施例2中比例投影同步误差的响应曲线。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施实例对发明做进一步说明：如图1所示，驱动系统为二阶混沌系统，响应系统为带有建模不确定和外部干扰信号的二阶混沌系统，根据驱动系统和响应系统，建立比例投影同步误差系统；设计全局滑模面和自适应指数趋近律，并采用全局滑模面和自适应指数趋近律设计全局滑模控制器；饱和约束下的全局滑模控制器对比例投影同步误差系统进行平衡控制，实现驱动系统和响应系统的比例投影同步控制。

为了更加直观的显示本发明提出的一种控制输入受限的二阶混沌比例投影同步方法的有效性，采用matlab/simulink软件对本控制方案进行计算机仿真实验。在仿真实验中，采用ode45算法，ode45算法即四阶-五阶runge-kutta算法，是一种自适应步长的常微分方程数值解法，最大步长为0.0001s，仿真时间为3s。在正弦型饱和函数sat(s)中参数设定为δ＝0.001。

具体实施例1：

步骤1：驱动系统为二阶混沌系统，响应系统为带有建模不确定和外部干扰信号的二阶混沌系统，根据驱动系统和响应系统，建立比例投影同步误差系统；

驱动系统和响应系统均为二阶duffing混沌系统。驱动系统为duffing混沌系统，状态方程为：

其中，x＝[x1,x2]^t，t为时间。驱动系统的初始状态设定为x1(0)＝-0.5，x2(0)＝0.6。

响应系统为二阶duffing混沌系统。带有建模不确定和外部干扰信号的受控响应系统，状态方程为：

其中，y＝[y1,y2]^t，t为时间建模不确定△f2(y)设定为△f2(y)＝0.5cos(y1+y2)，外部干扰信号d(t)设定为d(t)＝0.5sin(πt)。建模不确定△f2(y)和外部干扰信号d(t)均有界，且|△f2(y)|+|d(t)|≤d1，则d1＝1。响应系统的初始状态设定为y1(0)＝1，y2(0)＝1。

驱动系统和响应系统的比例投影同步误差采用公式(4)：

其中，参数设定为k＝1.1。

步骤2：设计全局滑模面和自适应指数趋近律；

全局滑模面采用公式(6)：

s＝e2+ce1-p(t)(6)

其中，参数设定为c＝7。

在全局滑模面中，函数p(t)采用公式(7)：

p(t)＝p(0)e^-βt(7)

其中，参数设定为β＝5。

在全局滑模控制器的设计中，自适应指数趋近律采用公式(9)：

其中，参数设定为k1＝3，k2＝0.5，k3＝1.2，且k3≥d1。

步骤3：根据比例投影同步误差公式(5)，全局滑模面公式(6)和自适应指数趋近律，设计全局滑模控制器为：

步骤4：采用正弦型饱和函数sat(s)代替符号函数sgn(s)，改进全局滑模控制器，具体如下：

在全局滑模控制器中存在符号函数sgn(s)，会使控制输入不连续，出现抖振现象。符号函数sgn(s)的表达式为：

为了削弱抖振的影响，采用正弦型饱和函数sat(s)代替符号函数sgn(s)。正弦型饱和函数sat(s)的表达式为：

其中，δ为常数，且δ>0。

改进后的全局滑模控制器为：

步骤5：全局滑模控制器控制输入受到的饱和约束采用公式(16)：

其中，参数设定为umax＝10。

步骤6：采用饱和约束下的改进后全局滑模控制器对比例投影同步误差系统进行平衡控制，实现驱动系统和响应系统的比例投影同步控制，对建模不确定和外部干扰信号具有鲁棒性。

控制参数如前所设，进行系统的仿真。图2是采用符号函数时饱和约束下全局滑模控制器u的响应曲线。图3是采用正弦型饱和函数时饱和约束下全局滑模控制器u的响应曲线。在图2中，控制输入出现了明显的抖振现象。在图3中，控制输入没有出现抖振现象。在图2和图3中，全局滑模控制器出现了饱和约束，u＝-umax＝-10。图4是驱动系统和响应系统比例投影同步误差的响应曲线。从仿真曲线可以直观的观察到比例投影同步误差在1.9s时基本收敛到零，比例投影同步的速度非常快。饱和约束下全局滑模控制器实现了不同初始状态驱动系统和响应系统的比例投影同步控制，比例投影同步的速度非常快，对建模不确定和外部干扰信号具有很好的鲁棒性和很高的可靠性。

具体实施例2：

步骤1：驱动系统为二阶混沌系统，响应系统为带有建模不确定和外部干扰信号的二阶混沌系统，根据驱动系统和响应系统，建立比例投影同步误差系统；

驱动系统为二阶duffing混沌系统，响应系统为二阶vanderpol混沌系统。驱动系统为duffing混沌系统，状态方程为：

其中，x＝[x1,x2]^t，t为时间。驱动系统的初始状态设定为x1(0)＝0.8，x2(0)＝-0.5。

响应系统为vanderpol混沌系统。带有建模不确定和外部干扰信号的受控响应系统，状态方程为：

其中，y＝[y1,y2]^t，t为时间，f2(y,t)＝-y1+3(1-y12)y2+5sin(1.788t)，建模不确定△f2(y)设定为△f2(y)＝0.4cos(y1+0.5)+0.1，外部干扰信号d(t)设定为d(t)＝0.5sin(4t)。建模不确定△f2(y)和外部干扰信号d(t)均有界，且|△f2(y)|+|d(t)|≤d1，则d1＝1。响应系统的初始状态设定为y1(0)＝1.5，y2(0)＝-1.2。

驱动系统和响应系统的比例投影同步误差采用公式(4)：

其中，参数设定为k＝-1.5。

步骤2：设计全局滑模面和自适应指数趋近律；

全局滑模面采用公式(6)：

s＝e2+ce1-p(t)(6)

其中，参数设定为c＝7。

在全局滑模面中，函数p(t)采用公式(7)：

p(t)＝p(0)e^-βt(7)

其中，参数设定为β＝5。

在全局滑模控制器的设计中，自适应指数趋近律采用公式(9)：

其中，参数设定为k1＝3，k2＝0.5，k3＝1.2，且k3≥d1。

步骤3：根据比例投影同步误差公式(5)，全局滑模面公式(6)和自适应指数趋近律，设计全局滑模控制器为：

步骤4：采用正弦型饱和函数sat(s)代替符号函数sgn(s)，改进全局滑模控制器，具体如下：

在全局滑模控制器中存在符号函数sgn(s)，会使控制输入不连续，出现抖振现象。符号函数sgn(s)的表达式为：

为了削弱抖振的影响，采用正弦型饱和函数sat(s)代替符号函数sgn(s)。正弦型饱和函数sat(s)的表达式为：

其中，δ为常数，且δ>0。

改进后的全局滑模控制器为：

步骤5：全局滑模控制器控制输入受到的饱和约束采用公式(16)：

其中，参数设定为umax＝40。

步骤6：采用饱和约束下的改进后全局滑模控制器对比例投影同步误差系统进行平衡控制，实现驱动系统和响应系统的比例投影同步控制，对建模不确定和外部干扰信号具有鲁棒性。

控制参数如前所设，进行系统的仿真。图5是采用符号函数时饱和约束下全局滑模控制器u的响应曲线。图6是采用正弦型饱和函数时饱和约束下全局滑模控制器u的响应曲线。在图5中，控制输入出现了明显的抖振现象。在图6中，控制输入没有出现抖振现象。在图5和图6中，全局滑模控制器出现了饱和约束，u＝-umax＝-40。图7是驱动系统和响应系统比例投影同步误差的响应曲线。从仿真曲线可以直观的观察到比例投影同步误差在1.9s时基本收敛到零，比例投影同步的速度非常快。饱和约束下全局滑模控制器实现了不同初始状态驱动系统和响应系统的比例投影同步控制，比例投影同步的速度非常快，对建模不确定和外部干扰信号具有很好的鲁棒性和很高的可靠性。