互连线树和网络模型的状态空间直接方法及其模型简化方法

专利名称：互连线树和网络模型的状态空间直接方法及其模型简化方法
技术领域：

本发明涉及RLC互联线和传输线，对其线、树和网络，快速和精确地生成它们的时间域的状态空间模型的方法，及其特征和演化的仿真，以及对其各种模型简化的实现方法和优化方法，及其仿真。为了叙述简化，下面将“互连线和(或者)传输线”简称为“互连线”。
二.发明的
背景技术：

随着集成度和速度的迅速提高，当今大规模集成电路的互连线已成为今天大规模集成电路设计性能的一个主要的限制因素。互连线的时延已成为当今深亚微米大规模集成电路时延的主要部分。随着技术的不断精细，特别是芯片速度的不断提高，互连线时延的影响正变得更加严重。高速和深亚微米大规模集成电路技术的进展要求芯片互连线和封装线用分布电路建模[“Applied Introductory CircuitAnalysis for Electrical and Computer Engineering”，M.Reed and R.Rohrer，Prentice Hall，Upper SaddleRiver，NJ，USA，1999；US Patent Application，11/037,636，Sheng-Guo Wang，2005]。最终导致大规模的RLC和RC线性电路的分析。

另一方面在传输线领域，众所周知传输线应该用分布电路建模，也导致大规模的RLC和RC线性电路。而当芯片速度和信号传输速度快速提高时，互连线的线、树和网络(简称为互连线的线树网，或互连线树网)的电感特性必须被考虑。随着技术的不断进步，该情况正变得一个对大规模集成电路性能的分析和设计的紧迫的挑战。

为了恰当地设计复杂的大规模集成电路，就需要精确地特征化互连线的性能和信号的瞬变。在电路分析和设计中，互连线的快速而精确的建模是必要的。按照实际设计的需求，在合理的时间内对电路性能和特征进行评估就必须努力简化互连线电路的阶数。在电路设计中，电路性能的快速而精确的仿真是重要的。

而在大规模集成电路中一条互连线通常是一个树或网络结构，特别是一个树。其中一条单线是一个特别的树和一个基本元素。因此在一条单线处理以后，一个树的互连线特征化过程是根本重要的。

当今模型简化有各种方法，如Elmore时延模型，渐进波形评估(AWE)的时间分析，PVL(用Lanczos方法的Padé近似)，Klyrov空间的分解，基于Klyrov-Arnoldi的降价模型，BTM(平衡截断方法)，和均匀长度阶数(ELO)模型。

但是为了得到一个好的简化模型，几乎所有状态空间的模型简化方法都需要从一个精确的状态空间高阶模型出发。

状态空间的原始精确模型是重要的，这不仅是各种模型简化方法的精确起点的基础，而且是检验各种模型简化方法近似性能及其比较的基础。

注意到当今的各种方法为了得到一个精确的状态空间模型作为简化的出发点是需要非常高的计算复杂度，即使不计模型简化技术本身的计算复杂度。RC和RLC互连线可用下述的基于KCL(克希霍夫电流定律)或KVL(克希霍夫电压定律)的矩阵微分方程描述 其中G和CLC是参数矩阵，有关于互连线的电阻，电容和电感参数，以及线、树和网络的结构，u(t)是输入源，x(t)是结点电压，电感电流或结点电压导数组成的向量。互连线的线树网的状态空间模型{A，B，C，D}是 y(t)＝Cx(t)+Du(t)，或者y(t)＝Cx(t)(2) 其中状态变量x(t)∈RN，输入变量u(t)，输出变量y(t)，阶数N是互连线的线树网电路中电容和电感的个数，矩阵{A，B，C，D}分别是系统矩阵、输入矩阵、输出矩阵、和直接输出矩阵。方程(2)中第一个方程为系统方程，是一个微分方程；第二个(或第三个)方程为输出方程，是一个代数方程。由于通常D＝0，所以模型也可以省略D，为{A，B，C}。所有以BTM为基础的模型简化方法都需要从方程(2)的状态空间模型出发。本发明是不仅为以BTM为基础的模型简化方法提供出发点，而且为不同的模型简化方法提供一条新的途径，并且揭示互连线树网的特征，因为系统方程决定互连线树网电路的动态特性，系统矩阵决定互连线树网的特征，其特征值决定着对输入信号的时间响应。

但是很明显的，要从方程(1)得到状态空间模型中的矩阵A和B，必需计算矩阵CLC的逆以及逆矩阵CLC-1与矩阵G和向量b的乘积，或者相应的矩阵分解和乘法。众所周知，其计算复杂度是O(N2)～O(N3)，取决于矩阵的结构和算法。对于非常高阶的矩阵，由于矩阵的坏条件数，矩阵求逆运算导致奇异性问题，也就是产生另一个计算困难问题。对一个分布模型，N应该尽可能地大，另一方面在一个典型的大网络中阶数可高达成千上万。

常规有限的阶数或极点数是不能恰当地来评估欠阻尼的RLC互连线树网的结点的瞬态响应，而它是需要一个非常高阶的模型来精确地描述瞬态响应。但是高精度的信号瞬态估计是需要的，这不仅是对于大规模集成电路的临界性能模态和互连线树网的分析，而且是对精确地予报开关中的可能危险。

因此确切的原始高阶模型是非常重要的，不仅是作为所有模型简化方法的起点，而且是作为所有简化了的模型的评估标准。但是，由于原始模型的巨大阶数，一个重要的困难方面是怎样找到一个方法在一个合理的和低成本的计算时间内求得其原始模型。

寻找分布的线性模型的方法通常是从S-域运用Kirchhoff定律和代数方程的方法，或者是从时间域运用Kirchhoff定律和微分方程的方法。但是在各种传统方法中，这肯定要遇到计算非常高维数矩阵的逆，例如106×106矩阵。所以希望对RLC分布互连线树网有状态空间模型的直接闭合式，以求大大地减少计算复杂度。进而开发基于这些模型上的仿真在严格的或相当高的精度上来描述瞬态响应。

本发明人的美国专利申请(US11037636)和专利(US7124388)以及中国专利申请(200510078264x)提供了生成RLC和RC互连线的状态空间模型的途径。这是首次直接用闭合式方法来讨论这一个公开的难题。但是那些发明主要讨论一条单线的结构，即一特殊的树型，以及树或网络结构的一个组件。

于是，怎样用直接闭合式方法生成通用的互连线树网的状态空间模型仍然是一个需要解决的公开难题。在文献中没有任何通过闭合式的途径系统地对一般的互联线树网提供状态空间模型。

另外一个问题是能否提供其他的状态空间闭合式来形成RLC互联线和传输线的状态空间模型？
总之，目前的各种传统方法缺乏一种快速的有效的方法来求得分布互连线树网的确切的原始的高阶状态空间模型，无论是树型结构或者网络结构。
三.

发明内容

由上所见，本发明是针对互连线树网电路，能在计算上有效地通过状态空间模型的闭合式精确地获得其原始模型和瞬态响应的分析方法和系统。

本发明的主要目的构思是提供一种系统方法，以有效的闭合式来建立互连线树网严格精确的时域的状态空间模型。

本发明进而提供所述的精确模型作为评估运用各种现存的或者由本发明发展的模型简化或近似方法的互连线树网的瞬态响应。

本发明进而提供一种方法、系统和基础运用上述的严格精确的模型与各种模型简化方法来寻找互连线树网的一种简单的模型简化或者优化的模型简化。

本发明进而以有效的计算方法提供上述的系统方法。

本发明提供的上述系统方法有其数值计算的稳定性和极点的稳定性以及物理的可综合性。

在方法学上，本发明提供了系统方法构造通用的互连线树网的状态空间闭合式，通过安置分块矩阵，例如分枝(线)模型(即支路模型)，连接模型，或非连接模型，带有互连线树网的拓扑结构。

简而言之，本发明的主要目的是基于拓扑通过所述的时域的状态空间闭合式来提供互连线树网的严格精确的N阶模型及其简单算法。

为了达到上述的和其它的目的，本发明是对互连线树网提供一组计算有效的方法和系统来生成严格精确的时域的状态空间模型，带有非常低的计算复杂度，例如O(N)。这儿计算复杂度是定义为标量乘法的次数，这远比传统的定义即该方法通过结点或者元件的次数更为详细。对于分布的互连线树网，本发明的ELO模型简化方法所述的状态空间模型的闭合式的计算复杂度仅仅是O(M)，M是ELO简化模型的阶数，即M＜N或者M＜＜N。对于均匀分布的互连线树网，所述的原始模型或者ELO模型的状态空间的闭合式的计算复杂度仅仅是O(1)，即仅仅为一固定常数。本发明确保低阶模型的稳定性，相对AWE等等其他方法而言，这可是一个有用的特征对于互连线树网的建模。

一种生成互联线树网的时间域的状态空间模型的方法和系統总结如下包括下述步骤 (a)按互联线树网的拓扑，分互连线树网成予先设定的k条分枝支路； (b)置每条分枝的支路模型阶数分别为Ni，i＝1，…，k，其互连线树网模型阶数为 (c)构造N×N维系统矩阵A，其有分枝(线)支路模型，连接模型，或者非连接模型的分块矩阵按需组成； (d)构造一输入矩阵B，其有一N×1维列向量带有一個非另元素，其参数是基于直接连接源端的分枝支路的电路参数值； (e)构造一输出矩阵C，其有一1×N维行向量带有一个非另元素对应于所选的线树网的输出变量； (f)形成所说的时间域状态空间模型{A，B，C}由所说的矩阵A，B，C组成； 由此所说的时间域的状态空间模型的状态向量和输出变量遵循状态空间方程(2)。上述的矩阵当其维数退化时，其可以是一向量或者一标量。

所以，一互连线树网是被分成k条分枝支路，它們按互联线树网的拓扑结构连接在各相应的结点上形成所说的互连线树网。图1显示一互联线树网的例子如一树枝类。它有6条分支支路1到支路6。源端是联接到支路1，称其为根支路。树枝有其根支路往下至叶支路。根支路1有3条叶支路2、3和4。叶支路4(次根支路4)有其次叶支路5和6。为方便起见，它们也被称作根支路4和叶支路5和6来描述它们的连接关系。

这里一般用3种不同的模型类分枝(线)模型类(即支路模型类)，连接模型类，和非连接模型类，来生成互联线树网的时间域的状态空间模型。这儿，两条支路的连接或者非连接是分别指其直接连接或者非直接连接。

上述的每一模型类可以有一个或多个不同的模型。实际上，所有的这些用来生成互联线树网的状态空间模型的模型和子模型都是块矩阵。它们有恰当的维数和各自的闭合式。例如，支路模型类可以有支路模型BM1-BM4，分别代表如图2-图5所示的互连线，即分别为一非均匀的或均匀的互连线，并带有外部的参数(源和/或负载元件)，以及一非均匀的或均匀的互连线本身，即不带有源和负载元件。

连接模型类可以有根-到-叶连接模型(简称为根-叶连接模型)，叶-到-根连接模型(叶-根连接模型)，和叶-到-叶连接模型(叶-叶连接模型)，即分别记为CM-1(CM-R-L)，CM-2(CM-L-R)，CM-3(CM-L-L)。根-叶连接模型可用于描述根支路的状态变量的动态，而叶-根连接模型可用于描述叶支路的状态变量的动态。连接模型也都是块矩阵，分别称作相应的连接块矩阵。

非连接模型类可以有一个简单的模型，记为NCM，即一零块矩阵，用于描述两支路之间没有直接连接。

于是，一种基于上述方法的生成互联线树网的时间域的状态空间模型的方法是如下，其进一步的特征是 (a)各分枝支路模型的支路块矩阵的维数为Ni×Ni，i＝1，…，k； (b)如果两条支路i和j是直接连接的，i≠j，i，j∈{1，…，k}，则连接模型的块矩阵的维数一个为Ni×Nj，另一个为Nj×Ni； (c)如果两条支路i和j是非直接连接的，i≠j，i，j∈{1，…，k}，则非连接模型的块矩阵的维数一个为Ni×Nj，另一个为Nj×Ni，它们是零块矩阵； (d)所述的系统矩阵A有其拓扑结构相应于互联线树网的拓扑结构如下系统矩阵A有k×k个块矩阵Aij组成，i，j＝1，…，k；所述的支路，i＝1，…，k，的块矩阵位于系统矩阵A的对角线，即分别为Aii，i＝1，…，k；块矩阵Aij，i≠j，i，j＝1，…，k，分别为一连接块矩阵或一非连接块矩阵，以分别对应于直接连接或者非直接连接的支路i和j，i≠j，i，j＝1，…，k。
對于模型{A，B，C，D}，注意到直接输出矩阵D通常是一零矩阵。

每一支路有其状态空间的闭合式作为其支路模型。支路模型包含有其支路系统矩阵模型，支路输入矩阵模型，和支路输出矩阵模型。

如上所说，术语矩阵包括它的特殊情況例如，一向量，即l×1或者1×l维矩阵，或者一标量，即1×1维矩阵，亦就是退化情況基于它的维数。

连接模型有其连接系统矩阵模型，以其闭合式贡献于互连线树网的状态空间模型的系统矩阵。非连接模型有其非连接系统矩阵模型，以其闭合式贡献于互连线树网的状态空间模型的系统矩阵。它们分别用于描述连接支路之间的关系或者非连接支路之间的关系。

互连线树网的状态空间模型是由这些所说的模型按照互连线树网的拓扑结构直接构成。

考虑一个带有k条支路的互连线树网，每条支路i(i＝1，…，k)的阶数分别是Ni，整个互连线树网的阶数是 互连线树网的状态空间模型是 y(t)＝Cx(t)+Du(t)，或者y(t)＝Cx(t) (4) 其有如下的块矩阵形式 C＝[C1…Ck]，(5) A∈RN×N，B∈RN×1，，C∈R1×N，，D∈R(6) 这儿输入矩阵B是为显示单输入源的情況，输出矩阵C是为显示单输出的情況，直接输出矩阵D是为显示单输入单输出的情況。但是，如果考虑多输入源的情況，上述的输入矩阵B可扩展为一个矩阵带有相等于输入源数目的列数。如果选择多个输出变量，上述的输出矩阵C可扩展为一个矩阵带有相等于输出变量数目的行数。相应地，直接输出矩阵D可扩展为D∈Rq×p为p-输入q-输出的情況，并且B∈RN×p和C∈Rq×N。但是，通常D＝0，所以模型可以省略矩阵D，为{A，B，C}而替代{A，B，C，D}。

上述的块矩阵Aij来自于上述系统矩阵模型，块矩阵Bi来自于支路输入矩阵模型，块矩阵Ci来自于支路输出矩阵模型。如果在源和所选输出之间有直接的连系，矩阵D的元素可直接来自于电路参数。如果没有源的直接的输出，即通常的情況，直接输出矩阵D是一零矩阵D＝0。

进而，一种按排是如下。对角块矩阵Aii选自支路模型，非对角块矩阵Aij选自连接模型或者非连接模型。如果支路i和支路j是连接成根-叶连接，则块矩阵Aij选自CM-R-L模型，而块矩阵Aji选自CM-L-R模型。如果支路i和支路j是连接成叶-叶连接，则块矩阵Aij和Aji均选自CM-L-L模型。如果支路i和支路j是非连接，则块矩阵Aij和Aji均选自NCM，亦就是零块矩阵。块矩阵Bi选自支路输入矩阵模型，块矩阵Ci來自于支路输出矩阵模型。但是，输入矩阵B和输出矩阵C也可直接由源的连接和所选的输出来确定。

鉴于所说的这一公开的难题，很清楚上述的本发明不仅是新颖及创新，而且是独创和非常有用的，因为它保持拓扑。基于上述的方法，我们可以进一步为互联线树网发展这些模型和规则。互联线树网的状态空间模型是由这些模型的闭合式来构成。

上述的块矩阵的位置按排可以有不同形式的按排，例如通过一非奇异矩阵T的相似变换所得的等价的位置按排 包括基本变换，即重新按排块矩阵位置在块阵上，或者在块内重新按排行和列。

相应的时域和频域分析能容易地通过所导得的状态空间闭合式执行MATLAB的step和bode命令。

考虑互联线树网的模型简化，一个好的和强有力的方法是保持与原模型相同的拓扑结构。但是，每一支路的模型简化了，阶数降低了，并用新的元件参数。于是这是一个好的和强有力的可综合和可实现的模型，例如一M-阶模型，替代其原始的非常高的N-阶模型。每一支路的阶数是Mi＜Ni，于是
于是，一个生成互连线树网的一种降阶的时间域的状态空间模型的简化方法，用于仿真，性能分析，模型简化，或电路设计，包含有下述步骤 (a)按互联线树网的拓扑，分互连线树网成予先设定的k条分枝支路； (b)置每条分枝支路一个不大于原来的阶数的小的模型阶数Mi，i＝1，…，k，其互连线树网降阶的模型阶数为 (c)构造M×M维系统矩阵A，其有支路块矩阵，连接块矩阵，(或者)非连接块矩阵按需组成； (d)构造一输入矩阵B，其有一M×1维的列向量带有一個非另元素，其参数是基于直接连接源端的分支电路； (e)构造一输出矩阵C，其有一1×M维的行向量带有一个非另元素对应于所选的树网的输出变量； (f)形成时间域状态空间的降阶模型由所说的矩阵{A，B，C}或者{A，B，C，D}组成；由此所说的时间域的状态空间模型的状态向量和输出变量遵循状态空间方程(2)。上述的状态空间模型是由降阶的支路块矩阵，连接块矩阵，或者非连接块矩阵按需组成。

我们可以进一步发展对每一条支路的ELO模型简化。降阶的支路是均匀分布的支路，应用上述的相应模型。我们称此M阶模型为互连线树网的均匀长度阶(ELO)简化模型。所以，本发明的方法和算法可用于生成和评估互连线树网的ELO简化模型。

上述的方法可进一步带有一优化过程，使降阶模型带有优化参数，使得一预选的优化性能指标最小。

本发明的各种形式能包括本发明中任意部分发明和任意目前的有关互连线树网的建模和分析的已知方法相结合，或者和任意目前已知方法的组合相结合。
四.



图1示一互联线树网的例子如一树枝类。

图2示一带有源电阻和负载电阻和电容的广义任意RLC互连线或传输线(BM-1)。

图3示一任意广义RLC互连线或传输线本身(BM-2)。

图4示一带有源电阻和负载电阻和电容的均匀分布的RLC互连线或传输线(BM-3)。

图5示一均匀分布的RLC互连线或传输线本身(BM-4)。

图6示一个RLC互连线例子(BM-3)的阶跃瞬态响应。

图7示一个互连线例子(BM-3)的Bode图，由状态空间模型求得。

图8示一个图1的互联线树网的900阶模型及其18阶ELO(均匀长度阶)简化模型的阶跃瞬态响应。

图9示一个图8的互联线树网的例子的Bode图。
五.
具体实施例方式
本发明的优选的实施方式将在此详细叙述。我们重申本发明包括本发明所述的闭合式的各种等价形式。

生成互联线树网的状态空间模型的结构和参数的规则和方法是如在前面章节中所叙的闭合式。下面各节将进一步阐述这些。第A节进一步叙述RLC互连线支路的状态空间模型的闭合式。B节讨论连接模型和非连接模型。C节进一步讨论生成互联线树网的方法。那些状态空间模型的闭合式的参数是来自所考虑的互联线树网的物理参数。D节进一步阐述那些互连线树网的模型简化，特别是对互联线支路和互联线树网的ELO模型简化，及其近似和优化。E节讨论时间域的瞬态响应和频率域的响应。F节讨论所述方法的稳定性和计算复杂度特征。最后第G节给出实验结果。

A.支路的状态空间模型的闭合式直接计算
前面章节已阐述了规则和方法。支路模型类包括4种不同的模型。我们进一步阐述这些，特别是分布的RLC互联线和传输线，亦即一般的互联线树网的支路。这儿的方法不仅可以用于互联线树网的支路模型，而且可以用于单条互联线，亦即一特殊的树。

支路模型是互联线树网的一个重要的模型。支路模型是一线模型，如US专利申请11037636和11037701，和中国专利申请200510078264x所讨论的。所以一种选择是应用那些状态空间的闭合式模型。这里，进一步提出一种RLC互联线的状态空间模型的闭合式，其特征是其系统矩阵的非零元素只位于其三条对角线上。

A.1.支路模型1(BM-1)一带源和负载部分
一个互联线树网的一般的支路模型是模型1如图2所示。其RLC分布电路的阶数如一般的假定取为2n，即Ni＝2n。为了简述，我们省略支路下标，而又不失一般性，亦表示适用于一条单线。于是，RLC互连线如图2所示有n段，每段有一分布电阻Ri和分布电感Li连接二个邻接的结点，和一分布电容Ci从结点到地，i＝1，…，n，输入端连接一源电压vin(t)，于是输出端有一电压vo(t)。下标是按序从输入端到输出端，或者从终端到输入端。结点i和结点电压vi(t)和节电流ii(t)[流过电感Li和电阻Ri]也如此编号，i＝1，…，n。一般互连线有一个源电阻Rs，一个负载电阻R0和一个负载电容C0，此时其源电压记为vin(t)＝vs(t)。称此为支路模型1[BM-1]，如图2所示。

取状态变量向量x(t)，输入变量u(t)和输出变量y(t)，分别为 x(t)＝[i1(t)，v1(t)，i2(t)，v2(t)，…，in(t)，vn(t)]T，u(t)＝vin(t)，y(t)＝vo(t)＝vn(t)(8) 其中状态向量x(t)∈R2n，输入变量u(t)∈R，输出变量y(t)∈R(或者为多输入多输出)。输出变量y(t)可以选状态向量x(t)中的任一状态变量，例如vi(t)，或者ii(t)，或者它们的组合，或者多输出选择，其使得y(t)扩展为一向量。图2所示的分布RLC电路的状态空间模型{A，B，C，D}或者{A，B，C}为 y(t)＝Cx(t)+Du(t)或者y(t)＝Cx(t) (9)
B＝[1/L1 00……0]T，C＝
，D＝0(或者省略D)(11) 其中A∈R2n×2n，B∈R2n×1，C∈R1×2n，D∈R，或者省略D。这是图2支路模型1的2n阶RLC分布互连线的严格的状态空间模型的一个闭合式，其中通常n＞＞1。但是这闭合式对任意n＞1成立。

对特殊情况n＝1，上述模型退化为 B＝[1/L1 0]T，C＝
(12) 它常与模型简化有关，而分布互连线的特征是由一个非常高的2n阶所表征(或者2ni为支路i)。

通常，直接输出矩阵D是一零矩阵(或者一零标量)，所以我们可以省略它。

输入矩阵B有一个非零元素位于第一行 b1＝1/L1.(13)
通常输出矩阵C的行只有一个非另元素1以选输出。例如，选第i结点电压，则输出矩阵CC＝
，c2i＝1 (14) 于是，此状态空间模型通过调整其输出矩阵C可以检查任一结点的电压或者任一节的电流。

于是，通过上述的互连线树网的闭合式，本发明可以检查任一支路的结点电压或者节电流，如选第i个节电流，就令输出矩阵C的c2i-1＝1，其余元素为0。

但是，这儿再次强调，当应用上述支路模型来构成一树枝或一网路的状态空间模型时，上述支路输入矩阵可能是一零矩阵，如果没有源输入直接连到这条支路。而且，如果输出变量没有选自这条支路的状态变量，则其支路的输出矩阵也可能是一零矩阵。这条注释对下述的其他支路模型也同样适用。

这里支路的系统矩阵A有3条对角线上对角线，对角线，下对角线，它们拥有非零的元素。所有其他元素都为0。这是一个稀疏矩阵。源电阻呈现在系统矩阵的(1，1)位元素上。其负载电阻呈现在系统矩阵的(2n，2n)位元素上。其负载电容呈现在系统矩阵的(2n，2n-1)位和(2n，2n)位元素上，即最后一行的两个元素。

这个状态空间模型的计算复杂度仅为O(n)，定义为标量乘法的次数.
建立BM-1状态空间模型的相应的方法和算法如下
方法BM-1(支路模型1) (i)设置阶数2n； (ii)如果n＞1，设置状态矩阵A如(10)；否则如果n＝1，设置A如(12)； (iii)如果支路模型带源和负载部分，置输入矩阵B，输出矩阵C，直接输出矩阵D(或者省略D)如(11)。
于是BM-1的状态空间模型{A，B，C，D}或者{A，B，C}已通过闭合式建立。因此，我们在下面只阐述闭合式，而不重述相应于闭合式的方法和算法，以及{A，B，C}可能替代{A，B，C，D}。

A.2.支路模型2(BM-2)-不带源和负载部分
图3所示BM-2为互连线本身，没有来自各种不同源和负载的影响和摄动(扭曲)。这种情况是非常重要的，因为它描述了一个分布RLC互连线的传播延迟特征而没有负载阻抗和源阻抗的扭曲。

图3中支路模型2[BM-2]可看作图2中BM-1的特殊情况，通过置源电阻值和负载电容为0，和负载电阻为无穷大，即 Rs＝0，C0＝0，和1/R0＝0.(15)
BM-2的状态空间模型的闭合式如下
B＝[1/L1 00……0]T，C＝
，D＝0. (17) 其(17)中的输入矩阵，输出矩阵，和直接输出矩阵分别与BM-1的(11)相同。其计算复杂度仍为O(n)。

上述的闭合式公式(16)-(17)对n＝1也是有效的。当n＝1时，其状态空间模型是 B＝[1/L1 0]T，C＝
，D＝0.(18)
通过闭合式(16)-(17)就为BM-2建立了状态空间模型{A，B，C，D}。

A.3.支路模型3(BM-3)-均匀分布，带源和负载
图4所示的为支路模型3[BM-3]，亦就是均匀的RLC互连线 Ri＝R，Ci＝c，Li＝L，i＝1，…，n.(19) 其与互连线的寄生参数的关系为 R＝Rt/n，c＝Ct/n 和L＝Lt/n(20) 其中寄生电阻Rt，寄生电容Ct，和寄生电感Lt是互连线的“总”电阻，“总”电容，和“总”电感。这儿用带引号的“总”是因为实际上这是分布的，不是总的。

其严格的状态空间模型的闭合式如下
B＝[1/L 00……0]T，C＝
，D＝0(22)
对特殊情况n＝1，上述模型退化为 B＝[1/L 0]T，C＝
，D＝0.(23)
应当指出和特别强调的是对任意高的阶数n(n＞＞1)，上述的闭合式只包含固定的非常有限次数的乘法和除法。其计算复杂度是固定的，小于7，远小于O(n)，仅为O(1)！
于是，状态空间的BM-3模型{A，B，C，D}是通过上述闭合式(21)-(22)而建立。

A.4.支路模型4(BM-4)-均匀分布，不带源和负载部分
本节给出产生均匀分布的互连线本身的状态空间模型，即支路模型4(BM-4)的状态空间模型的方法。图5给出了BM-4的电路。其没有各种源和负载的任意扭曲。其状态空间模型的闭合式(n≥1)如下。

B＝[1/L 00……0]T，C＝
，D＝0.(25)
当n＝1的特殊情况，上述模型从(24)-(25)退化为 B＝[1/L 0]T，C＝
，D＝0.(26) 由此可见，闭合式公式(24)-(25)对n＝1也是有效的。

应当强调指出上述闭合式仅仅只需3次除法和乘法对无论任意大的n(n＞＞1)。这表明计算复杂度是一常数3，也就是O(1)！
于是通过所述的BM-4模型的闭合式(24)-(25)建立了其状态空间模型{A，B，C，D}。

B.支路连接模型和非连接模型的状态空间模型的闭合式直接计算
一般的互连线树网的两条支路可能互相(直接)连接或者非(直接)连接。所以，状态空间模型及其闭合式需要支路连接模型和非连接模型及其闭合式。状态空间模型是描述状态变量的动态演化。基于连接特征和系统矩阵的结构，我们进一步阐述下述的模型根-到-叶连接模型(简称根叶连接模型)，其描述根支路的状态变量的动态，叶-到-根连接模型(叶-根连接模型)，其描述叶支路的状态变量的动态，和叶-到-叶连接模型(叶-叶连接模型)。但是从下面可以看到，一般重要的是前两个模型，因为叶-叶连接模型可是一零块矩阵。

叶-叶连接实际上已由其叶支路连接到同一个根支路所表达了。连接模型是用于描述系统矩阵中的支路连接。

我們描述根-叶连接模型(CM-1即CM-R-L)，叶-根连接模型(CM-2即CM-L-R)，和叶-叶连接模型(CM-3即CM-L-L)如下。

B1.连接模型1(CM-1)--根支路-到-叶支路的连接模型(CM-R-L)
一般的RLC互连线支路连接的根-叶连接模型CM-1(CM-R-L)是 其中CnRR是根支路在其连接结点处的终点的电容，即在BM-1和BM-2中的Cn，或者在BM-3和BM-4中的C，C0R是根支路在其连接结点处的负载电容(可能为零)，矩阵ARL的行数等于根支路的阶数(维数)，即2nR，其列数等于叶支路的阶数(维数)，即2nL。所以其维数是2nR×2nL。一般地，对于连接根支路i和叶支路j的维数是NiR×NjL。CM-R-L模型块矩阵有一非零元素带有根支路在连接点的电容(包括其负载电容，如果存在)。

B2.连接模型2(CM-2)-叶支路-到-根支路的连接模型(CM-L-R)
一般的RLC互连线支路连接的叶-根连接模型CM-2(CM-L-R)是 其中L1L是叶支路在其连接结点处的电感，即在BM-1和BM-2中的L1，或者在BM-3和BM-4中的L，矩阵ALR的维数是2nL×2nR。一般地，对于连接叶支路j和根支路i的维数是NjL×NiR。CM-L-R模型块矩阵有一非零元素。模型是用于系统矩阵的闭合式。

B3.连接模型3(CM-3)-叶支路-到-叶支路的连接模型(CM-L-L)
一般的RLC互连线支路连接的叶-叶连接模型CM-3(CM-L-L)是ALL＝0(29) 这是一个零矩阵，其维数由所连接的两条支路的阶数决定，即NiL×NjL或NjL×NiL，其中NiL和NjL分别是叶支路i和叶支路j的阶数。对一般上述的RLC支路，其维数为2nLi×2nLj或2nLj×2nLi。

鉴于(29)，我们关心的是在根支路和叶支路之间的连接。叶支路之间的连接由其叶支路连接到同一个根支路所表达了。连接到同一个根支路的叶支路当然互相连接。树枝有其根支路往下至叶支路。对于决定根和叶，根支路是在上游端，叶支路是在下游端，从源端下至叶的终端。

B4.非连接模型(NCM)
如上所述，非连接模型即一零块矩阵，其维数由两条支路的阶数决定，即2nR×2nL，或2nL×2nR，或2nLi×2nLj，或2nLj×2nLi。如果支路i和支路j之间没有直接连接，其非连接模型块矩阵的维数是Ni×Nj或Nj×Ni两种。

C.互连线树网的状态空间模型的闭合式
互连线树网的状态空间模型可运用基于前面章节中所叙述的规则和方法来生成。

我们进一步阐述怎样运用上面所发展的概念、方法和闭合式来生成互连线树网的状态空间模型。考虑一个如图1所示的一般的互连线树网。它有6条分支支路指标号为i＝1，…，6，支路1到支路6。不失一般性，源端是联接到支路1，为根支路。根支路1有3条叶支路2、3和4。叶支路4(次根支路4)有其叶支路5和6。输出变量选为支路6的终端结点电压。每条支路有其阶数Ni，i＝1，…，6。其状态空间模型的闭合式如(4)-(6)所示如下 ，C＝
，D＝0(31) 这只是一个所选的按编排列。对角块矩阵Aiib，i＝1，…，6，选自支路模型，分别表达6条支路。它们的维数分别为Ni×Ni，i＝1，…，6。块矩阵Ai1LR，i＝2，3，4，选自CM-L-R模型，分别表示叶支路2、3和4对根支路1的连接。块矩阵A54LR和A64LR选自CM-L-R模型，分别表示叶支路5和6对其根支路4的连接。块矩阵A1iRL，i＝2，3，4选自CM-R-L模型，分别表示根支路1对叶支路2、3和4的连接。块矩阵A45RL和AR46RL选自CM-R-L模型，分别表示根支路4对其叶支路5和6的连接。所有的其他块矩阵都是零矩阵，表示非连接或者叶到叶连接。各个分块矩阵有其各自的恰当的维数。很清楚，系统矩阵A表示了所考虑的互连线树网的拓扑。换言之，这就是一个恰当的拓扑映射。

输入矩阵B只有一个非零块矩阵B1来自根支路1。其他块矩阵都为零矩阵，因为其他支路都没有直接的源输入。块矩阵B1在其第一元素位上有一非零元以表达源输入到其输入端。输出矩阵C只有一个非零块矩阵C6，以选来自支路6的输出。块矩阵C6在其最后一元素位上有一非零元1，以选择其终端结点电压为输出变量。

我们进一步指出输入矩阵B和输出矩阵C可以基于输入和输出的选择而直接配置，如B＝[b1 0…0]T，C＝
(32) 其中矩阵B的维数是N×1，矩阵C的维数是1×N，b1是来自于支路输入节的电路参数，例如(11)。

G章节将进一步地通过带有具体互连线树网的数据的例子和结果来展示上述的方法。

上述的描述清楚地显示了其解决这个广泛的公开的困难问题的本发明的新颖的特征。这些首创方法是对现有技术和现有方法的独创性的突破。

D.模型简化和近似的阶数
已经阐明了怎样通过上述精确的闭合式求得一般的互连线树网的严格的状态空间模型的方法。但是计算这些严格的模型对典型的大的分布互连线线树网的阶数是高达上千上万。在实践中，没有必要计算如此高阶的互连线树网模型，因为瞬态行为能够用低阶模型精确地表征，例如，用少数主导极点(通常几十个极点)，即系统矩阵的主导特征值。现在上述所快速产生的精确的状态空间模型提供了模型降阶、模型简化或者模型截断的出发点，以及进一步比较的基础。例如，平衡截断法(BTM)能够运用于上述状态空间模型作模型简化。通过对原始模型性能的比较，按照所需近似性能，例如精度和频率范围，可决定简化模型的近似阶数。

上述模型对于揭示ELO简化模型和原始高阶模型之间的关系是非常有效的。其方法如下。这主要是通过ELO方法对各个支路模型进行简化。然而，我们运用这些简化了的支路模型，按照相同于原始互连线树网模型的拓扑连接，通过任何上述的途径和方法构造一个降阶简化了的状态空间模型。

考虑一个2n阶均匀分布的RLC互连线的电路如图5所示，其总长度电阻Rt，总长度电感Lt，和总长度电容Ct如(20)所示。其原始2n阶均匀分布模型是如(24)-(25)所示。其2m阶ELO模型{Aem，Bem，Cem，D}或者{Aem，Bem，Cem}是
Bem＝[1/rL 00……0]T，Cem＝
，D＝0，n≥1 (34) 其中Aem∈R2m×2m，Bem∈R2m×1，Cem∈R1×2m，而R，L和C是原始2n阶模型的参数，其阶数简化比是r＝n/m.(35)
本发明的方法可运用于图4一带源和负载的均匀分布的RLC互连线的电路。其2n阶原始模型是(21)-(22)。然后，其2m阶ELO状态空间模型{Aem，Bem，Cem，D}或者{Aem，Bem，Cem}是
Bem＝[1/rL 0 0……0]T，Cem＝
，D＝0，m＞1.(37) 其中Aem∈R2m×2m，Bem∈R2m×1，Cem∈R1×2m，而R，C和L是原始2n阶模型的参数。模型阶数简化比是r＝n/m。当m＝1时，其ELO支路模型是 Bem＝[1/rL 0]T，Cem＝
，D＝0.(38)
上述方法揭示了ELO带源和负载的支路模型取决于其分布参数、外部参数和阶数简化比r。有二种外部参数的极端情况一种是没有外部参数即只有互连线本身，不含任何畸曲，如BM-4，另一种是含起主导作用的大的外部参数。一个通常情况是间于这二极端情况之间。但是对互连线本身的简化模型可用于连接各种的外部源和负载参数。

如上指出的，许多优化方法可以结合上面阐述的状态空间模型的闭合式应用。一种最优模型简化的方法(或者模型降阶)是优化参数r。另一种方法是对一预先确定的降阶的2m阶支路模型，让上述模型简化比r扩展为一个优化参数，而没有r＝n/m的限制。应用上述的各种方法，通过上述的闭合式途径，保持原有的拓扑，我们连接所有简化了的支路模型成为一个新的简化(或降阶)的状态空间模型。

E.确定瞬态响应和Bode图
进而，上述的原始模型和简化模型可用于确定和研究瞬态响应和Bode图(频率响应)，即它们的时域性能和频域性能。例如用一些简单的MATLAB指令step(A，B，C，D)[或step(A，B，C，0)]作时域阶跃响应，和bode(A，B，C，D)[或bode(A，B，C，0)]作频域Bode图。这些性能图和数据也可方便地比较原始模型和其简化模型。

F.计算复杂度和稳定性特征
上述发明的新方法生成互连线树网状态空间模型通过闭合式的计算复杂度是O(N)，N是互连线树网的阶数。这远远小于传统方法的复杂度。这儿需强调的是这儿所说的计算复杂度是基于乘除法的次数。所以这儿的计算复杂度更严格，更精确。

重要的是，对均匀分布的互连线树网，所说的状态空间模型的闭合式计算复杂度仅是一个固定的常数，即O(1)。而互连线和传输线、树和网络常常是由均匀分布的次互连线和次传输线构成。于是，这新发明的状态空间模型方法计算复杂度用于树或网络将是这些树和网络的指数乘以O(1)，这将是远小于O(N)，其中N是总的树或网络的阶数。

这些新方法导致了N阶分布互连线树网系统的严格精确的模型。所以，这些方法保证所导出的模型的稳定性。而且其数值计算也是稳定，这是对任意阶的模型。这些方法也能与数据的比例尺法和其他技术相结合。

本发明方法是特别有效于互连线树网分布特性的建模，由于其如此容易的状态空间模型算法和如此简单的计算，再加上其高精度，特别是其优异的拓扑结构的表达和映射。

G.实验结果
所述的状态空间模型的闭合式对于时域仿真和频域仿真是非常有用的。特别是对于时域常用的试验和评估的阶跃响应。

所述的方法现在将用于计算互连线树网的阶跃输入的瞬态响应和频率响应的Bode图。例子1是一均匀分布的互连线和传输线带源和负载，如图4所示。例子2是一互连线树网，如图1所示，并带源和负载，求得原始模型，然后进一步作ELO模型简化。所得的原始模型的阶跃响应和Bode图将和其ELO简化模型的相应的阶跃响应和Bode图分别比较。实验数据为如下所示。

例1考虑一均匀分布的RLC互连线模型BM-3，0.01cm长，分布特征数据为电阻5.5kΩ/m和电容94.2pF/m。一个200阶模型作为原始模型其有R＝5.5·10-3Ω和C＝9.42·10-5pF，其电感值由材料中的光速和电容值求得为L＝2.831·10-13H。为了显示RLC互连线的一些特征，其连接于一源电阻Rs＝500Ω，和一负载电阻R0＝1MΩ。

例2考虑一分布的RLC互连线树网带有6条均匀分布RLC互连线支路，如图1所示，作为一个一般的互连线树网的例子来说明上面所描述的新方法。各支路的长度分别如下l1＝l2＝l3＝0.01cm和l4＝l5＝l6＝0.005cm。其分布特征数据如例1，即电阻5.5kΩ/m，电容94.2pF/m，和电感2.831×10-7H/m。取支路1-3的阶数为200，支路4-6的阶数为100。于是，支路1-3有其参数Re1＝5.5·10-3Ω，Ce1＝9.42·10-5pF，Le1＝0.2831pH，其阶数为200，即。支路4-6有相同的参数Re2＝5.5·10-3Ω，Cx＝9.42·10-5pF，Le2＝0.2831pH，其阶数为100，。支路1带有一源电阻Rs＝200Ω，支路2，3，5，6各自带有一负载电阻R0＝1MΩ和一负载电容C0＝0.1pF。选择支路6的终端电压作为演示的输出。

例1应用BM-3于例1，其200阶的原始状态空间模型S＝{A，B，C，D}是
B＝[353.25E10 00……0]T，C＝
1×200，D＝0(或者省略D).(40) 图6显示了200阶原始模型的阶跃响应。图7显示了其Bode图。

例2.A应用上述的方法，我们由闭合式得到分布的RLC互连线树网的状态空间模型如下 C＝
1×900，D＝0(41)

这里，A11是几乎等于A0b，除了其(1，1)位的元素应该等于-7065.2·1010，其中F＝200。

从上述的例子2可以清楚地看到上述的方法开辟了这个领域的新的前沿。

例子2.B考虑例子2A中的同样的分布RLC互连线树网电路，但是建立其ELO简化模型。为了作一个比较，ELO模型取支路1-3的每条支路阶数为4，支路4-6的每条支路的阶数为2。

来自于闭合式的状态空间的ELO模型拥有相同于原始模型的拓扑，如(41)所示。但是它的阶数(维数)是降为18。用上述发明的方法得到ELO模型由其闭合式为如下 Bem＝[7.065E10 00……0]T，Cem＝
，D＝0(或者省略D).(53)
图8和图9分别显示了原始的900阶模型和ELO的18阶模型的阶跃响应和Bode图，以作一个比较。由所述的状态空间模型的闭合式求得。它显示了这个18阶ELO模型非常好地表达了900阶的原始模型的时间响应。它们的Bode图也在一个宽的频率范围内很好地吻合。这也观察到原始的900阶模型在频率高于6·1013Hz的范围有一非常陡的衰减。

这也说明所述的这些新方法和技术对互连线树网(互连线和传输线的线、树和网络)系统的建模和各种模型简化及模型比较是非常有用的和有效的。

由此可见，综上所述，本发明的方法是有用的，稳定的，精确的，进而它们又是容易的，简单的，有效的，具有低计算复杂度以及低计算时耗，特别是其优异的拓扑特征。
权利要求
1.一种生成互连线和传输线、树和网的时间域状态空间模型的方法，用于仿真，性能分析，模型简化，或电路设计，该方法的特征是状态空间模型是由选自下述类型的模型按需构成支路模型、连接模型(如果有直接连接的支路)、非连接模型(如果有非直接连接的支路)，它们是块矩阵，并按拓扑结构配置。
2.根据权利要求1所说的方法，其进一步的特征是
(a)按互联线树网的拓扑，分互连线树网成予先设定的k条分枝支路；
(b)置每条分枝的支路模型阶数分别为Ni，i＝1，…，k，其互连线树网模型阶数为
(c)构造N×N维系统矩阵A，其有支路模型，连接模型，或者非连接模型的分块矩阵组成；
(d)构造一输入矩阵B，其有一N×1维列向量帶有一個非另元素，其参数是基于直接连接源端的支路的电路参数值；
(e)构造一输出矩阵C，其有一1×N维行向量带有一个非另元素对应于所选的线树网的输出变量；
(f)形成所说的时间域状态空间模型{A，B，C}由所说的矩阵A，B，C组成；
由此所说的时间域的状态空间模型的状态向量和输出变量遵循由所说的矩阵A，B，C组成的状态空间方程。上述的矩阵当其维数退化时，可以是一向量或者一标量。
3.根据权利要求2所说的方法，其进一步的特征是
(a)互连线树网的各支路模型的支路块矩阵的维数为Ni×Ni，i＝1，…，k；
(b)如果两条支路，支路i和支路j，是直接连接的，i≠j，i，j∈{1，…，k}，则连接模型的块矩阵的维数一个为Ni×Nj，另一个为Nj×Ni；
(c)如果两条支路，支路i和支路j，是非直接连接的，i≠j，i，j∈{1，…，k}，则非连接模型的块矩阵的维数一个为Ni×Nj，另一个为Nj×Ni，它们是零块矩阵；
(d)系统矩阵A有其拓扑结构相应于互联线树网的拓扑结构，配置如下系统矩阵A有k×k个块矩阵Aij组成，i，j＝1，…，k；所述的支路，i＝1，…，k，的块矩阵位于系统矩阵A的对角线，即分别为Aii，i＝1，…，k；块矩阵Aij，i≠j，i，j＝1，…，k，分别为一连接块矩阵或一非连接块矩阵，以分别对应于直接连接或者非直接连接的支路i和j，i≠j，i，j＝1，…，k；
(e)时间域状态空间模型{A，B，C}由所说的矩阵A，B，C组成，或者为{A，B，C，D}由所说的矩阵A，B，C和一连接源端到所选的输出变量的直接输出矩阵D组成。
4.权利要求1所述的方法，其特征进一步包括
(a)分配模型的参数值可采用比例尺，方便建模，仿真，分析或设计；或者
(b)一个相似变换由一个非奇异的矩阵T作用在模型上，得其等价的状态空间模型及其变换了的状态变量向量。
5.运用权利要求1所述方法所编制的软件或者所制造的硬件。
6.一种建立RLC互连线或传输线电路的时间域状态空间模型的方法，用于仿真，性能分析，模型简化或电路设计，该方法是置状态空间模型及其阶数为一偶数2n，其特征是
(a)可作为线、树、或网的支路模型；
(b)其2n×2n维系统矩阵A的非零元素仅位于其对角线、上对角线和下对角线上。
7.根据权利要求6所述的方法，其进一步的特征是
(a)所说的系统矩阵A，其对角线上的非零元素基于电路的电感参数和电阻参数，其上对角线和下对角线上的非零元素基于电路的电感参数或者电容参数；
(b)输入矩阵B包含一个非零元素基于电路的电感参数；
(c)输出矩阵C的行向量包含一个非零元以选择相应的输出变量。
8.运用权利要求6所述方法所编制的软件或者所制造的硬件。
9.一种生成互连线和传输线、树和网的时间域的降阶的状态空间模型的方法，用于仿真，性能分析，模型简化，或电路设计，该方法的特征是降阶的状态空间模型是由选自下述类型的模型按需构成支路模型、连接模型(如果降阶的模型有直接连接的支路)、非连接模型(如果降阶的模型有非直接连接的支路)，它们是降了阶的块矩阵，并按拓扑结构配置，其有关电路参数的非零元素取自简化了的电路参数、或者新的降阶了的均匀分布的互连线或传输线、树和网的电路参数、或者进一步求得的优化参数。
10.运用权利要求9所述方法所编制的软件或者所制造的硬件。
全文摘要
本发明“互连线树和网络模型的状态空间直接方法及其模型简化”提供了一组精确的有效的闭合式方法用于建立分布互连线和传输线、树和网的时域状态空间模型。主要特征是状态空间模型是由选自下述类型的模型按需构成支路模型、连接模型(如果有直接连接的支路)、非连接模型(如果有非直接连接的支路)，它们是块矩阵，并按拓扑结构配置。进一步的主要特征包括拓扑结构，模型类，闭合式，简单性和精确性，状态空间模型的乘除法的计算复杂度大幅度地降为O(N)，其中N是整个系统的阶数，模型的实践，均匀长度阶的模型简化和它们的优化方法。对均匀分布互连线树网，状态空间模型的闭合式的计算复杂度仅为一个固定常数，即O(1)。
文档编号G06F17/50GK101122926SQ20061014613
公开日2008年2月13日 申请日期2006年11月6日 优先权日2006年8月8日
发明者王胜国 申请人:王胜国