专利名称：一种基于群论的对称杆系结构的可动性判定方法
技术领域：
本发明是一种应用于建筑结构设计和空间结构设计的方法，特别是涉及一种基于群论的对称杆系结构的可动性判定方法。
背景技术：
近三十年来，可展结构逐渐应用于土木、机械、航天工程等领域，该类结构具有可动自由度，从而可呈现出多种稳定构形。结构的可动性判定，即结构的自应力模态能否传递一阶刚度使结构几何稳定，是研究设计可展结构的一个重要环节。Calladine和 Pellegrino提出的几何稳定性判定方法，可有效应用于自应力模数较低的常规杆系结构； 随后，罗尧治和陆金钰考虑了荷载作用下结构的稳定问题，进一步完善了该判定准则。但是，随着结构逐渐复杂化，结构的自应力模数增长，该判定准则的求解效率显著下降，甚至无法判定。尽管有学者采用考虑杆件类型、节点受力特点等优化方法，提高结构几何稳定性判定的效率，但都忽视了结构的固有对称属性。对称杆系结构拥有多个旋转、镜像对称操作，采用基于群集理论的对称分析方法能充分利用结构对称性，避免常规判定方法的复杂运算。此外，目前常规的结构稳定性判定方法更加侧重于验证几何稳定的结构，在张拉整体结构及其他张力体系中具有重要应用价值。在可展结构的设计分析过程中，用常规判定方法探究结构是否为几何可动(不稳定)时，仍缺乏足够的说服力。
发明内容
技术问题本发明的目的是提供一种基于群集理论的对称杆系结构的可动性判定方法，重点解决建筑结构及空间结构中动不定结构的几何稳定性问题，尤其适用于对称可展结构的初步设计分析。鉴于常规可动性判定方法探究自应力模态较高的杆系结构时，计算过程复杂， 且难以验证结构的可动性能，本发明的关键技术问题是如何高效准确地确定结构的可动性。技术方案针对以上问题，本发明基于对称群固有的不可约表示及特征标值，将对称杆系结构的自由度公式约简为各类对称的线性表示，并获悉机构位移模态及自应力模态的对称属性，从而对对称结构的可动性进行直接判定。技术方案如下一种基于群论的对称杆系结构的可动性判定方法，步骤1确定待判定对称杆系结构的所属对称群，获取待判定对称杆系结构的机构位移模态和自应力模态，所述对称群包括对称操作，不可约表示和特征标，步骤2计算各对称操作下的结构自由度，再将各对称操作下的结构自由度组成自由度向量，自由度向量rm_s为Γ m_s = M-S = JT-K- η (Τ+R)，
其中向量M和向量S分别是机构位移模数和自应力模数的对称表示，向量T和向量R分别是刚体平动位移模数和刚体转动位移模数的对称表示，向量J和向量K分别是待判定对称杆系结构的节点和单元的对称表示，并基于所属对称群的特征标，将求得的自由度向量Γm_s约简为各类不可约表示的线性组合，M-S = Jja^
‘=1 ,Γ (i)为结构所属对称群的第i类不可约表示，μ为所属对称群的不可约表示的总类型数，第i类不可约表示的系数α i为Cci Jj--YjZHr)-^m-Ar)
h ；^其中，Ii为所属对称群的第i类不可约表示Γ⑴的个数，h为所属对称群内不同对称操作的总数，X⑴(Y)为所属对称群的第Y类对称操作下第i类不可约表示的特征标， rffl_s(y)为所属对称群的第γ类对称操作下的结构自由度，步骤3当α i > 0时，Γ(') CM，待判定对称杆系结构的机构位移模态具有所属对称群的第i类不可约表示所对应的对称属性；当α i < 0时，Γ( [χ，待判定对称杆系结构的自应力模态具有所属对称群的第i类不可约表示所对应的对称属性，进而确定待判定对称杆系结构的机构位移模态及自应力模态的最高阶对称属性，步骤4如果机构位移模态的最高阶对称属性为全对称，自应力模态的最高阶对称属性为非全对称，则自应力模态无法平衡结构的机构位移模态所产生的运动趋势，将无法传递一阶刚度，结构是可动的，判定过程结束；如果机构位移模态及自应力模态的最高阶对称属性均为非全对称，进入步骤5 ；步骤5根据待判定对称杆系结构的机构位移模态的最高阶对称属性，对所属对称群进行降阶，得到新的待判定对称杆系结构的所属对称群，再重复步骤2、3，得到待判定对称杆系结构的机构位移模态及自应力模态的最高阶对称属性，并进入步骤6，对所属对称群进行降阶采用如下方法使待判定对称杆系结构沿着所述最高阶对称属性的机构位移路径发生小变形，发生小变形后的待判定对称杆系结构的所属对称群为原结构所属对称群的子对称群，步骤6如果机构位移模态的最高阶对称属性为全对称，自应力模态的最高阶对称属性为非全对称，则自应力模态无法平衡结构的机构位移模态所产生的运动趋势，将无法传递一阶刚度，结构是可动的。有益效果本发明的优点在于充分利用结构的固有对称属性，无需借助常规判定方法的复杂运算，而仅进行简单的向量运算及约简，即可对大部分对称杆系完成结构的可动性判定。当结构的机构位移模数或自应力模数较大，或结构为高阶对称时，本发明的计算效率提高显
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者O此外，由于本发明公开的判定方法只需考虑结构的单元拓扑信息和节点相对位置，非常适用于可展结构的初步设计分析，且避免了对具有相同对称属性及拓扑的结构进行重复判定计算。
图1为基于群集理论进行可动性判定的流程图。图2为C4v型对称杆系结构的三维图。图3为C4v型对称杆系结构的平面图。
具体实施例方式本发明公开了一种基于群集理论的对称杆系结构的可动性判定方法。对称杆系结构是由一系列相互铰接的杆件组成，且节点、单元及边界约束关于结构中心点存在多个旋转及镜像对称操作。判定方法的具体步骤如下1)分析准备明确待判定结构的几何模型信息，包括结构各节点的坐标及其编号，各单元的拓扑方式(即各单元两端连接的节点编号)，以及结构的边界条件。并根据结构具有的对称操作，确定待判定结构所属的对称群类型。对称操作是指对原结构进行旋转、镜像等有效的操作变换后，结构构形仍不发生变化。当结构只具有η个有效的旋转对称操作时，结构所属对称群为Cn对称群；当结构具有η个旋转对称操作和具有η个镜像对称操作时，结构所属对称群为Cnv对称群。根据群集理论参考书籍(Point-Group Theory Tables)，可查阅得到结构所述对称群的不可约表示和特征标。2)建立杆系结构的整体力平衡矩阵，计算结构的机构位移模态及自应力模态设结构共有j个自由节点和k个单元，t为结构所处坐标系下的刚体平动位移模数(平面杆系t = 2，空间杆系t = 3)。由各单元的内力与节点外荷载之间的平衡关系，通过常规矩阵集成方法可得到整体结构的力平衡方程HP = F (1)式中，H为整体结构的力平衡矩阵，P为结构的单元内力向量，F为节点外荷载向量。力平衡矩阵H的零空间为结构的自应力模态，且自应力模数s为s = k-r (2)式中，r为力平衡矩阵H的秩。根据虚功原理，位移协调矩阵等于力平衡矩阵H的转置，且位移协调矩阵的零空间为结构的机构位移模态，机构位移模数m为m = jt-r- η (t+r) (3)式中η为边界条件影响系数(结构不受任何位移约束时η = 1，否则η = 0)， r为结构所处坐标系下的刚体转动位移模数(平面杆系r = 1，空间杆系r = 3)。3)计算各对称操作下的结构自由度，并基于特征标，将求得的自由度向量约简为不可约表示的线性组合将上式(3)与式⑵相减，即为结构的自由度计算公式，m-s = jt-k- n (t+r) (4)基于群集理论，计算各对称操作下的结构自由度，并将各对称操作下的结构自由度组成自由度向量，得到结构自由度的对称表示Γ m_s为rms = M-S = JT-K- n (T+R) (5)式中向量M和S分别是机构位移模数和自应力模数的对称表示；向量T和R分别是刚体平动位移模数和刚体转动位移模数的对称表示；向量J和K分别是节点和单元的对称表示，其中任一元素J(Y)、K(Y)为所属对称群中第Y类对称操作下结构不动节点、不动单元的数量。根据所属对称群的不可约表示及特征标，结构自由度向量M-S可约简为各类不可约表示的线性组合
权利要求
1. 一种基于群论的对称杆系结构的可动性判定方法，其特征在于， 步骤1确定待判定对称杆系结构的所属对称群，获取待判定对称杆系结构的机构位移模态和自应力模态，所述对称群包括对称操作，不可约表示和特征标，步骤2计算各对称操作下的结构自由度，再将各对称操作下的结构自由度组成自由度向量，自由度向量rm_s为rms = M-S = JT-K- η (T+R),其中向量M和向量S分别是机构位移模数和自应力模数的对称表示，向量T和向量R 分别是刚体平动位移模数和刚体转动位移模数的对称表示，向量J和向量K分别是待判定对称杆系结构的节点和单元的对称表示，并基于所属对称群的特征标，将求得的自由度向量Γ m_s约简为各类不可约表示的线性组合，M-S = ^aiTio /=1r (i)为结构所属对称群的第i类不可约表示，μ为所属对称群的不可约表示的总类型数，第i类不可约表示的系数α i为=1.1^.)(7). κ,) h ；^其中，Ii为所属对称群的第i类不可约表示Γ ω的个数，h为所属对称群内不同对称操作的总数，X⑴(Y)为所属对称群的第Y类对称操作下第i类不可约表示的特征标， rffl_s(y)为所属对称群的第γ类对称操作下的结构自由度，步骤3当α i > 0时，Γ(') cM，待判定对称杆系结构的机构位移模态具有所属对称群的第i类不可约表示所对应的对称属性；当α i < 0时，Γ(') [S，待判定对称杆系结构的自应力模态具有所属对称群的第i类不可约表示所对应的对称属性，进而确定待判定对称杆系结构的机构位移模态及自应力模态的最高阶对称属性，步骤4如果机构位移模态的最高阶对称属性为全对称，自应力模态的最高阶对称属性为非全对称，则自应力模态无法平衡结构的机构位移模态所产生的运动趋势，将无法传递一阶刚度，结构是可动的，判定过程结束；如果机构位移模态及自应力模态的最高阶对称属性均为非全对称，进入步骤5 ； 步骤5根据待判定对称杆系结构的机构位移模态的最高阶对称属性，对所属对称群进行降阶，得到新的待判定对称杆系结构的所属对称群，再重复步骤2、3，得到待判定对称杆系结构的机构位移模态及自应力模态的最高阶对称属性，并进入步骤6，对所属对称群进行降阶采用如下方法使待判定对称杆系结构沿着所述最高阶对称属性的机构位移路径发生小变形，发生小变形后的待判定对称杆系结构的所属对称群为原结构所属对称群的子对称群，步骤6如果机构位移模态的最高阶对称属性为全对称，自应力模态的最高阶对称属性为非全对称，则自应力模态无法平衡结构的机构位移模态所产生的运动趋势，将无法传递一阶刚度，结构是可动的。
全文摘要
本发明公开了一种基于群集理论的对称杆系结构的可动性判定方法，属于建筑结构设计和空间结构设计领域，特别适用于可展结构的初步设计。该可动性判定方法基于对称群固有的不可约表示及特征标值，将对称杆系结构的自由度公式约简为各类对称的线性表示，并获悉机构位移模态及自应力模态的对称属性，从而对对称结构的可动性进行直接判定。相比常规可动性判定方法未充分利用结构的对称特性，分析大型结构运算复杂，本发明仅进行简单的向量运算及约简，即可对大部分对称杆系完成可动性判定，便于结构设计人员推广应用。
文档编号G06F17/50GK102508978SQ20111036590
公开日2012年6月20日 申请日期2011年11月18日 优先权日2011年11月18日
发明者冯健, 夏仕洋, 陈耀 申请人:东南大学