一种系统维修率确定及优化方法与流程

本发明涉及安全系统工程，特别是涉及系统维修率确定及优化。

背景技术：

实际中，一般希望系统在宏观上达到一定的目标，如系统的可靠性、可用性、故障率、总维修费用等。系统宏观目标的实现，难以从系统的总体层面来保证，应通过对组成系统的基本元件参数进行控制来保证系统的目标，这些参数包括:元件的失效率、维修率、维修成本等。如元件失效率这样的参数是元件本身性质决定的，使用者无法改变；而维修率是可以在工作中调整的，即可通过维修率的调整达到系统的某些宏观目标。对于元件失效率一般情况下是一个定值，但是实际上很多元件失效率受到工作环境的影响，即是变失效率，如温度，工作时间，气压等。另一个问题是现代的系统为保证可靠性都会采取备件策略。那么在考虑上述问题后如何确定系统中元件维修率，从而保证系统宏观目标的实现就成为了问题。

对于确定系统维修率的研究目前主要有:陈进源等的劣化系统最优维修策略:基于推广累积冲击模型；陈霁恒等的基于遗传算法和满意度函数的武器系统维修性分配规划问题研究；王艳禹等的两部件两修理工冷贮备系统维修更换策略；葛阳等的故障交互条件下系统维修间隔期决策等。对于含有备件系统的可靠性描述目前多使用动态故障树，如张文韬等等基于动态故障树的CTCS-3级ATP系统可靠性分析；张志英等的基于动态故障树的导弹驾驶仪系统可靠性分析；冯雪等的基于动态故障树的计算机联锁系统可靠性及性能分析研究；戴志辉等的基于动态故障树与蒙特卡罗仿真的保护系统动态可靠性评估；武文斌等的基于改进的动态故障树的惯导系统安全性分析；张晓洁等的基于动态故障树的卫星系统可靠性分析。但是考虑元件变失效率且系统含有备件的情况下，为达到系统宏观目标而确定元件维修率的相关研究还未出现。

方法提出使用空间故障树理论表示元件的变失效率，使用动态故障树理论表示含有备件系统结构及系统宏观目标与元件参数的联系，从而得到满足要求的元件维修率分布。并针对实际中三种情况下系统性能期望得到了对应的元件维修率分布。

技术实现要素：

1空间故障树

空间故障树(Space Fault Tree，SFT)是在2012年提出的，截止目前已经取得了一些研究成果。空间故障树的基本理论认为系统工作于环境之中，由于组成系统的基本事件或物理元件的性质决定了其在不同条件下工作的故障发生概率不同。例如，如电气系统中的二极管，它的故障概率就与工作时间、工作温度、通过电流及电压等有直接关系。如果对这个系统进行分析，各个元件的工作时间和工作适应的温度等可能都不一样，随着系统整体的工作时间和环境温度的改变，系统的故障概率也是不同的。这种现象是实际存在的，但是往往是被忽视的，而认为故障概率恒定不变。

使用SFT表示系统中元件的变失效率。为了清晰的描述SFT理论和下面的分析过程，列出必要SFT相关内容和被分析系统的例子。就简单的电气系统进行论述，该系统由二极管组成，二极管的额定工作状态受很多因素影响，其中主要的是工作时间t和工作温度c。针对由这两个因素影响的电气系统作为研究对象。相关定义如下:

1)空间故障树(或多维空间事故树):基本事件的发生概率不是固定的，是由n个因素决定的，这样的事故树称为多维事故树，用T表示。

2)基本事件的影响因素:使基本事件发生概率产生变化的因素。在本例中，t表示时间因素，c表示温度因素。

3)基本事件的发生概率的特征函数(特征函数):基本事件在单一影响因素影响下，随影响因素的变化表现出来的发生概率变化特征。其可以初等函数，分段函数等，用表示，i表示第i个元件，x代替影响因素。如本例第i个原件的时间特征函数及温度特征函数其中，t为元件使用时间，λ为单元故障率，A为温度变化分为。

4)基本事件的发生概率空间分布:基本事件在n个影响因素影响下，随他们的变化在多维空间内表现出来的发生概率变化。n个影响因素作为相互独立的自变量，基本事件发生概率作为函数值。用P_i(x₁，x₂，…x_n)表示，即其中n为影响因素个数，本例中为

2动态故障树

动态故障树法是20世纪90年代由J.B.Dugan教授为分析空间站和空中交通控制系统的可靠性而提出的一种分析具有动态随机性故障特点的系统可靠性的方法。动态故障树法是在故障树的基础上引入动态逻辑门，如冷储备门、热储备门、顺序相关门、优先与门等，用于表征系统的冷储备、热储备、可修复、资源共享等动态特性。

这里采用马尔科夫状态转移矩阵方法来处理问题，包括解析法和矩阵迭代法。在计算简单系统的可修可靠性指标时，采用解析法；在计算较复杂系统时，尤其是求解系统的可靠度和故障频度时应用矩阵迭代法。解析法是根据逻辑门的特点，建立基于马尔科夫状态转移图的方程组，结合逻辑门的特点，推导可得可靠性指标的表达式，直接套用计算可靠性指标的方法。矩阵迭代法是依据系统的初始概率矩阵与系统状态转移矩阵相乘迭代，求解给定时刻系统所处不同状态的概率，结合不同逻辑门的特点区分系统的正常工作概率、故障状态概率。最后利用整个动态故障树模型来评估系统的各可靠性指标。

λ是失效率，μ是维修率。各逻辑门的功能分别是:与门:当且仅当门的输入事件X，Y都发生时，门的输出事件Z发生；或门:当门的输入事件X₁，X₂，X₃至少有1个发生，门的输出事件Z发生；冷储备门:主输入事件X处于工作状态，备用设备Y处于冷备用状态，仅当主备设备都故障时，门的输出事件Z发生；热储备门:主输入事件X处于工作状态，备用设备Y处于热备用状态，仅当主备设备都故障时，门的输出事件Z发生。

3系统中元件的维修率确定

首先给出所研究的动态故障树，如图1所示。

3.1X₁和X₂子树求解

X₁子树模块是元件的热备组合，元件的失效率为λ，维修率为μ.定义其状空间:状态0表示2个模块都正常工作，系统正常工作；状1表示2个模块中，一个失效在维修，另一个模块正常工作，系统正常工作；状态2表示2个模块都失效，一个模块在修理，另一个模块待修，系统失效。

根据概率结合热储备门的特点，推导得各可靠性指标的表达式如式(1)

式(1)中，可用度A表示系统达到稳定运行状态时可用的概率。故障频度是M(t)是指[0,t]时间内系统的平均故障次数，即为单位时间内系统的故障频率。平均开工时间MUT、平均停工时间MDT。X₂求解过程与X₁相同。

3.2T的求解

系统T通过或门连接下层事件。定义状态空间为:状态0为2个模块都正常，系统正常工作；状态1为X₁子树模块故障在修理，X₂子树模块正常，T失效；状态2为X₂子树模块故障在修理，X₁子树模块正常，T失效.其状态转移图如图2所示。

根据概率结合或门的特点，推导得各可靠性指标的表达式如式(2)所示。

式中，Λ＝λ₁+λ₂。

3.3给定系统可用度后元件维修率分布确定

设系统可用度T_A＝0.8，求μ_E1E2和μ_E3E4，由于E₁和E₂是X₁的热储备事件，用μ_E1E2表示E₁和E₂的维修率(元件X₁的维修率)，μ_E3E4同理定义。由式(2) 中A＝T_A的可用度可知，其中表示X₁在具有热储备情况下(E₁→E₂)失效率，同理定义；表示X₁在具有热储备情况下(E₁→E₂)维修率，同理定义。又知其中MUT_E1E2表示E₁和E₂的平均工作时间，MDT_E1E2表示E₁和E₂的平均停工时间，根据式(1)，得式中λ_E1E2表示E₁和E₂的维修率(元件X₁的维修率)，λ_E3E4同理定义。为解上述问题，引入变量k,考虑到比的对称以方便研究，设k∈{0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，1，1/0.9，1/0.8，1/0.7，1/0.6，1/0.5，1/0.4，1/0.3，1/0.2，1/0.1}。整理上述过程得到式(3)。

设元件的工作域，即工作条件的变化范围是A_总＝{t∈[0，100]天∩c∈[0，50]℃}，即系统工作的时间为100天，工作温度范围是0至50℃。求出在空间故障树状态下的失效概率分布λ_E1E2和λ_E3E4那么可根据λ_E1E2和λ_E3E4和式(3)，绘制该动态故障树在k＝1，T_A＝0.8时的μ_E1E2和μ_E3E4分布图。

可见满足系统可用度T_A＝0.8，k＝1条件下，对于系统元件X₁的热储备事件E₁、E₂的维修率在工作域内要满足维修率分布；且X₂满足维修率分布，这样系统可以达到T_A＝0.8的宏观目标。

4不同优化目标下维修率的确定

先提出三种实际存在的系统优化问题，1)在研究范围(工作域)确定的情况下，整个系统维修率总和最小。这个实际需求的意义是希望在整个工作域内维修次数最小，这样最小的维修次数可以减少停工时间，同时可以减少维修成本。2)实际工程中，一般都会给定一个可以接受的最小维修率，当元件的维修率超过最小维修率时就实施维修，或维修人员处于待命状态准备维修。一般情况下希望系统在整个工作域内，大于最小维修率的区域越小越好，进而减少维修人员待命时间提高维修效率。3)当维修系统中不同类型元件的费用不同时，元件之间不同的维修率会导致在工作域内不同的系统维修总费用，当然越低越好。当然上述三点都要保证系统维持在一定的可用性基础之上，否则没有意义。

对于第三节提到的系统，由于T_A＝0.8，且λ_E1E2和λ_E3E4是以知的，那么确定维修率的关键取决于变量k。由于和即在T_A固定的情况下，k代表了一种分配作用，那么不同的分配(k不同)会带来不同的和所以通过调节k可以满足上述三个问题的条件下，确定工作域内的μ_E1E2和μ_E3E4。

4.1求维修率总和最小时的维修率分布

对于第一个问题，使工作域内A_总＝{t∈[0，100]天∩c∈[0，50]℃}的维修率最小μ_min，其定义如式(4)所示。计算结果如表1所示。

表1与k值的对应表

有表1所示，当k＝1时最小最小，即满足系统可用度T_A＝0.8的情况下，整个工作区内的维修率最小。

4.2求指定维修率的最小范围

设系统的可容忍维修率那么就要确定在工作域内μ_E1E2和μ_E3E4分别大于2的范围最小时k值。方法为遍历整个工作域，在k不同时对μ_E1E2和μ_E3E4大于2的区域进行计数，计数结果最小者对应的k值即为所求。遍历结果如表2所示。

表2μ_E1E2和μ_E3E4大于2的计数值

如表2所示，k＝0.1时，计数最小。对于为其他值(0.1～10)时，结果相同，即T_A＝0.8的情况下，整个工作区内的维修率大于2的范围最小。

4.3求总维修费最小时的维修率分布

为了对元件费用不同进行描述，定义和分别为元件X₁和X₂的维修费，总维修费用定义如式(5)所示。

设即是从0.1到10。那么在和k的变化下，可以得到一个19×19的C_总矩阵。

可根据元件的值找到对应的k值以确定μ_E1E2和μ_E3E4在工作域内的分布。例如，如果元件X₁和X₂的维修费为20元和100元，即那么k＝0.3时，系统整体的维修费用最小，当然系统的可用度T_A＝0.8。求μ_E1E2和μ_E3E4的分布。

应用该方法解决了三种常见的系统可用度需求。即求维修率总和最小时的维修率分布、求指定维修率的最小范围、求总维修费最小时的维修率分布。设T_A＝0.8，通过式(4),(5)及4.2节分析对上述三种情况下的元件维修率分布μ_E1E2和μ_E3E4进行结算。即元件X₁和X₂的维修率分别满足对应情况下μ_E1E2和μ_E3E4，那么系统的可用度需求便可满足。

附图说明

图1系统的动态故障树

图2 T的状态转移图

具体实施方式

1空间故障树

空间故障树(SpaceFaultTree，SFT)是在2012年提出的，截止目前已经取得了一些研究成果。空间故障树的基本理论认为系统工作于环境之中，由于组成系统的基本事件或物理元件的性质决定了其在不同条件下工作的故障发生概率不同。例如，如电气系统中的二极管，它的故障概率就与工作时间、工作温度、通过电流及电压等有直接关系。如果对这个系统进行分析，各个元件的工作时间和工作适应的温度等可能都不一样，随着系统整体的工作时间和环境温度的改变，系统的故障概率也是不同的。这种现象是实际存在的，但是往往是被忽视的，而认为故障概率恒定不变。

使用SFT表示系统中元件的变失效率。为了清晰的描述SFT理论和下面的分析过程，列出必要SFT相关内容和被分析系统的例子。就简单的电气系统进行论述，该系统由二极管组成，二极管的额定工作状态受很多因素影响，其中主要的是工作时间t和工作温度c。针对由这两个因素影响的电气系统作为研究对象。相关定义如下:

1)空间故障树(或多维空间事故树):基本事件的发生概率不是固定的，是由n个因素决定的，这样的事故树称为多维事故树，用T表示。

2)基本事件的影响因素:使基本事件发生概率产生变化的因素。在本例中，t表示时间因素，c表示温度因素。

3)基本事件的发生概率的特征函数(特征函数):基本事件在单一影响因素影响下，随影响因素的变化表现出来的发生概率变化特征。其可以初等函数，分段函数等，用P_i^x(x)表示，i表示第i个元件，x代替影响因素。如本例第i个原件的时间特征函数P_i^t(t)＝1-e^-λt,及温度特征函数其中，t为元件使用时间，λ为单元故障率，A为温度变化分为。

基本事件的发生概率空间分布:基本事件在n个影响因素影响下，随他们的变化在多维空间内表现出来的发生概率变化。n个影响因素作为相互独立的自变量，基本事件发生概率作为函数值。用P_i(x₁,x₂,…x_n)表示，即其中n为影响因素个数，本例中为P_i(t,c)＝1-(1-P_i^t(t))(1-P_i^c(c))。

2动态故障树

动态故障树法是20世纪90年代由J.B.Dugan教授为分析空间站和空中交通控制系统的可靠性而提出的一种分析具有动态随机性故障特点的系统可靠性的方法。动态故障树法是在故障树的基础上引入动态逻辑门，如冷储备门、热储备门、顺序相关门、优先与门等，用于表征系统的冷储备、热储备、可修复、资源共享等动态特性。

这里采用马尔科夫状态转移矩阵方法来处理问题，包括解析法和矩阵迭代法。在计算简单系统的可修可靠性指标时，采用解析法；在计算较复杂系统时，尤其是求解系统的可靠度和故障频度时应用矩阵迭代法。解析法是根据逻辑门的特点，建立基于马尔科夫状态转移图的方程组，结合逻辑门的特点，推导可得可靠性指标的表达式，直接套用计算可靠性指标的方法。矩阵迭代法是依据系统的初始概率矩阵与系统状态转移矩阵相乘迭代，求解给定时刻系统所处不同状态的概率，结合不同逻辑门的特点区分系统的正常工作概率、故障状态概率。最后利用整个动态故障树模型来评估系统的各可靠性指标。

λ是失效率，μ是维修率。各逻辑门的功能分别是:与门:当且仅当门的输入事件X，Y都发生时，门的输出事件Z发生；或门:当门的输入事件X₁，X₂，X₃至少有1个发生，门的输出事件Z发生；冷储备门:主输入事件X处于工作状态，备用设备Y处于冷备用状态，仅当主备设备都故障时，门的输出事件Z发生；热储备门:主输入事件X处于工作状态，备用设备Y处于热备用状态，仅当主备设备都故障时，门的输出事件Z发生。

3系统中元件的维修率确定

首先给出所研究的动态故障树，如图1所示。

3.1X₁和X₂子树求解

X₁子树模块是元件的热备组合，元件的失效率为λ，维修率为μ.定义其状空间:状态0表示2个模块都正常工作，系统正常工作；状1表示2个模块中，一个失效在维修，另一个模块正常工作，系统正常工作；状态2表示2个模块都失效，一个模块在修理，另一个模块待修，系统失效。

根据概率结合热储备门的特点，推导得各可靠性指标的表达式如式(1)

式(1)中，可用度A表示系统达到稳定运行状态时可用的概率。故障频度是M(t)是指[0,t]时间内系统的平均故障次数，即为单位时间内系统的故障频率。平均开工时间MUT、平均停工时间MDT。X₂求解过程与X₁相同。

3.2T的求解

系统T通过或门连接下层事件。定义状态空间为:状态0为2个模块都正常，系统正常工作；状态1为X₁子树模块故障在修理，X₂子树模块正常，T失效；状态2为X₂子树模块故障在修理，X₁子树模块正常，T失效.其状态转移图如图2所示。

根据概率结合或门的特点，推导得各可靠性指标的表达式如式(2)所示。

式中，Λ＝λ₁+λ₂。

3.3给定系统可用度后元件维修率分布确定

设系统可用度T_A＝0.8，求μ_E1E2和μ_E3E4，由于E₁和E₂是X₁的热储备事件，用μ_E1E2表示E₁和E₂的维修率(元件X₁的维修率)，μ_E3E4同理定义。由式(2)中A＝T_A的可用度可知，其中表示X₁在具有热储备情况下(E₁→E₂)失效率，同理定义；表示X₁在具有热储备情况下(E₁→E₂)维修率，同理定义。又知其中MUT_E1E2表示E₁和E₂的平均工作时间，MDT_E1E2表示E₁和E₂的平均停工时间，根据式(1)，得式中λ_E1E2表示E₁和E₂的维修率(元件X₁的维修率)，λ_E3E4同理定义。为解上述问题，引入变量k, 考虑到比的对称以方便研究，设k∈{0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，1，1/0.9，1/0.8，1/0.7，1/0.6，1/0.5，1/0.4，1/0.3，1/0.2，1/0.1}。整理上述过程得到式(3)。

设元件的工作域，即工作条件的变化范围是A_总＝{t∈[0，100]天∩c∈[0，50]℃}，即系统工作的时间为100天，工作温度范围是0至50℃。求出在空间故障树状态下的失效概率分布λ_E1E2和λ_E3E4那么可根据λ_E1E2和μ_E3E4和式(3)，绘制该动态故障树在k＝1，T_A＝0.8时的μ_E1E2和μ_E3E4分布图。

可见满足系统可用度T_A＝0.8，k＝1条件下，对于系统元件X₁的热储备事件E₁、E₂的维修率在工作域内要满足维修率分布；且X₂满足维修率分布，这样系统可以达到T_A＝0.8的宏观目标。

4不同优化目标下维修率的确定

先提出三种实际存在的系统优化问题，1)在研究范围(工作域)确定的情况下，整个系统维修率总和最小。这个实际需求的意义是希望在整个工作域内维修次数最小，这样最小的维修次数可以减少停工时间，同时可以减少维修成本。2)实际工程中，一般都会给定一个可以接受的最小维修率，当元件的维修率超过最小维修率时就实施维修，或维修人员处于待命状态准备维修。一般情况下希望系统在整个工作域内，大于最小维修率的区域越小越好，进而减少维修人员待命时间提高维修效率。3)当维修系统中不同类型元件的费用不同时，元件之间不同的维修率会导致在工作域内不同的系统维修总费用，当然越低越好。当然上述三点都要保证系统维持在一定的可用性基础之上，否则没有意义。

对于第三节提到的系统，由于T_A＝0.8，且λ_E1E2和λ_E3E4是以知的，那么确定维修率的关键取决于变量k。由于和即在T_A固定的情况下，k代表了一种分配作用，那么不同的分配(k不同)会带来不同的和所以通过调节k可以满足上述三个问题的条件下，确定工作域内的μ_E1E2和μ_E3E4。

4.1求维修率总和最小时的维修率分布

对于第一个问题，使工作域内A_总＝{t∈[0,100]天∩c∈[0,50]℃}的维修率最小μ_min，其定义如式(4)所示。计算结果如表1所示。

表1与k值的对应表

有表1所示，当k＝1时最小最小，即满足系统可用度T_A＝0.8的情况下，整个工作区内的维修率最小。

4.2求指定维修率的最小范围

设系统的可容忍维修率那么就要确定在工作域内μ_E1E2和μ_E3E4分别大于2的范围最小时k值。方法为遍历整个工作域，在k不同时对μ_E1E2和μ_E3E4大于2的区域进行计数，计数结果最小者对应的k值即为所求。遍历结果如表2所示。

表2μ_E1E2和μ_E3E4大于2的计数值

如表2所示，k＝0.1时，计数最小。对于为其他值(0.1～10)时，结果相同，即T_A＝0.8的情况下，整个工作区内的维修率大于2的范围最小。

4.3求总维修费最小时的维修率分布

为了对元件费用不同进行描述，定义和分别为元件X₁和X₂的维修费，总维修费用定义如式(5)所示。

设即是从0.1到10。那么在和k的变化下，可以得到一个19×19的C_总矩阵。

可根据元件的值找到对应的k值以确定μ_E1E2和μ_E3E4在工作域内的分布。例如，如果元件X₁和X₂的维修费为20元和100元，即那么k＝03时，系统整体的维修费用最小，当然系统的可用度T_A＝0.8。求μ_E1E2和μ_E3E4的分布。

应用该方法解决了三种常见的系统可用度需求。即求维修率总和最小时的维修率分布、求指定维修率的最小范围、求总维修费最小时的维修率分布。设T_A＝0.8，通过式(4),(5)及4.2节分析对上述三种情况下的元件维修率分布μ_E1E2和μ_E3E4进行结算。即元件X₁和X₂的维修率分别满足对应情况下μ_E1E2和μ_E3E4，那么系统的可用度需求便可满足。