基于随机有限元分析的红外诱饵弹气动特性建模方法与流程

技术特征：

1.一种基于随机有限元分析的红外诱饵弹气动特性建模方法，其特征在于包括以下步骤：

a红外诱饵弹气动特性分析

a1红外诱饵弹工作流场的分析与简化

根据空气动力学基础理论，诱饵弹运动时，周围空气流场的分布满足流体力学基本方程组：

$\begin{array}{c}\frac{\∂\mathrm{\ρ}}{\∂t}+\▿\·\mathrm{\ρ}v=0\\ \frac{\∂e}{\∂t}+p\·\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{\mathrm{\ρ}}\right)=q_R\\ \mathrm{\ρ}\frac{\∂v}{\∂t}=\mathrm{\ρ}F-\▿p+\mathrm{\μ}{\▿}^{2}v\end{array}---\left(1\right)$

其中，ρ为气体密度；v为气体流场；e为气体内能；p为压力张量；q_R为气体辐射热；F为气体所受外力；μ为气体粘性系数；

a2对流体力学基本方程组进行化简，忽略连续性方程中的外力和时间导数，上式可表示为：

$\frac{\∂}{\∂x}\left({\mathrm{\ρv}}_x\right)+\frac{\∂}{\∂y}\left({\mathrm{\ρv}}_y\right)+\frac{\∂}{\∂z}\left({\mathrm{\ρv}}_z\right)=0---\left(2\right)$

a3在直角坐标系中，无粘性气体的欧拉运动方程如下式所示：

$\left\{\begin{array}{c}{v}_x\frac{\∂v_x}{\∂x}+v_y\frac{\∂v_x}{\∂y}+v_z\frac{\∂v_x}{\∂z}=-\frac{1}{\mathrm{\ρ}}\frac{\∂p}{\∂x}\\ v_x\frac{\∂v_y}{\∂x}+v_y\frac{\∂v_y}{\∂y}+v_z\frac{\∂v_y}{\∂z}=-\frac{1}{\mathrm{\ρ}}\frac{\∂p}{\∂y}\\ v_x\frac{\∂v_z}{\∂x}+v_y\frac{\∂v_z}{\∂y}+v_z\frac{\∂v_z}{\∂z}=-\frac{1}{\mathrm{\ρ}}\frac{\∂p}{\∂z}\end{array}\right.$

该方程可以缩写成公式的形式：

$(v\·\▿)v=-\frac{1}{\mathrm{\ρ}}\▿p$

根据声速公式c²＝dp/dρ，可推导出：

$\frac{1}{\mathrm{\ρ}}(v\·\▿)\mathrm{\ρ}=v\·\frac{1}{\mathrm{\ρ}}\·\▿p=\frac{1}{c^2}v\·\▿p=-\frac{1}{c^2}v\·(v\·\▿)v$

将上式代入公式(2)，可以得出诱饵弹无粘性流动区域中流速所满足的微分方程：

$(1-\frac{v_x^2}{c^2})\frac{\∂v_x}{\∂x}+(1-\frac{v_y^2}{c^2})\frac{\∂v_y}{\∂y}+(1-\frac{v_z^2}{c^2})\frac{\∂v_z}{\∂z}-\frac{v_x{v}_y}{c^2}(\frac{\∂v_x}{\∂y}+\frac{\∂v_y}{\∂x})-\frac{v_y{v}_z}{c^2}(\frac{\∂v_z}{\∂y}+\frac{\∂v_y}{\∂z})-\frac{v_z{v}_x}{c^2}(\frac{\∂v_x}{\∂z}+\frac{\∂v_z}{\∂x})=0$

a4在无旋场中引入速度势函数使其满足以下条件：

将上式代入微分方程，整理得到用速度势函数表示的流场运动方程：

由于诱饵弹的轴向对称性，将上式中Z轴方向的分量消去，得到诱饵弹流场的二维运动方程：

式中，项是由于取X轴为对称轴而引入的；

b基于随机有限元分析建立诱饵弹流场模型

b1诱饵弹流场的有限单元剖分

b2单元插值基函数的确定

借助标准等边四边形的基函数选取方法，再通过变换得到任意四边形单元的基函数表达式；

b3有限单元分析

将公式(3)进行积分，得出诱饵弹流场势函数的单元积分表达式：

式中：Ω为子单元的求解域；为子单元的近似解；插值函数φ_i和结点值的线性组合表示子单元的解如下式所示：

将上式代入单元积分表达式，并把实际坐标系中的积分变量(x,y)替换成标准坐标系中的(η,ξ)，得到带有系数矩阵的近似解方程：

式中：H_ij(η,ξ)和G_ij(η,ξ)的表示式为：

$\left\{\begin{array}{c}{H}_{ij}(\mathrm{\η},\mathrm{\ξ})=\frac{{\mathrm{\φ}}_i}{y}\frac{\∂{\mathrm{\φ}}_i}{\∂y}+\frac{\∂{\mathrm{\φ}}_i}{\∂x}\frac{\∂{\mathrm{\φ}}_j}{\∂x}+\frac{\∂{\mathrm{\φ}}_i}{\∂y}\frac{\∂{\mathrm{\φ}}_j}{\∂y}\\ G_{ij}(\mathrm{\η},\mathrm{\ξ})={\left(\frac{\∂{\mathrm{\φ}}_i}{\∂x}\right)}^3\frac{\∂{\mathrm{\φ}}_j}{\∂x}+{\left(\frac{\∂{\mathrm{\φ}}_i}{\∂y}\right)}^3\frac{\∂{\mathrm{\φ}}_j}{\∂y}+2{\left(\frac{\∂{\mathrm{\φ}}_i}{\∂x}\right)}^3\frac{\∂{\mathrm{\φ}}_j}{\∂y}\end{array}\right.$

记：

$F_{ij}(\mathrm{\η},\mathrm{\ξ})=H_{ij}(\mathrm{\η},\mathrm{\ξ})-\frac{1}{c^2}{G}_{ij}(\mathrm{\η},\mathrm{\ξ})$

$A_{ij}^e=2\mathrm{\π}{\∫}_{-1}^1{\∫}_{-1}^1{F}_{ij}(\mathrm{\η},\mathrm{\ξ})yd\mathrm{\η}d\mathrm{\ξ}$

则公式可以表示为：

式中，为有限单元积分方程的系数矩阵，上标e表示是第e个单元的系数矩阵，e＝0,1,2,…,N-1，N为结点总数；将坐标变换关系式代入公式，得到优先单元系数矩阵的最终形式；

b4建立总体随机有限元方程

在求出每个单元的系数矩阵之后，通过总体合成，求出整个求解区域所对应的总体系数矩阵A_ij，然后，以所有结点值为未知量，建立求解区域的总体有限元方程：

c诱饵弹运动方程的建立与仿真

根据牛顿运动定律建立诱饵弹的运动方程组，首先建立诱饵弹受力分析的笛卡尔坐标系：以地面上某定点为参考点，令X轴与地面平行，指向观测方向，Y轴竖直向上，Z轴与X,Y轴满足右手定则；诱饵弹在该坐标系内受力分析如下：

f_d(v)为空气阻力，v方向与速度相反，mg为重力，方向竖直向下；不放设诱饵弹与地面参考系的俯仰角为θ，偏航角为将阻力向坐标系的三个坐标轴投影，根据牛顿运动定律，得到诱饵弹价速度的分量表示形式：

将微分方程转化为差分方程，根据运动学定律得到诱饵弹运动方程组：

取合适的仿真步长Δt，通过迭代计算得到诱饵弹每一时刻的速度和位置，进而建立起红外诱饵弹的气动特性模型。

2.根据权利要求1所述的一种基于随机有限元分析的红外诱饵弹气动特性建模方法，其特征在于，步骤b1中：以诱饵弹表面为内边界，以弹体直径5倍长度为半径的空心圆柱区域，子单元为任意四边形，对诱饵弹流场解算区域进行有限单元剖分。

3.根据权利要求1所述的一种基于随机有限元分析的红外诱饵弹气动特性建模方法，其特征在于，步骤b2中，变换过程如下：在实际坐标系XOY中，取任意一个四边形ABCD，其结点坐标分别为A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，C(x₃,y₃)，D(x₄,y₄)；建立一个与之对应的标准坐标系ηOξ，将四边形ABCD映射成一个标准的等边四边形A’B’C’D’，各结点坐标为A’(-1,1)，B’(-1,-1)，C’(1,-1)，D’(1,1)；那么这两个坐标系之间的变换关系如下式所示：

$\left\{\begin{array}{c}x=(a_1+b_1\mathrm{\ξ}+c_1\mathrm{\η}+d_1\mathrm{\ξ}\mathrm{\η})/4\\ y=(a_2+b_2\mathrm{\ξ}+c_2\mathrm{\η}+d_2\mathrm{\ξ}\mathrm{\η})/4\end{array}\right.$

其中，各系数满足如下关系：

$\left\{\begin{array}{c}{a}_1=x_1+x_2+x_3+x_4\\ b_1=-x_1+x_2+x_3-x_4\\ c_1=-x_1-x_2+x_3+x_4\\ d_1=x_1-x_2+x_3-x_4\\ a_2=y_1+y_2+y_3+y_4\\ b_2=-y_1+y_2+y_3-y_4\\ c_2=-y_1-y_2+y_3+y_4\\ d_2=y_1-y_2+y_3-y_4\end{array}\right.$

取线性插值基函数，其形式如下式所示：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\φ}}_1=(1-\mathrm{\ξ})(1-\mathrm{\η})/4\\ {\mathrm{\φ}}_2=(1+\mathrm{\ξ})(1-\mathrm{\η})/4\\ {\mathrm{\φ}}_3=(1+\mathrm{\ξ})(1+\mathrm{\η})/4\\ {\mathrm{\φ}}_4=(1-\mathrm{\ξ})(1+\mathrm{\η})/4\end{array}\right.$

根据以上公式得到标准基函数对的导数：

$\left\{\begin{array}{cc}\frac{\∂{\mathrm{\φ}}_i}{\∂x}=(A_{xi}+B_{xi}\mathrm{\ξ}+C_{xi}\mathrm{\η})/8\left|J\right|& i=1,2,3,4\\ \frac{\∂{\mathrm{\φ}}_i}{\∂y}=(A_{yi}+B_{yi}\mathrm{\ξ}+C_{yi}\mathrm{\η})/8\left|J\right|& i=1,2,3,4\end{array}\right.$

其中各系数满足以下关系：

$\left[\begin{array}{c}{A}_{xi}\\ B_{xi}\\ C_{xi}\\ A_{yi}\\ B_{yi}\\ C_{yi}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{y}_2-y_4& y_3-y_1& y_4-y_2& y_1-y_3\\ y_4-y_3& y_3-y_4& y_1-y_2& y_2-y_1\\ y_3-y_2& y_1-y_4& y_4-y_1& y_2-y_3\\ x_4-x_2& x_1-x_3& x_2-x_3& x_3-x_1\\ x_3-x_4& x_4-x_3& x_2-x_1& x_1-x_2\\ x_2-x_3& x_4-x_1& x_1-x_4& x_3-x_2\end{array}\right]$

将标准坐标系下的基函数及其导数的表达式代入到有限差分计算方程中，求得标准坐标系下的基于随机变分原理的有限差分解计算结果，然后坐标变换，得到实际坐标系中的计算结果。

4.根据权利要求1所述的一种基于随机有限元分析的红外诱饵弹气动特性建模方法，其特征在于，步骤b4中：假设某一子单元e，其结点i,j对应的总体结点序号为m,n，在总体合成时按如下规则进行：

$A_{nm}=A_{nm}+A_{ij}^e$

在求解域中任取两个相邻单元e₁、e₂，其总体结点序号为单元e₁的结点i₁、i₂、i₃、i₄分别对应总体结点n₁、n₂、n₃、n₄，单元e₂的结点i₁、i₂、i₃、i₄分别对应总体结点n₄、n₃、n₆、n₅，根据公式，得到两个单元进行总体合成以后的系数矩阵A_nm，如下式所示：

$\begin{array}{c}{A}_{nm}=\left[\begin{array}{cccccc}{A}_{11}& A_{12}& A_{13}& A_{14}& A_{15}& A_{16}\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}& A_{24}& A_{25}& A_{16}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33}& A_{34}& A_{35}& A_{16}\\ A_{41}& A_{42}& A_{43}& A_{44}& A_{45}& A_{16}\\ A_{51}& A_{52}& A_{53}& A_{54}& A_{55}& A_{16}\\ A_{61}& A_{62}& A_{63}& A_{64}& A_{65}& A_{16}\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{cccccc}{A}_{11}^{\left(1\right)}& A_{12}^{\left(1\right)}& A_{13}^{\left(1\right)}& A_{14}^{\left(1\right)}& 0& 0\\ A_{21}^{\left(1\right)}& A_{22}^{\left(1\right)}& A_{23}^{\left(1\right)}& A_{11}^{\left(1\right)}& 0& 0\\ A_{31}^{\left(1\right)}& A_{32}^{\left(1\right)}& A_{33}^{\left(1\right)}+A_{22}^{\left(2\right)}& A_{34}^{\left(1\right)}+A_{21}^{\left(2\right)}& A_{24}^{\left(2\right)}& A_{26}^{\left(2\right)}\\ A_{41}^{\left(1\right)}& A_{42}^{\left(1\right)}& A_{43}^{\left(1\right)}+A_{12}^{\left(2\right)}& A_{44}^{\left(1\right)}+A_{11}^{\left(2\right)}& A_{14}^{\left(2\right)}& A_{16}^{\left(2\right)}\\ 0& 0& A_{42}^{\left(2\right)}& A_{41}^{\left(2\right)}& A_{44}^{\left(2\right)}& A_{43}^{\left(2\right)}\\ 0& 0& A_{32}^{\left(2\right)}& A_{31}^{\left(2\right)}& A_{34}^{\left(2\right)}& A_{33}^{\left(2\right)}\end{array}\right]\end{array}$

最终的总体随机有限元方程是一个含有有限个未知数的线性方程组。