利用Veronese映射棋盘格的投影矩阵标定中心折反射摄像机的制作方法

技术特征：

1.一种利用Veronese映射棋盘格的投影矩阵标定中心折反射摄像机的方法，其特征在于利用空间中分别垂直的三个棋盘格作为靶标，所述方法的具体步骤包括：首先，用中心折反射摄像机拍摄1幅标靶图像，提取靶标图像特征点的坐标，其次，利用Veronese映射扩展坐标，使用DLT-相似方法线性估计投影矩阵Pcata，最后，利用投影矩阵求解摄像机内参数；

(1)Veronese映射扩展坐标

Veronese映射Va,c是次数为c的一个映射，即通过把任意空间中a维点映射为射影空间中b维点，其中c是Veronese映射的次数，a是任意空间中点的维数，b是Va,c映射后点的维数；透视情况下，直接使用DLT-方法，但是在中心折反射下，需通过Veronese映射扩展坐标维数才使用DLT-方法，此时称为DLT-相似算法；DLT-相似算法在中心折反射基于Veronese映射下的运用分为两步：第一步，扩展点坐标，通过Veronese映射V2,2将射影平面上的两个齐次坐标表示的点m＝[x1 x2 x3]^T,映射到5维射影空间中，矩阵表示为：算子τ将两个1×3向量扩展为一个1×6向量，当时，实际上，向量是通过矩阵m^Tm整理得到的，由于m^Tm是对称矩阵，它有一部分元素是重复的，通过对m^Tm排列得到的列向量左乘一个适当的置换矩阵S，再左乘一个对角矩阵D^-1，得

其中ν(m^Τm)表示按矩阵m^Τm的列向量堆排形成的新的列向量；第二步，对点的扩展来诱导扩展矩阵，由于一个矩阵视为一个线性变换，设H是一个3×3的矩阵，同时它也是一个线性变换，将点m,分别变换为通过算子Υ将射影平面嵌入到5维射影空间中，将一个3阶矩阵H映射为6阶矩阵需要满足下列条件:进行代数运算获得算子Υ，记H的列向量为h1,h2,h3，得到H扩展后的矩阵其中τij＝τ(hi,hj)，其中i,j＝1,2,3；由上述扩展矩阵的过程得出一些扩展矩阵的性质：

(2)DLT-相似算法线性估计折反射投影矩阵Pcata

在中心折反射摄像机下提出DLT-相似方法，在DLT-相似方法中需要用到Kronecker积和反对称矩阵知识；Kronecker积是表示矩阵特殊乘积的数学符号；一个p×q的矩阵Α和一个的矩阵B的Kronecker积记为它是一个阶的矩阵；Kronecker积也称为直积或张量积；对Kronecker积的运用采用右Kronecker积，定义为：p×q的矩阵Α和的矩阵B的右Kronecker积定义为：像点坐标mI＝[x1 x2 x3]^T的反对称阵[mI]×定义为：在透视情况下，DLT方法，也称直接线性变换方法，是将一个空间点与它的图像点之间通过一个单应矩阵P以之对应建立线性关系：[mI]×PM＝0，其中M表示空间点的坐标，P表示空间点和像点之间的单应矩阵；用Kronecker积进行变换之后得:其中，为矩阵P中的9个元素组成的一个列向量；为了在中心折反射摄像机下得到类似的结果，提出DLT-相似算法：要求对空间点和图像点的反对称矩阵进行扩展；

空间点M的两个对拓像点mI+,mI-构成的对偶二次曲线，由于退化，实际上该二次曲线就是一条直线，至少通过上述两点中的一点，那么这条对偶的二次曲线表示为：其中mI+,mI-表示空间点M在单位球上的两个对拓点，∝表示相差一个比例因子是相等的；若点mI在这个二次曲线上，二次曲线的系数矩阵为一个3×3的对称矩阵Ω，有：mI^TΩmI＝0，mI为二次曲线上的点；由于3×3的对称矩阵Ω有6个元素，Veronese映射对该对称矩阵元素进行堆排得到一个列向量，该列向量由摄像机内外参数矩阵得到，记Vsym(Ω)为对偶二次曲线的唯一的列向量表示法：其中是关于中心折反射摄像机的旋转矩阵通过Veronese映射扩展得到的6×6矩阵，与旋转矩阵R的扩展形式之间相差一个非零比例因子ρ，令I6表示6阶单位矩阵，为空间点M扩展的点，Xξ和Τ6×4分别只与镜面参数ξ和平移向量t＝[tx ty tz]^T相关的矩阵,这里从而得到一个类似透视投影公式其中Pcata表示与摄像机内外参数相关的折反射投影矩阵,表示为：类比透视投影下空间点与像点之间的约束关系得在中心折反射摄像机下的约束关系：其中为[mI]×的扩展矩阵，为空间点M扩展的点；再通过Kronecker积进行变换之后得其中pcata是由Pcata的列向量堆排构成的60×1的列向量，该向量有59个自由度，也就是说pcata中最后一个元素为1；通过n对三维点和它的像点构成的线性方程组的系数矩阵尺度为6n×60；这个齐次线性方程组的解使用SVD分解获得；因为[mI]×是一个3阶反对称矩阵，它所对应的扩展矩阵的秩为3；因此，一对三维点与其像点的对应只能提供关于折反射矩阵Pcata中元素的三个独立的线性约束方程组；那么，至少需要20对对应点才能计算出pcata，从而得到折反射投影矩阵Pcata；

(3)投影矩阵求解摄像机内参数

在得到的Pcata提取其最左边的6×6矩阵，记为Ps，由得到∝表示相差一个比例因子是相等的，～表示相差一个[I6 Τ6×4]；因子再由扩展矩阵的性质和正交矩阵R的性质得到只与内参数与镜面参数有关的矩阵：～表示式子左边、右边存在一个比例因子，即两边矩阵的每个元素都相差一个比例因子，并且在求解内参数过程中不需要考虑比例因子，即将比例因子设为1；通过式子N中的元素：

其中fu，fv分别是摄像机在u,v轴上的尺度因子，s是倾斜因子，u0,v0是主点o中的坐标元素,N22,N23,N24,N32,N33,N34,N35,N36分别是矩阵N的第2行2列、2行3列、2行4列、5行2列、3行3列、3行4列、3行5列、3行6列元素值；计算即得到内参数u0,v0,fv,s,fu以及镜面参数ξ。