一种计算Timoshenko梁高阶自然频率准确解的方法与流程

本发明公开了一种计算Timoshenko梁高阶自然频率准确解的方法，具体涉及梁类结构动力特性分析领域。

背景技术：

梁类结构作为最常见的一类基本结构，准确获取其动力特性，尤其是自然频率是工程中较为关心的问题，同时梁的高阶振动问题在机械、航空航天领域都至关重要。Timoshenko梁理论是一种适用于梁高阶自然频率计算的梁理论，通过在梁一端建立一个坐标系，建立4个边界条件方程，得到4阶齐次线性方程组，可以计算得到Timoshenko梁较高阶(通常小于12阶)自然频率的准确解。但由于普通计算机数值计算精度的限制，无法获得更高阶自然频率的准确解，只能通过其他数值方法得到其近似解。基于这样的考虑，需要考虑设计一种计算Timoshenko梁高阶自然频率准确解的方法。

技术实现要素：

本发明所要解决的技术问题是：针对现有计算Timoshenko梁自然频率准确解的方法中，由于数值计算条件的限制，无法获得更高阶自然频率的准确解的问题，提出建立一种计算Timoshenko梁高阶自然频率准确解的方法。

本发明为解决上述技术问题采用以下技术方案：

本发明提出一种计算Timoshenko梁高阶自然频率准确解的方法，包括如下步骤：

一种计算Timoshenko梁高阶自然频率准确解的方法，包括如下步骤：

(1)、在梁长度方向上建立n个局部坐标系，通过局部坐标系将梁分成n个梁段，建立各梁段的横向位移以及弯曲引起的截面转角的统一计算表达式，n为大于1的自然数；

(2)、在相邻两个梁段之间分别建立位移、转角、弯矩和剪力的连续性条件方程，n个梁段共得到4n-4个连续性条件方程；根据梁的边界类型，在梁两端建立4个边界条件方程；

(3)、将各梁段的横向位移以及弯曲引起的截面转角分别对应代入步骤(2)建立的4n-4个连续性条件方程和4个边界条件方程，得到4n阶齐次线性方程组，然后通过依次赋值圆频率并代入4n阶齐次线性方程组中求解Timoshenko梁的各阶自然频率。

进一步的，本发明提出的计算Timoshenko梁高阶自然频率准确解的方法，步骤(1)中，设第i个梁段的长度为S_i，梁长i＝1,2，...,n-1；在每个梁段局部坐标系中横坐标为x_i，无量纲横坐标ζ_i＝x_i/S_i，0≤ζ_i≤1；则第i个梁段的横向位移W_i(ζ)和弯曲引起的截面转角ψ_i(ζ)分别为：

W_i(ζ_i)＝A_i cosh(γ₁S_iζ_i/L)+B_i sinh(γ₁S_iζ_i/L)+C_i cos(γ₂S_iζ_i/L)+D_i sin(γ₂S_iζ_i/L)

ψ_i(ζ_i)＝A_im₁ sinh(γ₁S_iζ_i/L)+B_im₁ cosh(γ₁S_iζ_i/L)+C_im₂ sin(γ₂S_iζ_i/L)-D_im₂cos(γ₂S_iζ_i/L)

其中s＝θr，β＝τ(τrs-1)，E为其弹性模量，G为剪切模量，I为截面惯性矩，ρ为材料密度，A为截面面积，k为截面剪切系数，ω为圆频率，A_i,B_i,C_i,D_i分别为步骤(3)中待求未知数，sinh和cosh分别为双曲正弦与双曲余弦函数。

进一步的，本发明提出的计算Timoshenko梁高阶自然频率准确解的方法，步骤(2)是在相邻的第i个梁段和第i+1个梁段连接处建立位移、转角、弯矩和剪力的连续性条件方程，分别如下:

位移的连续性条件方程为：

转角的连续性条件方程为：

弯矩的连续性条件方程为：

剪力的连续性条件方程为：

其中，W_i'(ζ_i)、ψ_i'(ζ_i)分别代表横向位移W_i(ζ)的斜率和转角ψ_i(ζ)的斜率。

进一步的，本发明提出的计算Timoshenko梁高阶自然频率准确解的方法，每个梁端边界条件由以下4个边界条件方程中任意两个方程组合得到：

W(ζ)＝0

ψ(ζ)＝0

ψ'(ζ)＝0

W'(ζ)-ψ(ζ)＝0；

其中，ζ₁＝0，ζ_n＝1。

进一步的，本发明提出的计算Timoshenko梁高阶自然频率准确解的方法，三种常见的梁端边界条件如下：固定端边界条件为W(ζ)＝0和ψ(ζ)＝0，自由端边界条件为ψ'(ζ)＝0和W'(ζ)-ψ(ζ)＝0，简支端边界条件为W(ζ)＝0和ψ'(ζ)＝0。

进一步的，本发明提出的计算Timoshenko梁高阶自然频率准确解的方法，将步骤(2)中横向位移W_i(ζ)和弯曲引起的截面转角ψ_i(ζ)代入4n-4个连续性方程和4个边界条件方程，得到以A_i,B_i,C_i,D_i为未知数的4n阶齐次线性方程组。

进一步的，本发明提出的计算Timoshenko梁高阶自然频率准确解的方法，步骤(3)中求解自然频率方法为：

在求解范围内依次赋值圆频率ω并代入齐次线性方程组的系数矩阵D(ω)，由其行列式|D(ω)|得到Y(ω)，

第j个令Y(ω)等于零的ω的值，即为梁的第j个自然频率。

本发明采用以上技术方案与现有技术相比，具有以下技术效果：

本发明公开了一种计算Timoshenko梁高阶自然频率准确解的方法，该方法能突破现有计算Timoshenko梁高阶自然频率准确解的瓶颈，极大地扩展求解范围，实现Timoshenko梁高阶自然频率准确解的计算。

附图说明

图1是本发明的局部坐标下的梁示意图。

图2是使用现有技术的Timoshenko梁自然频率求解结果图。

图3是使用本发明的Timoshenko梁自然频率求解结果图。

图4是本发明的方法流程图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的技术方案做进一步的详细说明：

本技术领域技术人员可以理解的是，除非另外定义，这里使用的所有术语(包括技术术语和科学术语)具有与本发明所属领域中的普通技术人员的一般理解相同的意义。还应该理解的是，诸如通用字典中定义的那些术语应该被理解为具有与现有技术的上下文中的意义一致的意义，并且除非像这里一样定义，不会用理想化或过于正式的含义来解释。

首先，如图4所示，本发明提出一种计算Timoshenko梁高阶自然频率准确解的方法，包括如下步骤：

(1)、如图1所示，在梁长度方向上建立n个局部坐标系，通过局部坐标系将梁分成n个梁段；第i个梁段的长度为S_i，梁长i＝1,...,n-1；在每个梁段局部坐标系中横坐标为x_i，无量纲横坐标ζ_i＝x_i/S_i，0≤ζ_i≤1；则第i个梁段的横向位移W_i(ζ)和弯曲引起的截面转角ψ_i(ζ)分别为：

W_i(ζ_i)＝A_i cosh(γ₁S_iζ_i/L)+B_i sinh(γ₁S_iζ_i/L)+C_i cos(γ₂S_iζ_i/L)+D_i sin(γ₂S_iζ_i/L)，

ψ_i(ζ_i)＝A_im₁ sinh(γ₁S_iζ_i/L)+B_im₁ cosh(γ₁S_iζ_i/L)+C_im₂ sin(γ₂S_iζ_i/L)-D_im₂cos(γ₂S_iζ_i/L)，

其中s＝θr，β＝τ(τrs-1)，E为其弹性模量，G为剪切模量，I为截面惯性矩，ρ为材料密度，A为截面面积，k为截面剪切系数，ω为圆频率，A_i,B_i,C_i,D_i分别为步骤(3)中待求未知数，sinh和cosh分别为双曲正弦与双曲余弦函数。

(2)、在相邻两个梁段之间建立位移、转角、弯矩和剪力的连续性条件方程，得到4n-4个方程；具体的，相邻的第i个梁段和第i+1个梁段连接处建立位移、转角、弯矩和剪力的连续性条件方程分别如下:

一端固支，一端自由的4个边界条件方程具体为：

一端固定，一端简支的4个边界条件方程具体为：

两端简支的4个边界条件方程具体为：

(3)、将横向位移W_i(ζ)和弯曲引起的截面转角ψ_i(ζ)代入4n-4个连续性方程和4个边界条件方程，得到以A_i,B_i,C_i,D_i为未知数的4n阶齐次线性方程组，求解Timoshenko梁各阶自然频率。

齐次线性方程组为D(ω)C＝0

其中待求未知数向量C＝(A₁,B₁,C₁,D₁,A₂,B₂,C₂,D₂,...,A_n,B_n,C_n,D_n)^T

系数矩阵

P_i＝(P_i,1 P_i,2)

对于一端固支，一端简支的边界条件：

对于一端固支，一端简支的边界条件：

对于两端简支的边界条件：

(3)、在求解范围内依次赋值圆频率ω并代入齐次线性方程组的系数矩阵D(ω)中，由其行列式|D(ω)|得到Y(ω)，

第j个令Y(ω)等于零的ω的值，即为梁的第j个自然频率。

下面具体举例说明本发明的技术方案，本实施例所用矩形截面悬臂梁(一端固支，一端自由)弹性模量为70Mpa，剪切模量为26.3Mpa，截面剪切系数为0.851，密度为2700kg/m³，长度为1m，截面尺寸为0.01m×0.01m。

首先，根据步骤(1)在梁长度方向上建立4个局部坐标系，通过局部坐标系将梁分成4个梁段，每个梁段长度为0.25m。

其次，根据步骤(2)-(3)在相邻的第i(i＝1,2,3)个梁段和第i+1个梁段连接处建立12个位移、转角、弯矩和剪力的连续性条件方程:

和4个边界条件方程：

得到16阶齐次线性方程组。

最后，从0到500rad/s依次赋值圆频率ω并代入系数矩阵D(ω)中，由其行列式|D(ω)|得到Y(ω)，

第j个令Y(ω)等于零的ω的值，即梁的第j个自然频率。

图2为使用现有技术的Timoshenko梁自然频率求解结果图，图3为使用本发明的Timoshenko梁自然频率求解结果图，使用现有技术和使用本发明得到的Timoshenko梁自然频率如表1所列，对比结果可以发现使用现有技术只能计算Timoshenko梁前11阶自然频率，之后就会出现数值计算错误，而使用本发明提出的一种计算Timoshenko梁高阶自然频率准确解的方法，可以有效计算至少前18阶自然频率。

表1

以上所述仅是本发明的部分实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。