一种机械臂误差分析方法与流程

本发明涉及机械臂误差分析，具体是对影响机械臂末端位置精度的各误差的敏感性和影响规律分析。

背景技术：

随着机械臂应用领域的扩展，人们对机械臂的性能要求日益提高，机械臂正朝着智能化、高精度方向发展。精度是评价机械臂性能的重要性能之一，经过许多年的发展如今已能够达到很高的重复定位精度，但是其绝对定位精度还很低。由于机械臂的设计制造和装配误差、控制系统和工作环境因素的影响，机械臂控制器中的运动学模型与机械臂实际模型存在差异，因此造成机械臂的工作精度低。

根据研究表明，由于机械臂制造、装配误差引起的末端执行器位姿误差占误差的90％左右。知道影响各运动学参数误差对机械臂末端位置精度的敏感性和影响规律，可合理地对误差进行分配，提高机械臂末端的位置精度。

技术实现要素：

针对上述问题，本发明的目的在于提供一种计算精确，操作方便，分析全面的机械臂误差分析方法，用来分析各运动学参数误差对机械臂末端位置精度的敏感性和影响规律，指导机械臂的精度分配。

本发明为实现上述目的所采用的技术方案是：一种机械臂误差分析方法，包括以下步骤：

步骤1：利用指数积方法建立机械臂的运动学模型；

步骤2：根据运动学模型建立机械臂末端位置误差模型；

步骤3：分析机械臂末端位置误差模型的各关节误差和初始位姿误差对机械臂末端位置精度的敏感性，得到各关节误差和初始位姿误差敏感性比值；

步骤4：分析机械臂末端位置误差模型的关节各项误差随各关节角变化时对机械臂末端位置精度的影响规律；

步骤5：根据得到的敏感性比值和影响规律，指导机械臂的精度分配。

所述利用指数积方法建立机械臂的运动学模型，包括以下步骤：

通过关节轴线方向的单位矢量w和关节轴线上的一点r计算得到关节的运动旋量ξ：

其中，w＝(w1,w2,w3)^t，r＝(r1,r2,r3)^t；

那么，每个关节的转换矩阵为：

其中，θ表示关节角度，旋转矩阵通下式计算得到：

机械臂末端坐标系{t}相对于基坐标系{s}的初始位姿为：

其中，r0表示坐标系{t}在基坐标系{s}中的初始姿态，p0表示坐标系{t}原点在基坐标系{s}中的初始位置；

机械臂运动学模型为多个关节的转换矩阵与初始位姿相乘，即可得到机械臂末端的位姿如下：

其中，θ＝(θ1,θ2,…,θi,…,θn)^t为关节角向量，n为关节的个数，θi为第i个关节的关节角；r表示坐标系{t}在基坐标系{s}中的姿态,p表示表示坐标系{t}原点在基坐标系{s}中的位置。

所述根据运动学模型建立机械臂末端位置误差模型，包括以下步骤：

从机械臂运动学模型公式(1)得到引起机械臂末端位置误差的有：关节角θ的误差、关节运动旋量ξ的误差、初始位姿的误差；所述关节运动旋量ξ的误差包括关节轴方向w的误差、关节轴位置r的误差；并且，关节新的运动旋量应满足关节约束条件：||w'||＝1、w'tv'＝0；

所以引入误差后的运动学参数可以表示为：

θ'＝θ+δθ

w'＝rz(δα)ry(δβ)rx(δγ)w

r'＝r+δr

v'＝r'×w'

其中，δθ表示关节角误差，δα、δβ、δγ表示关节轴方向或末端坐标系{t}的旋转角度误差，rz(δα)、ry(δβ)、rx(δγ)为误差转换矩阵，δr表示关节轴上一点的位置误差，δp0表示末端坐标系{t}的原点位置误差；

那么，根据机械臂运动学模型，即可得到存在误差时机械臂末端的实际位姿为：

则机械臂末端位置误差模型为：

δp＝p'-p。(2)

所述分析机械臂末端位置误差模型的各关节误差和初始位姿误差对机械臂末端位置精度的敏感性，得到各关节误差和初始位姿误差敏感性比值，包括以下步骤：

4-1：当所有关节的关节角θ、关节运动旋量ξ和初始位姿同时存在误差时,将存在误差的实际的运动学参数代入机械臂末端位置误差模型公式(2)，随机产生k组关节角向量θ＝(θ1,θ2,…,θi,…,θn)^t形成k个位姿；计算出机械臂末端位置误差{δp总¹,…,δp总^x,…δp总^k}，得到机械臂末端位置总误差的平均值和最大值

4-2：当只有第i个关节的关节角θi和关节旋量ξi存在误差误差，其余关节和初始位姿均不存在误差时，将存在误差的实际的运动学参数代入机械臂末端位置误差模型公式(2)，随机产生k组关节角向量θ＝(θ1,θ2,…,θi,…,θn)^t形成k个位姿，计算出机械臂末端位置误差{δpi¹,…,δpi^x,…δpi^k}，得到机械臂末端位置误差的平均值和最大值

|δpi|最大＝max(|δpi¹|，…，|δpi^x|，…，|δpi^k|)，n个关节，共得到n个平均值：

|δp1|平均，…，|δpi|平均,…,|δpn|平均与最大值：|δp1|最大,…,|δpi|最大,…,|δpn|最大；

4-3：当只有初始位姿存在误差，所有关节角和关节运动旋量均不存在误差时，将存在误差后实际的运动学参数代入机械臂末端位置误差模型公式(2)，随机产生k组关节角向量θ＝(θ1,θ2,…,θi,…,θn)^t形成k个位姿，计算出机械臂末端位置误差{δpst¹,…,δpst^x,…δpst^k}，得到机械臂末端位置误差的平均值和最大值

4-4：计算各关节误差和初始位姿敏感性比值：|δpi|平均/|δp总|平均、|δpi|最大/|δp总|最大、|δpst|平均/|δp总|平均、|δpst|最大/|δp总|最大；其中，i＝1,…,n。

所述分析机械臂末端位置误差模型的关节各项误差随各关节角变化时对机械臂末端位置精度的影响规律，包括以下步骤：

5-1：在某一关节角向量θ＝(θ1,θ2,…,θi,…,θn)^t下，依次转动关节1至n，分别得到n幅与关节角误差相关联的机械臂末端位置误差的影响规律曲线图，所述每幅中包含n条曲线，所述每条曲线表示每个关节角误差δθi随当前转动关节变化对机械臂末端位置误差的影响；

得到关节角误差随每个关节角变化时对机械臂末端误差的影响规律：关节角误差对造成的机械臂末端位置误差与其轴线到机械臂末端的距离成正比；第i个关节转动时，第1至(i-1)个关节角误差造成的机械臂末端位置误差会随第i个关节角变化，但最后一个关节转动时，各误差造成的影响不变；

5-2：在某一关节角向量θ＝(θ1,θ2,…,θi,…,θn)^t下，依次转动关节1至n，分别得到n幅与关节轴方向误差相关联的机械臂末端位置误差的影响规律曲线图，所述每幅中包含n条曲线，所述每条曲线表示每个关节轴方向误差随当前转动关节变化对机械臂末端位置误差的影响；所述每个关节轴方向误差通过δαi、δβi、δγi计算得到；

得到关节轴方向误差随每个关节角变化时对机械臂末端误差的影响规律：第i个关节转动时，第1～i个关节轴方向误差造成的机械臂末端位置误差会随第i个关节角变化；某个关节角为零时，该关节轴方向误差不会对机械臂末端位置造成影响；

5-3：在某一关节角向量θ＝(θ1,θ2,…,θi,…,θn)^t下，依次转动关节1至n，分别得到n幅与关节轴位置误差向关联的机械臂末端位置误差的影响规律曲线图，所述每幅中包含n条曲线，所述每条曲线表示每个关节轴位置误差δri随当前转动关节变化对机械臂末端位置误差的影响；

得到关节轴位置误差随每个关节角变化时对机械臂末端误差的影响规律：第i个关节轴位置误差造成的机械臂末端位置误差只与第i个关节角有关。

所述根据得到的敏感性比值和影响规律，指导机械臂的精度分配，包括：

根据各关节和初始位姿敏感性比值，比值越大表示机械臂末端位置误差对该关节或初始位姿的运动参数越敏感；根据关节角误差和关节轴方向误差随关节离机械臂末端的距离增加而变大；而关节轴位置误差对机械臂末端位置的影响等效；

在机械臂制造和装配过程中，提高关节角和关节轴方向的精度，以及提高各关节误差和初始位姿误差敏感性比值大的关节或初始位姿的精度，来提高机械臂末端的位置精度。

本发明具有以下有益效果及优点：

1.本发明利用指数积方法建立机械臂的运动学模型，该模型用运动旋量来对每个关节进行描述，只需要建立惯性坐标系和工具坐标系，关节量的改变非常平缓，克服了奇异性问题，并且可以对平移关节与旋转关节进行统一描述。

2.本发明建立误差模型时，实际的运动旋量满足关节约束条件，误差模型简单、精度高。

3.本发明对各误差分别进行分析，并分析其随着关节角的变化对机械臂末端的位置精度的影响，并通过图表展现出来，效果直观，分析全面具体。

4.本发明通过分析各误差的敏感性和影响规律，指导机械臂的误差分配，有效提高机械臂末端的位置精度。

附图说明

图1为本发明方法的流程示意图；

图2为本发明方法的六自由度机械臂模型图；

图3为本发明方法的机械臂末端位置误差图；

图4为本发明方法的各关节角误差随关节1变化的影响规律图；

图5为本发明方法的各关节角误差随关节2变化的影响规律图；

图6为本发明方法的各关节角误差随关节3变化的影响规律图；

图7为本发明方法的各关节角误差随关节4变化的影响规律图；

图8为本发明方法的各关节角误差随关节5变化的影响规律图；

图9为本发明方法的各关节角误差随关节6变化的影响规律图；

图10为本发明方法的各关节轴方向误差随关节1变化的影响规律图；

图11为本发明方法的各关节轴方向误差随关节2变化的影响规律图；

图12为本发明方法的各关节轴方向误差随关节3变化的影响规律图；

图13为本发明方法的各关节轴方向误差随关节4变化的影响规律图；

图14为本发明方法的各关节轴方向误差随关节5变化的影响规律图；

图15为本发明方法的各关节轴方向误差随关节6变化的影响规律图；

图16为本发明方法的各关节轴位置误差随关节1变化的影响规律图；

图17为本发明方法的各关节轴位置误差随关节2变化的影响规律图；

图18为本发明方法的各关节轴位置误差随关节3变化的影响规律图；

图19为本发明方法的各关节轴位置误差随关节4变化的影响规律图；

图20为本发明方法的各关节轴位置误差随关节5变化的影响规律图；

图21为本发明方法的各关节轴位置误差随关节6变化的影响规律图。

图4-图21中的曲线1,2，3，4，5，6分别代表关节1、关节2、关节3、关节4、关节5、关节6存在误差时的误差变化规律曲线。

具体实施方式

下面结合附图及实施例对本发明做进一步的详细说明。

如图1所示，在具体应用实例中，本发明的详细步骤为：

(1)利用指数积方法建立机械臂的运动学模型

选取图2所示的6自由度机械臂作为实例，其中包括机械臂的初始构型、连杆参数、基坐标系和工具坐标系。该机械臂6个关节的运动范围分别为-180°～180°、-90°～90°、-90°～90°、-180°～180°、-90°～90°、-180°～180°。根据运动旋量的定义，根据各关节轴的方向和其通过一点的位置，可得到机械臂各关节的运动旋量如表1所示：

表1机械臂各关节的运动旋量

根据机械臂的初始构型，可得到机械臂末端坐标系{t}相对于基坐标系{s}的初始位姿矩阵为：

得到关节的运动旋量后，可得到其转换矩阵为：

其中旋转矩阵可通下式计算得到：

机械臂运动学模型为多个关节的转换矩阵与初始位姿相乘，即可得到机械臂末端的位姿如下：

其中，θ＝(θ1,θ2,θ3,θ4,θ5,θ6)^t为关节角向量。

(2)根据运动学模型建立机械臂末端位置误差模型

从机械臂运动学模型可以看出，引起机械臂末端位置误差的有：关节角θ的误差、关节运动旋量ξ的误差(包括关节轴方向w的误差、关节轴位置r的误差)、初始位姿的误差。而关节新的运动旋量应满足关节约束条件(||w'||＝1、w'^tv'＝0)，所以引入误差后的运动学参数可以表示为：

θ'＝θ+δθ

w'＝rz(δα)ry(δβ)rx(δγ)w

r'＝r+δr

v'＝r'×w'

其中δθ表示关节角误差，δα、δβ、δγ表示关节轴方向或末端坐标系{t}的旋转角度误差，rz(δα)、ry(δβ)、rx(δγ)为误差转换矩阵，δr表示关节轴上一点的位置误差，δp0表示末端坐标系{t}的原点位置误差。

那么，根据机械臂运动学模型，即可得到存在误差时机械臂末端的实际位姿为：

则机械臂末端位置误差模型为：

δp＝p'-p

(3)分析各关节误差和初始位姿误差对机械臂末端位置精度的敏感性

首先假设各关节角均存在0.01°的误差，各关节轴线绕基坐标系x、y、z轴分别有0.01°的误差，各关节轴线上一点的位置在基坐标系x、y、z轴方向上都有0.1mm的误差，机械臂末端位置与工具坐标系的姿态无关，则假设初始位置在基坐标系x、y、z轴方向上分别存在0.1mm的误差。将存在误差后实际的运动学参数代入机械臂末端位置误差模型，随机产生1万组关节角向量θ＝(θ1,θ2,…,θi,…,θn)^t形成1万个位姿，将存在误差后实际的运动学参数代入机械臂末端位置误差模型，计算出一组机械臂末端位置误差{δp总¹,…,δp总^x,…δp总¹⁰⁰⁰⁰}，得到机械臂末端位置总误差的平均值|δp总|平均＝0.276mm和最大值|δp总|最大＝0.506mm。

当只有关节i的关节角θi和关节旋量ξi存在误差误差时，其余关节和初始位姿均不存在误差，将存在误差后实际的运动学参数代入机械臂末端位置误差模型，随机产生1万组关节角向量θ＝(θ1,θ2,θ3,θ4,θ5,θ6)^t形成1万个位姿，将存在误差后实际的运动学参数代入机械臂末端位置误差模型，计算出一组机械臂末端位置误差{δpi¹,…,δpi^x,…δpi¹⁰⁰⁰⁰}，得到机械臂末端位置误差的平均值|δpi|平均和最大值|δpi|最大，6个关节最终得到6个平均值|δp1|平均＝0.251mm|δp2|平均＝0.139mm、|δp3|平均＝0.115mm、|δp4|平均＝0.184mm、|δp5|平均＝0.104mm、|δp6|平均＝0.184mm与最大值|δp1|最大＝0.453mm、|δp2|最大＝0.291mm、|δp3|最大＝0.115mm、|δp4|最大＝0.301mm、|δp5|最大＝0.201mm、|δp6|最大＝0.289mm。

当只有初始位姿存在误差时，所有关节的转角和运动旋量均不存在误差，将存在误差后实际的运动学参数代入机械臂末端位置误差模型，随机产生1万组关节角向量θ＝(θ1,θ2,θ3,θ4,θ5,θ6)^t形成1万个位姿，将存在误差后实际的运动学参数代入机械臂末端位置误差模型，计算出一组机械臂末端位置误差{δpst¹,…,δpst^x,…δpst¹⁰⁰⁰⁰}，得到机械臂末端位置误差的平均值|δpst|平均＝0.173mm和最大值|δpst|最大＝0.173mm。

将每个关节误差和初始位姿误差产生的机械臂末端位置误差的平均值与最大值整理，可得到图3所示的机械臂末端位置误差图。对比各误差的平均值与总误差的平均值的比值|δpi|平均/|δp总|平均和各误差的最大值与总误差的最大值得比值|δpi|最大/|δp总|最大，结果如表2所示。得到各关节误差和初始位姿误差的敏感性，比值越大表示机械臂末端位姿误差对该关节或初始位姿的运动参数越敏感。

表2各误差与总误差比值

工具坐标系初始位姿对机械臂末端造成误差的平均值与最大值一样，可知工具坐标系的位姿对机械臂末端位置精度影响一致，不会随机械臂关节角向量的变化而变化。

各关节误差对机械臂末端位置精度的敏感性，关节1最大，其次是关节4与关节6，并且两个关节造成的影响一样，然后依次是关节2、关节3、关节5。其中关节1、4、6的运动范围为-180°～180°，关节2、3、5的运动范围为-90°～90°，关节4、5、6的轴线相交于一点。通过分析可知关节距离机械臂末端越远，其敏感性越大；关节的运动范围越大，其敏感性越大。

(4)分析关节各项误差随各关节角变化时对机械臂末端位置精度的影响规律。

在初始关节角向量为θ＝(0°，90°，-90°,0°,90°,0°)^t下，转动关节1，得到每个关节角误差δθi为0.01°时随着关节1变化对机械臂末端位置误差的影响规律曲线，共6条曲线，得到各关节角误差随关节1变化的影响规律图，如图4所示。同理也可以得到各关节角误差随关节2、……关节6变化的影响规律图，分别如图5-图9所示。

再转动关节1，得到每个关节轴方向误差δαi、δβi、δγi都为0.01°时随着关节1变化对机械臂末端位置误差的影响规律曲线，共6条曲线，得到各关节轴方向误差随关节1变化的影响规律图，如图10所示。同理也可以得到各关节轴方向误差随关节2、……关节6变化的影响规律图，分别如图11-图15所示。

最后转动关节1，得到每个关节轴位置误差δri在基坐标系x、y、z轴方向上都有0.1mm时随着关节1变化对机械臂末端位置误差的影响规律曲线，共6条曲线，得到各关节轴位置误差随关节1变化的影响规律图，如图16所示。同理也可以得到各关节轴位置误差随关节2、……关节6变化的影响规律图，分别如图17-图21所示。

分析图4-图9，可以看出关节角误差随着每个关节角变化时对机械臂末端误差的影响规律，每个关节角误差对造成的机械臂末端位置误差与其轴线到机械臂末端的距离成正比，所以第i个关节转动时，其前面的1～(i-1)个关节轴线离机械臂末端的位置会发生变化，因此第1～(i-1)个关节角误差造成的机械臂末端位置误差会随第i个关节角变化，最后一个关节转动时，机械臂末端位置不变，各误差造成的影响不变。

分析图10-图15，可以看出关节轴方向误差随着每个关节角变化时对机械臂末端误差的影响规律，第i个关节转动时，第1～i个关节轴方向误差造成的机械臂末端位置误差会随第i个关节角变化。但是某个关节角位零时，该关节轴方向误差不会对机械臂末端位置造成影响，也不会随其他关节角的变化而变化。

分析图6-图17，可以看出关节轴位置误差随着每个关节角变化时对机械臂末端误差的影响规律，第i个关节轴位置误差造成的机械臂末端位置误差只与第i个关节角位置有关，不会随其他关节角变化而变化，且关节轴位置误差在各关节轴对机械臂末端位置造成的影响一样。

(5)根据各误差的敏感性和影响规律，指导机械臂的精度分配。

根据步骤(3)和(4)，可以得到各运动学参数误差对机械臂末端位置精度的敏感性和影响规律。从各误差的敏感性来看，敏感性比值越大的关节敏感性越高。从各误差的影响规律来看，关节角误差和关节轴方向误差会随着关节离机械臂末端的距离增加而变大，对误差有放大作用，而关节轴位置误差对机械臂末端位置的影响等效，不具有放大作用。因此，在机械臂制造和装配过程中，提高关节角和关节轴方向的精度，以及提高各关节误差和初始位姿误差敏感性比值大的关节或初始位姿的精度，来提高机械臂末端的位置精度。