一种基于连续体结构拓扑优化的树状结构拓扑创构方法与流程

本发明属于建筑大型空间支承结构形式中的树状结构拓扑创构技术领域，提出了一种基于连续体结构拓扑优化的树状结构拓扑创构新方法。

背景技术：

树状结构于20世纪60年代首先由德国人奥托(Frei Otto)提出，是根据自然界中树的生态以及受力原理设计的仿生建筑结构形式。1991年建成的德国斯图加特机场是奥托设计的树状结构典型工程实例，其支承屋盖的三层分枝树状结构为航站楼提供了广阔的空间。树状结构具有传力路径合理，支撑覆盖范围广，可用较少的杆件形成较大的支撑空间等优势，在机场、车站、大型公共活动中心等建筑中得到越来越多的应用，如中国高速铁路长沙南站、卡塔尔国家会议中心及孟买Tote旅馆等。树状结构杆件多、形式复杂，形态创建是其结构设计中需要优先解决的问题。在满足建筑功能需求的前提下，设计树干高度、树枝层数、分叉位置及数目、与屋盖结构的支撑位置等，使各构件布置符合最佳传力路径，体现力流从上到下、由低级树枝向高级树枝的汇聚过程，实现形与力的完美结合。常见的树状结构形态研究方法有三类：试验方法、几何方法和数值方法。常见的试验方法有湿丝线模型法、干丝线模型法及丝线串珠模型法等。几何方法应用分形理论对树状结构进行几何创构。Gawell介绍了基于L-系统生成的树状结构分形形态及基于此方法设计的孟买Tote旅馆。随着结构数值分析及优化设计方法的发展，应用数值方法对树状结构的形态进行创建的研究及应用成为热点。von Buelow应用遗传算法寻找树状结构构件的最短路径，提出一种树状结构找形方法。Hunt等将树状结构假定为全铰接模型，然后在模型上添加可竖向滑动的虚支座，通过调整内部节点坐标直至虚支座反力为零，最终确定结构形状。武岳等提出树状结构的逆吊递推找形法。张倩等基于连续折线索单元对树状结构进行了找形研究。应用骨架结构优化方法，崔昌禹等提出基于敏感度的树状结构形态创构方法，同时，改进连续体结构拓扑优化的进化结构优化法(ESO)对树形结构进行拓扑创构。Sasaki应用改进的ESO结构拓扑优化方法设计了卡塔尔国家会议中心。

但目前所应用试验方法、几何方法和数值方法3种方法中，试验方法由于受模型比例尺的影响较大，应用受到限制；分形方法生成的树状结构只关注了树的形态特征，其几何构型需要通过结构优化技术进一步优化设计以考虑其力学特征；数值方法中所采用的拓扑优化ESO法存在优化迭代次数太多、求解效率低、算法不稳键、采用不同的删除率常导致不同的最优结构等不足。而且前2种方法需要人为设定树状结构的层数、层高、分枝数、屋面结构与树状结构支承连接位置等信息，设计空间受限。

技术实现要素：

连续体结构拓扑优化通常可以得到骨架形态的最优拓扑形态，不需要人为指定树状结构的层高、层数及分枝数目等一些先验的条件，具有更大的设计空间。本发明的目的在于提供一种基于连续体结构拓扑优化的树状结构拓扑创构方法，旨在解决目前所应用的拓扑优化ESO法存在优化迭代次数太多、求解效率低、算法不稳键、采用不同的删除率常导致不同的最优结构的问题，避免其它树状创构设计方法需要预先设置树干高度、树枝层数、分叉位置及数目、与屋盖结构的支撑位置等不足。

本发明所述基于连续体结构拓扑优化的树状结构拓扑创构方法实现技术为：应用连续体结构拓扑优化ICM法，建立重量约束下结构总应变能极小化的拓扑优化模型；依据单约束优化问题的鞍点条件建立了优化迭代格式。

所述基于连续体结构拓扑优化的树状结构拓扑创构方法的拓扑优化模型为：

用ICM方法建立模型，将拓扑变量由离散变量扩展为0到1区间上的连续变量，各单元重量及单元刚度阵与拓扑设计变量间的关系分别用不同的过滤函数进行识别：

其中w_i及k_i为单元重量及单元刚度阵，及为单元固有重量及单元固有刚度阵；过滤函数取为：

其中，幂指数α_w及α_k可分别取1及3；

则单元应变能表达为：

其中为第k次迭代时拓扑变量值，第k次迭代时单元i的应变能；单元重量表达为：

由此得到用ICM方法建立的优化模型为：

为防止拓扑值取0时结构刚度矩阵可能出现奇异，通常用一小值t_i代替0，可取t_i＝0.01；

所述的求解方法为：

由于式(5)为单约束问题，该约束必取等式，否则成为无约束问题而无意义，记定义主动集I_a＝{i|t_i＜t_i＜1(i＝1,...,N)}则式(5)为：

该问题的增广拉格朗日函数为：

上式取极值的鞍点条件为：

由此得：

将式(9)代入式(6)中的等式约束条件中得：

从而得到：

式(12)代入式(10)得：

考虑到拓扑变量的区间约束，亦即：

更新主动集，再返回按式(12)计算t_i，如此循环，直至主动集不变终止循环，求得最优解t^*也即为式(5)的最优解，按式(1)修改结构，进入下一次循环，如此迭代直至满足收敛准则：

Δe＝|(e^(k+1)-e^(k))/e^(k+1)|≤ε (14)

其中，e^(k)及e^(k+1)为前轮与本轮迭代的结构总应变能，ε为收敛精度，此处取ε＝0.001。

本发明的另一目的在于提供一种利用所述基于连续体结构拓扑优化的树状结构拓扑创构方法提供建筑大厅中树状支承结构。

本发明的另一目的在于提供一种利用所述基于连续体结构拓扑优化的树状结构拓扑创构方法提供机场航站楼中树状支承结构。

本发明的另一目的在于提供一种利用所述基于连续体结构拓扑优化的树状结构拓扑创构方法提供高速铁路候车大厅中树状支承结构。

本发明的另一目的在于提供一种利用所述基于连续体结构拓扑优化的树状结构拓扑创构方法提供大型公共活动中心中树状支承结构。

本发明提供的基于连续体结构拓扑优化的树状结构拓扑创构方法，结构拓扑优化独立连续映射(ICM)法建立优化模型，应用对偶序列二次规划法求解，优化求解效率较高，优化迭代次数通常在30～50次之间，而现在的应用ESO方法的技术需要的优化迭代次数通常在100次以上。本发明应用(ICM)法建立树状结构的拓扑创构方法；针对概念设计阶段树状结构拓扑创构问题，提出应用连续体结构拓扑优化方法进行创构设计；应用连续体结构拓扑优化ICM法，建立重量约束下结构总应变能极小化(即结构总体刚度极大化)的拓扑优化模型，依据单约束优化问题的鞍点条件建立了优化迭代格式；以一平面树状结构的创构为例，讨论了重量比、屋面结构刚度、屋面结构几何形式、设计空间高度等对树状结构拓扑形态的影响，并给出了几个应用场景的算例；数值算例表明所提出的树状结构创构的结构拓扑优化方法是可行的，可为概念设计阶段树状结构提供多样化的拓扑形态。

附图说明

图1是本发明实施例提供的基于连续体结构拓扑优化的树状结构拓扑创构方法流程图。

图2是本发明实施例提供的平面树设计条件示意图。

图3是本发明实施例提供的不同体积比下树状结构拓扑结构示意图；

图中：(a)重量比5％；(b)重量比10％；(c)重量比20％。

图4是本发明实施例提供的屋面结构不同刚度下树状结构拓扑示意图；

图中：(a)E＝2.1×10⁵Mpa；(b)E＝2.1×10⁶MPa；(c)E＝2.1×10⁷MPa；(d)E＝2.1×10⁸Mpa。

图5是本发明实施例提供的设计区域不同高度下树状结构拓扑结构示意图；

图中：(a)5m；(b)7.5m；(c)10m；(d)12.5m；(e)15m；(f)20m。

图6是本发明实施例提供的屋面不同形状下树状结构拓扑结构示意图；

图中：(a)斜坡屋面；(b)圆弧形屋面。

图7是本发明实施例提供的墙体承重骨架树状拓扑创构结构示意图；

图中：(a)有限元网格；(b)树状结构拓扑。

图8是本发明实施例提供的三维树拓扑创构结构示意图；

图中：(a)有限元网格；(b)树状结构拓扑。

图9是本发明实施例提供的平面多棵树拓扑创构结构示意图；

图中：(a)平面多棵树拓扑创构设计条件；(b)平面多棵树拓扑形态。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

下面结合附图对本发明的应用原理作详细的描述。

如图1所示，本发明实施例提供的基于连续体结构拓扑优化的树状结构拓扑创构方法包括以下步骤：

S101：应用连续体结构拓扑优化ICM法，建立重量约束下结构总应变能极小化(即结构总体刚度极大化)的拓扑优化模型；

S102：依据单约束优化问题的鞍点条件建立了优化迭代格式。

下面结合具体实施例对本发明的应用原理作进一步的描述。

1.树状结构创构的拓扑优化法

1.1树状结构创构的拓扑优化模型

树状结构拓扑创构应用在结构设计的概念设计阶段，通常在仅考虑竖向屋面荷载作用下，设计出刚度最大化的树状结构拓扑形态。因而，其可表述为一个连续体结构拓扑优化问题，即：在指定的材料用量下，在指定的设计区域内，拓扑优化树状结构形态，使在指定的屋面荷载作用下，结构的总体刚度极大。由于结构的总刚度极大化与结构的总应变能极小化是等同的，所以，树状结构创构的拓扑优化模型归结为：重量(或体积)约束下总应变能极小化的拓扑优化问题，如式(1)所示。

其中，t_i为拓扑设计变量，e为结构总应变能，W为结构总重量。

1.2重量约束下总应变能极小化问题的建模及求解

对一定重量约束下，结构总应变能极小化为目标的连续体结构拓扑优化问题，用ICM方法建立模型，将拓扑变量由离散变量扩展为0到1区间上的连续变量，各单元重量及单元刚度阵与拓扑设计变量间的关系分别用不同的过滤函数进行识别：

其中w_i及k_i为单元重量及单元刚度阵，及为单元固有重量及单元固有刚度阵。过滤函数取为：

其中，幂指数α_w及α_k可分别取1及3。

则单元应变能可表达为：

其中为第k次迭代时拓扑变量值，第k次迭代时单元i的应变能。

单元重量可表达为：

由此得到用ICM方法建立的优化模型为：

为防止拓扑值取0时结构刚度矩阵可能出现奇异，通常用一小值t_i代替0，可取t_i＝0.01。

由于式(4)为单约束问题，该约束必取等式，否则成为无约束问题而无意义，记定义主动集I_a＝{i|t_i＜t_i＜1(i＝1,...,N)}则式(6)为：

该问题的增广拉格朗日函数为：

上式取极值的鞍点条件为：

由此得：

将式(10)代入式(7)中的等式约束条件中得：

从而得到：

式(12)代入式(10)得：

考虑到拓扑变量的区间约束，亦即：

更新主动集，再返回按式(13)计算t_i，如此循环，直至主动集不变终止循环，求得最优解t^*也即为式(6)的最优解，按式(2)修改结构，进入下一次循环，如此迭代直至满足收敛准则：

Δe＝|(e^(k+1)-e^(k))/e^(k+1)|≤ε (15)

其中，e^(k)及e^(k+1)为前轮与本轮迭代的结构总应变能，ε为收敛精度，此处取ε＝0.001。

2.树状结构拓扑创构

算例1：平面树拓扑形态创构

如图2所示，设计区域为10m×7.5m矩形区域，上部受竖向均布荷载作用q＝1kN/m，荷载作用边0.3m厚度作为屋面结构，为非设计区域。底部中间部位0.4m区域内为树状结构的根部固定区域。材料为钢材，弹性模量E＝2.1×10⁵MPa，泊松比0.3。以一定的重量比为约束，极小化结构总应变能，得到结构刚度极大化的树状结构拓扑形态。

图3显示了在屋面结构刚度不变的情况下，不同重量比(保留材料重量/初始设计区域材料总重量)约束下树状结构拓扑形态变化。当材料用量不同时，树状结构的拓扑形态是不一样的，随着材料用量的增加，树状结构拓扑越来越复杂。

图4显示了一定重量比约束(10％)不变情况下，屋面结构刚度改变时树状结构的拓扑形态变化。此处为模型处理方便，通过设定屋面层结构的不同弹性模量来模拟不同刚度，而不是改变屋面层结构几何尺寸，图4中所示数据为设置的不同弹性模量值。从图4中可以看到，随着屋面层结构刚度的增大，树状结构的分叉越来越少，甚至退化为一根立柱。

图5显示了屋面结构刚度(E＝2.1×10⁵MPa)及重量比约束(10％)均不变情况下，改变设计区域的高度时树状结构拓扑形态变化。当高度比较小时(图5a～c)，主树干不会出现，这时，设计区域高度不同，树的分枝拓扑形态也不同。当高度比较大时(图5c～图5f)，主树干出现，增加设计区域高度，不改变树的拓扑形态，只是主树干高度增加。

图6显示了屋面结构几何形态改变时对树状拓扑形态的影响，图6a为倾斜坡面形式，其树状结构拓扑与水平屋面完全不同，粗壮的树干向高的一侧倾斜。图6b为圆形屋面形式，树枝的分叉不再是二叉形式，而出现了三叉结构的形式。

算例2：墙体承重骨架树状拓扑创构

采用树状结构作为墙体的骨架，既能高效的传递墙体的荷载，又能达到理想的视觉效果。平面树状骨架结构形态创构可以为这种形式的墙体带来多样性，为表皮结构的发展提供一种新思路。重庆江湾城即为树状结构作为墙体骨承重架的工程实例。

如图7左图所示，设计区域为10m×10m正方形四面墙体，高8m，上部受竖向均布荷载作用q＝1kN/m，荷载作用边0.2m厚度作为墙体梁结构，为非设计区域。底部4个角点的0.2m宽的区域为树状结构的根部固定区域。材料为钢材，材料参数与例1相同。取重量比约束为10％，最小化结构总应变能，拓扑优化得到的树状结构拓扑形态如图7右图所示，每个角在垂直相交的面上伸展出两面树形结构，在同一面内，两个树形结构向中间伸展，相交近似为一个拱形，与工程中常用的拱结构形态不谋而合。

算例3：三维树拓扑创构

如图8左图所示，设计区域为20m×20m×20m的立方体区域，上部受竖向均布荷载作用q＝1kN/m²，荷载作用面0.5m厚度作为屋面结构，为非设计区域。底部中间区域1m×1m区域内为树状结构的根部固定区域。材料为钢材，材料参数与算例1相同。取重量比约束为10％，最小化结构总应变能，拓扑优化得到的树状结构拓扑形态如图8右图所示，为四分叉形式，两层分枝，但上面一层的分枝高度比下面一层的分枝高度小很多。

算例4：平面多棵树拓扑创构

如图9a所示，设计区域为50m×7.5m矩形，上部受竖向均布荷载作用q＝1kN/m，荷载作用边0.3m厚度作为屋面结构，为非设计区域。底部分为4跨，在5点支撑，每个支持区域宽0.3m，作为树状结构的根部固定区域。材料为钢材，材料参数与例1相同。以重量比10％为约束，极小化结构总应变能，得到结构刚度极大化的树状结构拓扑形态如图9b所示，由于不等跨，所得到的树为非对称形态，同样，相邻的树伸展相交成近似拱形。

本发明的数值算例表明应用连续体结构拓扑优化技术进行树状结构创构是可行的，可在概念设计阶段可为树状结构的拓扑形态提供多样化的选择方案。不同于分形方法生成树的拓扑没有考虑树状结构的受力特点，也不同于一些基于力学模型的方法需要人为指定树状结构的层高、层数、分叉数等一些参数，因而可在更大的设计空间内寻求最优的树状结构拓扑形态。屋面结构的刚度对树状结构的拓扑形态有显著影响，因而，在拓扑设计时，屋面结构应与设计区域一起参与力学优化设计，并应准确模拟其刚度。不同的重量比约束对树状结构的拓扑形态有显著影响，设定一个适当的重量比，使得树状结构的刚度与屋面结构的刚度相近时，能得到比较理想的树状拓扑形态。设计区域及屋面几何形式对树的拓扑形态有显著影响，参数宜在概念设计时明确指定并准确模拟。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。