一种自由光滑变形隐式曲线的定义方法与流程

本发明涉及一种隐式曲线的定义方法，特别涉及一种能够自由且光滑变形的隐式曲线的定义方法，属于计算机辅助几何设计领域和计算机图形学领域。

背景技术：

在计算机辅助几何设计领域，熟知有两种常见的定义曲线曲面的方法：参数形式与隐式形式。这两种形式各有优缺点：参数形式易于绘制，在造型上也便于控制，但难以构建任意拓扑的几何模型；隐式形式便于判断模型相互位置关系，在布尔运算时具有封闭性，但难以直观有效地应用于几何造型。

相对于参数形式中最具代表性的非均匀有理b样条曲线曲面，现有隐式曲线曲面在几何造型中的表现常处于两个极端：一类是能够描述和构建任意拓扑的复杂几何模型，但其参数定义在高一维空间中，参数数目过于庞大，如径向基函数隐式曲面；另一类是定义方式简洁且所用参数很少，但其局部表达能力很弱，难以构建出自由光滑可变的几何模型，如超二次曲面及其改进形式。

文献1“zhoul,kambhamettuc.extendingsuperquadricswithexponentfunctions:modelingandreconstruction.graphicalmodels,1999,63(1):1-20.”和文献2“周林.扩展超二次曲面：一种新的光滑变形曲面模型.电子学报,1998,26(8):47-50.”公开了一种隐式曲线曲面的定义方法。这两个文献将超二次曲线或曲面的变形参数扩展为极坐标或球坐标中角度的函数，使用参数较少且局部表达能力较强。然而，该方法所定义的扩展超二次曲线和扩展超二次曲面在变形过程中必然要分别经过坐标轴上的四个确定点和六个确定点，在很大程度上限制了它们的表达能力和变形能力。

技术实现要素：

本发明提的目的是针对上述现有技术的缺点，提供一种自由光滑变形隐式曲线的定义方法，不仅可以使用少量参数描述非对称复杂模型，还可以自由光滑地变形，也即在光滑变形过程中不受任何确定点的约束。

本发明的技术方案是这样实现的：一种自由光滑变形隐式曲线的定义方法包括以下步骤：

步骤一、用隐式形式定义直角坐标系下的超二次曲线，超二次曲线的隐式方程为：

式中，ε为超二次曲线的变形参数，a和b为两个主轴方向的半轴长，这三个参数均为正实数；

步骤二、将超二次曲线的半轴长扩展为极坐标中角度的函数，扩展后的超二次曲线的隐式方程为：

式中，θ为极坐标中的极角，f(θ)为极角θ的连续函数且其值大于0；

步骤三、结合b样条基函数将f(θ)构建成光滑连续的函数，函数f(θ)的表达式为：

式中，ni,p(ξ)为b样条基函数，n是b样条基函数的个数，p是b样条基函数的次数，ξ为参数区域坐标，ξ的取值范围为[0,1)，pi为控制参数，pi为大于0的标量且p1等于pn；

步骤四、将极角θ转换为直角坐标(x,y)的函数，利用反正切函数将公式(3)的参数θ转换为：

式中，sgn(x)为x的符号函数，极角θ的值域为[-π/2,3π/2)；

步骤五、将公式(3)和公式(4)代入公式(2)即定义出能够自由且光滑变形的隐式曲线；

步骤六、将步骤五定义的隐式曲线应用于逆向工程中，对给定非对称模型进行重构，以展现该隐式曲线的表达能力。给定被重构几何模型并在其边界上选取一系列采样点(xj,yj)，定义如下目标函数：

式中，m为采样点的个数，半轴长函数f(θ(xj,yj))展开如下：

以公式(5)所定义的函数j为优化目标，以变形参数ε和控制参数pi为设计变量，选用非线性优化算法进行优化，该优化问题的数学模型为：

规定优化设计的迭代终止条件，使用优化后的变形参数ε和控制参数pi，即可构建出逼近所选几何模型的隐式曲线。

本发明将超二次曲线的半轴长扩展为极坐标中角度的函数，所定义的新型扩展超二次曲线不仅可以使用少量参数描述非对称复杂模型，还可以自由光滑地变形，也即在光滑变形过程中不受任何确定点的约束。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1是应用背景技术文献中的方法对单位圆进行扩展而得到的隐式曲线示意图；

图2是具体实施例应用本发明方法对单位圆进行扩展而得到的隐式曲线示意图；

图3是本发明实施例中给定的被重构几何模型和模型边界上64个采样点；

图4是应用背景技术文献中的方法对图3采样点进行拟合而得到的隐式曲线示意图；

图5是具体实施例应用本发明方法对图3采样点进行拟合而得到的隐式曲线示意图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有付出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

一种自由光滑变形隐式曲线的定义方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤一、用隐式形式定义直角坐标系下的超二次曲线，超二次曲线的隐式方程为：

式中，ε为超二次曲线的变形参数，a和b为两个主轴方向的半轴长，这三个参数均为正实数。

当ε等于1时，该超二次曲线为半轴长为a和b的椭圆；当ε等于2时，该超二次曲线为对角线长为2a和2b的菱形；当ε大于2时，该超二次曲线变化为类似于星形线的形状；当ε小于1时，该超二次曲线随着ε的减小向矩形演化。

步骤二、将超二次曲线的半轴长扩展为极坐标中角度的函数，扩展后的超二次曲线的隐式方程为：

式中，θ为极坐标中的极角，f(θ)为极角θ的连续函数且其值大于0。

当ε等于1时，f(θ)即为该扩展超二次曲线上极角为θ的点的极径；当ε为其它值时，f(θ)的变化能使该扩展超二次曲线上极角为θ的点的极径发生变化。

步骤三、结合b样条基函数将f(θ)构建成光滑连续的函数，函数f(θ)的表达式为：

式中，ni,p(ξ)为b样条基函数，n是b样条基函数的个数，p是b样条基函数的次数，ξ为参数区域坐标，ξ的取值范围为[0,1)，pi为控制参数，pi为大于0的标量且p1等于pn。

步骤四、将极角θ转换为直角坐标(x,y)的函数，利用反正切函数将公式(3)的参数θ转换为：

式中，sgn(x)为x的符号函数。

当x大于0时，sgn(x)为1，则θ在-π/2到π/2之间取值；当x小于0时，sgn(x)为-1，则θ在π/2到3π/2之间取值；当x等于0时，sgn(x)为0，则θ取值为π/2或-π/2。因此，公式(4)定义的极角θ的值域为[-π/2,3π/2)，公式(3)中ξ的取值范围也即参数区域为[0,1)。

步骤五、将公式(3)和公式(4)代入公式(2)即定义出能够自由且光滑变形的隐式曲线。

步骤六、将步骤五定义的隐式曲线应用于逆向工程中，对给定非对称模型进行重构，以展现该隐式曲线的表达能力。给定被重构几何模型并在其边界上选取一系列采样点(xj,yj)，定义如下目标函数：

式中，m为采样点的个数，半轴长函数f(θ(xj,yj))展开如下：

以公式(5)所定义的函数j为优化目标，以变形参数ε和控制参数pi为设计变量，选用非线性优化算法进行优化，该优化问题的数学模型为：

式中的优化变量不包含pn，是因为前面规定pn等于p1。规定优化设计的迭代终止条件，使用优化后的变形参数ε和控制参数pi，即可构建出逼近给定几何模型的隐式曲线。

本发明方法将超二次曲线的半轴长扩展为极角的函数，而这个函数又由b样条基函数构建而成。本发明所定义的隐式曲线一方面继承了现有扩展超二次曲面使用参数较少的优点，每个参数对曲线形状都有着局部的直接的影响，而不是通过改变高维曲面而间接地影响曲线形状；另一方面具有很强的表达能力和变形能力，而现有扩展超二次曲线在变形过程中总要经过(±a,0)和(0,±b)四个确定点，其中a和b分别为超二次曲线在x轴和y轴方向的半轴长。通过实施例可以看出，本发明方法所定义的隐式曲线能够很好地逼近给定的非对称几何模型，不受任何确定点的约束。下面结合图2、图3、图5和实施例对本发明作详细说明。

测试本发明隐式曲线表达能力的“鞋印”几何模型见图3，其位于[-6,+6]×[-2,3]的矩形区域内，图3中的圆点为模型边界上随机选取的64个采样点。下面采用本发明的方法定义自由光滑变形隐式曲线并对图3模型进行重构：

步骤一、用隐式形式定义直角坐标系下的超二次曲线。超二次曲线的隐式方程为：

式中，ε为超二次曲线的变形参数，a和b为两个主轴方向的半轴长，这三个参数均为正实数。

步骤二、将超二次曲线的半轴长扩展为极坐标中角度的函数。按此种方式扩展后的超二次曲线的隐式方程为：

式中，θ为极坐标中的极角，f(θ)为极角θ的连续函数且其值大于0。

步骤三、结合b样条基函数将f(θ)构建成光滑连续的函数。与b样条曲线的数学表达式相似，函数f(θ)的表达式为：

式中，ni,p(ξ)为b样条基函数，n和p分别是b样条基函数的个数和次数，ξ为参数区域坐标，pi为控制参数。这里要求：pi为大于0的标量且p1等于pn。

在本实施例中，ni,p(ξ)为定义在节点矢量{0,0,0,0.05,0.1,0.15,0.2,0.25,0.3,0.35,0.4,0.45,0.5,0.55,0.6,0.65,0.7,0.75,0.8,0.85,0.9,0.95,1,1,1}上的二次b样条基函数，则次数p为2，控制参数pi的个数n为22(n＝节点个数－p－1)。

步骤四、将极角θ转换为直角坐标(x,y)的函数。利用反正切函数将公式(3)的参数θ转换为：

式中，sgn(x)为x的符号函数，极角θ的值域为[-π/2,3π/2)。

步骤五、将公式(3)和公式(4)代入公式(2)即定义出能够自由且光滑变形的隐式曲线。假定扩展前的超二次曲线为单位圆，当控制参数{pi}在保证p1等于p22的条件下，随机设置为{1.5,2,0.5,2,1,1.5,0.5,2,1,1.5,1,1.5,0.5,1.5,2,1,0.5,1,1.5,2,0.5,1.5}时，采用背景技术方法所定义的扩展超二次曲线如图1所示，采用本步骤所定义的隐式曲线如图2所示。

由图2可以看出，本发明方法将单位圆扩展成为了十分不规则、不经过任何确定点的光滑隐式曲线。相对背景技术方法所定义的必然经过(±1,0)和(0,±1)点的扩展超二次曲线(见图1)，本发明方法所定义的自由光滑变形隐式曲线在变形能力上有着很大的提升。

步骤六、将步骤五定义的隐式曲线应用于逆向工程中，对给定非对称模型进行重构，以展现该隐式曲线的表达能力。给定被重构几何模型并在其边界上选取一系列采样点(xj,yj)，见图3，该几何模型为一“鞋印”，采样点为鞋印边界上随机选取的64个圆点。定义如下目标函数：

式中，m为采样点的个数(即m＝64)，半轴长函数f(θ(xj,yj))展开如下：

以公式(5)所定义的函数j为优化目标，以变形参数ε和控制参数pi为设计变量，选用matlab软件自带的适用于求解有约束非线性最优化问题的“fmincon”函数对该问题进行求解。该优化问题的数学模型为：

式中的优化变量不包含p22，是因为前面规定p22等于p1。在求解优化问题(7)时，采用matlab软件fmincon函数的默认设置(包括迭代终止条件设置、优化算法选择等)，并将变量ε和pi的初始值均设为1。使用优化后的变形参数ε和控制参数pi，即可构建出逼近图3几何模型的隐式曲线，见图5，此时目标函数j为0.043。

采用背景技术方法所定义的扩展超二次曲线对图3采样点进行拟合，并使用相同数目的设计变量以及同样的目标函数、优化算法和初始条件等，模型重构结果见图4，优化后的目标函数为1.079。相对于图4中必然经过(±a,0)和(0,±b)点的隐式曲线(这四个点在图中用叉号表示，优化后的半轴长为a＝5.716和b＝2.525)，本发明方法所定义的自由光滑变形隐式曲线在表达能力有着很大的提升。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。