一种尼曼蜗轮的精确建模方法与流程

本发明涉及一种尼曼蜗轮的精确建模方法。

背景技术：

蜗轮蜗杆传动是一种以紧凑型、大速比为主要特点的传动类型，一级可以替代多级圆柱齿轮传动，可以在较小空间内布置，在现代工业中得到广泛应用。蜗轮蜗杆传动包括圆柱蜗杆传动、环面蜗杆传动及锥蜗杆传动三大类，前者又包括阿基米德圆柱蜗杆传动(ZA)、法向直廓圆柱蜗杆传动(ZN)、渐开线圆柱蜗杆传动(ZI)、锥面包络圆柱蜗杆传动(ZK)与圆弧圆柱蜗杆传动(ZC)。

ZC₁型蜗杆传动由德国尼曼教授发明(又称为尼曼蜗杆传动)，是一种两次包络的圆柱蜗杆传动：蜗杆齿面由圆弧面砂轮包络而成，呈圆弧形凹面形状；蜗轮齿面由蜗杆包络而成，是一种复杂的空间曲面。尼曼蜗杆传动是凹凸齿廓啮合，综合曲率半径大，有利于形成润滑油膜，蜗轮齿根齿厚较大，抗弯强度高，承载能力大。尼曼蜗杆传动还具有传动精度高、传动效率高、使用寿命长等优点，另外其蜗杆齿形虽然是由砂轮圆弧面包络而成的复杂空间曲线，但砂轮齿形为简单的圆弧形，容易修整，具有良好的加工工艺性。由于上述优点，尼曼蜗轮蜗杆作为精密蜗杆传动的代表性产品，目前得到广泛应用，是冶金、矿山、环保等行业重型或精密蜗杆传动的主要形式。我国进口的用于大型冶金、环保等设备的蜗杆传动大部分是尼曼蜗杆传动。

长期以来，尼曼蜗轮的加工方式以滚切为主，这种方式主要有以下缺点：首先，蜗轮滚刀的设计加工周期长、成本高，在产品试制、多品种小批量制造中该问题尤其突出；其次，滚切加工属于范成法加工，蜗轮齿面在滚切后具有范成加工工艺特有的切削痕迹，表面加工质量不佳；最后，滚切加工方式下，受制于蜗轮滚刀的设计制造，直接对蜗轮修形比较困难。

随着五轴数控机床及其加工技术的迅猛发展，尼曼蜗轮试制以及多品种小批量制造完全可以使用通用五轴数控机床加工，刀具可以采用通用、标准的铣刀，相比传统滚切加工，该方法制造周期短、成本低、柔性程度高。在传统滚切加工方式下，尼曼蜗轮的三维数字模型是不需要的；在五轴加工的新方法下，必须建立尼曼蜗轮的三维精确数字模型，因为这是五轴数控加工计算机辅助编程系统所需要的。

由于尼曼蜗轮齿面的复杂特性，目前在生产实践中，多采用仿真法：在三维软件中建立较为简单的砂轮模型，仿真砂轮磨削包络运动得出蜗杆模型，再用蜗杆模型进行滚切仿真，得到蜗轮的滚切曲面，并以此曲面为基础，重构蜗轮的光顺齿面。仿真法虽然能得出蜗轮的齿面模型，但是仿真前后需要大量的前期处理与后期曲面重构的工作，总体效率偏低，并且模型精度依赖于后期曲面重构的方法。

基于齿轮啮合理论，某些类型齿轮(比如直齿圆柱齿轮)可以直接推导得出解析解的齿面方程。但是在蜗杆传动中，蜗轮齿面方程包含的啮合方程是三角函数超越方程，没有解析解，只能通过数值解法构建蜗轮齿面。

技术实现要素：

本发明的目的在于克服现有技术中的不足，提供一种尼曼蜗轮的精确建模方法，采用数值方法直接解算点集从而构建蜗轮齿面的光顺曲面。

为解决现有技术问题，本发明公开了一种尼曼蜗轮的精确建模方法，包括：

设定蜗轮蜗杆的基本参数；

建立砂轮的圆环面方程；

建立砂轮蜗杆的啮合方程；

建立蜗杆齿面方程；

建立蜗轮蜗杆啮合方程；

根据蜗杆齿面方程和蜗轮蜗杆啮合方程得到接触点的坐标公式，然后利用数值方法解得接触点集；

将接触点集导入三维软件生成蜗轮实体。

进一步地，建立砂轮圆环面方程的方法包括：

建立如下坐标系：

砂轮的坐标系为O_uX_uY_uZ_u，坐标原点O_u为砂轮的中心，坐标轴Z_u为砂轮的回转轴线，砂轮的圆环面的圆心为O_u，；

蜗杆的坐标系为O₁X₁Y₁Z₁，坐标原点O₁为蜗杆的中心，坐标轴Z₁为蜗杆的回转轴线；

砂轮与蜗杆的中心距为a₁；

根据砂轮圆环面上任意一点P的位置建立在O_uX_uY_uZ_u坐标系下的右半圆环面方程：x_u＝-(ρsinβ+c)cosψ，y_u＝(ρsinβ+c)sinψ，z_u＝ρcosβ-d；

其中，c＝r_u-ha^*m-ρsinα_n，表示坐标轴Z_u与砂轮圆环面圆心O_u’的径向距离；d＝ρcosα_n，表示坐标轴Z_u与砂轮圆环面圆心O′_u的轴向距离；r_u为砂轮半径，m为蜗杆轴向模数，ha^*为蜗杆齿顶高系数，ρ为砂轮圆环的半径，α_n为蜗杆法向齿形角，β为点O′_uP与坐标轴Z_u的夹角，ψ为O_uP与坐标轴X_u的夹角；

同理可建立在O_uX_uY_uZ_u坐标系下的左半圆环面方程：x_u＝-(ρsinβ+c)cosψ，y_u＝(ρsinβ+c)sinψ，z_u＝d-0.6πmcosγ-ρcosβ。

进一步地，建立砂轮蜗杆啮合方程的方法包括：

砂轮相对蜗杆的速度v_u1在O_uX_uY_uZ_u坐标系下的分量公式为：v_u1xu＝ω₁(z₁ sinγ-y_u cosγ)，v_u1yu＝ω₁[(x_u+a₁)cosγ+p sinγ]，v_u1zu＝-ω₁[(x_u+a₁)sinγ-p cosγ]；其中，ω₁为蜗杆的角速度；

根据砂轮圆环面方程，求出砂轮圆环面上任意一点的法向量；

砂轮右半圆环面上任意一点处的法向量在O_uX_uY_uZ_u下的分量公式为：

砂轮左半圆环面上任意一点处的法向量在O_uX_uY_uZ_u下的分量公式为：

将上述公式代入一般形式的啮合方程得到最终形式的砂轮蜗杆啮合方程：

砂轮右半圆环面与蜗杆的啮合方程最终形式如下：

tanβ＝(a₁-p cotγ-c cosψ)/(d cosψ+a₁ sinψcotγ+p sinψ)；

砂轮左半圆环面与蜗杆的啮合方程最终形式如下：

tanβ＝(c cosψ-a₁+p cotγ)/(-k cosψ+a₁ sinψcotγ+p sinψ)；

其中，k＝d-0.6πmcosγ。

进一步地，建立蜗杆齿面方程的方法包括：

将砂轮圆环面方程转换到蜗杆坐标系中并与砂轮蜗杆啮合方程联立得到原始形式的蜗杆齿面方程；转换矩阵为：其中θ为蜗杆齿面上任意一点相对蜗杆回转轴线的转角；

由砂轮右半圆环面包络出蜗杆齿槽的右齿面方程为：

由砂轮左半圆环面包络出蜗杆齿槽的左齿面方程为：

令齿面方程中z₁为零得到蜗杆端面齿廓曲线方程：

蜗杆齿槽的右齿面端面齿廓曲线方程为：

蜗杆齿槽的左齿面端面齿廓曲线方程为：

由蜗杆端面齿廓曲线做螺旋运动得到蜗杆齿面在蜗杆坐标系下新的简便方程：其中η为ψ的函数，ψ表征蜗杆齿面上点在径向的位置，ζ表征蜗杆齿面上点在周向的位置。

进一步地，建立蜗杆蜗轮啮合方程的方法包括：

推导蜗杆齿面上任意点处法向量在蜗杆坐标系中的表达公式为：

推导正交啮合时，蜗杆相对蜗轮在蜗杆坐标系下的速度表达公式为：

其中，i₂₁＝ω₂/ω₁＝z₁/z₂，z₁、z₂分别为蜗杆的头数和蜗轮齿数，x₁、y₁、z₁为蜗轮蜗杆啮合点在蜗杆坐标系中的坐标，a₂为蜗杆蜗轮的中心距，为蜗杆转角；

将上述公式代入一般形式的啮合方程得到蜗杆坐标系下的蜗杆蜗轮啮合方程：

进一步地，计算接触点集的方法包括：

将蜗杆齿面方程与蜗杆蜗轮啮合方程联立，解得每个接触瞬间的蜗杆齿面上接触点集坐标公式为：

其中η为ψ的函数；

分别对该坐标公式的参数ζ、ψ的取值范围进行迭代计算，并进一步解得初始位置下蜗杆齿面上一个接触点坐标；

将接触点集坐标将经两次变换后得到蜗轮齿面上的接触点集坐标。

进一步地，ψ的取值范围的计算方法包括：

a：求解对应蜗杆右齿面齿顶圆上ψ值的步骤如下：

sa1.令ψ＝0.5π；

sa2.将ψ值代入蜗杆端面齿廓方程求出径矢长r⁽¹⁾；

sa3.判断是否满足r⁽¹⁾≤0.5d_a1：如果是则表示ψ对应蜗杆齿顶，输出ψ_右顶＝ψ，程序结束，否则令ψ＝ψ-0.01返回步骤sa2；

b：求解对应蜗杆右齿面齿根圆上的ψ值的步骤如下：

sb1.令ψ＝-0.5π；

sb2.将ψ值代入蜗杆端面齿廓方程求出径矢长r⁽¹⁾；

sb3.判断是否满足r⁽¹⁾≥0.5d_f1：如果是则表示ψ对应蜗杆齿根，输出ψ_右根＝ψ，程序结束，否则令ψ＝ψ+0.01返回步骤sb2。

c：求解对应蜗杆左齿面齿顶圆上ψ值的步骤如下：

sc1.令ψ＝-0.5π；

sc2.将ψ值代入蜗杆端面齿廓方程求出径矢长r⁽¹⁾；

sc3.判断是否满足r⁽¹⁾≤0.5d_a1：如果是则表示ψ对应蜗杆齿顶，输出ψ_左顶＝ψ，程序结束，否则令ψ＝ψ+0.01返回步骤sc2；

d：求解对应蜗杆左齿面齿根圆上ψ值的步骤如下：

sd1.令ψ＝0.5π；

sd2.将ψ值代入蜗杆端面齿廓方程求出径矢长r⁽¹⁾；

sd3.判断是否满足r⁽¹⁾≥0.5d_f1：如果是则表示ψ对应蜗杆齿根，输出ψ_左根＝ψ，程序结束，否则令ψ＝ψ-0.01返回步骤sd2；其中d_a1为蜗杆齿顶圆直径，d_f1为蜗杆齿根圆直径。

进一步地，的取值范围的计算方法包括：

a：求解蜗杆右齿面最大值的步骤如下：

sa1.令ψ＝ψ_右顶，

sa2.令

sa3.令

sa4.将ψ值代入蜗杆端面齿廓方程求出r⁽¹⁾，η，μ；

sa5.令

sa6.判断是否满足|f0|≤0.001，如果是则表示找到了蜗杆蜗轮啮合方程的解，转向步骤s7，否则转向步骤sa9；

sa7.令

sa8.判断是否满足如果是则表示迭代还未结束，返回步骤sa3，否则程序结束；

sa9.令ζ＝ζ+0.0025；

sa10.判断是否满足如果是则表示ζ迭代还未结束，返回步骤sa5，否则转向步骤sa11；

sa11.令

sa12.判断是否满足如果是则表示迭代还未结束，返回步骤sa3，否则程序结束；

b：求解蜗杆左齿面最小值的步骤如下：

sb1.令ψ＝ψ_左顶，

sb2.令

sb3.令

sb4.将ψ值代入蜗杆端面齿廓方程求出r⁽¹⁾，η，μ；

sb5.令

sb6.判断是否满足|f0|≤0.001，如果是则表示找到了蜗杆蜗轮啮合方程的解，转向步骤sb7，否则转向步骤sb9；

sb7.令

sb8.判断是否满足如果是则表示迭代还未结束，返回步骤sb3，否则程序结束；

sb9.令ζ＝ζ+0.0025；

sb10.判断是否满足如果是则表示ζ迭代还未结束，返回步骤sb5，否则转向步骤sb11；

sb11.令

sb12.判断是否满足如果是则表示迭代还未结束，返回步骤sb3，否则程序结束。

进一步地，计算接触点集的方法包括：

a：求解蜗杆右齿面包络蜗轮左齿面接触点集的步骤如下：

sa1.令

sa2.令

sa3.令ψ＝ψ_右顶；

sa4.将ψ值代入蜗杆端面齿廓方程求出r⁽¹⁾，η，μ；

sa5.令

sa6.判断是否满足|f0|≤0.001，如果是则表示找到了蜗杆蜗轮啮合方程的解，转向步骤sa7，否则转向步骤sa12；

sa7.将r⁽¹⁾，η，ζ代入蜗杆齿面方程可得初始位置下蜗杆齿面上一个接触点坐标(x₁,y₁,z₁)，再将该点依次绕蜗杆回转轴旋转绕蜗轮回转轴旋转可得初始位置下蜗轮齿面上一个接触点坐标(x₂,y₂,z₂)，输出(x₂,y₂,z₂)；

sa8.令ζ＝ζ+0.001；

sa9.判断是否满足如果是则表示ζ迭代还未结束，返回步骤sa3，否则转向步骤sa10；

sa10.令

sa11.判断是否满足如果是则表示迭代还未结束，返回步骤sa2，否则程序结束；

sa12.令ψ＝ψ-0.00004；

sa13.判断是否满足ψ≥-0.0742，如果是则表示ψ迭代还未结束，返回步骤sa4，否则转向步骤sa14；

sa14.令ζ＝ζ+0.001；

sa15.判断是否满足如果是则表示ζ迭代还未结束，返回步骤sa3，否则转向步骤sa16；

sa16.

sa17.判断是否满足如果是则表示迭代还未结束，返回步骤sa2，否则程序结束；

b：求解蜗杆左齿面包络蜗轮右齿面接触点集的步骤如下：

sb1.令

sb2.令

sb3.令ψ＝ψ_左顶；

sb4.将ψ值代入蜗杆端面齿廓方程求出r⁽¹⁾，η，μ；

sb5.令

sb6.判断是否满足|f0|≤0.001，如果是则表示找到了蜗杆蜗轮啮合方程的解，转向步骤sb7，否则转向步骤sb12；

sb7.将r⁽¹⁾，η，ζ代入蜗杆齿面方程可得初始位置下蜗杆齿面上一个接触点坐标(x₁,y₁,z₁)，再将该点依次绕蜗杆回转轴旋转绕蜗轮回转轴旋转可得初始位置下蜗轮齿面上一个接触点坐标(x₂,y₂,z₂)，输出(x₂,y₂,z₂)；

sb8.令ζ＝ζ+0.001；

sb9.判断是否满足如果是则表示ζ迭代还未结束，返回步骤sb3，否则转向步骤sb10；

sb10.令

sb11.判断是否满足如果是则表示迭代还未结束，返回步骤s2，否则程序结束；

sb12.令ψ＝ψ+0.00004；

s13.判断是否满足ψ≤ψ_左根，如果是则表示ψ迭代还未结束，返回步骤sb4，否则转向步骤sb14；

sb14.令ζ＝ζ+0.001；

sb15.判断是否满足如果是则表示ζ迭代还未结束，返回步骤sb3，否则转向步骤16；

sb16.

sb17.判断是否满足如果是则表示迭代还未结束，返回步骤sb2，否则程序结束。

进一步地，根据初始位置下的蜗轮齿面接触点集建立蜗轮模型的方法包括：

将初始位置下的蜗轮齿面接触点集导入三维软件中，拟合生成光顺曲面，并分别延伸与齿根回转面修剪后缝合；

缝合后的曲面再去剪切蜗轮毛坯，得到蜗轮的一个齿槽；

将齿槽绕蜗轮回转轴旋转阵列得到完整的尼曼蜗轮三维模型。

本发明具有的有益效果：基于齿轮啮合理论，采用数值方法求解蜗杆蜗轮啮合方程，得到尼曼蜗轮齿面上的点集，从而构建蜗轮的精确光顺齿面曲面；相比于仿真建模法，建模费时少、精度高；适当修改标准砂轮参数进行计算，可以快速得到与标准蜗杆失配(即点接触)的蜗轮模型，为蜗轮修形技术建立了良好的基础；本发明思路可以适用于其它类型圆柱蜗杆副的建模。

附图说明

图1为本发明中砂轮及尼曼蜗杆相对位置及其坐标系示意图；

图2为本发明中蜗杆法向截面内的砂轮右半圆环面磨削蜗杆示意图；

图3为本发明中砂轮圆环面上任意一点P的位置示意图；

图4为本发明中蜗杆端面齿廓曲线及其螺旋运动坐标系；

图5为本发明中蜗杆右齿面齿顶圆上的ψ值的求解流程图；

图6为本发明中蜗杆右齿面齿根圆上的ψ值的求解流程图；

图7为本发明中蜗杆左齿面齿顶圆上的ψ值的求解流程图；

图8为本发明中蜗杆左齿面齿根圆上的ψ值的求解流程图；

图9为本发明中蜗杆右齿面最大值的求解流程图；

图10为本发明中蜗杆左齿面最小值的求解流程图；

图11为本发明中蜗杆右齿面包络蜗轮左齿面接触点的求解流程图；

图12为本发明中蜗杆左齿面包络蜗轮右齿面接触点的求解流程图；

图13为本发明中在三维软件中建立蜗轮模型的示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步描述。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本发明的保护范围。

S1建立方法砂轮的圆环面方程

S1.1建立如下坐标系：

如图1所示，砂轮的坐标系为O_uX_uY_uZ_u，坐标原点O_u为砂轮的中心，坐标轴Z_u为砂轮的回转轴线，砂轮只做旋转主运动，其坐标系是空间固定的。

坐标系OXYZ为固定坐标系，O_uO是砂轮回转轴与蜗杆轴线的公垂线。

蜗杆的坐标系为O₁X₁Y₁Z₁，绕Z轴旋转并同时沿着Z轴平移pθ，θ为蜗杆旋转角，p为蜗杆旋转单位弧度时轴向移动距离，γ为蜗杆分度圆柱上螺旋线的导程角，a₁为砂轮与蜗杆的中心距；坐标原点O₁为蜗杆的中心，坐标轴Z₁为蜗杆的回转轴线。

S1.2推导砂轮圆环面方程：

如图2所示，砂轮的X_u轴为蜗杆轴、砂轮回转轴的最短距离线，其通过蜗杆分度点M。砂轮的圆环面的圆心为O′_u，c为砂轮回转轴与砂轮圆弧中心的径向距离，d为砂轮X_u轴与砂轮圆弧中心的轴向距离，α_n为蜗杆法向齿形角，r_g为蜗杆分度圆半径，a₁为砂轮轴与蜗杆轴的距离；b为砂轮圆环中心与蜗杆轴投影线的距离。

如图3所示，根据砂轮圆环面上任意一点P的位置建立在O_uX_uY_uZ_u坐标系下的右半圆环面方程：x_u＝-(ρsinβ+c)cosψ，y_u＝(ρsinβ+c)sinψ，z_u＝ρcosβ-d；

其中，ψ的取值范围为[-π/2,π/2]，β的取值范围为[0,π/2]，c＝r_u-ha^*m-ρsinα_n，d＝ρcosα_n，r_u为砂轮半径，m为蜗杆轴向模数，ha^*为蜗杆齿顶高系数，ρ为砂轮圆环的半径，β为点O′_uP与坐标轴Z_u的夹角，ψ为O_uP与坐标轴X_u的夹角。

类似于上述推导过程，同理可建立在O_uX_uY_uZ_u坐标系下的左半圆环面方程：x_u＝-(ρsinβ+c)cosψ，y_u＝(ρsinβ+c)sinψ，z_u＝d-0.6πm cosγ-ρcosβ。

S2建立砂轮蜗杆的啮合方程

S2.1推导砂轮蜗杆相对运动速度：

砂轮相对蜗杆的速度v_u1在O_uX_uY_uZ_u坐标系下的分量为(砂轮左右圆环面相同)：

其中，ω₁为蜗杆的角速度。

S2.2推导砂轮蜗杆啮合点的法向量：

根据S1中的砂轮圆环面方程，可以根据微分几何学方法求出砂轮圆环面上任意一点的法向量。

砂轮右半圆环面上任意一点处的法向量在O_uX_uY_uZ_u下的分量为：

砂轮左半圆环面上任意一点处的法向量在O_uX_uY_uZ_u下的分量为：

S2.3砂轮蜗杆的啮合方程：

根据啮合方程的一般形式：将S2.1中的相对速度公式与S2.2中的法向量公式代入啮合方程、整理化简得到最终的砂轮蜗杆啮合方程。

砂轮右半圆环面与蜗杆的啮合方程最终形式如下：

tanβ＝(a₁-p cotγ-c cosψ)/(d cosψ+a₁ sinψcotγ+p sinψ)；

砂轮左半圆环面与蜗杆的啮合方程最终形式如下：

tanβ＝(c cosψ-a₁+p cotγ)/(-k cosψ+a₁ sinψcotγ+p sinψ)；

其中，k＝d-0.6πmcosγ。

S3建立蜗杆齿面方程

S3.1推导蜗杆齿面方程的原始形式：

将砂轮圆环面方程转换到蜗杆坐标系中并与砂轮蜗杆啮合方程联立得到蜗杆齿面方程的原始形式。

砂轮坐标系转换到蜗杆坐标系的转换矩阵为：

其中θ为蜗杆齿面上任意一点相对蜗杆回转轴线的转角(dθ/dt＝ω₁)。

由砂轮右半圆环面包络出蜗杆齿槽的右齿面方程为：

由砂轮左半圆环面包络出蜗杆齿槽的左齿面方程为：

上述蜗杆齿面方程包括了3个参变量θ、ψ、β，其中β不是独立变量，独立参变量是θ、ψ。

S3.2原始形式蜗杆齿面方程的转换：

上述原始形式蜗杆齿面方程较为繁琐，以此来确定蜗杆蜗轮啮合方程很不方便。注意到蜗杆原始形式齿面方程中z₁的形式较为简单，令其为零可得到θ的表达式，使得θ成为非独立变量，该蜗杆齿面方程即转化为蜗杆端面齿廓曲线方程，其独立参变量为ψ。以蜗杆端面齿廓曲线方程做螺旋运动可以得出另一种更简洁的蜗杆齿面方程。

蜗杆齿槽的右齿面端面齿廓曲线方程为：

蜗杆齿槽的左齿面端面齿廓曲线方程为：

如图4所示，O_aX_aY_aZ_a是蜗杆端面齿廓相对于蜗杆坐标系O₁X₁Y₁Z₁做螺旋运动的坐标系，在初始时刻二者重合于Z₁＝0处。η是蜗杆端面齿廓上一点的径矢与X₁轴的夹角，是蜗杆端面齿廓的切线矢量，μ是蜗杆端面齿廓上一点的径矢与的夹角。

先给出ψ值，可以根据上述蜗杆端面齿廓曲线方程求出β、θ、x₁、y₁的值，也就可以求得端面齿廓的法向量分量n_{x1_end}、n_{y1_end}，则η＝arctan(y₁/x₁)，蜗杆端面齿廓的径矢长度为r⁽¹⁾＝x₁/cosη＝y₁/sinη，μ＝π/2-η+arctan(n_{y1_end}/n_{x1_end})。

O_aX_aY_aZ_a到O₁X₁Y₁Z₁的转换矩阵为：

其中，ζ为蜗杆端面齿廓相对于蜗杆坐标系O₁X₁Y₁Z₁做螺旋运动的螺旋角。

将蜗杆齿面看成蜗杆端面齿廓曲线做螺旋运动而成，则蜗杆齿面方程在蜗杆坐标系下的方程可表示为比较简洁的形式：

其中η为ψ的函数，从几何意义上将，ψ表征蜗杆齿面上点在径向的位置，ζ表征蜗杆齿面上点在周向的位置。

S4建立蜗杆蜗轮啮合方程

S4.1推导蜗杆齿面法向量：

蜗杆齿面上任意点处的法向量在蜗杆坐标系O₁X₁Y₁Z₁中的表达式为：

S4.2推导蜗杆相对蜗轮的速度：

对于正交蜗杆副，蜗杆相对蜗轮的速度在蜗杆坐标系O₁X₁Y₁Z₁中的表达式为：

其中，i₂₁＝ω₂/ω₁＝z₁/z₂，z₁、z₂分别为蜗杆的头数和蜗轮齿数，x₁、y₁、z₁为蜗轮蜗杆啮合点在蜗杆坐标系O₁X₁Y₁Z₁中的坐标，为蜗杆转角，a₂为蜗轮蜗杆的中心距。由于上式右边乘以ω₁才是相对速度的真实值，但在啮合方程中ω₁可以消去，因此上式中不写ω₁。

S4.3推导蜗杆蜗轮的啮合方程：

根据一般形式的啮合方程将S4.1中的法矢量公式与S4.2中的相对速度公式代入啮合方程中，整理化简后得到在蜗杆坐标系中的啮合方程：

其中η和μ均为ψ的函数，因此该方程独立变量为ψ和ζ。

S5计算接触点集

S5.1求解单个啮合位置下的蜗杆齿面上接触点集：

将蜗杆齿面方程与蜗杆蜗轮啮合方程联立，解得蜗杆齿面接触点集的坐标：

对于某一给定的对应于蜗杆齿面上一条接触线点集，ψ对应这条接触线点集的径向位置，ζ对应这条接触线点集的周向位置。

S5.2求解啮合过程的蜗杆齿面点集：

蜗轮蜗杆一对齿从啮入到啮出的过程中，取一系列的值，将在蜗杆齿面上对应形成一系列的接触线点集。为了将蜗杆齿面上的接触点集变换到蜗轮齿面上，必须先将每个接触线点集先绕蜗杆回转轴旋转这样得到的接触线点集同时也是啮合位置下的蜗轮齿面接触线点集。此啮合位置即蜗轮从初始位置绕自身旋转轴旋转了角的位置，因此还需要将上述啮合位置下的蜗轮齿面接触线点集反向绕蜗轮回转轴旋转才是初始位置的蜗轮齿面上接触线点集。

S6生成蜗轮模型

如图13a至g所示，S6.1将接触线点集坐标导入三维软件中，拟合生成光顺曲面，并分别延伸与齿根回转面修剪后缝合；

S6.2缝合后的面再去剪切蜗轮毛坯，得到蜗轮的一个齿槽；

S6.3将齿槽绕蜗轮回转轴旋转阵列得到完整尼曼蜗轮的三维模型。

下面以某五头尼曼蜗杆副为例具体说明蜗轮的建模步骤。

设定蜗杆副的各项参数值

蜗杆的轴向模数m＝9.5mm，蜗杆头数Z₁＝5，蜗轮齿数Z₂＝24，蜗杆法向齿形角α_n＝23°，蜗杆齿顶高系数h_a＝0.8947，蜗杆齿根高系数h_f＝1.16，蜗杆分度圆柱上螺旋线导程角γ＝33.05138889°，砂轮半径r_u＝150mm，砂轮圆环面半径ρ＝54mm，蜗杆直径系数p＝Z₁/tanγ＝7.6842，蜗杆分度圆柱直径d₁＝m*q＝73mm，蜗杆分度圆柱半径r₁＝d₁/2＝36.5mm，砂轮回转轴线与蜗杆轴线的最短距离a₁＝r_u-h_a*m+r₁＝178mm，砂轮回转轴与砂轮圆环面中心的径向距离c＝a₁-(r₁+ρsinα_n)＝120.4mm，砂轮的X_u轴与砂轮圆弧中心的轴向距离d＝ρcosα_n＝49.7073mm，蜗杆左齿面轴向距离偏置量k＝d-0.6πm cosγ＝34.6979mm，蜗杆齿顶圆直径da₁＝d₁+2h_am＝90mm，蜗杆齿根圆直径d_f1＝d₁-2h_fm＝50.96mm，蜗杆分度圆柱上螺旋线导程p_z＝πmZ₁＝149.2257mm，蜗杆螺旋线旋转单位弧度时轴向移动距离p＝p_z/(2π)＝23.75mm，蜗轮变位系数χ＝1，蜗轮蜗杆中心距a₂＝(q+Z₂+2χ)m/2＝160mm，蜗轮与蜗杆转速之比i₂₁＝Z₁/Z₂＝0.2083，蜗杆的一个齿从啮入到啮出过程中蜗杆旋转角度行程(单位为弧度)。

求ψ的精确取值范围

ψ的粗略取值范围为[-π/2,π/2]，这个范围太大。为了提高计算效率，必须找出ψ的精确取值范围。

蜗杆端面齿廓总是贯通蜗杆齿面，终止在蜗杆齿顶圆和蜗杆齿根圆上，ψ作为蜗杆齿面方程的一个独立参变量，与蜗杆端面齿廓曲线上的点有单值对应关系。对于砂轮右半圆环面包络的蜗杆右齿面端面齿廓，位于蜗杆齿顶圆上点对应的ψ值大于位于蜗杆齿根圆上点对应的ψ值；对于砂轮左半圆环面包络的蜗杆左齿面端面齿廓，位于蜗杆齿顶圆上点对应的ψ值小于位于蜗杆齿根圆上点对应的ψ值。

如图5所示，求解对应蜗杆右齿面齿顶圆上ψ值的步骤如下：

1.令ψ＝0.5π；

2.将ψ值代入蜗杆端面齿廓方程求出径矢长r⁽¹⁾；

3.判断是否满足r⁽¹⁾≤0.5d_a1：如果是则表示ψ对应蜗杆齿顶，输出ψ_右顶＝ψ，程序结束，否则令ψ＝ψ-0.01返回步骤2。

如图6所示，求解对应蜗杆右齿面齿根圆上的ψ值的步骤如下：

1.令ψ＝-0.5π；

2.将ψ值代入蜗杆端面齿廓方程求出径矢长r⁽¹⁾；

3.判断是否满足r⁽¹⁾≥0.5d_f1：如果是则表示ψ对应蜗杆齿根，输出ψ_右根＝ψ，程序结束，否则令ψ＝ψ+0.01返回步骤2。

如图7所示，求解对应蜗杆左齿面齿顶圆上ψ值的步骤如下：

1.令ψ＝-0.5π；

2.将ψ值代入蜗杆端面齿廓方程求出径矢长r⁽¹⁾；

3.判断是否满足r⁽¹⁾≤0.5d_a1：如果是则表示ψ对应蜗杆齿顶，输出ψ_左顶＝ψ，程序结束，否则令ψ＝ψ+0.01返回步骤2。

如图8所示，求解对应蜗杆左齿面齿根圆上ψ值的步骤如下：

1.令ψ＝0.5π；

2.将ψ值代入蜗杆端面齿廓方程求出径矢长r⁽¹⁾；

3.判断是否满足r⁽¹⁾≥0.5d_f1：如果是则表示ψ对应蜗杆齿根，输出ψ_左根＝ψ，程序结束，否则令ψ＝ψ-0.01返回步骤2。

经过计算可得：对应蜗杆右齿面齿顶圆上的ψ值ψ_右顶＝0.1318(弧度单位，下同)，对应蜗杆右齿面齿根圆上的ψ值ψ_右根＝-0.0742，对应蜗杆左齿面齿顶圆上的ψ值ψ_左顶＝-0.1843，对应蜗杆左齿面齿根圆上的ψ值ψ_左根＝0.026。

求取蜗杆旋转角的取值范围

蜗轮蜗杆一对齿从啮入到啮出过程中蜗杆旋转角的角度行程已知，欲求其取值范围，只需要知道一个极值即可。蜗轮蜗杆一对齿在啮出时，蜗杆齿顶上一点与蜗轮齿根部分接触，因此求啮出时的比较方便。在啮出时：对于蜗杆右齿面对应其最大值，对于蜗杆左齿面对应其最小值。蜗轮蜗杆一对齿从啮入到啮出过程中，对于蜗杆右齿面ζ的取值范围为而在啮出位置ζ应该约等于蜗轮蜗杆一对齿从啮入到啮出过程中，对于蜗杆左齿面ζ的取值范围为而在啮出位置，ζ应该约等于

如图9所示，求解蜗杆右齿面最大值的步骤如下：

1.令ψ＝ψ_右顶，

2.令

3.令

4.将ψ值代入蜗杆端面齿廓方程求出r⁽¹⁾，η，μ；

5.令

6.判断是否满足|f0|≤0.001，如果是则表示找到了蜗杆蜗轮啮合方程的解，转向步骤7，否则转向步骤9；

7.令

8.判断是否满足如果是则表示迭代还未结束，返回步骤3，否则程序结束；

9.令ζ＝ζ+0.0025；

10.判断是否满足如果是则表示ζ迭代还未结束，返回步骤5，否则转向步骤11；

11.令

12.判断是否满足如果是则表示迭代还未结束，返回步骤3，否则程序结束。

如图10所示，求解蜗杆左齿面最小值的步骤如下：

1.令ψ＝ψ_左顶，

2.令

3.令

4.将ψ值代入蜗杆端面齿廓方程求出r⁽¹⁾，η，μ；

5.令

6.判断是否满足|f0|≤0.001，如果是则表示找到了蜗杆蜗轮啮合方程的解，转向步骤7，否则转向步骤9；

7.令

8.判断是否满足如果是则表示迭代还未结束，返回步骤3，否则程序结束；

9.令ζ＝ζ+0.0025；

10.判断是否满足如果是则表示ζ迭代还未结束，返回步骤5，否则转向步骤11；

11.令

12.判断是否满足如果是则表示迭代还未结束，返回步骤3，否则程序结束。

求解结果：蜗杆右齿面取值范围为[1.0995,3.6128]，蜗杆左齿面取值范围为[-4.3633,-1.85]，单位均为弧度。

求取蜗轮齿面上的点

解算蜗轮齿面上的点，三个参变量的迭代顺序是ζ、ψ。蜗杆右齿面包络蜗轮左齿面时ζ的取值范围为蜗杆左齿面包络蜗轮右齿面时ζ的取值范围为

如图11所示，求解蜗杆右齿面包络蜗轮左齿面接触点集的步骤如下：

1.令

2.令

3.令ψ＝0.1318；

4.将ψ值代入蜗杆端面齿廓方程求出r⁽¹⁾，η，μ；

5.令

6.判断是否满足|f0|≤0.001，如果是则表示找到了蜗杆蜗轮啮合方程的解，转向步骤7，否则转向步骤12；

7.将r⁽¹⁾，η，ζ代入蜗杆齿面方程可得初始位置下蜗杆齿面上一个接触点坐标(x₁,y₁,z₁)，再将该点依次绕蜗杆回转轴(即Z轴)旋转绕蜗轮回转轴旋转可得初始位置下蜗轮齿面上一个接触点坐标(x₂,y₂,z₂)，输出(x₂,y₂,z₂)；

8.令ζ＝ζ+0.001；

9.判断是否满足如果是则表示ζ迭代还未结束，返回步骤3，否则转向步骤10；

10.令

11.判断是否满足如果是则表示迭代还未结束，返回步骤2，否则程序结束；

12.令ψ＝ψ-0.00004；

13.判断是否满足ψ≥-0.0742，如果是则表示ψ迭代还未结束，返回步骤4，否则转向步骤14；

14.令ζ＝ζ+0.001；

15.判断是否满足如果是则表示ζ迭代还未结束，返回步骤3，否则转向步骤16；

16.

17.判断是否满足如果是则表示迭代还未结束，返回步骤2，否则程序结束。

如图12所示，求解蜗杆左齿面包络蜗轮右齿面接触点集的步骤如下：

1.令

2.令

3.令ψ＝-0.1843；

4.将ψ值代入蜗杆端面齿廓方程求出r⁽¹⁾，η，μ；

5.令

6.判断是否满足|f0|≤0.001，如果是则表示找到了蜗杆蜗轮啮合方程的解，转向步骤7，否则转向步骤12；

7.将r⁽¹⁾，η，ζ代入蜗杆齿面方程可得初始位置下蜗杆齿面上一个接触点坐标(x₁,y₁,z₁)，再将该点依次绕蜗杆回转轴(即Z轴)旋转绕蜗轮回转轴旋转可得初始位置下蜗轮齿面上一个接触点坐标(x₂,y₂,z₂)，输出(x₂,y₂,z₂)；

8.令ζ＝ζ+0.001；

9.判断是否满足如果是则表示ζ迭代还未结束，返回步骤3，否则转向步骤10；

10.令

11.判断是否满足如果是则表示迭代还未结束，返回步骤2，否则程序结束；

12.令ψ＝ψ+0.00004；

13.判断是否满足ψ≤0.026，如果是则表示ψ迭代还未结束，返回步骤4，否则转向步骤14；

14.令ζ＝ζ+0.001；

15.判断是否满足如果是则表示ζ迭代还未结束，返回步骤3，否则转向步骤16；

16.

17.判断是否满足如果是则表示迭代还未结束，返回步骤2，否则程序结束。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明技术原理的前提下，还可以做出若干改进和变形，这些改进和变形也应视为本发明的保护范围。