矩阵求逆引理零分母情况的处理及一种逐级递推求解逆矩阵的方法与流程

本发明涉及矩阵递推求逆方法，利用取极限处理克服矩阵求逆引理零分母情况，递推公式可以高效准确求解希尔伯特矩阵(典型严重病态矩阵)的逆矩阵。

背景技术：

矩阵求逆方法包括伴随矩阵法、矩阵分解法、分块矩阵法、初等变换法、加边法、求近似逆矩阵的迭代法等；

伴随矩阵法计算量过大，一般不能用于高阶数矩阵求逆的实际计算；

常见的矩阵分解法包括lu分解、qr分解、奇异值分解等，由于三角矩阵、酉矩阵求逆相对简单，求逆后再进行矩阵乘法即可得到原始矩阵的逆。

lu分解法中，当主元素为零时必须进行选主元操作，另外，实际计算过程中如果主元接近零，就需要进行选主元操作，以避免精度降低或无法计算等问题；

加边法基于矩阵求逆引理，可逐级计算，但当主元素为零或者计算中出现零分母情况时，无法进行计算；

求矩阵的近似逆矩阵的迭代法对大条件数病态矩阵无效；

技术实现要素：

本发明基于矩阵求逆引理，利用取极限处理克服计算过程中的零主元素和零分母现象，逐级递推求逆矩阵的逆，与求矩阵近似逆矩阵的迭代法相比，可用于大条件数病态矩阵的递推求逆，主要步骤包括：

将任意n阶可逆矩阵k其分解为对角元素矩阵diag(k)和n个秩1矩阵的和，即

按照递推公式计算各级消元矩阵；

逐级递推求解，即可得到cn＝k^-1。

如果对角元素矩阵diag(k)的某一元素ki,i＝0时，可先假定求解c0；递推两次后得c2表达式，令即可，后续各级消元矩阵即可正常递推；

计算过程中出现1+vi·ci-1·ui＝0时，递推公式出现零分母，无法直接计算，此时，可先假定

递推两次后得ci+1的表达式，取极限即可，后续各级消元矩阵即可正常递推。

附图说明

图1为计算流程图；

具体实施方式

下面结合两个算例，详细给出矩阵递推求逆过程，算例1针对零主元素，算例2针对计算过程中出现零分母情况。

算例1.设递推求解各级消元矩阵。

①计算c0：

由于中k1,1＝0，无法直接求逆，令

②计算c1：

u1＝[0,2,3,4]^t,v1＝[1,0,0,0]，1+v1·c0·u1＝1，

③计算c2：

u2＝[2,0,5,6]^t,v2＝[0,1,0,0]，

取极限

④计算c3：

u3＝[3,5,0,7]^t,v3＝[0,0,1,0],

⑤计算c4：

u4＝[4,6,7,0]^t,v4＝[0,0,0,1]，

验证易知各级消元矩阵的正确性及c4＝k^-1。

算例2.设递推求解各级消元矩阵。

①计算c1：v1＝[1,0,0,0]，1+v1·c0·u1＝1，

②计算c2：u2＝[2,0,0,0]^t，v2＝[0,1,0,0]，由于1+v2·c1·u2＝0，无法直接利用公式计算c2，假定可得：

③计算c3：u3＝[1,0,0,0]^t，v3＝[0,0,1,0]，

取极限

④计算c4：u4＝[2,0,0,0]^t，v4＝[0,0,0,1]，

验证易知各级消元矩阵的正确性及c4＝k^-1。