一种自适应可靠性分析方法与流程

本公开属于系统可靠性分析与结构设计技术领域，尤其涉及一种自适应可靠性分析方法。

背景技术：

在结构工程设计中，可靠性分析设计已经成为一个重要的研究领域。在考虑结构系统的输入为随机变量的情况下，求出落入失效域中样本与整个样本空间量的比值即为结构系统的失效概率，通过结构系统的失效概率可以有效反映其可靠性水平，从而进行结构可靠性分析设计。

目前，主要的可靠性分析方法是基于抽样技术的方法，如蒙特卡洛模拟法(mcs)，该方法广泛应用于可靠性问题的评估。这一方法的优点是可以解决各种可靠性问题的评估，但也具有难以掩盖的缺点，如在解决小失效概率问题时需要进行大量抽样计算。为了提高计算效率，研究人员提出了一系列降低方差的方法，如重要抽样法、子集模拟重要抽样法、方向重要抽样法等。然而这些方法在求解结构系统的失效概率时，其精度与所选设计点直接相关，因此，对复杂结构系统失效概率评估时，其精度与效率并不理想。另一种方法是矩方法，分为一阶矩方法(form)和二阶矩方法(sorm)。在可靠性分析时，通过在随机变量设计点(mpp)处对极限状态函数进行泰勒线性展开，然后通过较少次数的功能函数计算便可以评估出结构系统的失效概率，但在解决高维非线性可靠性问题时会产生较大的误差。

此外，在复杂机械系统可靠性分析时，其功能函数往往是一个“黑盒子”，研究人员仅能提供有限的模型测试数据和仿真次数。此时，通过替代模型结合抽样方法来解决这类黑盒问题的可靠性评估是较理想的方法。目前，常见的替代模型有支持向量机(supportvectormachine)、人工智能神经网络(artificialneuralnetwork)、混沌多项展开式(polynomialchaosexpansion)、二次响应面法(quadraticresponsesurface)、相关向量机(relevancevectormachine)以及克里金模型(kriging)等，通过替代模型结合抽样方法用于评估结构系统的可靠性时具有较小的计算量，但也表现出替代模型近似误差难以控制在理想阈值范围内的缺点。

因此，有必要提出一种自适应可靠性分析方法用以解决上述问题。

需要说明的是，在上述背景技术部分公开的信息仅用于加强对本公开的背景的理解，因此可以包括不构成对本领域普通技术人员已知的现有技术的信息。

技术实现要素：

本公开的目的在于提供一种自适应可靠性分析方法，进而至少在一定程度上克服由于相关技术的限制和缺陷而导致的一个或者多个问题。

本公开的其他特性和优点将通过下面的详细描述变得显然，或部分地通过本公开的实践而习得。

根据本公开的一个方面，提供一种自适应可靠性分析方法，包括：

在不确定概率空间中进行抽样，选取输入样本点，并根据映射关系计算所述输入样本点的输出样本点，通过所述输入样本点和输出样本点构建kriging替代模型；

找出所述输入样本点中收敛于功能函数极限状态面的输入样本点作为重要抽样密度中心，采用重要抽样法进行抽样获得候选样本；

筛选所述候选样本中最接近所述功能函数极限状态面的样本点，并计算其响应值；

判断所述kriging替代模型是否满足收敛准则，若不满足收敛准则，则将所述样本点及响应值加入到所述输入样本点和输出样本点中，依此更新所述kriging替代模型，直到满足收敛准则；

对所述kriging替代模型进行可靠性评估，若所述kriging替代模型不满足精度要求，则通过所述重要抽样法增加候选样本量，依此迭代更新，直到满足精度要求。

本公开的一种示例性实施例中，在不确定概率空间中进行抽样，选取输入样本点，包括：

在失效域内选择一点x0作为马尔科夫链的开始样本点；

通过metropolis法则模拟产生nm个马尔科夫链样本xm，其中包含ns个马尔科夫状态点和nr个马尔科夫拒绝点，所述nm个马尔科夫链样本xm即为所述输入样本点。

本公开的一种示例性实施例中，所述收敛于功能函数极限状态面的输入样本点为所述马尔科夫状态点。

本公开的一种示例性实施例中，所述采用重要抽样法进行抽样获得候选样本，包括：

以ns个马尔科夫链状态点xs作为重要抽样密度中心；

在每个抽样中心xs处分别模拟产生ni个样本xι，即产生nω＝ni×ns个候选样本xω。

本公开的一种示例性实施例中，所述候选样本中最接近所述功能函数极限状态面的样本点通过所述kriging替代模型和学习函数筛选得出。

本公开的一种示例性实施例中，所述学习函数为：

其中，表示样本x的kriging预测响应，表示响应的kriging方差，φ(·)和φ(·)分别为标准正态分布的概率密度函数与累积分布函数。

本公开的一种示例性实施例中，所述候选样本中最接近所述功能函数极限状态面的样本点为所述候选样本中使e(r(x))为最大值所对应的样本点。

本公开的一种示例性实施例中，所述判断所述kriging替代模型是否满足收敛准则，包括：

设定收敛准则，其表达式为其中，为均值，εe为防止表达式中分母趋于0的正值；

若serf≤10^-4，判断所述kriging替代模型满足收敛准则，反之，则不满足收敛准则。

本公开的一种示例性实施例中，所述对所述kriging替代模型进行可靠性评估，包括：

计算所述kriging替代模型的失效概率和失效概率方差系数

若所述的值小于5％，所述kriging替代模型满足精度需求，反之，则不满足精度需求。

本公开的一种示例性实施例中，所述失效概率基于加权重要抽样法推导得出，所述加权重要抽样法用于量化每一个所述初始输入样本点对所述失效概率的影响，以提高所述可靠性分析方法的精度。

本公开示例性实施方式所提供的自适应可靠性分析方法，可用于解决具有高度非线性、高维随机变量、小失效概率和复杂功能函数的可靠性分析问题，能有效提高实际工程中结构系统可靠性分析的效率与精度。

应当理解的是，以上的一般描述和后文的细节描述仅是示例性和解释性的，并不能限制本公开。

附图说明

此处的附图被并入说明书中并构成本说明书的一部分，示出了符合本公开的实施例，并与说明书一起用于解释本公开的原理。显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本公开的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1示意性示出本公开一示例性实施例中自适应可靠性分析方法流程图；

图2示意性示出本公开另一示例性实施例中自适应可靠性分析方法流程图；

图3示意性示出本公开示例性实施例中随机三维多孔介质的生成方法流程图；

图4示意性示出根据图2中随机三维多孔介质的生成方法所生成的随机三维多孔介质的结构示意图。

具体实施方式

现在将参考附图更全面地描述示例实施方式。然而，示例实施方式能够以多种形式实施，且不应被理解为限于在此阐述的范例；相反，提供这些实施方式使得本公开将更加全面和完整，并将示例实施方式的构思全面地传达给本领域的技术人员。所描述的特征、结构或特性可以以任何合适的方式结合在一个或更多实施方式中。

此外，附图仅为本公开的示意性图解，并非一定是按比例绘制。图中相同的附图标记表示相同或类似的部分，因而将省略对它们的重复描述。附图中所示的一些方框图是功能实体，不一定必须与物理或逻辑上独立的实体相对应。可以采用软件形式来实现这些功能实体，或在一个或多个硬件模块或集成电路中实现这些功能实体，或在不同网络和/或处理器装置和/或微控制器装置中实现这些功能实体。

本示例实施方式提供一种自适应可靠性分析方法，如图1所示，该可靠性分析方法可以包括：

s1、在不确定概率空间中进行抽样，选取输入样本点，并根据映射关系计算所述输入样本点的输出样本点，通过所述输入样本点和输出样本点构建kriging替代模型；

s2、找出所述输入样本点中收敛于功能函数极限状态面的输入样本点作为重要抽样密度中心，采用重要抽样法进行抽样获得候选样本；

s3、筛选所述候选样本中最接近所述功能函数极限状态面的样本点，并计算其响应值；

s4、判断所述kriging替代模型是否满足收敛准则，若不满足收敛准则，则将所述样本点及响应值加入到所述输入样本点和输出样本点中，依此更新所述kriging替代模型，直到满足收敛准则；

s5、对所述kriging替代模型进行可靠性评估，若所述kriging替代模型不满足精度要求，则通过所述重要抽样法增加候选样本量，依此迭代更新，直到满足精度要求。

本公开示例性实施方式所提供的自适应可靠性分析方法可用于解决具有高度非线性、高维随机变量、小失效概率和复杂功能函数的可靠性分析问题，可有效提高实际工程中结构系统可靠性分析的效率与精度。

下面结合附图对本示例实施方式所提供的自适应可靠性分析方法进行详细的说明。

在步骤s1中，在不确定概率空间中进行抽样，选取输入样本点，并根据映射关系计算所述输入样本点的输出样本点，通过所述输入样本点和输出样本点构建kriging替代模型。可包括如下步骤：

s11、可在失效域内选择一点作为马尔科夫链的开始样本点；

s12、可通过metropolis法则模拟产生nm个马尔科夫链样本xm，其中包含ns个马尔科夫状态点和nr个马尔科夫拒绝点即：nm＝ns+nr。可通过数值仿真模型或试验模型计算出xm的响应记为g(xm)，则初始doe通过(xm,g(xm))构成。研究表明马尔科夫链的长度不必过长，一般根据所研究功能函数复杂程度的不同，其长度取50至100之间即可满足要求。此外，马尔科夫链的前端起始部分对结构失效概率的影响远远小于后面的部分，因此，本示例实施方式可剔除马尔科夫链前端20％的样本。

s13、可通过初始doe构造kriging替代模型。经验表明，初始doe的数量一般取30至80便可满足需求。本示例实施例中的所述kriging模型可通过mtalab的dace工具包进行构造，相关模型可选择高斯模型，回归模型可选择常量。

在步骤s2中，找出所述输入样本点中收敛于功能函数极限状态面的输入样本点作为重要抽样密度中心，采用重要抽样法进行抽样获得候选样本。可包括如下步骤：

s21、可以ns个马尔科夫链状态点xs作为重要抽样密度的中心；

s22、可通过重要抽样法得到候选样本记为xω。

本示例实施例中，可以ns个马尔科夫链状态点xs作为重要抽样密度的中心。该样本在马尔科夫链模拟过程中以概率min{1,r}产生，落在极限状态面上或极限状态面附近区域，表明这些样本对结构失效概率影响较大。因此，在重要区域内可通过ns个样本为抽样中心，快速模拟得到一组重要样本，从而提高抽样效率。本示例实施例可通过重要抽样法得到候选样本记为xω。xω表示在每个抽样中心xs处分别模拟产生ni个样本xι即：nω＝ni×ns，其中ni可取2000。在这一步骤中样本xω的响应可不必计算，候选样本点和最佳样本点将在样本xω中产生。

s3、筛选所述候选样本中最接近所述功能函数极限状态面的样本点，并计算其响应值。

在步骤s3中，候选样本中最接近所述功能函数极限状态面的样本点可通过所述kriging替代模型和学习函数筛选得出。首先，可通过kriging替代模型得到未知点的预测值和方差。接着，可通过学习函数其中φ(·)和φ(·)分别为标准正态分布的概率密度函数与累积分布函数。表示样本x的kriging预测响应，表示响应的kriging方差。找出候选样本xω中e(r(x))最大值所对应的样本点记为x^*，计算其响应值g(x^*)，并将这组数据(x^*,g(x^*))加入doe中。最后，通过更新doe重新构造kriging替代模型，可使预测结果精度得到改善，步骤s3为主动学习过程。

s4、判断所述kriging替代模型是否满足收敛准则，若不满足收敛准则，则将所述样本点及响应值加入到所述输入样本点和输出样本点中，依此更新所述kriging替代模型，直到满足收敛准则。

在步骤s4中，为了使kriging替代模型在未知样本处准确预测功能函数的符号，在主动学习过程中需设定一个合适的收敛准则，其表达式可为其中表示均值，为了防止该式中分母趋于0，对εe选择一个较小的正值如10^-6，即εe＝10^-6。若满足serf≤10^-4时，表明kriging替代模型符合功能函数近似要求，结束步骤s4，进入步骤s5，否则更新doe，重新构造kriging替代模型，返回步骤s3。

s5，对所述kriging替代模型进行可靠性评估，若所述kriging替代模型不满足精度要求，则通过所述重要抽样法增加候选样本量，依此迭代更新，直到满足精度要求。可包括如下步骤：

s51、计算kriging替代模型的失效概率和失效概率方差系数

s52、若的值小于5％，则可认为kriging替代模型满足精度需求，否则通过步骤s3增加xω样本容量，并增加样本xi容量。经验表明，ni的取值范围为2000-2800之间便可满足结构失效概率的分析需求。

s53、当小于5％之后，流程停止，可对结构失效概率进行评估。

在步骤s51中，失效概率可基于加权重要抽样法推导得出，所述加权重要抽样法用于量化每一个所述初始输入样本点对所述失效概率的影响，以提高所述可靠性分析方法的精度。

如图2，本公开示出的分析方法为基于改进的马尔科夫链结合主动学习kriging模型与加权重要抽样法(wis)，构成一个双循环可靠性分析方法，用于高效、精确和自适应地评估结构系统的失效概率。

在结构可靠性分析中，通常需要通过任意的概率密度函数得到模拟样本，马尔科夫链则是一种有效的算法用来完成这一工作。在metropolis算法中，样本通过任意的马尔科夫链产生，其中马尔科夫链的极限状态平稳分布等于目标分布。很显然，样本的概率密度函数就是马尔科夫链状态点，随着马尔科夫链的增加收敛于目标概率密度函数。因此，通过平稳分布样本可以自适应地落入重要区域，该概率密度函数通过最优密度函数表示为：f(x|f)＝if(x)f(x)/pf，其中f(x|f)表示最优密度函数，if(x)为指示函数，f(x)为概率密度函数，pj为失效概率。

建议分布f^*(ε|xj)(j＝1,2,…,m)使得ε处于以xj为中心的范围内，概率密度函数选取关于ε和xj的对称分布，使得马尔科夫链从当前状态的基础上产生新的状态点。通常高斯概率密度函数和均匀概率密度函数是两种主要可供选择的分布类型。当选择n维均匀分布概率密度函数作为建议分布时，其多边体边长会对马尔科夫链的算法产生较大的影响，而选择n维高斯概率密度函数作为建议分布时，可以使马尔科夫链趋于平稳状态，因此，本公开选择高斯分布作为建议分布的概率密度函数。n维高斯正态分布的两个重要数值特征分别为均值xji(i＝1,2,…,n)与标准差σi(i＝1,2,…,n)，该建议分布可以表示为：

其中变量ε以xj为中心分布，其分布距离与参数σi有关。

本公开提出一种较稳定的自适应参数方法用来确定参数σi。在马尔科夫链初始阶段通过一个较大的σi值可以快速地搜索目标函数的重要区域，而在马尔科夫链后一阶段中较小的σi值可以在感兴趣的区域内得到更多的样本。因此该自适应参数σi表示为：

其中n表示马尔科夫链的步数，σ0表示初始的标准差，取值范围为1.5-4.5。

在失效域f中选择一个样本点x0作为马尔科夫链的初始点。通过metropolis-hastings算法和建议分布f^*(ε|xj)基于马尔科夫链的前一个状态xj得到第j+1个状态点xj+1。候选点ε通过建议分布f^*(ε|xj)产生，然后计算出f(ε|f)与f(xj|f)的比值。其中，f(ε|f)表示候选点ε的条件概率密度函数，f(xj|f)表示马尔科夫链前一个状态的条件概率密度函数。该比值表示为：

由metropolis-hastings准则可知，当r＞1时，则接受ε为马尔科夫链的第j+1个状态即：xj+1＝ε，反之，ε以概率r接受为马尔科夫链的第j+1个状态，并以剩余概率1-r接受xj作为第j+1个状态即：xj+1＝xj，如此反复可得到满足要求的马尔科夫链。重复以上步骤可以得到m个马尔科夫链状态点即：xm＝{x1,x2,…,xm}。

在可靠性分析中，结构的最可能失效点(mpp)对失效概率的影响是有区别的，为了得到精度较高的失效概率结果，本公开可使用自适应加权重要抽样方法(wis)去量化每一个mpp点对结构失效概率的影响，然后高效准确地计算出结构的失效概率。

假定m个预先样本作为重要抽样密度函数的中心用来评估结构的失效概率，如上所述，m个样本对结构的不同贡献可以通过以下自适应加权表达式来描述，其表达式可以表示为：

其中βj表示m个样本中第j个样本的可靠度指标，可通过aform或其他优化方法求得。本公开可使用自适应策略去评估βj，通过重要抽样法在抽样中心求得然后求出可靠度指标

因此，重要抽样概率密度函数hx(x)被重新推导为h(x)，其中h(x)为自适应重要抽样密度函数，其表达式如下：

其中，hj(x)＝f^*(x|xj)表示第j个重要抽样密度函数，γj是第j个重要抽样中心的加权系数，且从而满足h(x)为概率密度函数。

通过上述推导，基于加权重要抽样法的失效概率表达式可以表示为：

其中表示第j个重要抽样概率密度函数hj(x)的期望。假设nj个样本按照重要抽样密度函数hj(x)在第j个抽样中心模拟产生，且第k组样本通过概率密度函数hk(x)(k＝1,2,…nj)模拟产生，因此，失效概率表达式可以表示为：

式(6)的期望和方差分别可以推导得出，其中期望可以表示为：

由式(7)可以得出，是失效概率pf的无偏估计，因此，失效概率可以通过求得。

失效概率的方差通过近似计算可得：

此外，失效概率的方差系数(cov)可以表示为：

kriging模型是由两部分构成：一部分在确定点进行最优线性无偏估计，另一部分则由随机过程构成。因此，kriging模型可以通过以下表达式来表示：

g(x)＝f(x)^tβ+z(x)(10)

其中f(x)^tβ表示响应的近似均值，f(x)^t＝(f1(x),f2(x),…,fk(x))表示基函数，β＝(β1,β2,…,βk)是回归系数矩阵。通常kriging模型的f(x)^tβ为一个常数，即f(x)^tβ＝β。以下所有的公式均是基于kriging模型进行推导，z(x)是一个平稳的高斯随机过程其均值为0，方差为σ²，协方差可以表示为：

cov(z(xi),z(xj))＝σ²rθ(xi,xj)i,j＝1,2,…,k(11)

其中，rθ(xi,xj)是通过参数θ产生的xi和xj之间的相关函数。rθ(xi,xj)通常可选择一个各向异性的高斯模型，其表达式为：

其中，xi,r和xj,r是样本坐标系中第r个样本，θr是拟合模型的相关参数。

通常一组doe可用来确定kriging模型的相关参数，然后可通过代理模型获得目标函数的未知样本。通常一组doe可取与之对应的输出响应则相关参数计算得出：

其中，是doe中每组样本的相关矩阵，1矩阵中充满了k个1。

此外，和β通过矩阵rθ中的θ来求得，θ可以通过最大似然估计方法计算得到：

以下表明响应在未知样本点的预测值，其表达式为：

其中r(x)＝rθ(x,x⁽ⁱ⁾)，i＝1,2,…,q。

kriging方差通过求出和g(x)的最小均方差(msc)可以得出，因此它的表达式为：

其中

kriging模型的主要特征是在未知点进行精确插值计算，因此，响应值在实验设计已知点处的结果是准确的即：其kriging方差为0。此外，通过kriging方差可以对目标函数在未知区域进行局部近似求得响应值。

如图3，本公开通过一个非线性振荡器的动态响应问题对本发明所提方法进行验证，其功能函数表达式如下：

其中x＝(c1,c2,m,r,t1,f1)，式中随机变量的分布特征如表1所示。

表1非线性振荡器的随机变量分布

通过不同的可靠性方法对非线性震荡器问题进行分析计算得其计算结果如表2所示。

表2非线性振荡器的不同方法分析所得结果

本公开所提自适应可靠性分析方法(alk-wis)、重要抽样法(is)、echard提出的ak-mcs方法、huang等人提出的ak-ss和balesdent等人提出的nais方法在对结构系统可靠性评估时进行对比，对比指标包括功能函数的调用次数ncall、候选样本点数量nω以及失效概率百分误差εpf。对于ak-mcs、ak-ss和alk-wis三种方法而言其ncall由初始doe和主动学习过程产生的额外doe两部分构成。本算例通过蒙特卡洛方法使用样本量7×10⁷时计算所得失效概率pf＝2.834×10^-2，并以该值作为其他方法的参考解。

在alk-wis进行非线性振荡器的可靠性分析过程中，其doe如图4所示。初始doe中大量样本位于极限状态面上或位于极限状态面附近位置，表明通过本发明改进的马尔科夫链在重要区域获得了效果较好的马尔科夫链模拟样本。通过该样本构造初始kriging替代模型，然后通过主动学习函数来丰富kriging替代模型，由图4可知经过9次迭代训练构造了满足精度要求的kriging替代模型。在kriging替代模型构造成功以后，基于该模型进行加权重要抽样评估系统的可靠性。

由表2可知，通过不同的可靠性方法得到相同量级的失效概率其ncall各不相同，而本发明所提方法调用功能函数的次数最少仅为68次，表明alk-wis与其他方法相比具有较高的计算效率。通过对比各方法的结果可知，虽然ak-ss方法所求失效概率精度最高，但该方法与本发明所提方法对比，除在指标上具有较小的优势以外，在ncall与两种指标的上具有明显的劣势。综上可知，本发明所提方法在进行结构系统可靠性评估时，无论在精度还是在效率上较其他方法均有明显的优势。

应当注意，尽管在附图中以特定顺序描述了本公开中方法的各个步骤，但是，这并非要求或者暗示必须按照该特定顺序来执行这些步骤，或是必须执行全部所示的步骤才能实现期望的结果。附加的或备选的，可以省略某些步骤，将多个步骤合并为一个步骤执行，以及/或者将一个步骤分解为多个步骤执行等。

本领域技术人员在考虑说明书及实践这里公开的发明后，将容易想到本公开的其他实施例。本申请旨在涵盖本公开的任何变型、用途或者适应性变化，这些变型、用途或者适应性变化遵循本公开的一般性原理并包括本公开未公开的本技术领域中的公知常识或惯用技术手段。说明书和实施例仅被视为示例性的，本公开的真正范围和精神由权利要求指出。

应当理解的是，本公开并不局限于上面已经描述并在附图中示出的精确结构，并且可以在不脱离其范围进行各种修改和改变。本公开的范围仅由所附的权利要求来限。