一种计算有界不确定性结构屈曲安全裕度的方法与流程

本发明涉及不确定性结构屈曲分析技术领域，特别涉及一种计算有界不确定性结构屈曲安全裕度的方法，该方法考虑结构参数的有界不确定性，采用范数分析和特征值分析方法，提出了有界不确定性结构的屈曲安全裕度的概念，并给出了相关计算方法。结构的屈曲安全裕度可以为结构在不确定性参数作用下的安全性分析提供理论方法。

背景技术

屈曲分析在结构设计阶段占有重要地位，因为稳定性是保证结构服役的必要条件之一。然而，目前的屈曲分析通常以确定性假设为基础，不能应用于具有不确定性参数的结构失稳分析。随着工程结构的日益复杂和服务环境的日益严峻，与材料性能、边界条件等有关的结构不确定性越来越突出。结构参数的不确定性的来源是十分广泛的，包含制造误差，工艺不稳定，结构损伤，材料老化等，尤其是对于复合材料来说。由于许多因素，如纤维取向、纤维体积分数、纤维与基体间的界面层，以及固化过程等都会对复合材料的性能造成效果显著，其材料特性的分散性尤为显著，弹性特性的最小值和最大值之间的差异有时可能高达100％。

对于不确定性结构的系统分析，传统的处理方法可分为两类：一类是用均值表示系统参数，另一类是采用概率或模糊方法进行系统分析。利用结构参数的平均值只能得到忽略参数随机性的平均响应。此外，概率或模糊方法需要知道不确定参数的概率密度函数或隶属函数，所有这些都依赖于大量的统计数据，而这些数据在实际工程中难以获得。然而，虽然不确定参数的分布函数或隶属函数难以获得，但其边界通常很容易确定。针对这一特点，人们发展了非概率方法来处理有界不确定性问题。

在过去的几十年里，已经有很多关于非概率理论方法的文献。非概率不确定性方法也被用于结构优化，结构安全性定量化，结构屈曲分析等方面。尽管当前非概率方法有应用于结构的屈曲分析，但是，这些方法都是针对特定的结构的，例如板、梁等，而不是一般性的通用方法，或者专注于分析在未知但有界不确定性下结构临界屈曲载荷的响应边界。在现有文献中，尚未解决在给定荷载作用下，结构不确定性参数的安全裕度问题。了解结构在给定荷载作用下，其弹性参数允许变化的范围对于保证实际工程结构的安全具有重要意义。这也是本发明的出发点。

技术实现要素：

本发明要解决的技术问题是：克服现有技术的不足，提供一种计算有界不确定性结构屈曲安全裕度的方法。本发明考虑实际工程中结构的不确定性，构建了考虑刚度矩阵摄动的屈曲方程，基于矩阵的范数分析和奇异值分析，提出了有界不确定性结构的屈曲安全裕度，并且采用灵敏度分析方法对安全裕度进行修正。通过该方法计算得到的屈曲安全裕度，能够为结构的安全服役提供保障。

本发明采用的技术方案为：一种计算有界不确定性结构屈曲安全裕度的方法，该方法可以为结构在服役过程中的安全性提供保障，其实现步骤如下：

步骤一：基于典型的结构弹性屈曲方程，引入结构的不确定性，构建考虑结构不确定性的屈曲方程：

其中和分别代表名义弹性刚度矩阵和名义几何刚度矩阵，q0为矩阵特征值，代表屈曲载荷系数，△ke和△kg分别是名义弹性刚度矩阵和名义几何刚度矩阵的摄动量，定义为

步骤二：利用考虑不确定性的结构屈曲方程，构建中值矩阵m和摄动矩阵δ：

步骤三：通过特征值分析，给出结构临界屈曲状态下的屈曲分析不等式：

λmax(mδ)<1

其中，λmax表示矩阵的最大特征值；

步骤四：基于特征值分析的结果，通过奇异值和范数分析，得到有一定放缩情况下的屈曲分析不等式：

|λ1|≤σmax(mδ)≤σmax(m)σmax(δ)＝||m||2||δ||2

其中，σmax表示矩阵的最大奇异值，||·||2表示矩阵的二范数，为mδ矩阵的最大特征值，即λ1＝λmax(mδ)；

步骤五：基于奇异值分析得到的不等式，定义不确定性结构的屈曲安全裕度为：

步骤六：通过灵敏度分析方法，引入安全裕度的修正因子θ，使得：

其中，所述步骤一中采用了弹性刚度矩阵和几何刚度矩阵的摄动矩阵来表示不确定性结构的屈曲方程。

其中，所述步骤二中定义并构建了中值矩阵m和摄动矩阵δ。

其中，所述步骤三中采用了特征值分析方法，给出了结构临界屈曲状态下的屈曲分析不等式。

其中，所述步骤四采用奇异值分析和范数分析方法，得到有一定放缩情况下的结构屈曲不等式。

其中，所述步骤五定义摄动矩阵的2范数为不确定性结构的屈曲安全裕度。

其中，所述步骤六中通过基于顶点组合法的灵敏度分析方法，引入修正因子θ，提高了安全裕度的准确性。

其中，典型的结构包括桁架结构、薄壁结构等容易发生屈曲的结构。

本发明与现有技术相比的优点在于：

本发明提供了一种计算有界不确定性结构屈曲安全裕度的方法。在考虑实际工程结构中的不确定性的基础上，构建了考虑刚度矩阵摄动的屈曲方程，并基于矩阵的范数分析和奇异值分析，提出了有界不确定性结构的屈曲安全裕度的概念，并且给出了相应的计算方法。该方法克服了传统非概率不确定性屈曲分析方法只适用于特定结构的局限性，可以适用于通用的结构。此外，针对传统非概率不确定性屈曲分析只能解决结构响应边界的问题，该方法能够给出不确定性参数的安全边界，更加适用于实际工程结构。对于保障结构的安全性具有重要意义。

附图说明

图1是本发明计算有界不确定性结构屈曲安全裕度的流程图；

图2是本发明计算安全裕度实施例的模型示意图；

图3是本发明实施例中板结构屈曲载荷随长宽比变化的示意图；

图4是本发明实施例计算得到的安全裕度与摄动矩阵最大二范数的对比图。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施例进一步说明本发明。

如图1所示，本发明提出了一种计算有界不确定性结构屈曲安全裕度的方法，包括以下步骤：

(1)基于典型的结构弹性屈曲方程，引入结构的不确定性，构建考虑结构不确定性的屈曲方程：

其中和分别代表名义弹性刚度矩阵和名义几何刚度矩阵，q0为矩阵特征值，代表屈曲载荷系数，△ke和△kg分别是名义弹性刚度矩阵和名义几何刚度矩阵的摄动量，定义为

(2)为了分析方便，式(1)可以改写为：

其中，

注意到a是一个n×n的矩阵，而且

因此，a是可逆的，所以有：

基于式(6)，定义中值矩阵为：

摄动矩阵为：

(3)采用中值矩阵和摄动矩阵，式(6)可以表示为：

det(i-mδ)＝0(9)

当摄动矩阵δ趋于0时，结构将不会屈曲，因此，为了保证结构的稳定性，则有：

det(i-mδ)>0(10)

利用矩阵行列式与特征值之间的关系，有：

(1-λ1)(1-λ2)…(1-λn)>0(11)

其中，λi(i＝1,2,…,n)是矩阵mδ的特征值，并且满足λ1≥λ2≥…≥λn。为了保证式(11)的成立，则mδ的最大特征值必须小于1，即：

λmax(mδ)<1(12)

(4)对mδ进行奇异值分解：

mδ＝uσv^t(13)

其中v和u是n×n的酉矩阵，σ为对角阵：

并且σ1＝diag(σ1,σ2,…,σr)是由奇异值σ1≥σ2≥…≥σr组成的对角阵。设xn×1为非零向量，则有：

注意到酉矩阵不会改变向量的范数，所以有：

利用式(14)以及σ1≥σ2≥…≥σr，有：

将最大特征值λ1＝λmax(mδ)及其特征向量x1代入式(17)，可得：

由于

σmax(mδ)≤σmax(m)σmax(δ)(19)

所以有：

|λ1|≤σmax(mδ)≤σmax(m)σmax(δ)＝||m||2||δ||2.(20)

(5)为了保证结构的稳定性，由式(12)和式(20)可得：

||m||2||δ||2<1.(21)

定义结构的安全裕度为：

μmax＝||δ||2(22)

最终有：

(6)由于式(23)所给的安全裕度是一个偏保守的估计，为了得到更准确的安全裕度，采用灵敏度分析方法对安全裕度进行修正。

灵敏度分析方法基于顶点组合法，对于一个单调的方程f(x1,x2,…,xm)，其变量的上下界为：

根据函数的单调性，函数f的上下界为：

其中其上标kl＝1或2，下标r为顶点的序号。根据顶点组合，只要知道了函数关于设计变量的偏导数的正负情况，即可知道函数在什么时候取得最大值。当获得函数值的上下界以后，就可以引入修正因子θ：

maxθ＝θk,k＝1,2

s.t.|λ1|k≤θk||m||2||δ||2,k(26)

其中k表示函数的两个顶点编号，最终，修整后的安全裕度为：

实施例：

了更充分地了解该发明的特点及其对工程实际的适用性，本发明针对如图2所示的平板进行屈曲安全裕度计算，其计算流程如图1所示。平板给定的初始载荷为沿x方向的均匀压力，p＝1。平板的宽固定为b＝1.0m，高是一个变量，其值为a＝0.7m～5.0m，板的每层厚度为0.0012m，铺层角度为0°/90°/0°/90°/0°。平板的弹性常数区间分布为

平板被划分为20×40四节点壳单元，初始载荷系数(情况1)或(情况2)，其中是名义结构的屈曲载荷系数。平板的临界屈曲载荷随着长宽比a/b的变化情况如图3所示。情况1和情况2下安全裕度与摄动矩阵的二范数的对比如图4所示.从图3可以看到，区间屈曲载荷的上下界包含了均值系统的屈曲载荷，情况1的屈曲载荷低于区间屈曲载荷的下界，情况二位于区间屈曲载荷内部，与此相对应，情况1的屈曲安全裕度大于结构摄动矩阵的最大2范数，而情况2则小于，这说明了屈曲安全裕度反映了不确定性结构的屈曲失稳特性，只要安全裕度比结构的摄动矩阵的最大二范数大，则结构是安全稳定的，否则，结构将会有失稳的可能，这将严重影响结构的安全性。

以上仅是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制；其可扩展应用于不确定性结构屈曲分析领域，凡采用等同变换或者等效替换而形成的技术方案，均落在本发明权利保护范围之内。

本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。