超声及旋流场下熔体中净化气泡瞬态传质模型构建方法与流程

本发明属于铝合金熔体质量运动领域，具体涉及一种超声及旋流场下熔体中净化气泡瞬态传质模型构建方法。

背景技术

铝及其合金在熔炼过程中会与空气中的水蒸气反应产生氢原子，并被铝液吸收，易使铸锭产生气孔和夹杂等缺陷，这不但会降低铝合金产品的使用寿命，而且还会影响产品质量，为保证铝合金材料冶金质量，高效的铝熔体运动技术至关重要。

旋转喷吹运动技术属于吸附运动的一种，通过改善铝熔体运动过程中动力学条件从而提高运动效率，是目前国内外广泛应用的一种运动方法；其原理是向熔体中通入惰性或者活性或者这两种混合气体，利用分压差脱气原理使得熔体内部的氢扩散进入净化气泡，上浮过程中净化气泡会吸附一些夹杂物，起到除气除杂的效果；其缺点是除气率低，一般在70％以下，净化气泡尺寸不够小，高转速可有效减小净化气泡直径，但易引起熔体翻腾，使熔体中心区域压力降低，产生吸气及合泡现象；而超声除气是一种无污染，高效，便捷的除气方法，近年来被广泛研究；超声在熔体中能产生空化、微射流等效应，微小的空化泡在振动扩散中长大、上浮，熔体中的氢进入空化泡中，升至液面，进而达到除气效果；我国对功率超声技术的研究还不够成熟，大功率、高声强的超声电源和稳定、高效的超声发生器的欠缺，使得功率超声难以处理大量熔体，在工业生产中的应用受到限制；每种除气方法都有各自的优缺点，若想进一步提高除气效率，研究复合运动技术势在必行。

复合运动技术是将两种或几种运动方法结合，各取优点联合运动，现代复合运动处理已经成为铝熔体运动工艺的发展方向，综合利用旋转吹气的净化气泡相对均匀分布和超声空化效应产生的局部高温高压现象，将两者有效结合，使得熔体中的净化气泡数目增加且更加弥散，有助于净化气泡尺寸更加细小，促进熔体中的氢向净化气泡内传质进行，进而提高除气效率；而熔体中，净化气泡瞬态传质过程与熔体的除氢效率密切相关，但由于熔体高温不透明，直接研究复合场下净化气泡瞬态传质规律非常困难，关于熔体中净化气泡瞬态运动的理论分析很少，而且方法还不够严谨，尤其是关于净化气泡在超声及旋转场作用下瞬态传质模型构建方法的空缺，使得超声及旋转吹气复合式除气运动理论依据缺乏。

因此，就需要一种能够在超声场及旋转场的复合场中定量分析传质速率、增加净化气泡瞬态运动的理论支撑的净化气泡瞬态传质模型构建方法。

技术实现要素：

本发明针对现有的净化气泡运动模型不能够在超声场及旋转场中定量分析传质速率、缺乏理论支撑的缺陷，提供了一种能够在超声场及旋转场的复合场中定量分析传质速率、增加净化气泡瞬态运动的理论支撑的净化气泡瞬态传质模型构建方法。

本发明所涉及的超声及旋流场下熔体中净化气泡瞬态传质模型构建方法，包括如下计算步骤：

步骤一、建模前，进行如下假设，任意条件影响下熔体中净化气泡保持球形，本过程处于恒温绝热状态；

步骤二、构建超声及旋流场下熔体中净化气泡瞬态运动模型的完整运动方程，所述的超声及旋流场下熔体中净化气泡瞬态运动模型的完整运动方程为：

竖直方向:

径向:

横向:

式(36)中，为净化气泡距离液面深度的导数；净化气泡竖直方向速度；r为净化气泡半径；g为重力加速度；cdh为竖直方向的阻力系数；vbh为净化气泡在竖直方向的分速度；为净化气泡在竖直方向分速度的导数；为净化气泡径向运动距离关于时间t的二阶导数；cdr为径向阻力系数；为净化气泡径向运动距离关于时间t的导数；ωl为流体转速；ρl为液相流体密度；r为净化气泡径向运动的距离；r＝r(t)；r0为净化气泡径向运动的初始距离；p∞为流体中无穷处的压力，patm为标准大气压；p∞≈patm；pl为液相流体中泡壁表面压力；为净化气泡运动转过角度关于时间t的一阶导数，θ为净化气泡运动转过的角度，其中θ＝θ(t)；为净化气泡运动转过角度关于时间t的二阶导数；cdθ为横向阻力系数；θ0为净化气泡运动角度的初始值，θ0＝0；

步骤三、构建超声及旋流场下熔体中净化气泡瞬态传质模型，所述的净化气泡瞬态传质模型为：

c^*＝hpb

式(48)中，mb为净化气泡质量，其表达式为dmb/dt为气泡瞬态传质速率；j为气泡界面质量流量；s为通量面积；α为气泡所确定的球坐标系下的极角；dab为气体分子在液体中扩散速率；υb为气泡运动的合速度，c^*为气液界面处气体的平衡浓度；c1为气液界面处气体质量浓度；ca是液相中气体的质量浓度；h为溶解度系数；pb为任意时刻气泡内部压强；

步骤四、根据净化气泡瞬态传质模型(48)与净化气泡瞬时运动速度υb及净化气泡随时间变化的半径r(t)，将净化气泡质量mb的表达式进行变形，得到气泡运动的合速度υb与净化气泡随时间变化的半径r(t)的关系式，最后与净化气泡瞬态运动模型进行耦合，并进行数值计算，得到气泡传质速率变化情况；

步骤五、超声及旋流场下熔体中净化气泡运动传质耦合模型进行仿真分析。

进一步地：在步骤二中，所述的净化气泡瞬态运动方程组的完整运动方程包含以下三组方程：

(1)超声及旋流场的复合场中，净化气泡竖直方向瞬态运动方程：

(2)超声及旋流场的复合场中，净化气泡径向瞬态运动方程：

(3)超声及旋流场的复合场中，净化气泡横向瞬态运动方程：

进一步地：在步骤二(1)的超声及旋流场的复合场中，所述的净化气泡竖直方向瞬态运动方程的获取过程为：

竖直方向上净化气泡的运动距离h，其值与净化气泡竖直方向分速度存在以下关系：

式(1)中，为净化气泡距离液面深度的导数；vbh为净化气泡在竖直方向的分速度，通过对净化气泡竖直方向的受力分析求得；净化气泡在竖直方向主要考虑竖直方向的粘性阻力fdh，由净化气泡在流体中竖直方向加速运动引起的该方向的附加质量力fmh，浮力fv和重力fg作用；由于压力梯度力是指沿流体流动方向单位路程长度上的压力变化，而在竖直方向上，流体运动为相对静止状态，所以实际作用在净化气泡表面的压力梯度力忽略不计，故不考虑此力；因而，净化气泡在竖直方向根据牛顿第二定律得到：

式(2)中，fv为浮力；fmh为附加质量力；fg为重力；fdh为粘性阻力；αh为净化气泡在竖直方向的加速度，其中为净化气泡在竖直方向分速度的导数；mb为净化气泡质量，其表达式为ρb为净化气泡中气体密度；r＝r(t)为净化气泡随时间变化的半径；

式(2)中，fv为浮力，表达式为：

式(3)中，fv为浮力；r为净化气泡半径；ρl为液相流体密度；g为重力加速度；

式(2)中，fg为重力，表达式为：

式(4)中，fg为重力；r为净化气泡半径；g为重力加速度；ρb为净化气泡中气体密度；

由式(2)、式(3)、式(4)得到，净化气泡在竖直方向分速度的导数为：

式(5)中，为净化气泡在竖直方向分速度的导数；r为净化气泡半径；g为重力加速度；ρl为液相流体密度；fmh为附加质量力；fdh为粘性阻力；ρb为净化气泡中气体密度；式(5)中fmh和fdh表达见式(6)、式(7)：

式(6)中，fv为浮力；fmh为附加质量力；fg为重力；ρl为液相流体密度；kv为经验系数，理想状态下为kv＝1/2；π为圆周率；r为净化气泡半径；t为时间；vbh为净化气泡在竖直方向的分速度；vlh为流体在竖直方向分速度，已知超声及旋流场影响下，流体在竖直方向分速度为0，则存在vlh＝0；

式(7)中，fdh为粘性阻力；π为圆周率；r为净化气泡半径；ρl为液相流体密度；vbh为净化气泡在竖直方向的分速度；vlh为流体在竖直方向分速度，cdh为竖直方向的阻力系数，其表达式为：

式(8)中，cdh为竖直方向的阻力系数；reh为竖直方向雷诺数，其表达为：

式(9)中，reh为竖直方向熔体中雷诺数；ρl为液相流体密度；r为净化气泡半径；vbh为净化气泡在竖直方向的分速度；μl为流体黏度系数；

联立式(5)、式(6)和式(7)得超声及旋流场的复合场中，净化气泡竖直方向瞬态运动方程为：

式(10)中，r为净化气泡半径；vbh为净化气泡在竖直方向的分速度；cdh为竖直方向的阻力系数；为净化气泡在竖直方向分速度的导数；g为重力加速度；

式(10)中，若想获得净化气泡竖直方向速度则需要求得半径r的表达式，而净化气泡随时间变化的半径r，根据气泡振动noltingk-neppiras理论的n-n方程求得，即存在超声场的条件下，净化气泡半径满足净化气泡自身振动方程，得到净化气泡半径随时间变化，其表达为：

式(11)中，r为净化气泡半径；为净化气泡关于时间t的一阶导数；为净化气泡关于时间t的二阶导数；r0为净化气泡初始半径；h0为净化气泡初始位置的深度；ρl为液相流体密度；pa为超声压幅值；μ为动力粘度系数；ω为超声场角频率，表达式为ω＝2πf，其中f为超声频率；p∞为流体中无穷处的压力，patm为标准大气压；p∞≈patm；σ为熔体表面张力系数；γ为多方指数，在绝热过程中为气体的比热比。

进一步地：在步骤二(2)的超声及旋流场的复合场中，所述的净化气泡径向瞬态运动方程的获取过程为：

对净化气泡径向运动过程进行受力分析，求得净化气泡在径向运动距离变化情况，复合场中净化气泡径向受力主要有粘性阻力径向分力fdr，附加质量力径向分力fmr，压力梯度力径向分力fpr，根据牛顿第二定律得：

式(12)中，fdr为粘性阻力径向分力；fmr为附加质量力径向分力；fpr为压力梯度力径向分力；mb为净化气泡质量；αr为净化气泡径向加速度，表达方式为：

式(13)中，r＝r(t)为净化气泡径向运动的距离；为净化气泡径向运动距离关于时间t的二阶导数；净化气泡运动转过的角度θ＝θ(t)；为净化气泡运动转过角度关于时间t的一阶导数；

式(12)中，压力梯度力fp表达式为：

式(14)中，fp为压力梯度力；π为圆周率；为净化气泡附近某一方向上的压力梯度变化量；r为净化气泡半径；p为熔体中压力；x为表示在某一方向的距离；由此得到净化气泡压力梯度力径向分力的表达式为：

式(15)中，fpr为压力梯度力径向分力；r0为净化气泡径向初始位置；π为圆周率；r为净化气泡径向运动的距离；pl为液相流体中泡壁表面压力；在超声及旋转的复合场条件下，泡壁表面压力由净化气泡内外压力差所决定，而超声声压主要作用在净化气泡表面，影响表面压力的数值，故考虑超声因素，其表达式为：

式(15)中，粘性阻力径向分力fdr的表达式为：

径向阻力系数cdr的表达式为：

式(18)中，径向雷诺数rer的表达式为：

式(19)中，μl为流体黏度系数；pl为液相流体中泡壁表面压力；ρl为液相流体密度；为净化气泡的径向分速度，任意时刻净化气泡的径向分速度用净化气泡径向运动距离关于时间t的导数表示，即：

式(20)中，为净化气泡径向运动距离关于时间t的导数；为流体的径向分速度，任意时刻，流体中某一质点的径向分速度为：

式(21)中，r为净化气泡径向运动的距离；ωl为流体转速；将式(18)、式(19)、式(20)和式(21)代入式(17)，则式(17)粘性阻力径向分力fdr化简为式：

附加质量力径向分力fmr的表达式为：

将式(21)、式(22)及经验系数kv值带入式(24)得到化简后的径向附加质量力fdr，其表达式为：

联立公式(12)、式(15)、式(22)和式(24)整理得超声及旋流场的复合场中，净化气泡径向瞬态运动方程为：

式(25)中，r为净化气泡径向运动的距离；为净化气泡径向运动距离关于时间t的二阶导数；净化气泡运动转过的角度θ＝θ(t)；为净化气泡运动转过角度关于时间t的一阶导数；为净化气泡径向运动距离关于时间t的导数；ρl为液相流体密度；cdr为径向阻力系数；r为净化气泡半径；ωl为流体转速；pl为液相流体中泡壁表面压力patm。

进一步地：在步骤二(3)的超声及旋流场的复合场中，所述的净化气泡横向瞬态运动方程的获取过程为：

净化气泡横向受力主要有粘性阻力横向分力fdθ，附加质量力横向分力fmθ，压力梯度力横向分力fpθ，根据牛顿第二定律三者关系为：

fdθ+fpθ+fmθ＝mb+aθ(26)

式(26)中，压力梯度力横向分力fpθ表达式为：

式(26)、式(27)中，fdθ为粘性阻力横向分力；fmθ为附加质量力横向分力；fpθ为压力梯度力横向分力；θ0为净化气泡运动角度的初始值，θ0＝0；aθ为净化气泡运动的横向加速度，表达式为：

式(28)中，为净化气泡运动转过角度关于时间t的二阶导数；r为净化气泡径向运动的距离；为净化气泡径向运动距离关于时间t的导数；

式(26)中，粘性阻力横向分力fdθ表示为：

式(29)中，横向阻力系数cdθ表示为：

式(30)中，横向雷诺数reθ表示为：

式(29)、式(30)和式(31)中，fdθ为粘性阻力横向分力；cdθ为横向阻力系数；vlθ为流体的横向分速度，为了使计算简便，已经假设本系统中的流体只做圆周运动，所以其横向速度vlθ＝0；vbθ为净化气泡的横向分速度，其表达式为：

vbθ＝rθ(32)

式(32)中，r为净化气泡径向运动的距离；θ为净化气泡运动转过的角度；

综合式(29)、式(30)、式(31)、式(32)，粘性阻力横向分力fdθ的表达式为：

附加质量力横向分力fmθ表达式为：

联立式(26)、式(28)、式(33)和式(34)整理得超声及旋流场的复合场中，净化气泡横向瞬态运动方程表达式为：

式(35)中，r为净化气泡径向运动的距离；为净化气泡径向运动距离关于时间t的导数；r为净化气泡半径；θ0为净化气泡运动角度的初始值，θ0＝0；θ为净化气泡运动转过的角度，其中θ＝θ(t)；为净化气泡运动转过角度关于时间t的一阶导数；ωl为流体转速；pl为液相流体中泡壁表面压力；ρl为液相流体密度；cdθ为横向阻力系数。

进一步地：在步骤三中，在铝熔体净化过程中，传质的动力方向变为由铝熔体中的氢向净化气泡壁传质即液相向气相传质，从而得到单位时间内，熔体中氢向净化气泡传质的量即液体向净化气泡传质的量，净化气泡界面质量流量表达式为：

式(43)中，j为净化气泡界面质量流量；λ为净化气泡在球坐标系的极径；α为表示净化气泡所确定的球坐标系下的极角；r为净化气泡半径；υb为净化气泡运动速度；ca为液相中气体的质量浓度，c1为气液界面处气体质量浓度，dab为气体分子在液体中扩散速率；

为获得单位时间内净化气泡质量流量，对式(43)进行积分，得到净化气泡瞬态传质模型如下：

式(45)中，dmb/dt为净化气泡瞬态传质速率；其中mb为净化气泡质量；j为净化气泡界面质量流量；ca为液相中气体的质量浓度，c1为气液界面处气体质量浓度；dab为气体分子在液体中扩散速率；α为净化气泡所确定的球坐标系下的极角；r为净化气泡半径；υb为净化气泡运动速度。

进一步地：在步骤四中，超声及旋流场下熔体中净化气泡瞬态传质方程组构建方法为：

净化气泡半径随时间变化，其净化气泡半径变化方程为：

非平衡传质理论方程，其表达式为：

c^*＝hpb(47)

气泡瞬态传质耦合方程：

根据气泡瞬态运动模型的完整方程(36)，净化气泡半径变化方程(11)，气泡瞬态传质耦合方程(55)和非平衡传质理论方程(46)(47)得到混合场中气泡运动传质耦合模型：

p∞≈patm

ωl＝2πn

c^*＝hpb

式(57)中，h0为净化气泡初始位置的深度；r0为净化气泡初始半径；γ为多方指数，在绝热过程中为气体的比热比；为净化气泡运动转过角度关于时间t的一阶导数；reh为竖直方向雷诺数；μl为流体黏度系数；ωl为流体转速；n为旋转场转速；f为超声频率；γ为多方指数，在绝热过程中为气体的比热比；σ为气泡表面张力；μ为液体动力粘度系数；rer为径向雷诺数；ρg0为标准大气压patm下对应的气体密度；reθ为横向雷诺数；ρb为气泡内气体密度；m为初始通气量；d为通气管直径；e为亨利系数。

进一步地：在步骤五中，超声及旋流场下熔体中净化气泡运动传质耦合模型仿真分析，利用matlab中龙格-库塔(runge-kutta)软件对超声及旋流场下熔体中净化气泡运动模型进行数值求解。

本发明所涉及的超声及旋流场下熔体中净化气泡瞬态传质模型构建方法的有益效果是：

本发明所涉及的超声及旋流场下熔体中净化气泡瞬态传质模型构建方法，针对功率超声和旋转吹气复合式除气过程中净化气泡瞬态传质模型理论进行研究，给出超声及旋流场下净化气泡瞬态传质模型构建方法，为功率超声和旋转吹气有效复合提供重要的理论支撑，弥补了两者复合除气缺少理论依据以及除气效果缺少定量分析的问题；同时也为研究超声及旋转吹气复合式除气的最佳工艺参数组合，构建高效复合式除气运动装置提供理论依据和参考。与其它领域的净化气泡传质模型相比，本模型可以得到净化气泡在熔体中任意时刻下运动传质速率信息，为实现净化气泡除气运动效果定量分析提供理论依据。此外，与其它模型相比，此模型可以得到在超声及旋流场作用下任意时刻气泡运动轨迹、任意时刻下净化气泡瞬态传质速率。本发明所涉及的超声及旋流场下熔体中净化气泡瞬态传质模型构建方法尤其适用于实现航空航天、信息产业、交通运载等对铝合金构件的质量要求高的技术领域。

附图说明

图1为熔体中的净化气泡受力分析示意图；

图2为超声及旋流场中不同气体流速下净化气泡传质速率模拟仿真图；

图3为超声及旋流场中不同气体流速下净化气泡传质速率实验数据图。

具体实施方式

下面结合实施例对本发明的技术方案做进一步的说明，但并不局限于此，凡是对本发明技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的精神和范围，均应涵盖在本发明的保护范围中。

实施例1

结合图1说明本实施例，在本实施例中，本发明所涉及的超声及旋流场下熔体中净化气泡瞬态传质模型构建方法，包括如下计算步骤：

步骤一、建模前，进行如下假设，任意条件影响下熔体中净化气泡保持球形，本过程处于恒温绝热状态；

步骤二、构建超声及旋流场下熔体中净化气泡瞬态运动模型的完整运动方程，所述的超声及旋流场下熔体中净化气泡瞬态运动模型的完整运动方程为：

竖直方向

径向:

横向:

式(36)中，为净化气泡距离液面深度的导数；净化气泡竖直方向速度；r为净化气泡半径；g为重力加速度；cdh为竖直方向的阻力系数；vbh为净化气泡在竖直方向的分速度；为净化气泡在竖直方向分速度的导数；为净化气泡径向运动距离关于时间t的二阶导数；cdr为径向阻力系数；为净化气泡径向运动距离关于时间t的导数；ωl为流体转速；ρl为液相流体密度；r为净化气泡径向运动的距离；r＝r(t)；r0为净化气泡径向运动的初始距离；p∞为流体中无穷处的压力，patm为标准大气压；p∞≈patm；pl为液相流体中泡壁表面压力；为净化气泡运动转过角度关于时间t的一阶导数，θ为净化气泡运动转过的角度，其中θ＝θ(t)；为净化气泡运动转过角度关于时间t的二阶导数；cdθ为横向阻力系数；θ0为净化气泡运动角度的初始值，θ0＝0；

步骤三、构建超声及旋流场下熔体中净化气泡瞬态传质模型，所述的净化气泡瞬态传质模型为：

c^*＝hpb(48)

式(48)中，mb为净化气泡质量，其表达式为dmb/dt为气泡瞬态传质速率；j为气泡界面质量流量；s为通量面积；α为气泡所确定的球坐标系下的极角；dab为气体分子在液体中扩散速率；υb为气泡运动的合速度，c^*为气液界面处气体的平衡浓度；c1为气液界面处气体质量浓度；ca是液相中气体的质量浓度；h为溶解度系数；pb为任意时刻气泡内部压强；

步骤四、根据净化气泡瞬态传质模型(48)与净化气泡瞬时运动速度υb及净化气泡随时间变化的半径r(t)，将净化气泡质量mb的表达式进行变形，得到气泡运动的合速度υb与净化气泡随时间变化的半径r(t)的关系式，最后与净化气泡瞬态运动模型进行耦合，并进行数值计算，得到气泡传质速率变化情况；

步骤五、超声及旋流场下熔体中净化气泡运动传质耦合模型进行仿真分析。

更为具体地：在步骤二中，所述的净化气泡瞬态运动方程组的完整运动方程包含以下三组方程：

(1)超声及旋流场的复合场中，净化气泡竖直方向瞬态运动方程：

(2)超声及旋流场的复合场中，净化气泡径向瞬态运动方程：

(3)超声及旋流场的复合场中，净化气泡横向瞬态运动方程：

更为具体地：在步骤三中，在铝熔体净化过程中，传质的动力方向变为由铝熔体中的氢向净化气泡壁传质即液相向气相传质，从而得到单位时间内，熔体中氢向净化气泡传质的量即液体向净化气泡传质的量，为获得单位时间内净化气泡质量流量，对式(43)进行积分，得到净化气泡瞬态传质模型如下：

式(45)中，dmb/dt为净化气泡瞬态传质速率；其中mb为净化气泡质量；j为净化气泡界面质量流量；ca为液相中气体的质量浓度，c1为气液界面处气体质量浓度；dab为气体分子在液体中扩散速率；α为净化气泡所确定的球坐标系下的极角；r为净化气泡半径；υb为净化气泡运动速度。

更为具体地：在步骤四中，超声及旋流场下熔体中净化气泡瞬态传质方程组构建方法为：

净化气泡半径随时间变化，其净化气泡半径变化方程为：

非平衡传质理论方程，其表达式为：

c^*＝hpb(47)

气泡瞬态传质耦合方程：

根据气泡瞬态运动模型的完整方程(36)，净化气泡半径变化方程(11)，气泡瞬态传质耦合方程(55)和非平衡传质理论方程(46)(47)得到混合场中气泡运动传质耦合模型：

p∞≈patm

ωl＝2πn

c^*＝hpb

式(57)中，h0为净化气泡初始位置的深度；r0为净化气泡初始半径；γ为多方指数，在绝热过程中为气体的比热比；为净化气泡运动转过角度关于时间t的一阶导数；reh为竖直方向雷诺数；μl为流体黏度系数；ωl为流体转速；n为旋转场转速；f为超声频率；γ为多方指数，在绝热过程中为气体的比热比；σ为气泡表面张力；μ为液体动力粘度系数；rer为径向雷诺数；ρg0为标准大气压patm下对应的气体密度；reθ为横向雷诺数；ρb为气泡内气体密度；m为初始通气量；d为通气管直径；e为亨利系数。

更为具体地：在步骤五中，超声及旋流场下熔体中净化气泡运动传质耦合模型仿真分析，利用matlab龙格库塔对超声及旋流场下熔体中净化气泡运动模型进行数值求解。

更为具体地：在步骤二中，所述的超声及旋流场下熔体中净化气泡瞬态运动模型，包含以下三组方程：

(1)超声及旋流场的复合场中，净化气泡竖直方向瞬态运动方程：

竖直方向上净化气泡的运动距离h，其值与净化气泡竖直方向分速度存在以下关系：

式(1)中，为净化气泡距离液面深度的导数；vbh为净化气泡在竖直方向的分速度，可以通过对净化气泡竖直方向的受力分析求得；净化气泡在竖直方向主要考虑竖直方向的粘性阻力fdh，由净化气泡在流体中竖直方向加速运动引起的该方向的附加质量力fmh，浮力fv和重力fg作用；由于压力梯度力是指沿流体流动方向单位路程长度上的压力变化，而在竖直方向上，流体运动为相对静止状态，所以实际作用在净化气泡表面的压力梯度力可以被忽略，故不考虑此力；因而，净化气泡在竖直方向可根据牛顿第二定律得到：

式(2)中，fv为浮力；fmh为附加质量力；fg为重力；fdh为粘性阻力；αh为净化气泡在竖直方向的加速度，其中为净化气泡在竖直方向分速度的导数；mb为净化气泡质量，其表达式为ρb为净化气泡中气体密度；r＝r(t)为净化气泡随时间变化的半径；

式(2)中，fv为浮力(竖直方向)，表达式为：

式(3)中，fv为浮力；r为净化气泡半径；ρl为液相流体密度；g为重力加速度；

式(2)中，fg为重力，表达式为：

式(4)中，fg为重力；r为净化气泡半径；g为重力加速度；ρb为净化气泡中气体密度；

由式(2)、式(3)、式(4)可得到，净化气泡在竖直方向分速度的导数为：

式(5)中，为净化气泡在竖直方向分速度的导数；r为净化气泡半径；g为重力加速度；ρl为液相流体密度；fmh为附加质量力；fdh为粘性阻力；ρb为净化气泡中气体密度；式(5)中fmh和fdh表达见式(6)、式(7)：

式(6)中，fv为浮力；fmh为附加质量力；fg为重力；ρl为液相流体密度；kv为经验系数，理想状态下为kv＝1/2；π为圆周率；r为净化气泡半径；t为时间；vbh为净化气泡在竖直方向的分速度；vlh为流体在竖直方向分速度，已知超声及旋流场影响下，流体在竖直方向分速度为0，则存在vlh＝0；

式(7)中，fdh为粘性阻力；π为圆周率；r为净化气泡半径；ρl为液相流体密度；vbh为净化气泡在竖直方向的分速度；vlh为流体在竖直方向分速度，cdh为竖直方向的阻力系数，其表达式为：

式(8)中，cdh为竖直方向的阻力系数；reh为竖直方向雷诺数，其表达为：

式(9)中，reh为竖直方向熔体中雷诺数；ρl为液相流体密度；r为净化气泡半径；vbh为净化气泡在竖直方向的分速度；μl为流体黏度系数；

联立式(5)、式(6)、式(7)可以得超声及旋流场的复合场中，净化气泡竖直方向瞬态运动方程为：

式(10)中，r为净化气泡半径；vbh为净化气泡在竖直方向的分速度；cdh为竖直方向的阻力系数；为净化气泡在竖直方向分速度的导数；g为重力加速度；

式(10)中，若想获得净化气泡竖直方向速度则需要求得半径r的表达式，而净化气泡随时间变化的半径r，可根据气泡振动noltingk-neppiras理论的n-n方程求得，即存在超声场的条件下，净化气泡半径满足净化气泡自身振动方程(即净化气泡平衡半径附近振动)，可以得到净化气泡半径随时间变化，其表达为：

式(11)中，r为净化气泡半径；为净化气泡关于时间t的一阶导数；为净化气泡关于时间t的二阶导数；r0为净化气泡初始半径；h0为净化气泡初始位置的深度；ρl为液相流体密度；pa为超声压幅值；μ为动力粘度系数；ω为超声场角频率，表达式为ω＝2πf，其中f为超声频率；p∞为流体中无穷处的压力，patm为标准大气压；p∞≈patm；σ为熔体表面张力系数；γ为多方指数，在绝热过程中为气体的比热比。

(2)超声及旋流场的复合场中，净化气泡径向瞬态运动方程：

对净化气泡径向运动过程进行受力分析，可求得净化气泡在径向运动距离变化情况，复合场中净化气泡径向受力主要有粘性阻力径向分力fdr，附加质量力径向分力fmr，压力梯度力径向分力fpr，根据牛顿第二定律可得：

式(12)中，fdr为粘性阻力径向分力；fmr为附加质量力径向分力；fpr为压力梯度力径向分力；mb为净化气泡质量；αr为净化气泡径向加速度，表达方式为：

式(13)中，r＝r(t)为净化气泡径向运动的距离；为净化气泡径向运动距离关于时间t的二阶导数；净化气泡运动转过的角度θ＝θ(t)；为净化气泡运动转过角度关于时间t的一阶导数；

式(12)中，压力梯度力fp表达式为：

式(14)中，fp为压力梯度力；π为圆周率；为净化气泡附近某一方向上的压力梯度变化量；r为净化气泡半径；p为熔体中压力；x为表示在某一方向的距离；由此可以得到净化气泡压力梯度力径向分力的表达式为：

式(15)中，fpr为压力梯度力径向分力；r0为净化气泡径向初始位置；π为圆周率；r为净化气泡径向运动的距离；p∞为流体中无穷处的压力，patm为标准大气压；p∞≈patm；pl为液相流体中泡壁表面压力；在超声及旋转的复合场条件下，泡壁表面压力由净化气泡内外压力差所决定，而超声声压主要作用在净化气泡表面，影响表面压力的数值，故考虑超声因素，其表达式为：

式(15)中，粘性阻力径向分力fdr的表达式为：

径向阻力系数cdr的表达式为：

式(18)中，径向雷诺数rer的表达式为：

式(19)中，μl为流体黏度系数；pl为液相流体中泡壁表面压力；ρl为液相流体密度；为净化气泡的径向分速度，任意时刻净化气泡的径向分速度可用净化气泡径向运动距离关于时间t的导数表示，即：

式(20)中，为净化气泡径向运动距离关于时间t的导数；为流体的径向分速度，任意时刻，流体中某一质点的径向分速度为：

式(21)中，r为净化气泡径向运动的距离；ωl为流体转速；将式(18)、式(19)、式(20)和式(21)代入式(17)，则式(17)粘性阻力径向分力fdr可化简为式：

附加质量力径向分力fmr的表达式为：

将式(21)、式(22)及经验系数kv值带入式(24)得到化简后的径向附加质量力fdr，其表达式为：

联立公式(12)、式(15)、式(22)和式(24)整理可得超声及旋流场的复合场中，净化气泡径向瞬态运动方程为：

式(25)中，r为净化气泡径向运动的距离；为净化气泡径向运动距离关于时间t的二阶导数；净化气泡运动转过的角度θ＝θ(t)；为净化气泡运动转过角度关于时间t的一阶导数；为净化气泡径向运动距离关于时间t的导数；ρl为液相流体密度；cdr为径向阻力系数；r为净化气泡半径；ωl为流体转速；pl为液相流体中泡壁表面压力；p∞为流体中无穷处的压力，近似于标准大气压patm。

(3)超声及旋流场的复合场中，净化气泡横向瞬态运动方程：

净化气泡横向受力主要有粘性阻力横向分力fdθ，附加质量力横向分力fmθ，压力梯度力横向分力fpθ，根据牛顿第二定律三者关系为：

fdθ+fpθ+fmθ＝mb+aθ(26)

式(26)中，压力梯度力横向分力fpθ表达式为：

式(26)、式(27)中，fdθ为粘性阻力横向分力；fmθ为附加质量力横向分力；fpθ为压力梯度力横向分力；θ0为净化气泡运动角度的初始值，θ0＝0；aθ为净化气泡运动的横向加速度，表达式为：

式(28)中，为净化气泡运动转过角度关于时间t的二阶导数；r为净化气泡径向运动的距离；为净化气泡径向运动距离关于时间t的导数；

式(26)中，粘性阻力横向分力fdθ表示为：

式(29)中，横向阻力系数cdθ表示为：

式(30)中，reθ表为：

式(29)、式(30)和式(31)中，fdθ为粘性阻力横向分力；cdθ为横向阻力系数；vlθ为流体的横向分速度，为了使计算简便，已经假设本系统中的流体(液相)只做圆周运动，所以其横向速度vlθ＝0；vbθ为净化气泡的横向分速度，其表达式为：

vbθ＝rθ(32)

式(32)中，r为净化气泡径向运动的距离；θ为净化气泡运动转过的角度；

综合式(29)、式(30)、式(31)、式(32)，粘性阻力横向分力fdθ的表达式为：

附加质量力横向分力fmθ表达式为：

联立式(26)、式(28)、式(33)和式(34)整理可得超声及旋流场的复合场中，净化气泡横向瞬态运动方程表达式为：

式(35)中，r为净化气泡径向运动的距离；为净化气泡径向运动距离关于时间t的导数；r为净化气泡半径；θ0为净化气泡运动角度的初始值，θ0＝0；θ为净化气泡运动转过的角度，其中θ＝θ(t)；为净化气泡运动转过角度关于时间t的一阶导数；ωl为流体转速；p∞为流体中无穷处的压力，近似于标准大气压patm；pl为液相流体中泡壁表面压力；ρl为液相流体密度；cdθ为横向阻力系数。

(4)完整运动方程：

式(10)、式(25)和式(35)综合起来即得到超声及旋流场下熔体中净化气泡运动模型：

竖直方向:

径向:

横向:

式(36)中，为净化气泡距离液面深度的导数；vbh为净化气泡在竖直方向的分速度；r为净化气泡半径；vbh为净化气泡在竖直方向的分速度；cdh为竖直方向的阻力系数；cdr为径向阻力系数；cdθ为横向阻力系数；为净化气泡在竖直方向分速度的导数；g为重力加速度；r为净化气泡径向运动的距离；为净化气泡径向运动距离关于时间t的二阶导数；净化气泡运动转过的角度θ＝θ(t)；θ为净化气泡运动转过的角度；为净化气泡运动转过角度关于时间t的一阶导数；为净化气泡径向运动距离关于时间t的一阶导数；ωl为流体转速；pl为液相流体中泡壁表面压力；p∞为流体中无穷处的压力，近似于标准大气压patm；ρl为液相流体密度。

步骤三、超声及旋流场下熔体中净化气泡瞬态传质模型构建：

其中在球坐标系下，由菲克第二定律可知在扩散物质在液相中传质扩散方程表达式为：

式(37)中，为净化气泡界面熔体中扩散氢的浓度梯度，其中λ为净化气泡在球坐标系的极径；uλ为交换界面处在净化气泡表示的球坐标系下流体运动在径向特征速度；uα为交换界面处在净化气泡表示的球坐标系下流体运动在横向的特征速度；λb为表示净化气泡所确定的球坐标系下的极径；α为表示净化气泡所确定的球坐标系下的极角；c为表示气体溶解于液相的质量浓度；dab为表示气体分子在液体中扩散速率。

净化气泡在液相中上浮的过程，设定远离净化气泡的液相主体为恒浓度区，而气液传质主要发生在净化气泡界面处的传质边界层中，此时

于是可以将液相中传质扩散方程式(37)化简为如下式：

得出式(38)净化气泡边界层传质方程；式中uλ，uα根据流函数的定义可知，其表达式为：

为求得uλ，uα，可应用多相流中球形液滴运动的基本流型表达式为：

式(41)中，为绕净化气泡流动的流函数；υb为净化气泡运动速度；λb为表示净化气泡所确定的球坐标系下的极径；k为两相粘度比，即r为净化气泡半径；μb为表示净化气泡表面的粘度；μl为表示液相流体粘度，净化气泡在流体中上浮过程中，其表面与周围均为液相介质，即μb≈μl，所以，此时k≈1，于是得到球坐标下绕净化气泡流动的流函数表达式为：

联立公式(38)、式(39)、式(40)、式(42)，可进一步计算得到净化气泡界面质量流量表达式为：

式(43)中，j为净化气泡界面质量流量；λ为净化气泡在球坐标系的极径；α为表示净化气泡所确定的球坐标系下的极角；r为净化气泡半径；υb为净化气泡运动速度；ca为液相中气体的质量浓度，c1为气液界面处气体质量浓度，dab为气体分子在液体中扩散速率。

根据气体脱吸原理，在铝熔体净化过程中，传质的动力方向变为由铝熔体中的氢向净化气泡壁传质即液相向气相传质，从而得到单位时间内，熔体中氢向净化气泡传质的量即液体向净化气泡传质的量，为获得单位时间内净化气泡质量流量，对式(43)进行积分，得到净化气泡瞬态传质模型如下：

式(45)中，dmb/dt为净化气泡瞬态传质速率；其中mb为净化气泡质量；j为净化气泡界面质量流量；ca为液相中气体的质量浓度，c1为气液界面处气体质量浓度；dab为气体分子在液体中扩散速率；α为净化气泡所确定的球坐标系下的极角；r为净化气泡半径；υb为净化气泡运动速度。

式(45)中的变量为三个方向上的路径r，θ，h的导数以及气泡半径r的常微分方程组，可改变超声参数及旋转参数得到可以得到未知数气泡半径r、径向距离r、横向距离θ、气泡深度h、气泡运动速度υb及单个气泡传质速率关于时间t的关系曲线，从而对净化气泡在熔体中的运动传质过程进行详细分析，此外气泡耦合的传质方程减少了变量mb，可将所求得的变量c1，vb，r带入式(58)中运算得出mb，从而加快运算速度。

通过净化气泡瞬态传质方程(45)，可得到熔体中净化气泡质量随着时间变化情况，即净化气泡含氢量随时间变化情况；式(45)中，ca是液相中气体的质量浓度，即熔体中氢浓度，可作为初始已知条件；而气液界面处气体质量浓度(熔体中净化气泡气液界面处气体的质量浓度)c1可以由非平衡传质理论得到，其表达式为：

c^*＝hpb(47)

式(46)中，c*为气液界面处气体的平衡浓度；ca为液相中气体的质量浓度，c1为气液界面处气体质量浓度；

式(47)中，h为溶解度系数；pb为任意时刻净化气泡内部压强，综合式(45)、式(46)和式(47)可得出净化气泡瞬态传质模型如下：

c^*＝hpb(48)

式(48)中，dmb/dt为净化气泡瞬态传质速率，其中mb为净化气泡质量；j为净化气泡界面质量流量；c^*为气液界面处气体的平衡浓度；ca为液相中气体的质量浓度；c1为气液界面处气体质量浓度；dab为气体分子在液体中扩散速率；υb为净化气泡运动速度；相中气体的质量浓度，α为净化气泡所确定的球坐标系下的极角；r为净化气泡半径；h为溶解度系数；pb为任意时刻净化气泡内部压强；

步骤四、超声及旋流场下熔体中净化气泡瞬态传质模型构建方法：

从式(45)中可看出，净化气泡瞬态传质方程与净化气泡瞬时运动速度υb及净化气泡瞬时半径变化r(t)有关，为得到υb与r(t)的关系式，将净化气泡质量mb表达式进行变形，最后与净化气泡运动方程进行耦合并进行数值计算，可得到净化气泡传质速率变化情况，具体耦合过程如下：

在平衡条件下，净化气泡内外压强相等，所以净化气泡内初始压强有：

式(49)中，pb0为净化气泡内初始压强；r为运动净化气泡半径；g为重力加速度；patm为标准大气压；pl为液相流体中泡壁表面压力；ρl为液相流体密度。

根据绝热过程中泊松方程：pv^γ＝常数可以得到在绝热过程中，任意时刻净化气泡内部压强为：

式(50)中，γ为多方指数，在绝热过程中为气体的比热比；σ为流体表面张力系数，而净化气泡体积r为净化气泡半径；g为重力加速度；patm为标准大气压；ρl为液相流体密度；r0为净化气泡初始半径；h0为净化气泡初始位置的深度。

当净化气泡在熔体中运动过程中，净化气泡氢含量会受净化气泡体积v的影响，而净化气泡体积大小，主要由其半径r控制；进一步可知净化气泡质量mb与净化气泡半径r的关系；净化气泡质量可表示为：

式(51)中，ρb为净化气泡内气体密度；mb为净化气泡质量；r为净化气泡半径。

将式(50)两边对时间t进行求导可得：

其中，恒温时，根据理想气体状态方程净化气泡内的气体密度ρg可表示为：

式(53)中，ρg为净化气泡内气体密度；pb为任意时刻净化气泡内部压强；ρg0为标准大气压patm下对应的气体密度，将式(53)对时间t进行求导：

式(54)中，ρg为净化气泡内气体密度；r0为净化气泡初始半径；h0为净化气泡初始位置的深度；r为净化气泡半径；γ为多方指数，在绝热过程中为气体的比热比；g为重力加速度；patm为标准大气压；pl为液相流体中泡壁表面压力；h0为净化气泡在液体中的静压头；ρg0为标准大气压patm下对应的气体密度；

由式(49)(50)(52)(54)联立，可以得到净化气泡瞬态传质耦合方程：

式(55)中，ρb为净化气泡内气体密度；r0为净化气泡初始半径；h0为净化气泡初始位置的深度；r为净化气泡半径；γ为多方指数，在绝热过程中为气体的比热比；g为重力加速度；patm为标准大气压；pl为液相流体中泡壁表面压力；ρl为液相流体密度；h0为净化气泡在液体中的静压头；ρg0为标准大气压patm下对应的气体密度；ca为液相中气体的质量浓度；c1为气液界面处气体质量浓度；dab为气体分子在液体中扩散速率；υb为净化气泡运动的合速度，在复合场影响下，净化气泡运动的合速度可由下式表示：

综上，由净化气泡瞬态运动方程组(13)(25)(35)，净化气泡半径变化方程(11)，净化气泡瞬态传质耦合方程(55)及非平衡传质理论方程(46)(47)可以得到混合场中净化气泡运动传质耦合模型：

p∞≈patm

ωl＝2πn

c^*＝hpb

式(57)中，r为净化气泡半径；cdh为竖直方向的阻力系数；vbh为净化气泡在竖直方向的分速度；reh为竖直方向雷诺数；ρl为液相密度；μl为流体黏度系数；r0为净化气泡初始半径；净化气泡在竖直方向分速度的导数；r为净化气泡径向运动的距离；为净化气泡径向运动距离关于时间t的导数；为净化气泡径向运动距离关于时间t的二阶导数；p∞为流体中无穷处的压力；patm为标准大气压；p∞≈patm；净化气泡运动转过的角度θ＝θ(t)；θ为净化气泡运动转过的角度；为净化气泡运动转过角度关于时间t的一阶导数；ωl为流体转速；pb为任意时刻净化气泡内部压强；h0为净化气泡初始位置的深度；为净化气泡距离液面深度的导数；ca是液相中气体的质量浓度，即熔体中氢浓度；为竖直方向的阻力系数；为气泡竖直方向速度；r为净化气泡半径；为径向阻力系数；ωl为流体转速；pl为液相流体中泡壁表面压力；n为旋转场转速；f为超声频率；γ为多方指数，在绝热过程中为气体的比热比；σ为气泡表面张力；μ为液体动力粘度系数；为径向阻力系数；rer为径向雷诺数；为横向阻力系数；ρg0为标准大气压patm下对应的气体密度；reθ为横向雷诺数；ρb为气泡内气体密度；r0为净化气泡初始半径；h0为净化气泡初始位置的深度；g为重力加速度；ca为液相中气体的质量浓度；c1为气液界面处气体质量浓度；dab为气体分子在液体中扩散速率；υb为气泡运动的合速度；m为初始通气量；d为通气管直径；h为溶解度系数；e为亨利系数。

实施例2

结合图2和图3说明本实施例，在本实施例中，步骤五、超声及旋流场下熔体中净化气泡运动传质耦合模型仿真分析

利用matlab中龙格-库塔(runge-kutta)软件对超声及旋流场下熔体中净化气泡运动模型进行数值求解，相关参数的赋值情况如下：净化气泡初始半径r0＝5mm；超声压幅值为pa＝100kpa；旋转场转速n＝450r/min；初始气量m＝500ml/min、600ml/min、700ml/min、800ml/min，通气管d＝10mm，经计算即单位m/s；净化气泡的初始径向速度为1.3m/s、1.5m/s、1.7m/s；ρl＝2.4*10³kg/m^-3；σ＝0.074n*m^-1；μ＝1.2*10^-3pa*s，patm＝1.013*10⁵pa，ρg0＝1.63kg*m^-3，pa＝100kpa，f＝50khz，γ＝1，ca＝2.6×10^-3kg/m³，dab＝1.81×10^-9m²/s，h0＝0.65m，r0＝0.25m，θ0＝0，h＝1.37×10^-4mol/(m³pa)^-1，e＝4.06×10⁵kpa。

净化气泡半径r关于时间t的关系，可由n-n方程(11)可以得到净化气泡半径r关于时间t的关系，最后将r(t)带入式(10)、式(25)、式(35)中可以求得净化气泡运动速度vb，上升距离h，径向运动距离r及横向运动距离θ关于时间t的变化情况，由于式(56)主要为微分方程，故利用matlab中的变步龙格库塔对式(57)进行求解，可以获得在超声及旋转场共同作用下气体流速对净化气泡传质速率的变化情况如图2所示；本次采用碘量法测氧实验原理代替熔体内氢含量，其中相同条件下实验数据图如图3所示，可以发现仿真数据与实验数据基本相符。

最后应当说明的是：以上实施例仅用以说明本发明的技术方案，本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的现有技术或公知常识的技术人员在本发明揭露的范围内，根据本发明的技术方案及其发明构思加以等同替换或改变，都属于本发明的保护范围。